ジョーダンマトリックス

数学の分野である行列理論において、カミーユ・ジョルダンにちなんで名付けられたジョルダン行列は、環 $R$ (単位元は0と1 )上のブロック対角行列であり、対角線に沿った各ブロックはジョルダンブロックと呼ばれ、次の形式を持ちます。 ${\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0&0\\0&\lambda &1&\cdots &0&0\\0&0&\lambda &\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\lambda &1\\0&0&0&\cdots &0&\lambda \\\end{bmatrix}}.$

意味

すべてのジョルダンブロックは、次元nと固有値によって指定され、 $J$ $λ,$ $n$ と表記されます。これは、対角要素を除くすべての要素がゼロの行列です。対角要素はで埋められ、上対角要素は 1 で構成されます。 $\lambda \in R$ $n\times n$ $\lambda$

ブロック対角行列のうち，そのブロックがジョルダンブロックであるものは，ジョルダン行列と呼ばれる．この $(n 1 + \dots + n r) \times (n 1 + \dots + n r)正方行列は$ $r$ 個の対角ブロックから成り，またはと簡潔に表記することができる．ここで，i番目のジョルダンブロックは $J$ $λ$ $i$ $,$ $n$ $i$ である． $J_{\lambda _{1},n_{1}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{r},n_{r}}$ $\mathrm {diag} \left(J_{\lambda _{1},n_{1}},\ldots ,J_{\lambda _{r},n_{r}}\right)$

たとえば、行列は、固有値 $0を持つ$ $3 \times 3$ ブロック、固有値が虚数単位 $iである$ $2 \times 2$ ブロック2 つ、および固有値 7 である $3 \times 3ブロックを持つ$ $10 \times 10 の$ ジョルダン行列です。そのジョルダンブロック構造は、またはdiag $($ $J$ $0,3$ $,$ $J$ $i$ $,2$ $,$ $J$ $i$ $,2$ $,$ $J$ $7,3$ $)$ と記述されます。 $J=\left[{\begin{array}{ccc|cc|cc|ccc}0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&i&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&i&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&i&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&i&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&7&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&7&1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&7\end{array}}\right]$ $J_{0,3}\oplus J_{i,2}\oplus J_{i,2}\oplus J_{7,3}$

線形代数

代数閉体 $K$ に属する要素を持つ任意の $n \times n$ 正方行列 $A は$ $、$ 同じくに属するジョルダン行列 $Jと$ 相似であり、その対角ブロック自体の置換を除いて一意である。Jは $A$ のジョルダン標準形と呼ばれ、対角化手順の一般化に対応する。^[1]^[2]^[3]対角化可能な行列は、実際には、ジョルダン行列の特殊なケース、つまりすべてのブロックが $1 \times 1$ である行列に似ている。^[4]^[5]^[6] $\mathbb {M} _{n}(K)$

より一般的には、ジョルダン行列、すなわち $k$ 番目の対角ブロックがジョルダンブロック $J$ $λ$ $k$ $,$ $m$ $k$ であり、その対角要素がすべて異なるとは限らない場合、行列 $J$ のの幾何学的重複度（）は、固有値が $λ$ であるジョルダンブロックの数に対応する。一方、 $J$ の固有値のインデックス（）は、その固有値に関連付けられた最大のジョルダンブロックの次元として定義される。 $J=J_{\lambda _{1},m_{1}}\oplus J_{\lambda _{2},m_{2}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{N},m_{N}}$ $1\leq k\leq N$ $\lambda _{k}$ $\lambda \in K$ $\operatorname {gmul} _{J}\lambda$ $\lambda$ $\operatorname {idx} _{J}\lambda$

$同じことがJ$ に類似するすべての行列 $A$ にも当てはまるため、任意の固有値について $A$ のジョルダン標準形に関して定義できます。この場合、 A に対するのインデックスが、 A の最小多項式の根としての重複度に等しいことを確認できます $($ 一方 $、$ 定義により、A、に対するその $代数$ 的重複度は、 $A$ の特性多項式の根としての重複度、つまりです)。 $A が$ $K$ で対角化可能であるための同等の必要十分条件は、そのすべての固有値のインデックスが $1$ に等しいことです。つまり、その最小多項式は単純な根しか持ちません。 $\operatorname {idx} _{A}\lambda$ $\lambda \in \operatorname {spec} A$ $\lambda$ $\operatorname {mul} _{A}\lambda$ $\det(A-xI)\in K[x]$

行列のスペクトルとその代数的/幾何的重複度および指数をすべて知っていても、必ずしもそのジョルダン正規形を計算できるわけではないことに注意してください（これはスペクトル的に単純で、通常は低次元の行列に対してのみ十分な条件となる可能性があります）。実際、ジョルダン正規形を決定することは一般的に計算的に困難な作業です。ベクトル空間の観点から見ると、ジョルダン正規形は、関連する一般化固有ベクトルが基底とする領域の直交分解（つまり、ジョルダンブロックで表される固有空間の直和を介して）を見つけることと同等です。

行列の関数

（つまり、 $n$ $\times$ $n$ 複素行列）を基底行列から $A$ のジョルダン標準形への変換、つまり $A$ $=$ $C$ $-1$ $JC$ に変換するものとします。ここで、 $f$ $($ $z$ $)$ をとなる開集合上の正則関数とします。つまり、行列のスペクトルは $f$ の正則領域内に含まれるものとします。をの周りの $f$ のべき級数展開とします。これは、簡単にするために、以下では0と仮定します。行列 $f$ $($ $A$ $)$ は次の形式的なべき級数により定義され、のユークリッドノルムに関して絶対収束します。言い換えると、 $f$ $($ $A$ $) は$ 、スペクトル半径が $0$ の周りの $f$ の収束半径よりも小さいすべての正方行列について絶対収束し、行列リー群位相でこの特性を満たすの任意のコンパクト部分集合上で一様収束します。 $A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )$ $C\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ $\Omega$ $\mathrm {spec} A\subset \Omega \subseteq \mathbb {C}$ $f(z)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}(z-z_{0})^{h}$ $z_{0}\in \Omega \setminus \operatorname {spec} A$ $f(A)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}A^{h}$ $\mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )$ $\mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )$

ジョルダン正規形は、行列の関数を無限級数を明示的に計算することなく計算することを可能にし、これはジョルダン行列の主要な成果の一つである。対角ブロック行列の $k$ 乗（）は、そのブロックがそれぞれのブロックの $k$ 乗である対角ブロック行列である、すなわち、および $A$ $k$ $=$ $C$ $-1$ $J$ $k$ $C$ であるという事実を用いると、上記の行列のべき級数は $k\in \mathbb {N} _{0}$ $\left(A_{1}\oplus A_{2}\oplus A_{3}\oplus \cdots \right)^{k}=A_{1}^{k}\oplus A_{2}^{k}\oplus A_{3}^{k}\oplus \cdots$

$f(A)=C^{-1}f(J)C=C^{-1}\left(\bigoplus _{k=1}^{N}f\left(J_{\lambda _{k},m_{k}}\right)\right)C$

ここで、最後の級数は、すべてのジョルダンブロックの冪級数を用いて明示的に計算する必要はありません。実際、ならば、ジョルダンブロックの任意の正則関数はの周りで有限の冪級数を持ちます。なぜならだからです。ここで、はの冪零部分であり、上対角成分に沿って 1 以外はすべて 0 です。したがって、これは次の上三角行列となります。 $\lambda \in \Omega$ $f(J_{\lambda ,n})=f(\lambda I+Z)$ $\lambda I$ $Z^{n}=0$ $Z$ $J$ $Z^{k}$ $k^{\text{th}}$ $f(J_{\lambda ,n})=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(\lambda )Z^{k}}{k!}}={\begin{bmatrix}f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&{\frac {f^{\prime \prime }(\lambda )}{2}}&\cdots &{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}&{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}&{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\0&0&f(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-4)}(\lambda )}{(n-4)!}}&{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )\\0&0&0&\cdots &0&f(\lambda )\\\end{bmatrix}}.$

この結果、ジョルダン正規形と基底変換行列が分かっている限り、行列の任意の関数の計算は容易です。例えば、を用いると、の逆関数は次のようになります。 $f(z)=1/z$ $J_{\lambda ,n}$ $J_{\lambda ,n}^{-1}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-Z)^{k}}{\lambda ^{k+1}}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}&\,\,\,\lambda ^{-3}&\cdots &-(-\lambda )^{1-n}&\,-(-\lambda )^{-n}\\0&\;\;\;\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}&\cdots &-(-\lambda )^{2-n}&-(-\lambda )^{1-n}\\0&0&\,\,\,\lambda ^{-1}&\cdots &-(-\lambda )^{3-n}&-(-\lambda )^{2-n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}\\0&0&0&\cdots &0&\lambda ^{-1}\\\end{bmatrix}}.$

また、 $spec f (A) = f (spec A)$ です。つまり、すべての固有値は固有値に対応しますが、一般に、代数的重複度、幾何的重複度、および指数は異なります。ただし、代数的重複度は次のように計算できます。 $\lambda \in \mathrm {spec} A$ $f(\lambda )\in \operatorname {spec} f(A)$ ${\text{mul}}_{f(A)}f(\lambda )=\sum _{\mu \in {\text{spec}}A\cap f^{-1}(f(\lambda ))}~{\text{mul}}_{A}\mu .$

ベクトル空間間の線型変換 $T$ の関数 $f (T)は$ 、正則関数解析に従って同様に定義することができ、バナッハ空間とリーマン面の理論が基本的な役割を果たす。有限次元空間の場合、両方の理論は完全に一致する。

動的システム

ここで、（複雑な）力学系が単純に次の式で定義されると仮定する。 ${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {z} }}(t)&=A(\mathbf {c} )\mathbf {z} (t),\\\mathbf {z} (0)&=\mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n},\end{aligned}}$

ここで、は力学系のリーマン面上の軌道の( $n次元) 曲線パラメータ化であり、$ $A$ $($ $c$ $)は$ $n$ $\times$ $n$ 複素行列で、その要素は $d$ 次元パラメータの複素関数です。 $\mathbf {z} :\mathbb {R} _{+}\to {\mathcal {R}}$ ${\mathcal {R}}$ $\mathbf {c} \in \mathbb {C} ^{d}$

たとえ（つまり、 $A が$ パラメータ $c$ に連続的に依存する）行列のジョルダン正規形はのほぼすべての場所で連続的に変形されますが、一般にすべての場所で変形されるわけではありません。の臨界部分多様体が存在し、その部分多様体上では、パラメータが交差するか、単にその周りを「移動する」たびに、ジョルダン形式の構造が突然変化します（モノドロミー）。このような変化は、複数のジョルダンブロック（異なる固有値に属しているかどうかに関係なく）が 1 つのジョルダンブロックに結合するか、その逆（つまり、1 つのジョルダンブロックが 2 つ以上の異なるジョルダンブロックに分割する）を意味します。連続および離散の両方の力学システムの分岐理論の多くの側面は、関数ジョルダン行列の解析によって解釈できます。 $A\in \mathbb {M} _{n}\left(\mathrm {C} ^{0}\left(\mathbb {C} ^{d}\right)\right)$ $\mathbb {C} ^{d}$ $\mathbb {C} ^{d}$

接空間ダイナミクスから見ると、これは、力学系の位相空間の直交分解が変化し、たとえば、異なる軌道が周期性を獲得したり、周期性を失ったり、あるいは、ある種の周期性から別の周期性（周期倍加など、ロジスティックマップを参照）に移行したりすることを意味します。

$ある文では、このような動的システムの質的挙動は、 A (c)$ のジョルダン標準形の変形によって大幅に変化する可能性がある。

線形常微分方程式

最も単純な動的システムの例は、定数係数の線型常微分方程式のシステムです。つまり、とです。その直接的な閉形式解は、行列指数の計算を伴います。 $A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )$ $\mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n}$ ${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {z} }}(t)&=A\mathbf {z} (t),\\\mathbf {z} (0)&=\mathbf {z} _{0},\end{aligned}}$ $\mathbf {z} (t)=e^{tA}\mathbf {z} _{0}.$

$もう一つの方法は、解がn$ 次元ベクトル場の局所ルベーグ空間に限定されている場合、そのラプラス変換を使うことである。この場合、 $\mathbf {z} \in \mathrm {L} _{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} _{+})^{n}$ $\mathbf {Z} (s)={\mathcal {L}}[\mathbf {z} ](s)$ $\mathbf {Z} (s)=\left(sI-A\right)^{-1}\mathbf {z} _{0}.$

行列関数 $(A - sI) -1$ は、微分作用素のレゾルベント行列と呼ばれる。これは複素パラメータに関して有理型である。なぜなら、その行列要素は、分母がすべての $det($ $A$ $-$ $sI$ $)に対して等しい$ 有理関数であるからである。その極特異点は $A$ の固有値であり、その位数は A の添字に等しい。すなわち、である。 ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}-A}$ $s\in \mathbb {C}$ $\mathrm {ord} _{(A-sI)^{-1}}\lambda =\mathrm {idx} _{A}\lambda$

参照

注記

^ Beauregard & Fraleigh (1973、pp. 310–316)
^ ゴラブとヴァン・ローン (1996, p. 317)
^ ネリング (1970、pp. 118–127)
^ Beauregard & Fraleigh (1973、pp. 270–274)
^ ゴラブとヴァン・ローン (1996, p. 316)
^ ネリング (1970、pp. 113–118)

参考文献

Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
ゴルブ、ジーン・H.; ヴァン・ローン、チャールズ・F. (1996)、『行列計算』（第3版）、ボルチモア：ジョンズ・ホプキンス大学出版局、ISBN 0-8018-5414-8
Nering, Evar D. (1970),線形代数と行列理論（第2版）、ニューヨーク：Wiley、LCCN 76091646

[1] Beauregard & Fraleigh (1973、pp. 310–316)

[2] ゴラブとヴァン・ローン (1996, p. 317)

[3] ネリング (1970、pp. 118–127)

[4] Beauregard & Fraleigh (1973、pp. 270–274)

[5] ゴラブとヴァン・ローン (1996, p. 316)

[6] ネリング (1970、pp. 113–118)