K凸関数

K凸関数は、スカーフ[ ^{1 ]}によって初めて導入され、^凸関数の概念を特別に弱めたもので、在庫管理理論における政策の最適性の証明において極めて重要です。この政策は2つの数値sとSによって特徴付けられ、在庫レベルがレベルsを下回った場合、在庫をレベルSまで上げる数量の発注が発行され、それ以外の場合には何も発注されません。ガレゴとセティ^{[ 2 ]}は、 K凸性の概念を高次元ユークリッド空間に一般化しました。 ${\displaystyle (s,S)}$ ${\displaystyle S\geq s}$

意味

同等の 2 つの定義は次のとおりです。

定義1（元の定義）

Kを非負の実数とする。関数がK凸関数 であるとは、 ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle g(u)+z\left[{\frac {g(u)-g(u-b)}{b}}\right]\leq g(u+z)+K}$

任意のおよびについて。 ${\displaystyle u,z\geq 0,}$ ${\displaystyle b>0}$

定義2（幾何学的解釈を伴う定義）

関数がK凸関数 であるとは、 ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle g(\lambda x+{\bar {\lambda }}y)\leq \lambda g(x)+{\bar {\lambda }}[g(y)+K]}$

すべての に対して、 となります。 ${\displaystyle x\leq y,\lambda \in [0,1]}$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}=1-\lambda }$

この定義は、可視性の概念に関連する単純な幾何学的解釈を可能にする。^{[ 3 ]}とする。ある点がから可視であるとは、その2点を結ぶ線分の下にあるすべての中間点が、その2点から見えるということを意味する。このとき、 K凸性の幾何学的特徴付けは次のように得られる。 ${\displaystyle a\geq 0}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle (y,f(y)+a)}$ ${\displaystyle (\lambda x+{\bar {\lambda }}y,f(\lambda x+{\bar {\lambda }}y)),0\leq \lambda \leq 1}$

関数がK凸である場合、かつ がすべての に対してから可視である場合に限ります。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (x,g(x))}$ ${\displaystyle (y,g(y)+K)}$ ${\displaystyle y\geq x}$

同等性の証明

上記の定義が互いに変換可能であることを証明すれば十分である。これは、変換を用いて確認できる。

${\displaystyle \lambda =z/(b+z),\quad x=u-b,\quad y=u+z.}$

プロパティ

^{[ 4 ]}

物件1

がK凸ならば、任意の に対してL凸です。特に、 が凸ならば、任意の に対してK凸でもあります。 ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L\geq K}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K\geq 0}$

物件2

がK凸でがL凸の場合、 は凸です。 ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle \alpha \geq 0,\beta \geq 0,\;g=\alpha g_{1}+\beta g_{2}}$ ${\displaystyle (\alpha K+\beta L)}$

物件3

がK凸で、 がすべての に対してとなるランダム変数である場合、もK凸です。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle E|g(x-\xi )|<\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Eg(x-\xi )}$

物件4

がK凸である場合、任意の凸集合上のの制限はK凸です。 ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {D} \subset \mathbb {R} }$

物件5

が連続K凸関数であり、であるとき、および が 存在する。 ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(y)\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle |y|\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\leq S}$

• ${\displaystyle g(S)\leq g(y)}$、すべての; ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle g(S)+K=g(s)<g(y)}$、すべての; ${\displaystyle y<s}$
• ${\displaystyle g(y)}$は 上の減少関数である。 ${\displaystyle (-\infty ,s)}$
• ${\displaystyle g(y)\leq g(z)+K}$すべての人に。 ${\displaystyle y,z}$ ${\displaystyle s\leq y\leq z}$

参考文献

1. Scarf, H. (1960).動的在庫問題における(S, s)政策の最適性. スタンフォード大学出版局, カリフォルニア州. 第13章.
2. Gallego, G. および Sethi, SP (2005).ℜ ^{nにおける}K凸性.最適化理論・応用ジャーナル, 127(1):71-88.
3. Kolmogorov, AN; Fomin, SV (1970). 『実解析入門』 ニューヨーク: Dover Publications Inc.
4. Sethi SP, Cheng F. マルコフ需要を伴う在庫モデルにおける(s, S)政策の最適性。INFORMS、1997年。

さらに読む

• Gallego, G.; Sethi, SP (2005). 「-凸性」 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}^{n}}$(PDF) .最適化理論と応用ジャーナル. 127 (1): 71– 88. doi : 10.1007/s10957-005-6393-4 . MR  2174750 .

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