ハーン分解定理

数学において、オーストリアの数学者ハンス・ハーンにちなんで名付けられたハーンの分解定理は、 -代数 上で定義された任意の測定可能空間と任意の符号付き測度に対して、次の条件を満たす 2 つの-測定可能集合およびが存在することを述べています。 ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle P\cup N=X}$そして 。 ${\displaystyle P\cap N=\varnothing }$
2. となる任意の に対して、すなわち はの正集合である。 ${\displaystyle E\in \Sigma }$ ${\displaystyle E\subseteq P}$ ${\displaystyle \mu (E)\geq 0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mu }$
3. となる任意の に対して、すなわち はの負の集合である。 ${\displaystyle E\in \Sigma }$ ${\displaystyle E\subseteq N}$ ${\displaystyle \mu (E)\leq 0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mu }$

さらに、この分解は本質的に一意であり、つまり、上記の3つの条件を満たすの任意の - 可測部分集合のペアに対して、対称差と は、それらのすべての - 可測部分集合が測度ゼロを持つという強い意味で-零集合となる。したがって、このペアは符号付き測度 のハーン分解と呼ばれる。 ${\displaystyle (P',N')}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P\triangle P'}$ ${\displaystyle N\triangle N'}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle (P,N)}$ ${\displaystyle \mu }$

ジョルダン測度分解

ハーンの分解定理の帰結は、ジョルダン分解定理は、上で定義されたすべての符号付き測度は少なくとも一方が有限である2つの正の測度と の一意の分解を持ちのすべての-可測部分集合 および すべての -可測部分集合に対して、のハーン分解に対して述べています。をそれぞれの正のと負の部分。このペアはジョルダン分解（またはハーン・ジョルダン分解呼ばれる）。2つの測度は次のように定義できます。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}}$ ${\displaystyle \mu ^{+}}$ ${\displaystyle \mu ^{-}}$ ${\displaystyle {\mu ^{+}}(E)=0}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle E\subseteq N}$ ${\displaystyle {\mu ^{-}}(E)=0}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle E\subseteq P}$ ${\displaystyle (P,N)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu ^{+}}$ ${\displaystyle \mu ^{-}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (\mu ^{+},\mu ^{-})}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\mu ^{+}}(E):=\mu (E\cap P)\qquad {\text{and}}\qquad {\mu ^{-}}(E):=-\mu (E\cap N)}$

のあらゆるハーン分解に対して。 ${\displaystyle E\in \Sigma }$ ${\displaystyle (P,N)}$ ${\displaystyle \mu }$

ジョルダン分解は一意ですが、ハーン分解は本質的に一意であるだけであることに注意してください。

ジョルダン分解には次の系がある。有限符号測度のジョルダン分解が与えられたとき、 ${\displaystyle (\mu ^{+},\mu ^{-})}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\mu ^{+}}(E)=\sup _{B\in \Sigma ,~B\subseteq E}\mu (B)\quad {\text{and}}\quad {\mu ^{-}}(E)=-\inf _{B\in \Sigma ,~B\subseteq E}\mu (B)}$

の任意の に対して が成り立つ。さらに、上の有限非負測度のペアに対して が成り立つ場合、 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mu =\nu ^{+}-\nu ^{-}}$ ${\displaystyle (\nu ^{+},\nu ^{-})}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \nu ^{+}\geq \mu ^{+}\quad {\text{and}}\quad \nu ^{-}\geq \mu ^{-}.}$

最後の式は、ジョルダン分解がを非負測度の差に最小分解することを意味します。これがジョルダン分解の 最小性です。 ${\displaystyle \mu }$

ジョルダン分解の証明:ジョルダン測度分解の存在、一意性、最小性の基本的な証明については、Fischer (2012)を参照してください。

ハーン分解定理の証明

準備：は を取らないと仮定します（そうでない場合は に従って分解します）。前述のように、負集合とは、任意の-測定可能な部分集合に対してとなる集合です。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\mu }$ ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ${\displaystyle \mu (B)\leq 0}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle B\subseteq A}$

主張:が を満たすと仮定する。すると、となる負の集合が存在する。 ${\displaystyle D\in \Sigma }$ ${\displaystyle \mu (D)\leq 0}$ ${\displaystyle A\subseteq D}$ ${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (D)}$

主張の証明：を定義する。が構築されていると帰納的に仮定する。 ${\displaystyle A_{0}:=D}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle A_{n}\subseteq D}$

${\displaystyle t_{n}:=\sup(\{\mu (B)\mid B\in \Sigma ~{\text{and}}~B\subseteq A_{n}\})}$

は のすべての-可測部分集合上のの上限を表す。この上限は、先験的に無限大となる可能性がある。の定義において空集合はの候補となり得るので、また であるので、 が成り立つ。 の定義により、 を満たす -可測部分集合が存在する。 ${\displaystyle \mu (B)}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ ${\displaystyle t_{n}\geq 0}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle B_{n}\subseteq A_{n}}$

${\displaystyle \mu (B_{n})\geq \min \!\left(1,{\frac {t_{n}}{2}}\right).}$

誘導ステップを終了する。最後に定義 する ${\displaystyle A_{n+1}:=A_{n}\setminus B_{n}}$

${\displaystyle A:=D{\Bigg \backslash }\bigcup _{n=0}^{\infty }B_{n}.}$

集合はの互いに素な部分集合なので、符号付き測度のシグマ加法性から次の式が成り立つ。 ${\displaystyle (B_{n})_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu (D)=\mu (A)+\sum _{n=0}^{\infty }\mu (B_{n})\geq \mu (A)+\sum _{n=0}^{\infty }\min \!\left(1,{\frac {t_{n}}{2}}\right)\geq \mu (A).}$

これは であることを示しています。 が負の集合ではないと仮定します。これは、を満たす-測定可能な部分集合が存在することを意味します。すると、任意のに対して、 となるので、右側の級数はに発散するはずであり、 となるはずですが、 であるため、これは矛盾です。したがって、は負の集合でなければなりません。 ${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (D)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle \mu (B)>0}$ ${\displaystyle t_{n}\geq \mu (B)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \mu (D)=+\infty }$ ${\displaystyle \mu (D)\leq 0}$ ${\displaystyle A}$

分解の構築：を設定する。 が与えられた場合、帰納的に定義する。 ${\displaystyle N_{0}=\varnothing }$ ${\displaystyle N_{n}}$

${\displaystyle s_{n}:=\inf(\{\mu (D)\mid D\in \Sigma ~{\text{and}}~D\subseteq X\setminus N_{n}\}).}$

の- 測定可能な部分集合全体にわたるの最小値として定義される。この最小値は、先験的には となる可能性がある。の定義においては の候補となり得るため、のとき となる。したがって、となる - 測定可能な部分集合が存在する。 ${\displaystyle \mu (D)}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X\setminus N_{n}}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle s_{n}}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ ${\displaystyle s_{n}\leq 0}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle D_{n}\subseteq X\setminus N_{n}}$

${\displaystyle \mu (D_{n})\leq \max \!\left({\frac {s_{n}}{2}},-1\right)\leq 0.}$

上の主張によれば、となる負の集合が存在する。 と設定して帰納法のステップを終了する。最後に、 を定義する。 ${\displaystyle A_{n}\subseteq D_{n}}$ ${\displaystyle \mu (A_{n})\leq \mu (D_{n})}$ ${\displaystyle N_{n+1}:=N_{n}\cup A_{n}}$

${\displaystyle N:=\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}.}$

集合は互いに素なので、すべての-測定可能な部分集合に対して、 ${\displaystyle (A_{n})_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle B\subseteq N}$

${\displaystyle \mu (B)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (B\cap A_{n})}$

のシグマ加法性によって定義される。特に、これはが負の集合であることを示す。次に を定義する。もし が正の集合でなければ、を満たす -測定可能な部分集合が存在する。すると、すべての とに対して ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle P:=X\setminus N}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle D\subseteq P}$ ${\displaystyle \mu (D)<0}$ ${\displaystyle s_{n}\leq \mu (D)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$

${\displaystyle \mu (N)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (A_{n})\leq \sum _{n=0}^{\infty }\max \!\left({\frac {s_{n}}{2}},-1\right)=-\infty ,}$

これは には許されません。したがって、は正の集合です。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle P}$

一意性の証明：がの別のハーン分解である とする。すると は 正集合であり、負集合でもある。したがって、 の任意の可測部分集合は測度が0である。 についても同様である。 ${\displaystyle (N',P')}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P\cap N'}$ ${\displaystyle N\cap P'}$

${\displaystyle P\triangle P'=N\triangle N'=(P\cap N')\cup (N\cap P'),}$

これで証明は完了です。QED

参考文献

• ビリングスリー、パトリック（1995年）『確率と測度 第3版』ワイリー確率・数理統計シリーズ、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 0-471-00710-2。
• フィッシャー、トム (2012). 「ジョルダン測度分解の存在、一意性、および極小性」. arXiv : 1206.5449 [ math.ST ].

外部リンク

• PlanetMathにおけるハーン分解定理。
• 「ハーン分解」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• 「ジョルダン分解（符号付き測度の）」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]

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