デデキントゼータ関数

代数体に対するリーマンゼータ関数の一般化

数学において、代数体Kのデデキントゼータ関数（一般に ζ _K ( s ) と表記される）は、リーマンゼータ関数（ Kが有理数体 Q の場合に得られる）の一般化である。これはディリクレ級数として定義でき、オイラー積展開を持ち、関数方程式を満たし、 s = 1に単極のみを持つ複素平面C上の有理型関数に解析接続し、その値はK の算術データをエンコードする。拡張リーマン予想によれば、ζ _K ( s ) = 0 かつ 0 < Re( s ) < 1 であれば、 Re( s ) = 1/2 となる。

デデキントのゼータ関数は、ピーター グスタフ ルジューヌ ディリクレの『Vorlesungen uber Zahlentheorie』の補足でそれを紹介したリチャード デデキントにちなんで命名されました。^[1]

定義と基本的な性質

Kを代数体とする。そのデデキントゼータ関数は、実部Re( s ) > 1の複素数 sに対してディリクレ級数によって初めて定義される。

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{(N_{K/\mathbf {Q} }(I))^{s}}}}$

ここで、IはKの整数環O K_の非零イデアルを通り、N _{K / Q} ( I )はIの絶対ノルムを表します（これはO _KにおけるIの添え字[ O _K  :  I ] 、または商環O _K  /  Iの濃度に等しい）。この和は、実部Re( s ) > 1を持つすべての複素数sに対して絶対収束します。K  =  Qの場合、この定義はリーマンゼータ関数の定義に帰着します。

オイラー積

のデデキントゼータ関数は、の非零素イデアル全体の積であるオイラー積を持つ。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\prod _{{\mathfrak {p}}\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-N_{K/\mathbf {Q} }({\mathfrak {p}})^{-s}}},{\text{ for Re}}(s)>1.}$

これは、におけるイデアルの素因数分解の一意性を解析的に表現したものです。はゼロ以外の場合です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1,\ \zeta _{K}(s)}$

解析接続と関数方程式

エーリッヒ・ヘッケは、 ζ _K ( s ) が、 s  = 1の 1 つの単純極を除く複素平面のすべての点で解析的である有理型関数への解析接続を持つことを初めて証明しました。その極での留数は解析類数公式によって与えられ、 Kの単位群と類群の不変量を含む重要な算術データで構成されます。

デデキントゼータ関数は、sと 1 −  sにおける値とを関連付ける関数方程式を満たす。具体的には、 Δ _KをKの判別式、r 1 （またはr ₂）を_Kの実数位数（または複素数位数）とし、

${\displaystyle \Gamma _{\mathbf {R} }(s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)}$

そして

${\displaystyle \Gamma _{\mathbf {C} }(s)=(2\pi )^{-s}\Gamma (s)}$

ここでΓ( s )はガンマ関数である。すると、関数

${\displaystyle \Lambda _{K}(s)=\left|\Delta _{K}\right|^{s/2}\Gamma _{\mathbf {R} }(s)^{r_{1}}\Gamma _{\mathbf {C} }(s)^{r_{2}}\zeta _{K}(s)\qquad \Xi _{K}(s)={\tfrac {1}{2}}(s^{2}+{\tfrac {1}{4}})\Lambda _{K}({\tfrac {1}{2}}+is)}$

関数方程式を満たす

${\displaystyle \Lambda _{K}(s)=\Lambda _{K}(1-s).\qquad \Xi _{K}(-s)=\Xi _{K}(s)\;}$

特別な値

リーマンゼータ関数と同様に、デデキントゼータ関数の整数における値は、（少なくとも推測上は）体Kの重要な算術データを符号化する。例えば、解析類数公式は、s  = 1における留数を、 Kの類数 h ( K ) 、Kの調節因子R ( K ) 、 Kにおける 1 の根の数w ( K )、 Kの絶対判別式、そしてKの実数および複素数の位数に関連付ける。別の例として、s  = 0 における零点があり、その位数rはO _Kの単位群の階数に等しく、主項は次のように与えられる 。

${\displaystyle \lim _{s\rightarrow 0}s^{-r}\zeta _{K}(s)=-{\frac {h(K)R(K)}{w(K)}}.}$

関数方程式から、 という結果が得られます。この関数方程式と、 Γ( s ) が 0 以下のすべての整数で無限大であるという事実を組み合わせると、ζ _K ( s ) がすべての負の偶数でゼロになることがわかります。 K が完全な実数(つまりr ₂  = 0、たとえばQまたは実数二次体)でない限り、すべての負の奇数でもゼロになります。完全な実数の場合、Carl Ludwig Siegel は、 ζ _K ( s ) が負の奇数で非ゼロの有理数であることを示しました。Stephen Lichtenbaum は、Kの代数 K 理論に基づいて、これらの有理数の特定の値を推測しました。 ${\displaystyle r=r_{1}+r_{2}-1}$

他者との関係L-関数

KがQのアーベル拡大である場合、そのデデキントゼータ関数はディリクレL関数の積として表すことができます。例えば、Kが2次体の場合、比

${\displaystyle {\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbf {Q} }(s)}}}$

はL関数L ( s , χ )であり、χはディリクレ指標として用いられるヤコビ記号である。二次体のゼータ関数がリーマンゼータ関数と特定のディリクレL関数の積であることは、ガウスの二次の相互法則の解析的定式化である。

一般に、K がガロア群Gを持つQのガロア拡大である場合、そのデデキントゼータ関数はGの正規表現のArtin L関数であり、したがってGの既約Artin 表現の Artin L関数によって因数分解されます。

アルティンL関数との関係は、L / Kがガロア拡大の場合、正則（「割り切る」）であることを示しています。一般的な拡大の場合、結果はL関数のアルティン予想から得られます。^[2] ${\displaystyle {\frac {\zeta _{L}(s)}{\zeta _{K}(s)}}}$ ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$ ${\displaystyle \zeta _{L}(s)}$

さらに、ζ _K ( s ) はSpec O _Kのハッセ・ヴェイユゼータ関数^[3]であり、Spec Kのコホモロジーから生じるモチーフのモチーフL関数である^[4]。

算術的に同値な体

二つの体は、それらが同じデデキントゼータ関数を持つ場合、算術的に同値であると呼ばれます。Wieb BosmaとBart de Smit (2002)は、ガスマン三体を用いて、算術的に同値である非同型体のペアの例をいくつか示しました。特に、これらのペアの中には異なる類数を持つものもあり、そのため、数体のデデキントゼータ関数はその類数を決定しません。

Perlis (1977) は、有限個を除くすべての素数pが 2 つの体で同じ慣性次数を持つ場合のみ、2 つの数体 KとL が算術的に同値であることを示しました。つまり、 p上にあるKの素イデアルの場合、ほとんどすべてのpに対して、 KとLの組が同じである必要があります。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle (\dim _{\mathbf {Z} /p}{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}_{i})}$

注記

1. ナルキエヴィッチ 2004, §7.4.1
2. マルティネット（1977）p.19
3. デニンガー 1994, §1
4. フラッハ 2004、§1.1

参考文献

• Bosma, Wieb; de Smit, Bart (2002)「On arithmetically equivalent number fields of small degree」、Kohel, David R.; Fieker, Claus (eds.), Algorithmic number theory (Sydney, 2002)、Lecture Notes in Comput. Sci., vol. 2369, Berlin, New York: Springer-Verlag、pp.  67– 79, doi :10.1007/3-540-45455-1_6, ISBN 978-3-540-43863-2、MR  2041074
• Cohen, Henri (2007) 『数論 第2巻：解析的および現代的なツール』第10.5.1節、 Graduate Texts in Mathematics、第240巻、ニューヨーク：Springer、doi :10.1007/978-0-387-49894-2、ISBN 978-0-387-49893-5、MR  2312338
• デニンガー、クリストファー (1994)、「混合動機のL関数」、ヤンセン、ウーヴェにて。クレイマン、スティーブン。Serre、Jean-Pierre (編)、Motives、Part 1、Proceedings of Symposia in Pure Mathematics、vol. 55、アメリカ数学協会、 517–525ページ 、ISBN 978-0-8218-1635-6
• Flach, Mathias (2004)、「同変玉川数予想：概観」、Burns, David、Popescu, Christian、Sands, Jonathan、他編『Starkの予想：最近の研究と新たな方向性』（PDF）、Contemporary Mathematics、第358巻、アメリカ数学会、pp.  79– 125、ISBN 978-0-8218-3480-0
• Martinet, J. (1977)、「Character theory and Artin L-functions」、Fröhlich, A. (ed.)、Algebraic Number Fields、Proc. Symp. London Math. Soc.、Univ. Durham 1975、Academic Press、pp.  1– 87、ISBN 0-12-268960-7、Zbl  0359.12015
• Narkiewicz, Władysław (2004),代数的数の基本理論と解析理論、Springer Monographs in Mathematics (第3版)、ベルリン：Springer-Verlag、第7章、ISBN 978-3-540-21902-6、MR  2078267
• パーリス、ロバート（1977）「方程式について」、数論ジャーナル、9（3）：342-360、doi：10.1016/0022-314X（77）90070-1 ${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\zeta _{K'}(s)}$

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