ジョーダン代数

抽象代数において、ジョルダン代数は、乗算が次の公理を満たす 体上の非結合代数（単位付き）です。

1. ${\displaystyle xy=yx}$（交換法則）
2. ${\displaystyle (xx)(xy)=x((xx)y)}$（ジョーダン・アイデンティティ）。

ジョルダン代数の2つの要素xとyの積は、特に関連する結合代数の積との混同を避けるために、x∘yとも表記されます。

これらの公理は^{[ 1 ]}、ジョルダン代数は冪結合的であることを示唆しており、これはつまり、この式の括弧の付け方に依存しないことを意味する。また、 ^{[ 1 ]}、すべての正の整数mとnに対して、となることも示唆している。したがって、ジョルダン代数を、任意の元に対して冪乗の演算がすべて可換となるような可換冪結合的代数として定義することも同義である。 ${\displaystyle x^{n}=x\cdots x}$ ${\displaystyle x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{n}}$

ジョルダン代数は、量子電磁力学における観測可能な代数の概念を形式化する試みとして、パスクアル・ジョルダン （1933年）によって導入された。この代数はこの文脈では有用ではないことがすぐに示されたが、その後数学において多くの応用が見出された。^{[ 2 ]}この代数は当初「r数系」と呼ばれていたが、一般ジョルダン代数の体系的な研究を始めたエイブラハム・エイドリアン・アルバート （1946年）によって「ジョルダン代数」と改名された。

特殊ジョルダン代数

まず、結合代数は、可換である場合にのみジョルダン代数となることに注意してください。

任意の結合代数A (特性2 ではない) が与えられた場合、同じ基礎となる加算と新しい乗算、つまり次のように定義されるジョルダン積を使用して、ジョルダン代数A ⁺を構築できます。

${\displaystyle x\circ y={\frac {xy+yx}{2}}.}$

これらのジョルダン代数とその部分代数は特殊ジョルダン代数と呼ばれ、それ以外のすべての代数は例外ジョルダン代数と呼ばれる。この構成は、Aに付随するリー代数に類似しており、その積（リー括弧）は交換子によって定義される。 ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$

シルショフ・コーンの定理は、2つの生成元を持つ任意のジョルダン代数は特殊であることを述べている。^{[ 3 ]}これに関連して、マクドナルドの定理は、3変数の多項式で、いずれかの変数が1次であり、すべての特殊ジョルダン代数で消滅するものは、すべてのジョルダン代数でも消滅することを述べている。^{[ 4 ]}

エルミート・ジョルダン代数

( A , σ ) が反転σを持つ結合代数である場合、σ ( x ) = xおよびσ ( y ) = yであるとき、次の式が成り立ちます。したがって、反転によって固定されるすべての要素 (エルミート要素と呼ばれることもある) の集合はA ⁺の部分代数を形成し、これは H( A , σ ) と表記されることもある。 ${\textstyle \sigma (xy+yx)=xy+yx.}$

例

1.乗算を伴う 自己随伴実数、複素数、または四元数行列の集合

${\displaystyle (xy+yx)/2}$

特別なジョルダン代数を形成します。

2.八元数上の3×3自己随伴行列の集合 （これも乗算を含む）

${\displaystyle (xy+yx)/2,}$

は27次元の例外ジョルダン代数である（八元数が結合法則を満たさないため例外的である）。これはアルバート代数の最初の例である。その自己同型群は例外リー群F ₄である。複素数上において、これは同型を除いて唯一の単純な例外ジョルダン代数であるため、^{[ 5 ]}しばしば「例外ジョルダン代数」と呼ばれる。実数上において、単純な例外ジョルダン代数の同型類は3つ存在する。^{[ 5 ]}

導出と構造代数

ジョルダン代数Aの微分は、 D ( xy ) = D ( x ) y + xD ( y )を満たすAの自己準同型Dである。この微分はリー代数der ( A ) を形成する。ジョルダン恒等式は、xとy がAの元であるとき、 z をx ( yz ) − y ( xz )に写す自己準同型が微分であることを意味する。したがって、 Aとder ( A )の直和はリー代数にすることができ、これはAの構造代数str ( A ) と呼ばれる。

簡単な例として、エルミート・ジョルダン代数 H( A , σ ) が挙げられます。この場合、Aの任意の元xにおいてσ ( x )=− x が微分を定義します。多くの重要な例において、 H( A , σ )の構造代数はAです。

微分代数と構造代数は、ティッツによるフロイデンタールの魔方陣の構築の一部でもあります。

形式的に実なジョルダン代数

実数上の（おそらく非結合的な）代数は、n個の平方の和がそれぞれ個別に消滅する場合に限り消滅するという性質を満たすとき、形式的に実数であるという。1932年、ジョーダンは量子論の公理化を試みた。それは、任意の量子系の観測可能な代数は、可換（xy = yx）かつべき結合的（結合法則はxのみの積に対して成立し、したがって任意の元xのべき乗は明確に定義される）な形式的に実数代数でなければならないという主張である。彼は、そのような代数はいずれもジョーダン代数であることを証明した。

すべてのジョルダン代数が形式的に実であるわけではないが、ジョルダン、フォン・ノイマン、ウィグナー (1934)は有限次元の形式的に実なジョルダン代数（ユークリッド・ジョルダン代数とも呼ばれる）を分類した。すべての形式的に実なジョルダン代数は、いわゆる単純なジョルダン代数の直和として表すことができるが、これらの単純なジョルダン代数自体は非自明な方法で直和となるわけではない。有限次元において、単純な形式的に実なジョルダン代数は、4つの無限族と、1つの例外的な場合に分類される。

• 上記のn × n自己随伴実数行列のジョルダン代数。
• 上記のn × n自己随伴複素行列のジョルダン代数。
• n × n自己随伴四元数行列のジョルダン代数。上記の通り。
• R ⁿ によって 自由に生成されるジョルダン代数は、

  ${\displaystyle x^{2}=\langle x,x\rangle }$

ここで、右辺はR ⁿ上の通常の内積を用いて定義されます。これはスピン因子、あるいはクリフォード型のジョルダン代数と呼ばれることもあります。

• 上記の 3×3 自己随伴八元数行列のジョルダン代数 (アルバート代数と呼ばれる例外的なジョルダン代数)。

これらの可能性のうち、自然界はn × n複素行列のみを観測量の代数として利用しているように思われる。しかし、スピン因子は特殊相対論において役割を果たしており、形式的に実なジョルダン代数はすべて射影幾何学と関連している。

ピアース分解

eがジョルダン代数A ( e ²  =  e ) の冪等元であり、R がeによる乗算の演算である場合、

• R (2 R  − 1)( R  − 1) = 0

したがって、 Rの固有値は0, 1/2, 1 のみである。ジョルダン代数A が特性 2 でない体上の有限次元である場合、これはそれが3 つの固有空間の部分空間A  =  A ₀ ( e ) ⊕  A _1/2 ( e ) ⊕  A ₁ ( e ) の直和であることを意味する。この分解は、全実ジョルダン代数に対して、ジョルダン、フォン・ノイマン、ウィグナー (1934)によって初めて考察された。これは後にアルバート (1947)によって完全に一般化され、べき等な eに対するAのパース分解 と呼ばれた。^{[ 6 ]}

特殊な種類と一般化

無限次元ジョルダン代数

1979年、エフィム・ゼルマノフは無限次元単純（かつ素数非退化）ジョルダン代数を分類した。これらはエルミート型またはクリフォード型のいずれかである。特に、例外的な単純ジョルダン代数は有限次元アルバート代数であり、これは27次元である。

ジョルダン作用素代数

作用素環の理論は、ジョルダン作用素環をカバーするように拡張されました。

C*-代数の対応物はJB代数であり、有限次元ではユークリッド・ジョルダン代数と呼ばれる。実ジョルダン代数のノルムは完備で、以下の公理を満たす必要がある。

${\displaystyle \displaystyle {\|a\circ b\|\leq \|a\|\cdot \|b\|,\,\,\,\|a^{2}\|=\|a\|^{2},\,\,\,\|a^{2}\|\leq \|a^{2}+b^{2}\|.}}$

これらの公理は、ジョルダン代数が形式的に実数であることを保証する。つまり、項の平方和がゼロであれば、それらの項もゼロでなければならない。JB代数の複素化は、ジョルダンC*-代数またはJB*-代数と呼ばれる。これらは複素幾何学において、ケーヒャーの有界対称領域のジョルダン代数的扱いを無限次元に拡張するために広く用いられてきた。すべてのJB代数が、有限次元の場合と全く同じように、ヒルベルト空間上の自己随伴作用素のジョルダン代数として実現できるわけではない。例外的なアルバート代数は、共通の障害である。

フォン・ノイマン代数のジョルダン代数の類似物は、JBW代数によって演じられる。これらはJB代数となり、バナッハ空間としてバナッハ空間の双対空間となる。フォン・ノイマン代数の構造理論の多くは、JBW代数に持ち込むことができる。特に、中心がRに縮約されたJBW因子は、フォン・ノイマン代数によって完全に理解される。例外的なアルバート代数を除けば、すべてのJWB因子は、弱作用素位相で閉じたヒルベルト空間上の自己随伴作用素のジョルダン代数として実現できる。これらのうち、スピン因子は実ヒルベルト空間から非常に簡単に構成できる。その他のすべてのJWB因子は、フォン・ノイマン因子の自己随伴部分か、フォン・ノイマン因子の周期2*-反自己同型の下でのその不動点部分代数のいずれかである。^{[ 7 ]}

ジョーダンリング

ジョルダン環はジョルダン代数の一般化であり、ジョルダン環が体ではなく一般環上に存在することのみを要求する。あるいは、ジョルダン環を、ジョルダン恒等式を遵守する 可換非結合環として定義することもできる。

ジョーダン超代数

ジョルダン超代数はカッツ、カンター、カプランスキーによって導入された。これらは-次数代数であり、 はジョルダン代数であり、に値を持つ「リーのような」積を持つ。^{[ 8 ]} ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle J_{0}\oplus J_{1}}$ ${\displaystyle J_{0}}$ ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle J_{0}}$

任意の次数結合代数は次数ジョルダン括弧に関してジョルダン超代数になる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle A_{0}\oplus A_{1}}$

${\displaystyle \{x_{i},y_{j}\}=x_{i}y_{j}+(-1)^{ij}y_{j}x_{i}\ .}$

標数0の代数閉体上のジョルダン単純超代数は、Kac (1977)によって分類されました。これらにはいくつかの族と、特にやといった例外的な代数が含まれます。 ${\displaystyle K_{3}}$ ${\displaystyle K_{10}}$

J構造

J構造の概念は、線型代数群と公理を用いて、ジョルダン逆元を基本演算とし、華恒等式を基本関係とするジョルダン代数の理論を展開するために、シュプリンガー（1998）によって導入された。標数が2でない場合には、J構造の理論はジョルダン代数の理論と本質的に同じである。

二次ジョルダン代数

二次ジョルダン代数は、ケビン・マクリモン ( 1966 )によって導入された（線型）ジョルダン代数の一般化である。線型ジョルダン代数の二次表現の基本恒等式は、任意の標数の体上の二次ジョルダン代数を定義する公理として用いられる。有限次元単純二次ジョルダン代数は、標数に依存せず、統一的に記述できる。すなわち、標数が2でない場合には、二次ジョルダン代数の理論は線型ジョルダン代数の理論に帰着する。

参照

• フロイデンタール代数
• ジョーダントリプルシステム
• ジョーダンペア
• カンター・ケッヒャー・ティッツ構成
• スコルツァ種

注記

1. Jacobson 1968、pp. 35-36、特に（56）と定理8の前の注釈
2. Dahn, Ryan (2023-01-01). 「ナチス、亡命者、そして抽象数学」 . Physics Today . 76 (1): 44– 50. Bibcode : 2023PhT....76a..44D . doi : 10.1063/PT.3.5158 .
3. マッククリモン 2004、100ページ
4. マッククリモン 2004、99ページ
5. Springer & Veldkamp 2000、§5.8、p. 153
6. McCrimmon 2004、pp. 99以降、235以降
7. 参照:
   • ハンチェ・オルセン＆シュテルマー 1984
   • アップマイヤー 1985
   • アップマイヤー 1987
   • ファラウト＆コラニ 1994
8. マッククリモン 2004、9～10ページ

参考文献

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• Upmeier, H. (1987)、「解析学、作用素論、量子力学におけるジョーダン代数」、CBMS数学地域会議シリーズ、第67巻、アメリカ数学会、ISBN 082180717X

さらに読む

• Knus, Max-Albert ; Merkurjev, Alexander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998) 『The Book of Involutions』、Colloquium Publications、第44巻、J. Titsによる序文付き、プロビデンス、RI：アメリカ数学会、ISBN 0-8218-0904-0、Zbl  0955.16001

外部リンク

• PlanetMathのジョーダン代数
• PlanetMathにおけるジョーダン・バナッハ代数とジョーダン・リー代数

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