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数学 において 、 K理論とは、大まかに言えば、 位相空間 または位相 スキーム 上の ベクトル束 によって生成される 環 の研究である 。 代数位相幾何学においては、 位相K理論 として知られる コホモロジー理論 である 。 代数学 および 代数幾何学においては、 代数K理論 と呼ばれる。また、 作用素環 の分野における基本的なツールでもある。これは、 大規模 行列のある種の 不変量 に関する研究とみなすことができる 。 [1]
K理論は、 位相空間または位相スキーム、またはより一般的には、ホモトピーカテゴリの任意のオブジェクトを関連付けられた環に マッピングする K 関数の族の構築を伴います。これらの環は、元の空間またはスキームの構造のいくつかの側面を反映します。代数的位相幾何学における 群 への関数と同様に、この関数マッピングの理由は、マッピングされた環からの方が、元の空間またはスキームからよりも位相特性を計算するのが容易であるためです。K理論アプローチから得られる結果の例には、 グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理 、 ボット周期性 、 アティヤ・シンガーの指数定理 、 アダムス演算などがあります 。
高エネルギー物理学 において 、K理論、特に ツイストK理論は II型弦理論 に登場し、 Dブレーン 、 ラモンド・ラモン場の強度 、そして 一般化複素多様体 上の特定の スピノル を分類すると推測されている 。 凝縮系物理学において、K理論は トポロジカル絶縁体 、 超伝導体 、安定 フェルミ面の 分類に用いられている 。詳細については、 K理論（物理学） を参照のこと。
グロタンディーク完成 アーベルモノイド からアーベル群へのグロタンディーク完備化は、 K理論を定義する上で必須の要素である。なぜなら、すべての定義は、適切な圏からアーベルモノイドを構築し、この普遍構成を通してそれをアーベル群に変換することから始まるからである。アーベルモノイドが 与え られ 、 ( A , + ′ ) {\displaystyle (A,+')} ∼ {\displaystyle \sim } A 2 = A × A {\displaystyle A^{2}=A\times A}
( a 1 , a 2 ) ∼ ( b 1 , b 2 ) {\displaystyle (a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2})} が存在する場合 、その集合は次の ような 群 の構造を持ちます 。 c ∈ A {\displaystyle c\in A} a 1 + ′ b 2 + ′ c = a 2 + ′ b 1 + ′ c . {\displaystyle a_{1}+'b_{2}+'c=a_{2}+'b_{1}+'c.} G ( A ) = A 2 / ∼ {\displaystyle G(A)=A^{2}/\sim } ( G ( A ) , + ) {\displaystyle (G(A),+)}
[ ( a 1 , a 2 ) ] + [ ( b 1 , b 2 ) ] = [ ( a 1 + ′ b 1 , a 2 + ′ b 2 ) ] . {\displaystyle [(a_{1},a_{2})]+[(b_{1},b_{2})]=[(a_{1}+'b_{1},a_{2}+'b_{2})].} この群の同値類は、アーベルモノイドの元の形式的な差異として考えるべきである。この群はまた、 によって与えられる モノイド準同型と関連しており、これは 特定の普遍性 を持つ 。 ( G ( A ) , + ) {\displaystyle (G(A),+)} i : A → G ( A ) {\displaystyle i:A\to G(A)} a ↦ [ ( a , 0 ) ] , {\displaystyle a\mapsto [(a,0)],}
この群をより深く理解するために、 アーベルモノイドの 同値類 を考えてみましょう。ここで、 の単位元を で表すと、 は の単位元になります。 まず 、任意の に対して となる ので 、 を 設定し 、同値関係から の式を適用して を得ることができます 。これは次を意味します。 ( A , + ) {\displaystyle (A,+)} A {\displaystyle A} 0 {\displaystyle 0} [ ( 0 , 0 ) ] {\displaystyle [(0,0)]} ( G ( A ) , + ) . {\displaystyle (G(A),+).} ( 0 , 0 ) ∼ ( n , n ) {\displaystyle (0,0)\sim (n,n)} n ∈ A {\displaystyle n\in A} c = 0 {\displaystyle c=0} n = n . {\displaystyle n=n.}
[ ( a , b ) ] + [ ( b , a ) ] = [ ( a + b , a + b ) ] = [ ( 0 , 0 ) ] {\displaystyle [(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=[(0,0)]} したがって、各 に対して 加法的な逆元が存在する。これは、同値類を 形式的な差分として 考えるべきであるというヒントを与えてくれる。 もう一つの有用な観察は、同値類がスケーリングに対して不変であるということである。 [ ( b , a ) ] {\displaystyle [(b,a)]} [ ( a , b ) ] ∈ G ( A ) {\displaystyle [(a,b)]\in G(A)} [ ( a , b ) ] {\displaystyle [(a,b)]} a − b . {\displaystyle a-b.}
( a , b ) ∼ ( a + k , b + k ) {\displaystyle (a,b)\sim (a+k,b+k)} いかなる k ∈ A . {\displaystyle k\in A.} グロタンディーク完備化は関手 として見ることができ、対応する 忘却関手 の左随伴であるという性質を持つ。これは、 アーベル群の基礎となるアーベルモノイドへの アーベルモノイドの 射が与えられたとき、 唯一のアーベル群射が存在することを意味する。 G : A b M o n → A b G r p , {\displaystyle G:\mathbf {AbMon} \to \mathbf {AbGrp} ,} U : A b G r p → A b M o n . {\displaystyle U:\mathbf {AbGrp} \to \mathbf {AbMon} .} ϕ : A → U ( B ) {\displaystyle \phi :A\to U(B)} A {\displaystyle A} B , {\displaystyle B,} G ( A ) → B . {\displaystyle G(A)\to B.}
自然数の例 分かりやすい例として、 のグロタンディーク完備化を見て みましょう。 任意のペアに対して、スケーリング不変性を用いることで 最小の代表値を見つけることができることがわかります 。例えば、スケーリング不変性から、 N {\displaystyle \mathbb {N} } G ( ( N , + ) ) = ( Z , + ) . {\displaystyle G((\mathbb {N} ,+))=(\mathbb {Z} ,+).} ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} ( a ′ , b ′ ) {\displaystyle (a',b')}
( 4 , 6 ) ∼ ( 3 , 5 ) ∼ ( 2 , 4 ) ∼ ( 1 , 3 ) ∼ ( 0 , 2 ) {\displaystyle (4,6)\sim (3,5)\sim (2,4)\sim (1,3)\sim (0,2)} 一般的に 、 k := min { a , b } {\displaystyle k:=\min\{a,b\}}
( a , b ) ∼ ( a − k , b − k ) {\displaystyle (a,b)\sim (a-k,b-k)} これは、 または ( c , 0 ) {\displaystyle (c,0)} ( 0 , d ) . {\displaystyle (0,d).} これは、を正の整数、を負の整数として 考えるべきであることを示しています 。 ( a , 0 ) {\displaystyle (a,0)} ( 0 , b ) {\displaystyle (0,b)}
定義 K 理論にはいくつかの基本的な定義があり、そのうち 2 つは位相幾何学から、残りの 2 つは代数幾何学から来ています。
コンパクトハウスドルフ空間のグロタンディーク群 コンパクト ハウスドルフ空間 が与えられたとき、上の有限次元ベクトル束の同型類の集合を と表記し 、 ベクトル束の同型類を と 表記する。ベクトル束の同型類は 直和 に関して良好な振る舞いを示すので 、同型類に対するこれらの演算は次のように書ける。 X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} Vect ( X ) {\displaystyle {\text{Vect}}(X)} π : E → X {\displaystyle \pi :E\to X} [ E ] {\displaystyle [E]}
[ E ] ⊕ [ E ′ ] = [ E ⊕ E ′ ] {\displaystyle [E]\oplus [E']=[E\oplus E']} はアーベルモノイドであり、単位元は自明なベクトル束 によって与えられる ことは明らかである 。グロタンディーク完備化を適用することで、このアーベルモノイドからアーベル群を得ることができる。これは のK理論と呼ばれ 、 と表記される 。 ( Vect ( X ) , ⊕ ) {\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )} R 0 × X → X {\displaystyle \mathbb {R} ^{0}\times X\to X} X {\displaystyle X} K 0 ( X ) {\displaystyle K^{0}(X)}
セール・スワンの定理 といくつかの代数 を用いて、 上のベクトル束 を連続複素数値関数の 環上の 射影加群 として別の記述で得ることができる。そして、これらは 何らかの行列環 内 のべき等 行列と同一視できる。べき等行列の同値類を定義し、アーベルモノイド を形成することができる 。そのグロタンディーク完備化は とも呼ばれる 。位相空間のグロタンディーク群を計算する主な手法の一つは、 アティヤ・ヒルツェブルッフのスペクトル列 に由来しており、これによってグロタンディーク群は非常にアクセスしやすくなっている。スペクトル列を理解するために必要な計算は、球面 の 群を計算することだけである 。 [2] 51-110 ページ X {\displaystyle X} C 0 ( X ; C ) {\displaystyle C^{0}(X;\mathbb {C} )} M n × n ( C 0 ( X ; C ) ) {\displaystyle M_{n\times n}(C^{0}(X;\mathbb {C} ))} Idem ( X ) {\displaystyle {\textbf {Idem}}(X)} K 0 ( X ) {\displaystyle K^{0}(X)} K 0 {\displaystyle K^{0}} S n {\displaystyle S^{n}}
代数幾何学におけるベクトル束のグロタンディーク群 代数幾何学 におけるベクトル束を考えることで、同様の構成が得られる 。 ネータースキーム に対して、上の 代数的ベクトル束 のすべての同型類の 集合が存在する 。すると、前述と同様に、ベクトル束の同型類の直和は 明確に定義され、アーベルモノイド を与える。そして、 このアーベルモノイドにグロタンディーク構成を適用することで、 グロタンディーク群が定義される。 X {\displaystyle X} Vect ( X ) {\displaystyle {\text{Vect}}(X)} X {\displaystyle X} ⊕ {\displaystyle \oplus } ( Vect ( X ) , ⊕ ) {\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )} K 0 ( X ) {\displaystyle K^{0}(X)}
代数幾何学におけるグロタンディーク連接層の群 代数幾何学では、滑らかなスキーム上の代数的ベクトル束にも同じ構成を適用できます。しかし、任意のネータースキームには別の構成法があります。 連接 層の同型類を見ると、 短完全列が 存在する場合、 関係式によってmod outすることができます。 X {\displaystyle X} Coh ( X ) {\displaystyle \operatorname {Coh} (X)} [ E ] = [ E ′ ] + [ E ″ ] {\displaystyle [{\mathcal {E}}]=[{\mathcal {E}}']+[{\mathcal {E}}'']}
0 → E ′ → E → E ″ → 0. {\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0.} これはグロタンディーク群を与え、 これは滑らかな 場合と同型である 。この群は 環構造も持つため特別である。これを以下のように定義する。 K 0 ( X ) {\displaystyle K_{0}(X)} K 0 ( X ) {\displaystyle K^{0}(X)} X {\displaystyle X} K 0 ( X ) {\displaystyle K_{0}(X)}
[ E ] ⋅ [ E ′ ] = ∑ ( − 1 ) k [ Tor k O X ( E , E ′ ) ] . {\displaystyle [{\mathcal {E}}]\cdot [{\mathcal {E}}']=\sum (-1)^{k}\left[\operatorname {Tor} _{k}^{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}')\right].} グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理 を用いると 、
ch : K 0 ( X ) ⊗ Q → A ( X ) ⊗ Q {\displaystyle \operatorname {ch} :K_{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to A(X)\otimes \mathbb {Q} } は環の同型である。したがって、 交差理論 に用いることができる 。 [3] K 0 ( X ) {\displaystyle K_{0}(X)}
初期の歴史 この主題はアレクサンダー・グロタンディーク (1957) に始まったと言ってもいいでしょう。彼はこれを用いて グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理 を定式化しました。この定理はドイツ語の Klasse に由来し、「類」を意味します。 [4]グロタンディークは 代数多様体 X 上の 連接層 を扱う必要がありました 。彼は層を直接扱うのではなく、層の 同型類を 群の生成元として使い、2 つの層の任意の拡大をそれらの和と同一視する関係に従う群を定義しました。結果として得られる群は、 局所自由層 だけが使われるときは K ( X )と呼ばれ、すべてが連接層のときは G ( X ) と呼ばれます。これら 2 つの構成はどちらも グロタンディーク群 と呼ばれます 。 K ( X ) は コホモロジー的 振る舞いをし、 G ( X ) は ホモロジー的 振る舞いをします。
X が 滑らかな多様体 の場合 、2つの群は同じです。X が滑らかな アフィン多様体 の場合、局所自由層の拡大はすべて分解されるため、群は別の定義を持ちます。
位相幾何学 において、 マイケル・アティヤ と フリードリヒ・ヒルツェブルッフは、1959年に ベクトル束 に同じ構成を適用することで 、 位相空間 Xに対して K ( X ) を定義し 、 ボット周期性定理を用いてこれを 並外れたコホモロジー理論 の基礎とした。これは 、アティヤ・シンガーの指数定理 の第二証明（1962年頃）において重要な役割を果たした。さらに、このアプローチは C*-代数に対する 非可換 K理論 へとつながった 。
ジャン＝ピエール・セールは 、1955 年にはすでに、 ベクトル束 と 射影加 群の類推を用いて、 多項式環 上の有限生成射影加群はすべて 自由で あるという セールの予想 を定式化していました 。この主張は正しいのですが、20 年も経ってようやく解決されました。( スワンの定理は 、この類推の別の側面です。)
開発 代数 K 理論のもう 1 つの歴史的起源は、 JHC ホワイトヘッドらによる、後に ホワイトヘッドねじれ として知られるようになった 研究でした 。
その後、 高次K理論の関手 に関する様々な部分的な定義が提示された時期がありました。最終的に、 1969年と1972年に ダニエル・キレンによって ホモトピー理論 を用いた2つの有用かつ同等な定義が与えられました。また、擬同位体研究に関連する 空間の代数的K理論 を研究するために、 フリードヘルム・ヴァルトハウゼン によっても変種が与えられました。高次K理論に関する現代の研究の多くは、代数幾何学と モティヴィックコホモロジー の研究に関連しています 。
補助 二次形式 を含む対応する構成は、一般的に L理論と呼ばれています。これは 外科手術理論 の主要なツールです 。
弦理論 では、 ラモンド・ラモン場の強度と安定な D膜 の電荷 のK理論分類が 1997年に初めて提案されました。 [5]
2022年、ロシアの数学者アレクサンダー・イワノビッチ・エフィモフは、特に双対化可能な-カテゴリ に適用された代数的K理論の重要な一般化を構築した [6] ( ∞ , 1 ) {\displaystyle (\infty ,1)}
例と特性
K 0 フィールドの グロタンディーク群の最も簡単な例は、 体 の点 のグロタンディーク群です 。この空間上のベクトル束は有限次元ベクトル空間にすぎず、これは連接層の圏における自由対象であり、したがって射影的であるため、同型類のモノイドは ベクトル空間の次元に対応します。したがって、グロタンディーク群が であることを示すのは簡単な演習です 。 Spec ( F ) {\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {F} )} F {\displaystyle \mathbb {F} } N {\displaystyle \mathbb {N} } Z {\displaystyle \mathbb {Z} }
K 0 フィールド上のアルティニアン代数の ノイザンスキーム のグロタンディーク群の重要な性質の一つは、 それが縮約に対して不変であることである。したがって、 となる 。 [7]したがって、任意の アルティン 代数のグロタンディーク群は、スペクトルの各連結成分について1つずつ、 のコピーの直和となる 。例えば、 X {\displaystyle X} K ( X ) = K ( X red ) {\displaystyle K(X)=K(X_{\text{red}})} F {\displaystyle \mathbb {F} } Z {\displaystyle \mathbb {Z} } K 0 ( Spec ( F [ x ] ( x 9 ) × F ) ) = Z ⊕ Z {\displaystyle K_{0}\left({\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {F} [x]}{(x^{9})}}\times \mathbb {F} \right)\right)=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }
K 0 射影空間の グロタンディーク群の計算で最もよく使われるものの一つは、体上の射影空間に対する の計算である。これは、射影の交差数が を埋め込ん でプッシュプル公式 を用いること で計算できるためである。これ により、 の構造を明示的に知らなくても の元を用いた具体的な計算が可能になる。なぜなら [8] の グロタンディーク群を決定する一つの手法は、 としての成層化から得られる。 なぜなら、アフィン空間上の連接層のグロタンディーク群は と同型であり 、 の交差はに対して 一般的に となる からである 。 K ( P n ) {\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})} X {\displaystyle X} i : X ↪ P n {\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{n}} i ∗ ( [ i ∗ E ] ⋅ [ i ∗ F ] ) {\displaystyle i^{*}([i_{*}{\mathcal {E}}]\cdot [i_{*}{\mathcal {F}}])} K ( X ) {\displaystyle K(X)} K ( P n ) = Z [ T ] ( T n + 1 ) {\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})={\frac {\mathbb {Z} [T]}{(T^{n+1})}}} P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} P n = A n ∐ A n − 1 ∐ ⋯ ∐ A 0 {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}=\mathbb {A} ^{n}\coprod \mathbb {A} ^{n-1}\coprod \cdots \coprod \mathbb {A} ^{0}} Z {\displaystyle \mathbb {Z} } A n − k 1 , A n − k 2 {\displaystyle \mathbb {A} ^{n-k_{1}},\mathbb {A} ^{n-k_{2}}} A n − k 1 ∩ A n − k 2 = A n − k 1 − k 2 {\displaystyle \mathbb {A} ^{n-k_{1}}\cap \mathbb {A} ^{n-k_{2}}=\mathbb {A} ^{n-k_{1}-k_{2}}} k 1 + k 2 ≤ n {\displaystyle k_{1}+k_{2}\leq n}
K 0 射影束の グロタンディーク群のもう一つの重要な公式は、射影束公式である： [9] ノイザンスキーム上の 階数rのベクトル束が与えられたとき 、射影束のグロタンディーク群は、 基底 を持つ階数 r の自由 -加群である 。この公式を用いることで、 のグロタンディーク群を計算することができる 。これにより、 またはヒルツェブルッフ面を計算することが可能となる。さらに、グロタンディーク群 が 体上の射影束であることを観察することで、 グロタンディーク群を計算することもできる 。 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} X {\displaystyle X} P ( E ) = Proj ( Sym ∙ ( E ∨ ) ) {\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} ^{\bullet }({\mathcal {E}}^{\vee }))} K ( X ) {\displaystyle K(X)} 1 , ξ , … , ξ n − 1 {\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{n-1}} P F n {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{n}} K 0 {\displaystyle K_{0}} K ( P n ) {\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})} F {\displaystyle \mathbb {F} }
K 0 特異空間と孤立した商特異点を持つ空間 マイナー特異点を持つ空間のグロタンディーク群を計算する最近の技術の 1 つは、と の差を評価することです。この差は 、すべてのベクトル束が同値にコヒーレント層として記述できるという事実に由来します。これは、導来非可換代数幾何学 の特異点カテゴリ [10] [11] のグロタンディーク群を使用して行われます 。 これ は 、 から始まる長い正確なシーケンスを提供します
。 ここで、高次の項は 高次 K-理論 に由来します。特異点上のベクトル束は、 滑らかな軌跡 上の ベクトル束によって与えられることに注意してください 。これにより、重み付き射影空間が通常孤立した商特異点を持つため、その上のグロタンディーク群を計算することができます。特に、これらの特異点が等方性群を持つ場合、 に対して写像は 単射であり、余核は によって消滅します 。 [ 11] 3 ページ K 0 ( X ) {\displaystyle K^{0}(X)} K 0 ( X ) {\displaystyle K_{0}(X)} D s g ( X ) {\displaystyle D_{sg}(X)} ⋯ → K 0 ( X ) → K 0 ( X ) → K s g ( X ) → 0 {\displaystyle \cdots \to K^{0}(X)\to K_{0}(X)\to K_{sg}(X)\to 0} X {\displaystyle X} E → X s m {\displaystyle E\to X_{sm}} X s m ↪ X {\displaystyle X_{sm}\hookrightarrow X} G i {\displaystyle G_{i}} K 0 ( X ) → K 0 ( X ) {\displaystyle K^{0}(X)\to K_{0}(X)} lcm ( | G 1 | , … , | G k | ) n − 1 {\displaystyle {\text{lcm}}(|G_{1}|,\ldots ,|G_{k}|)^{n-1}} n = dim X {\displaystyle n=\dim X}
K 0 滑らかな射影曲線の 滑らかな射影曲線の場合、 グロタンディーク群は の ピカール群 に対してである 。これは、 代数 K 理論 の Brown-Gersten-Quillen スペクトル列 [12] pg 72 から従う。 体上の有限型の 正則スキーム の場合、余次元点の集合 、つまり余次元 のサブスキームの集合 と、サブスキーム の代数関数体 の収束スペクトル列が存在する。このスペクトル列は、 の Chow 環に対して [12] pg 80 の 特性を持ち 、本質的に の計算を与える 。 には 余次元点がないので 、スペクトル列の唯一の非自明な部分は であり 、したがって で
ある点に注意する。その後、コニヴォー濾過を使用して を 目的の明示的な直和として 決定することができる。これは 、左側の項が に同型で 、右側の項が に同型である正確な列を与えるからである 。なので 、上アーベル群の列は を分割し、同型性を与える。 が 上の 種数 の滑らかな射影曲線である場合 、
となることに注意されたい 。さらに、孤立した特異点に対する導来圏を用いた上記の手法は、孤立した コーエン＝マコーレー 特異点にも拡張でき、任意の特異代数曲線のグロタンディーク群を計算する手法が得られる。これは、縮約によって一般的に滑らかな曲線が得られ、すべての特異点がコーエン＝マコーレーであるためである。 C {\displaystyle C} K 0 ( C ) = Z ⊕ Pic ( C ) {\displaystyle K_{0}(C)=\mathbb {Z} \oplus {\text{Pic}}(C)} C {\displaystyle C} E 1 p , q = ∐ x ∈ X ( p ) K − p − q ( k ( x ) ) ⇒ K − p − q ( X ) {\displaystyle E_{1}^{p,q}=\coprod _{x\in X^{(p)}}K^{-p-q}(k(x))\Rightarrow K_{-p-q}(X)} X ( p ) {\displaystyle X^{(p)}} p {\displaystyle p} x : Y → X {\displaystyle x:Y\to X} p {\displaystyle p} k ( x ) {\displaystyle k(x)} E 2 p , − p ≅ CH p ( X ) {\displaystyle E_{2}^{p,-p}\cong {\text{CH}}^{p}(X)} X {\displaystyle X} K 0 ( C ) {\displaystyle K_{0}(C)} C {\displaystyle C} 2 {\displaystyle 2} E 1 0 , q , E 1 1 , q {\displaystyle E_{1}^{0,q},E_{1}^{1,q}} E ∞ 1 , − 1 ≅ E 2 1 , − 1 ≅ CH 1 ( C ) E ∞ 0 , 0 ≅ E 2 0 , 0 ≅ CH 0 ( C ) {\displaystyle {\begin{aligned}E_{\infty }^{1,-1}\cong E_{2}^{1,-1}&\cong {\text{CH}}^{1}(C)\\E_{\infty }^{0,0}\cong E_{2}^{0,0}&\cong {\text{CH}}^{0}(C)\end{aligned}}} K 0 ( C ) {\displaystyle K_{0}(C)} 0 → F 1 ( K 0 ( X ) ) → K 0 ( X ) → K 0 ( X ) / F 1 ( K 0 ( X ) ) → 0 {\displaystyle 0\to F^{1}(K_{0}(X))\to K_{0}(X)\to K_{0}(X)/F^{1}(K_{0}(X))\to 0} CH 1 ( C ) ≅ Pic ( C ) {\displaystyle {\text{CH}}^{1}(C)\cong {\text{Pic}}(C)} C H 0 ( C ) ≅ Z {\displaystyle CH^{0}(C)\cong \mathbb {Z} } Ext Ab 1 ( Z , G ) = 0 {\displaystyle {\text{Ext}}_{\text{Ab}}^{1}(\mathbb {Z} ,G)=0} C {\displaystyle C} g {\displaystyle g} C {\displaystyle \mathbb {C} } K 0 ( C ) ≅ Z ⊕ ( C g / Z 2 g ) {\displaystyle K_{0}(C)\cong \mathbb {Z} \oplus (\mathbb {C} ^{g}/\mathbb {Z} ^{2g})}
アプリケーション
仮想バンドル グロタンディーク群の有用な応用の一つは、仮想ベクトル束を定義することである。例えば、滑らかな空間の埋め込みがある場合、 短い完全列が存在する。 Y ↪ X {\displaystyle Y\hookrightarrow X}
0 → Ω Y → Ω X | Y → C Y / X → 0 {\displaystyle 0\to \Omega _{Y}\to \Omega _{X}|_{Y}\to C_{Y/X}\to 0} ここでは における の余法線束である 。特異空間が 滑らかな空間に埋め込まれている場合 、仮想余法線束を次のように定義する。 C Y / X {\displaystyle C_{Y/X}} Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X}
[ Ω X | Y ] − [ Ω Y ] {\displaystyle [\Omega _{X}|_{Y}]-[\Omega _{Y}]} 仮想束のもう一つの有用な応用は、空間の交差の仮想接束の定義である。滑らかな射影多様体の射影部分多様体を とする。すると、それらの交差の仮想接束を 次のように 定義できる。 Y 1 , Y 2 ⊂ X {\displaystyle Y_{1},Y_{2}\subset X} Z = Y 1 ∩ Y 2 {\displaystyle Z=Y_{1}\cap Y_{2}}
[ T Z ] v i r = [ T Y 1 ] | Z + [ T Y 2 ] | Z − [ T X ] | Z . {\displaystyle [T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}]|_{Z}.} コンツェビッチはこの構文を彼の論文の一つで使用している。 [13]
チャーン文字 チャーン類は、 空間の 位相的K理論 からその有理コホモロジー（の完備化）への環の準同型を構成するために用いることができる。直線束 L に対して、チャーン指標chは次のように定義される
。
ch ( L ) = exp ( c 1 ( L ) ) := ∑ m = 0 ∞ c 1 ( L ) m m ! . {\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.} より一般的には、 直線束の直和が第一チャーン類である場合、 チャーン指標は加法的に定義される。 V = L 1 ⊕ ⋯ ⊕ L n {\displaystyle V=L_{1}\oplus \dots \oplus L_{n}} x i = c 1 ( L i ) , {\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}
ch ( V ) = e x 1 + ⋯ + e x n := ∑ m = 0 ∞ 1 m ! ( x 1 m + ⋯ + x n m ) . {\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\dots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\dots +x_{n}^{m}).} チャーン指標は、テンソル積のチャーン類の計算を容易にするため、特に有用である。チャーン指標は、 ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理 において用いられる。
同変K理論 同 変代数K理論 は、 Quillenの Q構成を介して、 線型代数群の作用 を持つ 代数スキーム上の 同変連接層 の カテゴリに関連付けられた 代数K理論 である 。したがって、定義により、 Coh G ( X ) {\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)} X {\displaystyle X} G {\displaystyle G}
K i G ( X ) = π i ( B + Coh G ( X ) ) . {\displaystyle K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operatorname {Coh} ^{G}(X)).} 特に、 は の グロタンディーク群 である 。この理論は1980年代にRWトーマスンによって発展した。 [14] 具体的には、彼は局所化定理などの基本定理の同変類似を証明した。 K 0 G ( C ) {\displaystyle K_{0}^{G}(C)} Coh G ( X ) {\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}
参照
注記 ^ アティヤ、マイケル (2000). 「K理論の過去と現在」. arXiv : math/0012213 . ^ パーク、エフトン (2008). 複素位相K理論 . ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-511-38869-9 . OCLC 227161674。 ^ グロタンディーク。 「SGA 6 - 適切なスキーマ代数における交差の形式主義」。 2023-06-29 のオリジナルからアーカイブされました 。 2020年10月20日 に取得 。 ^ カロウビ、2006年 ^ Ruben Minasian (http://string.lpthe.jussieu.fr/members.pl?key=7)、および Gregory Moore 著「K-theory and Ramond–Ramond Charge」。 ^ Efimov, Alexander I. (2025-02-06)、 K理論と大規模カテゴリの局所的不変量 、 arXiv : 2405.12169 ^ 「双対数上の射影空間のグロタンディーク群」. mathoverflow.net . 2017年4月16日 閲覧 。 ^ 「kt.k理論とホモロジー - 双対数上の射影空間のグロタンディーク群」 MathOverflow . 2020年10月20日 閲覧 。 ^ マニン、ユリ I (1969-01-01)。 「代数幾何学における K 関数の講義」。 ロシアの数学的調査 。 24 (5): 1– 89。 書誌コード :1969RuMaS..24....1M。 土井 ：10.1070/rm1969v024n05abeh001357。 ISSN 0036-0279。 ^ “ag.algebraic geometry - 重み付き射影空間の代数グロタンディーク群は有限生成か？” MathOverflow . 2020年10月20日 閲覧 。 ^ ab Pavic, Nebojsa; Shinder, Evgeny (2021). 「K理論と商特異点の特異点圏」 Annals of K-Theory . 6 (3): 381– 424. arXiv : 1809.10919 . doi :10.2140/akt.2021.6.381. S2CID 85502709. ^ ab Srinivas, V. (1991). 代数的K理論 . ボストン: Birkhäuser. ISBN 978-1-4899-6735-0 . OCLC 624583210。 ^ Kontsevich, Maxim (1995), 「トーラス作用による有理曲線の列挙」, 曲線のモジュライ空間 (Texel Island, 1994) , Progress in Mathematics, vol. 129, Boston, MA: Birkhäuser Boston, pp. 335– 368, arXiv : hep-th/9405035 , MR 1363062 ^ チャールズ・A・ワイベル、ロバート・W・トーマソン（1952–1995）。
参考文献
外部リンク グロタンディーク・リーマン・ロッホ マックス・カルービのページ K理論プレプリントアーカイブ
フィールド 重要な概念 メトリックとプロパティ 主な結果
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![{\displaystyle K_{0}\left({\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {F} [x]}{(x^{9})}}\times \mathbb {F} \right)\right)=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26e6ba6777b92f64c57462cf93640c559679294)
![{\displaystyle i^{*}([i_{*}{\mathcal {E}}]\cdot [i_{*}{\mathcal {F}}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c57bd9f415c56a0c2f4b0268fefa3d19540248e6)
![{\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})={\frac {\mathbb {Z} [T]}{(T^{n+1})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ad8292ded3dd543440a078d7b103acc3c3817c)
![{\displaystyle [\Omega _{X}|_{Y}]-[\Omega _{Y}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4bc33d118bc04780270c9f36cb27e9a681ce46d)
![{\displaystyle [T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}]|_{Z}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc864d9b60c00dc0f3255ac079792dc0e8d32c5)
