カルマンフィルタ

Algorithm that estimates unknowns from a series of measurements over time

カルマンフィルタは、システムの推定状態と、その推定値の分散または不確実性を追跡します。推定値は、状態遷移モデルと測定値を用いて更新されます。は、 k番目の測定値y _kが考慮される前の、時間ステップkにおけるシステム状態の推定値を表します。は、対応する不確実性です。 ${\displaystyle {\hat {x}}_{k\mid k-1}}$ ${\displaystyle P_{k\mid k-1}}$

統計学と制御理論において、カルマンフィルタリング（線形二次推定とも呼ばれる）は、統計的ノイズやその他の不正確さを含む時間の経過に伴って観測される一連の測定値を用いて、各時間ステップにおける変数の結合確率分布を推定することにより、単一の測定値に基づく推定値よりも正確になる傾向がある未知の変数の推定値を生成するアルゴリズムである。このフィルタは平均二乗誤差最小化器として構築されるが、フィルタが最大尤度統計とどのように関係するかを示すフィルタの代替導出も提供される。^[1]このフィルタはルドルフ・E・カルマンにちなんで名付けられている。

カルマンフィルタリング^[2]には数多くの技術的応用がある。一般的な応用は、特に航空機、宇宙船、船舶などの動的に位置決めされる車両の誘導、航行、制御である。^[3]さらに、カルマンフィルタリングは信号処理や計量経済学などの時系列解析タスクに広く適用されている。カルマンフィルタリングはロボットの動作計画と制御にも重要であり、^{[4] [5]}軌道最適化に使用できる。^[6]カルマンフィルタリングは中枢神経系の運動制御のモデル化にも役立つ。運動コマンドの発行と感覚フィードバックの受信の間には時間遅延があるため、カルマンフィルタ^[7]を使用すると、運動システムの現在の状態を推定し、更新されたコマンドを発行するための現実的なモデルが提供される。^[8]

このアルゴリズムは、予測フェーズと更新フェーズという2段階のプロセスで動作します。予測フェーズでは、カルマンフィルタが現在の状態変数の推定値（その不確実性を含む）を生成します。次の測定結果（ランダムノイズなどの何らかの誤差によって必然的に損なわれている）が観測されると、これらの推定値は加重平均を使用して更新され、より確実な推定値に重みが付けられます。このアルゴリズムは再帰的です。現在の入力測定値と以前に計算された状態、およびその不確実性行列のみを使用して、リアルタイムで動作できます。過去の追加情報は必要ありません。

カルマンフィルタの最適性は、誤差が正規分布（ガウス分布）に従うことを前提としています。ルドルフ・E・カルマンの言葉を借りれば、「ランダムプロセスについて以下の仮定が成り立つ。物理的なランダム現象は、動的システムを励起する一次ランダムソースに起因すると考えられる。一次ソースは、平均ゼロの独立したガウスランダムプロセスであると仮定する。動的システムは線形となる。」^[9]しかし、ガウス分布であるかどうかに関わらず、プロセスと測定の共分散が既知であれば、カルマンフィルタは最小平均二乗誤差の意味で最良の線形^{推定量である[10]}。ただし、より優れた非線形推定量が存在する可能性もある。すべてのノイズプロセスがガウス分布であると仮定しない限り、カルマンフィルタを厳密に適用することはできないという誤解（文献に根強く残っている）がある^{[11] 。}

この手法の拡張や一般化も開発されており、例えば非線形システムで動作する拡張カルマンフィルタやアンセンテッドカルマンフィルタなどが挙げられます。その基礎は隠れマルコフモデルであり、潜在変数の状態空間は連続的であり、すべての潜在変数と観測変数はガウス分布に従います。カルマンフィルタリングは、マルチセンサーフュージョン^[12]や分散センサーネットワークにおいて、分散型またはコンセンサスカルマンフィルタリングの開発に効果的に利用されてきました。 ^[13]

歴史

このフィルタリング手法は、ハンガリー出身の亡命者 ルドルフ・E・カルマンにちなんで名付けられましたが、トーヴァル・ニコライ・ティーレ^{[14] [15]}とピーター・スワーリングが以前に同様のアルゴリズムを開発していました。ジョンズ・ホプキンス応用物理学研究所のリチャード・S・ビューシーがこの理論に貢献したため、カルマン・ビューシー・フィルタリングと呼ばれることもあります。カルマンは、ウィーナーフィルタリング問題に状態変数を適用することでカルマンフィルタを導き出しました。^{[16]カルマンフィルタの最初の実装を開発した人物として、一般的に}スタンレー・F・シュミットの名が付けられています。彼は、フィルタを2つの異なる部分に分割できることに気付きました。1つはセンサ出力間の時間間隔用、もう1つは測定値を組み込むための部分です。^{[17]カルマンが}NASAエイムズ研究センターを訪問した際に、シュミットはカルマンのアイデアがアポロ計画の軌道推定の非線形問題に適用できることに気づき、その結果、アポロ航法コンピュータにそのアイデアが組み込まれることになった。^{[18] : 16}

このデジタルフィルタは、ソ連の数学者ルスラン・ストラトノビッチが開発した、より一般的な非線形フィルタの特殊なケースであるため、ストラトノビッチ・カルマン・ビューシーフィルタと呼ばれることもあります。^{[19] [20] [21] [22]}実際、特殊なケースの線形フィルタの方程式のいくつかは、1961 年の夏、モスクワでの会議中にカルマンがストラトノビッチと会う前に発表されたストラトノビッチの論文に登場しました。^[23]

このカルマン フィルタリングは、Swerling (1958)、Kalman (1960)、Kalman と Bucy (1961) による技術論文で初めて説明され、部分的に開発されました。

アポロ・コンピュータは2KBの磁気コアRAMと36KBのワイヤーロープを使用していました[...]。CPUはICで構築されていました[...]。クロック速度は100kHz未満でした[...]。MITのエンジニアたちが、これほど優れたソフトウェア（カルマンフィルタの初期の応用例の一つ）をこれほど小型のコンピュータに詰め込んだという事実は、実に驚くべきものです。

— ジャック・クレンショーへのインタビュー、マシュー・リード、TRS-80.org (2009) [1]

カルマンフィルタは、米海軍の核弾道ミサイル搭載潜水艦の航法システムや、米海軍のトマホークミサイルや米空軍の空中発射巡航ミサイルなどの巡航ミサイルの誘導航法システムの実装において不可欠な役割を果たしてきた。また、再使用型打ち上げロケットの誘導航法システムや、国際宇宙ステーションにドッキングする宇宙船の姿勢制御航法システムにも使用されている。^[24]

計算の概要

カルマンフィルタリングは、システムの動的モデル（例：物理法則）、そのシステムへの既知の制御入力、および複数の連続した測定値（センサーなどからの測定値）を用いて、システムの変動量（状態）の推定値を生成します。この推定値は、単一の測定値のみを用いた場合よりも精度が高くなります。そのため、カルマンフィルタリングは一般的なセンサーフュージョンおよびデータフュージョンアルゴリズムです。

ノイズの多いセンサーデータ、システムの進化を記述する方程式の近似値、そして考慮されていない外的要因はすべて、システムの状態を正確に判定できる可能性を制限します。カルマンフィルタは、ノイズの多いセンサーデータに起因する不確実性、そしてある程度はランダムな外的要因にも効果的に対処します。カルマンフィルタは、加重平均を用いて、システムの予測状態と新しい測定値の平均として、システムの状態の推定値を生成します。重みの目的は、より良い（つまり、より小さい）推定不確実性を持つ値がより「信頼」されることです。重みは、システムの状態予測の推定不確実性の尺度である共分散から計算されます。加重平均の結果は、予測状態と測定状態の間に位置し、どちらか一方だけの場合よりもより良い推定不確実性を持つ新しい状態推定値です。このプロセスは各タイムステップで繰り返され、新しい推定値とその共分散が、次の反復で使用される予測に反映されます。つまり、カルマン フィルタは再帰的に動作し、新しい状態を計算するために、システムの状態の全履歴ではなく、最後の「最良の推測」のみを必要とします。

測定値の確実性の等級分けと現在の状態の推定は重要な考慮事項です。フィルタの応答は、カルマンフィルタのゲインの観点から議論されるのが一般的です。カルマンゲインとは、測定値と現在の状態の推定に与えられる重みであり、特定のパフォーマンスを達成するために「調整」することができます。ゲインが高いほど、フィルタは最新の測定値に重点を置くため、より応答性が向上します。ゲインが低いほど、フィルタはモデルの予測により厳密に従います。極端な例として、ゲインが高い（1に近い）と推定軌道はより不安定になり、ゲインが低い（0に近い）とノイズは平滑化されますが、応答性は低下します。

フィルタの実際の計算（後述）では、単一の計算セットに複数の次元が含まれるため、状態推定値と共分散は行列にコード化されます。これにより、任意の遷移モデルまたは共分散において、異なる状態変数（位置、速度、加速度など）間の線形関係を表現できます。

アプリケーション例

応用例として、トラックの正確な位置を特定する問題を考えてみましょう。トラックにはGPSユニットが搭載されており、数メートル以内の位置を推定できます。GPS による推定値はノイズが多く、実際の位置から数メートル以内の誤差はありますが、測定値が急激に変動する可能性があります。また、トラックは物理法則に従うと予想されるため、車輪の回転数とハンドルの角度を追跡することで速度を時間とともに積分することで、トラックの位置を推定することもできます。これはデッドレコニングと呼ばれる手法です。通常、デッドレコニングではトラックの位置を非常にスムーズに推定できますが、小さな誤差が蓄積されるにつれて、時間の経過とともに位置がずれていきます。

この例では、カルマンフィルタは予測と更新という2つの異なるフェーズで動作すると考えることができます。予測フェーズでは、トラックの以前の位置は物理的な運動法則（動的モデル、つまり「状態遷移」モデル）に従って修正されます。新しい位置推定値が計算されるだけでなく、新しい共分散も計算されます。おそらく共分散はトラックの速度に比例するでしょう。なぜなら、高速走行時には推測航法による位置推定値の精度はより不確実ですが、低速走行時には位置推定値は非常に確実だからです。次に、更新フェーズでは、GPSユニットからトラックの位置の測定値が取得されます。この測定値にはある程度の不確実性が伴い、前のフェーズの予測値に対する共分散によって、新しい測定値が更新された予測値にどの程度影響するかが決まります。理想的には、推測航法による推定値は実際の位置からずれる傾向があるため、GPS測定値は位置推定値を実際の位置に引き戻す一方で、ノイズが多くなり急激に変動するほどには乱さないことが求められます。

技術的な説明と背景

カルマンフィルタは、ノイズを含む一連の計測値から線形動的システムの内部状態を推定する効率的な再帰フィルタである。 レーダーやコンピュータビジョンから構造マクロ経済モデルの推定に至るまで、幅広い工学・計量経済学の分野で用いられており^{[25] [26] 、}制御理論および制御システム工学における重要なトピックである。カルマンフィルタは、線形二次レギュレータ（LQR）とともに、線形二次ガウス制御問題（LQG）を解く。カルマンフィルタ、線形二次レギュレータ、そして線形二次ガウスコントローラは、制御理論における最も基本的な問題に対する解法と言える。

ほとんどのアプリケーションでは、測定される少数の「観測可能な」パラメータよりも内部状態の方がはるかに大きく（自由度が高く）、測定されます。しかし、一連の測定値を組み合わせることで、カルマンフィルタは内部状態全体を推定することができます。

デンプスター・シェーファー理論では、各状態方程式または観測値は線形確信関数の特殊なケースとみなされ、カルマンフィルタリングは結合木またはマルコフ木上で線形確信関数を結合する特殊なケースとみなされます。その他の手法としては、ベイズ推定や状態方程式の証拠更新を用いた確信フィルタリングなどがあります。

現在までに、カルマンフィルタには様々な種類が存在します。カルマンのオリジナルの定式（現在では「単純」カルマンフィルタと呼ばれています）、カルマン・ビューシーフィルタ、シュミットの「拡張」フィルタ、情報フィルタ、そしてビアマン、ソーントン、その他多くの人々によって開発された様々な「平方根」フィルタなどです。おそらく最も一般的に使用されている非常に単純なカルマンフィルタは位相同期回路（PLL ）で、これは現在、無線、特に周波数変調（FM）ラジオ、テレビ、衛星通信受信機、宇宙通信システム、そしてほぼすべての電子通信機器に広く使用されています。

基礎となる動的システムモデル

カルマンフィルタは、時間領域で離散化された線形動的システムに基づいています。これらのシステムは、ガウスノイズを含む可能性のある誤差によって摂動を受けた線形演算子に基づくマルコフ連鎖をモデル化しています。対象システムの状態は、実数ベクトルとして表される、真の（しかし隠れた）システム構成を指します。離散時間の各増分において、線形演算子が状態に適用され、新しい状態が生成されます。このとき、ノイズが混入され、システムの制御情報が既知であれば、それらの情報も任意に混入されます。次に、さらにノイズが混入された別の線形演算子によって、真の（「隠れた」）状態から測定可能な出力（すなわち、観測値）が生成されます。カルマンフィルタは隠れマルコフモデルに類似していると考えられますが、隠れ状態変数が離散状態空間ではなく連続空間に値を持つという違いがあります。カルマンフィルタの方程式と隠れマルコフモデルの方程式には強い類似性があります。このモデルと他のモデルのレビューは、RoweisとGhahramani（1999）^[27]とHamilton（1994）の第13章^{[28]に掲載されています。}

カルマンフィルタを用いて、ノイズを含む観測値の系列のみからプロセスの内部状態を推定するには、以下の枠組みに従ってプロセスをモデル化する必要がある。これは、各時間ステップについて、以下の行列を指定することを意味する。 ${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$、状態遷移モデル。
• ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$、観測モデル。
• ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$、プロセスノイズの共分散。
• ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$、観測ノイズの共分散。
• 時には、以下に説明する制御入力モデルが含まれる。 が含まれる場合は、 ${\displaystyle \mathbf {B} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} _{k}}$
• ${\displaystyle \mathbf {u} _{k}}$制御入力モデルへの制御入力を表す制御ベクトル。

以下に示すように、多くのアプリケーションでは、行列、、、が時間の経過に伴って一定であることが一般的であり、その場合、それらのインデックスは削除されることがあります。 ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle k}$

カルマンフィルタの基礎となるモデル。四角は行列を表します。楕円は多変量正規分布を表します（平均行列と共分散行列が囲まれています）。囲まれていない値はベクトルです。単純なケースでは、様々な行列は時間に対して一定であるため、添え字は使用されませんが、カルマンフィルタでは、各時間ステップごとにいずれかの行列が変化する可能性があります。

カルマンフィルタモデルは、時刻tにおける真の状態が時刻tにおける状態から次の式に従って発展することを 仮定している。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k-1}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k}+\mathbf {w} _{k}}$

どこ

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$は、前の状態x _{k −1}に適用される状態遷移モデルである。
• ${\displaystyle \mathbf {B} _{k}}$は制御ベクトルに適用される制御入力モデルである。 ${\displaystyle \mathbf {u} _{k}}$
• ${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$はプロセスノイズであり、共分散、:を持つゼロ平均多変量正規分布、から抽出されたものと仮定されます。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {w} _{k}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\mathbf {Q} _{k}\right)}$

が時間と独立である場合、RoweisとGhahramani ^{[27] ：307}に従って、代わりにと書いて、ノイズには時間に関する明示的な知識がないことを強調することができます。 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {w} _{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$

真の状態の観察（または測定）は、 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$

${\displaystyle \mathbf {z} _{k}=\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k}+\mathbf {v} _{k}}$

どこ

• ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$観測モデルは真の状態空間を観測空間にマッピングし、
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$は観測ノイズであり、共分散が であるゼロ平均のガウス白色ノイズであると仮定されます。 ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\mathbf {R} _{k}\right)}$

の場合と同様に、 が時間に依存しない 場合は、の代わりに と書くことができます。 ${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

初期状態と各ステップのノイズベクトルはすべて相互に独立していると仮定されます。 ${\displaystyle \{\mathbf {x} _{0},\mathbf {w} _{1},\dots ,\mathbf {w} _{k},\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}\}}$

多くのリアルタイム動的システムは、このモデルに厳密には従いません。実際、モデル化されていないダイナミクスは、たとえ未知の確率的信号を入力として扱うことを想定していたとしても、フィルタの性能を著しく低下させる可能性があります。これは、モデル化されていないダイナミクスの影響が入力に依存し、推定アルゴリズムを不安定化（発散）させる可能性があるためです。一方、独立した白色ノイズ信号はアルゴリズムを発散させません。測定ノイズとモデル化されていないダイナミクスを区別する問題は難しく、ロバスト制御を用いた制御理論の問題として扱われます。^{[29] [30]}

詳細

カルマンフィルタは再帰推定器です。つまり、現在の状態の推定値を計算するには、前の時間ステップで推定された状態と現在の測定値のみが必要です。バッチ推定手法とは異なり、観測値や推定値の履歴は必要ありません。以下では、表記は、時刻m ≤ nまでの観測値に基づく、時刻nにおけるの推定値を表します。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{n\mid m}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

フィルタの状態は次の 2 つの変数で表されます。

• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$、時刻kまでの観測値に基づく時刻kにおける事後状態推定値の平均。
• ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$、事後推定共分散行列（状態推定の推定精度の尺度）。

カルマンフィルタのアルゴリズム構造は、アルファベータフィルタのそれに似ています。カルマンフィルタは単一の方程式で記述できますが、通常は「予測」と「更新」という2つの異なるフェーズとして概念化されます。予測フェーズでは、前のタイムステップの状態推定値を使用して、現在のタイムステップの状態推定値を生成します。この予測された状態推定値は、現在のタイムステップの状態推定値であるにもかかわらず、現在のタイムステップからの観測情報を含まないため、事前状態推定値とも呼ばれます。更新フェーズでは、イノベーション（事前適合残差）、つまり現在の事前予測値と現在の観測情報との差に最適なカルマンゲインを乗算し、前の状態推定値と組み合わせて状態推定値を改良します。現在の観測値に基づくこの改良された推定値は、事後状態推定値と呼ばれます。

通常、2つのフェーズは交互に実行され、予測は次に予定されている観測まで状態を進め、更新は観測を反映する。しかし、これは必ずしも必要ではない。何らかの理由で観測が利用できない場合は、更新をスキップし、複数の予測手順を実行することができる。同様に、複数の独立した観測が同時に利用可能な場合、複数の更新手順を実行することができる（通常は異なる観測行列H _kを用いる）。^{[31] [32]}

予測する

予測された（事前の）状態推定	${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}=\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k}}$
予測された（事前）推定共分散	${\displaystyle {\mathbf {P} }_{k\mid k-1}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k}}$

アップデート

イノベーションまたは測定事前適合残差	${\displaystyle {\tilde {\mathbf {y} }}_{k}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}}$
イノベーション（または適合前残差）共分散	${\displaystyle \mathbf {S} _{k}=\mathbf {H} _{k}{\mathbf {P} }_{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k}}$
最適カルマンゲイン	${\displaystyle \mathbf {K} _{k}={\mathbf {P} }_{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}}$
更新された（事後的な）状態推定	${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}={\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}}$
更新された（事後）推定共分散（通常の形式）	${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k|k-1}}$
更新された（事後）推定共分散（ジョセフ形式）	${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$
測定後フィッティング残差	${\displaystyle {\tilde {\mathbf {y} }}_{k\mid k}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$

上記の更新された（事後）共分散推定値の2番目の式は「ジョセフ型」として知られており、応用分野でよく用いられます（より単純な通常の定式よりも数値的に安定しています）。これらの式の証明は導出の節に記載されており、任意のK _kに対して有効な式も示されています。

更新された状態推定値（ ）をより直感的に表現する方法は次のとおりです。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}){\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {z} _{k}}$

この式は、[0,1]間の線形補間を想起させます。この場合、 ${\displaystyle x=(1-t)(a)+t(b)}$ ${\displaystyle t}$

• ${\displaystyle t}$は、（センサーの高誤差）からの値、または投影（低誤差）を取得する行列です。 ${\displaystyle \mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle I}$
• ${\displaystyle a}$モデルから推定された内部状態です。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}}$
• ${\displaystyle b}$は、特異でないと仮定して測定から推定された内部状態です（多くのアプリケーションでは、状態の次元が観測の次元よりも大きい場合など、これは合理的な仮定ではありません）。 ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}^{-1}\mathbf {z} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$

この式は、アルファ ベータ フィルタの更新ステップにも似ています。

不変量

モデルが正確で、およびの値が初期状態値の分布を正確に反映している場合、次の不変量が保持されます。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}]&=\operatorname {E} [\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}]=0\\\operatorname {E} [{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}]&=0\end{aligned}}}$

ここではの期待値です。つまり、すべての推定値の平均誤差はゼロになります。 ${\displaystyle \operatorname {E} [\xi ]}$ ${\displaystyle \xi }$

また：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k}&=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)\\\mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\\\mathbf {S} _{k}&=\operatorname {cov} \left({\tilde {\mathbf {y} }}_{k}\right)\end{aligned}}}$

したがって、共分散行列は推定値の共分散を正確に反映します。

ノイズ共分散Qの推定_けとR_け

カルマンフィルタの実際の実装は、ノイズ共分散行列Q _kとR _kの適切な推定値を得るのが難しいため、しばしば困難です。データからこれらの共分散を推定するための広範な研究が行われてきました。これを行う実際的な方法の1つは、共分散を推定するために日常的な動作データの時間遅れの自己共分散を使用する自己共分散最小二乗法（ALS）です。 ^{[33] [34]} ALS法を使用してノイズ共分散行列を計算するために使用されるGNU OctaveおよびMatlabコードは、GNU General Public Licenseを使用してオンラインで入手できます 。[ 35 ]状態、^{パラメータ}、およびノイズ共分散を同時に推定できるベイズアルゴリズムであるフィールドカルマンフィルタ（FKF）が提案されています。^[36] FKFアルゴリズムは再帰的な定式化、良好な収束が観測され、比較的複雑ではないため、FKFアルゴリズムは自己共分散最小二乗法の価値ある代替手段になる可能性があります。もう一つのアプローチは最適化カルマンフィルタ（OKF）であり、共分散行列をノイズの代表としてではなく、最も正確な状態推定を達成するためのパラメータとして扱う。^[37]これら2つの考え方はKFの仮定の下では一致するが、実際のシステムではしばしば矛盾する。したがって、OKFの状態推定はモデルの不正確さに対してより堅牢である。

最適化とパフォーマンス

カルマンフィルタは、次の場合に最適な状態推定を提供します。a) モデルが実際のシステムに完全に一致する場合、b) 入力ノイズが「ホワイト」（無相関）である場合、c) ノイズの共分散が正確にわかっている場合。相関ノイズもカルマンフィルタで処理できます。^[38] 過去数十年間に、ノイズ共分散推定のためのいくつかの手法が提案されてきました。その中には、上記のセクションで述べたALS法も含まれます。より一般的には、モデルの仮定が実際のシステムに完全に一致しない場合、Q _kとR _{k を}ノイズの共分散に設定することによって最適な状態推定が必ずしも得られるわけではありません。その代わりに、その場合、パラメータQ _kとR _{k は、}状態推定を明示的に最適化するように設定できます。 ^[37]例えば、標準的な教師あり学習を使用します。

共分散が設定された後、フィルタの性能、すなわち状態推定品質の向上が可能かどうかを評価することが有用である。カルマンフィルタが最適に機能する場合、イノベーション系列（出力予測誤差）は白色ノイズとなるため、イノベーションの白色性特性がフィルタの性能を測る指標となる。この目的のためには、いくつかの異なる手法が利用可能である。^[39]ノイズ項が非ガウス分布する場合、確率不等式や大規模サンプル理論を用いたフィルタ推定値の性能評価手法が文献で知られている。^{[40] [41]}

アプリケーション例、技術

  真実

  フィルタリングされたプロセス

  観察

摩擦のない直線レール上を走るトラックを考えてみましょう。トラックは最初、位置0で静止していますが、制御不能なランダムな力によって左右に揺さぶられます。トラックの位置はΔt秒ごとに測定しますが、これらの測定値は不正確です。そこで、トラックの位置と速度のモデルを維持したいと考えています。ここでは、カルマンフィルタを作成するためのモデルをどのように導出するかを示します。

は定数なので、時間インデックスは削除されます。 ${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {H} ,\mathbf {R} ,\mathbf {Q} }$

トラックの位置と速度は線形状態空間で記述される。

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}={\begin{bmatrix}x\\{\dot {x}}\end{bmatrix}}}$

ここで、 は速度、つまり時間に対する位置の微分です。 ${\displaystyle {\dot {x}}}$

（ k  − 1）からkまでの時間ステップにおいて、制御されていない力によって平均0、標準偏差σ _aの正規分布に従う一定の加速度a _kが生じると仮定する。ニュートンの運動の法則から、次の式が成り立つ 。

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {G} a_{k}}$

（既知の制御入力がないので項はありません。代わりに、 kは_未知の入力の効果であり、その効果を状態ベクトルに適用します）ここで ${\displaystyle \mathbf {B} u}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &={\begin{bmatrix}1&\Delta t\\0&1\end{bmatrix}}\\[4pt]\mathbf {G} &={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{2}\\[6pt]\Delta t\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

となることによって

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {w} _{k}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {w} _{k}&\sim N(0,\mathbf {Q} )\\\mathbf {Q} &=\mathbf {G} \mathbf {G} ^{\textsf {T}}\sigma _{a}^{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}{\Delta t}^{4}&{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{3}\\[6pt]{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{3}&{\Delta t}^{2}\end{bmatrix}}\sigma _{a}^{2}.\end{aligned}}}$

行列はフルランクではない（ ならばランク1である）。したがって、分布は絶対連続ではなく、確率密度関数を持たない。これを、明示的に退化した分布を避けて表現する別の方法は、次のように表される。 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \Delta t\neq 0}$ ${\displaystyle N(0,\mathbf {Q} )}$

${\displaystyle \mathbf {w} _{k}\sim \mathbf {G} \cdot N\left(0,\sigma _{a}^{2}\right).}$

各時間位相において、トラックの真の位置のノイズを含む測定が行われます。測定ノイズv _kも平均0、標準偏差σ _zの正規分布に従うと仮定します。

${\displaystyle \mathbf {z} _{k}=\mathbf {Hx} _{k}+\mathbf {v} _{k}}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}}$

そして

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathrm {E} \left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]={\begin{bmatrix}\sigma _{z}^{2}\end{bmatrix}}}$

トラックの初期始動状態は完全に正確にわかっているので、初期化します

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$

フィルタに正確な位置と速度がわかっていることを伝えるために、ゼロ共分散行列を与えます。

${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$

初期位置と速度が完全にわかっていない場合、共分散行列は対角線上に適切な分散で初期化する必要があります。

${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&0\\0&\sigma _{\dot {x}}^{2}\end{bmatrix}}}$

すると、フィルターはモデル内にすでに存在する情報よりも、最初の測定値からの情報を優先するようになります。

漸近形

簡単のため、制御入力を と仮定します。すると、カルマンフィルタは次のように記述できます。 ${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {0} }$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}=\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}].}$

非ゼロの制御入力を含めた場合にも、同様の式が成り立ちます。ゲイン行列と共分散行列は、測定値とは独立して変化します。以上から、行列を更新するために必要な4つの式は以下のとおりです。 ${\displaystyle \mathbf {K} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$ ${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k},\\\mathbf {S} _{k}&=\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k},\\\mathbf {K} _{k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1},\\\mathbf {P} _{k|k}&=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k|k-1}.\end{aligned}}}$

これらはモデルのみに依存し、測定値には依存しないため、オフラインで計算できます。 ゲイン行列の漸近行列への収束は、 Walrand と Dimakis で確立された条件に適用されます。^[42]級数が収束する場合、プラントのノイズがゼロでないと仮定すると、漸近 に指数的に収束します。 ^[43]最近の解析では、この収束の速度と性質には、 で評価された上記のリカッチ写像のヤコビアンの固有構造に応じて、振動成分を含む複数の等しいモードが含まれる可能性があることが示されています。^[44]および の条件で、上記の移動中のトラックの例では、シミュレーションは反復で収束を示します。 ${\displaystyle \mathbf {K} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }}$ ${\displaystyle \Delta t=1}$ ${\displaystyle \sigma _{a}^{2}=\sigma _{z}^{2}=\sigma _{x}^{2}=\sigma _{\dot {x}}^{2}=1}$ ${\displaystyle 10}$

漸近ゲインを使用し、およびが から独立していると仮定すると、カルマンフィルタは線形時間不変フィルタになります。 ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k}=\mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1}+\mathbf {K} _{\infty }[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} \mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1}].}$

漸近的ゲインが存在する場合、漸近的状態共分散に対する次の離散リカッチ方程式を解くことによって計算できます。^[42] ${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }=\mathbf {F} \left(\mathbf {P} _{\infty }-\mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}+\mathbf {R} \right)^{-1}\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\right)\mathbf {F} ^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} .}$

その後、漸近ゲインは前と同じように計算されます。

${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty }=\mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {R} +\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\right)^{-1}.}$

さらに、制御理論でより一般的に使用される漸近カルマンフィルタの形式は次のように与えられる。

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k+1}=\mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{k}+\mathbf {\overline {K}} _{\infty }[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} {\hat {\mathbf {x} }}_{k}],}}$

どこ

${\displaystyle {\overline {\mathbf {K} }}_{\infty }=\mathbf {F} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {R} +\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\right)^{-1}.}$

これにより、次のような推定値が得られる。

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k+1}=(\mathbf {F} -{\overline {\mathbf {K} }}_{\infty }\mathbf {H} ){\hat {\mathbf {x} }}_{k}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{k}+\mathbf {\overline {K}} _{\infty }\mathbf {z} _{k},}}$

派生

カルマンフィルタは、過去のデータに基づいて一般化された最小二乗法として導出することができる。^[45]

導出事後的に共分散行列を推定する

誤差共分散P _{k  |  k}の不変量を上記のように して始めると、

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)}$

の定義に代用する ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left[\mathbf {x} _{k}-\left({\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}\right)\right]}$

代替 ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {y} }}_{k}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-\left[{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\right]\right)}$

そして ${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-\left[{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k}+\mathbf {v} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\right]\right)}$

そして、誤差ベクトルを集めると、

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left[\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)-\mathbf {K} _{k}\mathbf {v} _{k}\right]}$

測定誤差v _kは他の項と相関がないので、これは

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left[\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\right]+\operatorname {cov} \left[\mathbf {K} _{k}\mathbf {v} _{k}\right]}$

ベクトル共分散の性質により、これは

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\operatorname {cov} \left(\mathbf {v} _{k}\right)\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

これはP _{k  |  k −1}の不変量とR _kの定義を用いると次のようになる。

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

この式（共分散更新方程式のジョセフ型とも呼ばれる）は、 K _kの任意の値に対して有効です。K k が最適なカルマンゲインである場合、_この式は以下のようにさらに簡略化できます。

カルマンゲイン導出

カルマンフィルタは最小平均二乗誤差（MMSE）推定器である。事後状態推定における誤差は

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$

このベクトルの大きさの二乗の期待値を最小化することを目指します。これは、事後推定共分散行列のトレースを最小化することと等価です。上の式の項を展開してまとめると、次の式が得られます。 ${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left\|\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k|k}\right\|^{2}\right]}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k|k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k}\right)\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}\\[6pt]&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}\end{aligned}}}$

トレースは、ゲイン行列に対するその行列微分がゼロのときに最小となる。勾配行列の規則と関係する行列の対称性を用いると、次の式が得られる。

${\displaystyle {\frac {\partial \;\operatorname {tr} (\mathbf {P} _{k\mid k})}{\partial \;\mathbf {K} _{k}}}=-2\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)^{\textsf {T}}+2\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}=0.}$

これをK _kについて解くと、カルマンゲインが得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}&=\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)^{\textsf {T}}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\\\Rightarrow \mathbf {K} _{k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}\end{aligned}}}$

このゲインは最適カルマン ゲインと呼ばれ、使用すると MMSE 推定値が得られるゲインです。

の簡素化事後的に誤差共分散式

事後誤差共分散を計算する式は、カルマンゲインが上記で導出した最適値と等しい場合に簡略化できます。右辺のカルマンゲイン式の両辺にS _k K _k ^Tを乗じると、次の式が 得られます。

${\displaystyle \mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

事後誤差共分散の拡張式に戻ると、

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

最後の2つの項は打ち消されて、

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k})\mathbf {P} _{k\mid k-1}}$

この式は計算コストが低いため、実際にはほぼ常に使用されていますが、最適ゲインの場合のみ有効です。演算精度が異常に低く数値安定性に問題がある場合、または意図的に最適ではないカルマンゲインが使用される場合は、この簡略化は適用できません。その場合は、上記で導出した事後誤差共分散式（ジョセフ型）を使用する必要があります。

感度分析

カルマンフィルタ方程式は、状態とその誤差共分散の推定値を再帰的に与える。推定値とその品質は、推定器への入力として与えられるシステムパラメータとノイズ統計量に依存する。本節では、フィルタへの統計入力における不確実性の影響を解析する。^[46]信頼できる統計量やノイズ共分散行列と真の値がない場合、式 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

は実際の誤差共分散を提供しなくなります。言い換えれば、。ほとんどのリアルタイムアプリケーションでは、カルマンフィルタの設計に使用される共分散行列は、実際の（真の）ノイズ共分散行列とは異なります。^[要出典]この感度分析は、フィルタへの入力として供給されるノイズ共分散とシステム行列が誤っている場合の推定誤差共分散の挙動を記述します。したがって、感度分析は、推定量への誤った統計的およびパラメトリック入力に対する推定量の堅牢性（または感度）を記述します。 ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}\neq E\left[\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)^{\textsf {T}}\right]}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$

この議論は、統計的不確実性がある場合の誤差感度分析に限定されます。ここで、実際のノイズ共分散はそれぞれ および で表され、推定値で使用される設計値はそれぞれおよび です。実際の誤差共分散は および で表され、カルマンフィルタによって計算される値はリカッチ変数と呼ばれます。 および のとき、これは を意味します。 を用いて実際の誤差共分散を計算する際に、 を および に代入し、およびという事実を用いて、 について以下の再帰方程式が得られます 。 ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}^{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}^{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}\equiv \mathbf {Q} _{k}^{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}\equiv \mathbf {R} _{k}^{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}=E\left[\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)^{\textsf {T}}\right]}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$ ${\displaystyle E\left[\mathbf {w} _{k}\mathbf {w} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {Q} _{k}^{a}}$ ${\displaystyle E\left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {R} _{k}^{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k-1}^{a}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}^{a}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k}^{a}}$

そして

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{a}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}^{a}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

を計算する際、フィルタは設計上、暗黙的におよびを仮定します。およびの再帰式は、それぞれ設計値およびの代わりにおよびが存在する点を除いて同一です。カルマンフィルタシステムの堅牢性を分析するための研究が行われています。^[47] ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$ ${\displaystyle E\left[\mathbf {w} _{k}\mathbf {w} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {Q} _{k}}$ ${\displaystyle E\left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {R} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}^{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}^{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$

因数分解形式

カルマンフィルタの問題の一つは、数値安定性です。プロセスノイズ共分散Q _kが小さい場合、丸め誤差により、状態共分散行列Pの小さな正の固有値が負の数として計算されることがよくあります。これにより、 Pの真の形は 正定値であるにもかかわらず、数値表現は不定値になります。

正定値行列は、特異でない下三角行列 S とその転置行列の積に因数分解できるという特性があります ： P  =  S · S ^T。因数Sは、コレスキー分解アルゴリズムを使用して効率的に計算できます。共分散行列Pのこの積形式は対称であることが保証されており、すべての 1 <= k <= n に対して、 k 番目の対角要素 P _kkは、 Sの k 番目の行のユークリッド ノルムの 2乗に等しく、これは必ず正になります。コレスキー分解アルゴリズムに含まれる平方根演算の多くを回避し、望ましい数値特性を保持する同等の形式は、UD 分解形式P  =  U · D · U ^Tです。ここで、Uは単位三角行列（対角要素が単位）、Dは対角行列です。

UD分解と三角分解では、UD分解の方がストレージ使用量は同じで、計算量はやや少なく、最も一般的に使用されている。（相対的な効率性に関する初期の文献はやや誤解を招くもので、平方根は除算よりもはるかに時間がかかると想定されていたが^{[48] : 69、21}世紀のコンピュータでは、平方根と除算のコストはわずかに高くなるだけである。）

因数分解された形式でのカルマン予測と更新ステップのための効率的なアルゴリズムは、GJ BiermanとCL Thorntonによって開発された。^{[48] [49]}

イノベーション共分散行列S _kのL · D · LT分解は^、別の種類の数値的に効率的で堅牢な平方根フィルタの基礎となります。^[50]アルゴリズムは、線形代数パッケージ ( LAPACK ) に実装されている LU 分解から始まります。これらの結果は^、対称非特異行列に対して Golub と Van Loan (アルゴリズム 4.1.2) によって示された方法を使用して、L · D · LT構造にさらに因数分解されます。 ^[51]特異共分散行列はどれも、最初の対角パーティションが非特異で条件が整った になるようにピボットされます。ピボット アルゴリズムでは、 y _kの補助観測に関連付けられている 観測状態変数H _k · x _k|k-1に直接対応するイノベーション共分散行列の部分を保持する必要があります。l · d · l ^t平方根フィルタでは、観測ベクトルの直交化が必要です。 ^{[49] [50]}これは、ハイアム（2002、p.263）の方法2を使用して、補助変数の共分散行列の逆平方根で行うことができます。^[52]

平行形式

カルマンフィルタは、中央処理装置（CPU）上の逐次データ処理には効率的ですが、元の形式ではグラフィックス処理装置（GPU）などの並列アーキテクチャでは非効率的です。しかし、SärkkäとGarcía-Fernández（2021）の定式化を用いて、フィルタ更新ルーチンを結合演算子で表現することが可能です。^[53]そして、フィルタ解はGPU上で効率的に実装できるプレフィックスサムアルゴリズムを用いて取得できます。 ^[54]これにより、計算複雑度は時間ステップ数でから に削減されます。 ${\displaystyle O(N)}$ ${\displaystyle O(\log(N))}$

再帰ベイズ推定との関係

カルマンフィルタは、最も単純な動的ベイジアンネットワークの一つとして表現することができます。カルマンフィルタは、入力される測定値と数学的プロセスモデルを用いて、時間の経過に伴って再帰的に状態の真の値の推定値を計算し、それに基づいてベイジアンネットワークを構築します。同様に、再帰的ベイジアン推定は、入力される測定値と数学的プロセスモデルを用いて、時間の経過に伴って再帰的に未知の確率密度関数（PDF）の推定値を計算し、それに基づいてベイジアンネットワークを構築します。^[55]

再帰ベイズ推定では、真の状態は観測されないマルコフ過程であると想定され、測定値は隠れマルコフモデル (HMM) の観測された状態となります。

隠れマルコフモデル

マルコフ仮定により、真の状態は、直前の状態が与えられれば、それ以前のすべての状態から条件付きで独立しています。

${\displaystyle p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k-1})=p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1})}$

同様に、 k番目のタイムステップでの測定は現在の状態のみに依存し、現在の状態が与えられた場合、他のすべての状態からは条件付きで独立しています。

${\displaystyle p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k})=p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k})}$

これらの仮定を使用すると、隠れマルコフモデルのすべての状態にわたる確率分布は次のように簡単に記述できます。

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k},\mathbf {z} _{1},\dots ,\mathbf {z} _{k}\right)=p\left(\mathbf {x} _{0}\right)\prod _{i=1}^{k}p\left(\mathbf {z} _{i}\mid \mathbf {x} _{i}\right)p\left(\mathbf {x} _{i}\mid \mathbf {x} _{i-1}\right)}$

しかし、カルマンフィルタを用いて状態xを推定する場合、対象となる確率分布は、現在のタイムステップまでの測定結果に基づいて、現在の状態に関連付けられた分布となります。これは、以前の状態を周辺化して除外し、測定セットの確率で割ることによって実現されます。

これにより、カルマンフィルタの予測フェーズと更新フェーズは確率論的に記述されます。予測状態に関連付けられた確率分布は、( k − 1) 番目のタイムステップからk番目のタイムステップへの遷移に関連付けられた確率分布と、前の状態に関連付けられた確率分布の積を、すべての可能な範囲にわたって和（ 積分）したものになります。 ${\displaystyle x_{k-1}}$

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)=\int p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)p\left(\mathbf {x} _{k-1}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)\,d\mathbf {x} _{k-1}}$

時刻tまでの測定セットアップは

${\displaystyle \mathbf {Z} _{t}=\left\{\mathbf {z} _{1},\dots ,\mathbf {z} _{t}\right\}}$

更新の確率分布は、測定尤度と予測状態の積に比例します。

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k}\right)={\frac {p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)}{p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)}}}$

分母

${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)=\int p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)\,d\mathbf {x} _{k}}$

正規化項です。

残りの確率密度関数は

${\displaystyle {\begin{aligned}p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)&={\mathcal {N}}\left(\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1},\mathbf {Q} _{k}\right)\\p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)&={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right)\\p\left(\mathbf {x} _{k-1}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)&={\mathcal {N}}\left({\hat {\mathbf {x} }}_{k-1},\mathbf {P} _{k-1}\right)\end{aligned}}}$

前のタイムステップにおけるPDFは、推定された状態と共分散であると帰納的に仮定されます。これは、最適な推定器であるカルマンフィルタが測定値を最大限に活用するため、 測定値が与えられた場合のPDFがカルマンフィルタの推定値となるため、正当化されます。 ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{k}}$

周辺尤度

上述の再帰的ベイズ解釈に関連して、カルマンフィルタは生成モデル、すなわちランダムな観測値のストリームz = ( z ₀ , z ₁ , z _{2 , ...)を}生成するプロセスとして捉えることができる。具体的には、このプロセスは

1. ガウス事前分布から隠れ状態をサンプリングします。 ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ ${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{0}\right)={\mathcal {N}}\left({\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0},\mathbf {P} _{0\mid 0}\right)}$
2. 観測モデルから観測をサンプリングします。 ${\displaystyle \mathbf {z} _{0}}$ ${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{0}\mid \mathbf {x} _{0}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{0}\mathbf {x} _{0},\mathbf {R} _{0}\right)}$
3. については、 ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$
   1. 遷移モデルから次の隠れ状態をサンプリングする ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$ ${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k},\mathbf {Q} _{k}\right).}$
   2. 観測モデルから観測をサンプリングする ${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$ ${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right).}$

このプロセスは、離散状態と観測値がガウス分布からサンプリングされた連続変数に置き換えられることを除いて、隠れマルコフモデルと同一の構造を持ちます。

一部のアプリケーションでは、特定のパラメータセット（事前分布、遷移モデルと観測モデル、制御入力）を持つカルマンフィルタが特定の観測信号を生成する確率を計算することが有用です。この確率は、隠れ状態変数の値を積分（周辺化）するため、観測信号のみを用いて計算できるため、周辺尤度と呼ばれます。周辺尤度は、異なるパラメータの選択を評価したり、ベイズモデル比較を用いてカルマンフィルタを他のモデルと比較したりする際に有用です。

再帰フィルタリング計算の副作用として周辺尤度を計算するのは簡単です。連鎖律により、尤度は各観測値の確率と過去の観測値の積として因数分解できます。

${\displaystyle p(\mathbf {z} )=\prod _{k=0}^{T}p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {z} _{k-1},\ldots ,\mathbf {z} _{0}\right)}$、

カルマンフィルタはマルコフ過程を記述するため、過去の観測からのすべての関連情報は現在の状態推定値に含まれる。したがって、周辺尤度は次のように与えられる。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {P} _{k\mid k-1}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mathbf {z} )&=\prod _{k=0}^{T}\int p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{k-1},\ldots ,\mathbf {z} _{0}\right)d\mathbf {x} _{k}\\&=\prod _{k=0}^{T}\int {\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right){\mathcal {N}}\left(\mathbf {x} _{k};{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)d\mathbf {x} _{k}\\&=\prod _{k=0}^{T}{\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {R} _{k}+\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\right)\\&=\prod _{k=0}^{T}{\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {S} _{k}\right),\end{aligned}}}$

すなわち、ガウス分布の積であり、各ガウス分布は、現在のフィルタリング分布における1つの観測値z _kの密度に対応する。これは単純な再帰更新として容易に計算できるが、数値アンダーフローを回避するために、実際の実装では通常、代わりに対数周辺尤度を計算することが望ましい。慣例を採用すれば、これは再帰更新規則によって実行できる。 ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {S} _{k}}$ ${\displaystyle \ell =\log p(\mathbf {z} )}$ ${\displaystyle \ell ^{(-1)}=0}$

${\displaystyle \ell ^{(k)}=\ell ^{(k-1)}-{\frac {1}{2}}\left({\tilde {\mathbf {y} }}_{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}+\log \left|\mathbf {S} _{k}\right|+d_{y}\log 2\pi \right),}$

ここで、測定ベクトルの次元である。^[56] ${\displaystyle d_{y}}$

このような観測の (対数) 尤度 (フィルター パラメーターが与えられた場合) が使用される重要なアプリケーションは、マルチターゲット トラッキングです。たとえば、観測のストリームが入力であるが、シーン内にいくつのオブジェクトがあるかが不明である (または、オブジェクトの数はわかっているが 1 つより大きい) オブジェクト追跡シナリオを考えてみましょう。このようなシナリオでは、どの観測/測定値がどのオブジェクトによって生成されたかが事前に不明である可能性があります。複数仮説トラッカー (MHT) は通常、異なるトラック関連付け仮説を形成します。ここで、各仮説は、仮説対象オブジェクトに関連付けられた特定のパラメーター セットを持つカルマン フィルター (線形ガウスの場合) と見なすことができます。したがって、検討中のさまざまな仮説の観測の尤度を計算して、最も可能性の高い仮説を見つけることが重要です。

情報フィルター

観測ベクトルyの次元が状態空間ベクトルxの次元よりも大きい場合、情報フィルタは、予測ステップでより小さな行列を反転する代わりに、カルマンゲイン計算でより大きな行列の反転を回避することができるため、計算時間を節約できます。さらに、情報フィルタは、通常のカルマンフィルタでは不可能な、に従ってシステム情報を初期化することを可能にします。^{[57]情報フィルタ、または逆共分散フィルタでは、推定共分散と推定状態は、それぞれ}情報行列と情報ベクトルに置き換えられます。これらは次のように定義されます。 ${\displaystyle {I_{1|0}=P_{1|0}^{-1}=0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k}^{-1}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k}^{-1}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\end{aligned}}}$

同様に、予測共分散と状態には、次のように定義される同等の情報形式があります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k-1}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{-1}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{-1}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\end{aligned}}}$

測定共分散と測定ベクトルは次のように定義されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {I} _{k}&=\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {R} _{k}^{-1}\mathbf {H} _{k}\\\mathbf {i} _{k}&=\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {R} _{k}^{-1}\mathbf {z} _{k}\end{aligned}}}$

情報更新にかかる費用は今やわずかなものとなった。^[58]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {Y} _{k\mid k-1}+\mathbf {I} _{k}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {i} _{k}\end{aligned}}}$

情報フィルタの主な利点は、情報行列とベクトルを合計するだけで、 N個の測定値を各時間ステップでフィルタ処理できることです。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {Y} _{k\mid k-1}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {I} _{k,j}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {i} _{k,j}\end{aligned}}}$

情報フィルタを予測するために、情報行列と情報ベクトルをそれらの状態空間の同等のものに戻すか、あるいは情報空間予測を使用することができる。^[58]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} _{k}&=\left[\mathbf {F} _{k}^{-1}\right]^{\textsf {T}}\mathbf {Y} _{k-1\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{-1}\\\mathbf {C} _{k}&=\mathbf {M} _{k}\left[\mathbf {M} _{k}+\mathbf {Q} _{k}^{-1}\right]^{-1}\\\mathbf {L} _{k}&=\mathbf {I} -\mathbf {C} _{k}\\\mathbf {Y} _{k\mid k-1}&=\mathbf {L} _{k}\mathbf {M} _{k}+\mathbf {C} _{k}\mathbf {Q} _{k}^{-1}\mathbf {C} _{k}^{\textsf {T}}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}&=\mathbf {L} _{k}\left[\mathbf {F} _{k}^{-1}\right]^{\textsf {T}}{\hat {\mathbf {y} }}_{k-1\mid k-1}\end{aligned}}}$

固定ラグスムーザー

最適な固定ラグスムーザは、からまでの測定値を使用して、与えられた固定ラグに対するの最適推定値を提供します。^[59]これは、以前の理論を使用して拡張状態を介して導出することができ、フィルタの主な方程式は次のとおりです。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k-N\mid k}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbf {z} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {x} }}_{t\mid t}\\{\hat {\mathbf {x} }}_{t-1\mid t}\\\vdots \\{\hat {\mathbf {x} }}_{t-N+1\mid t}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {I} \\0\\\vdots \\0\\\end{bmatrix}}{\hat {\mathbf {x} }}_{t\mid t-1}+{\begin{bmatrix}0&\ldots &0\\\mathbf {I} &0&\vdots \\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &\mathbf {I} \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {x} }}_{t-1\mid t-1}\\{\hat {\mathbf {x} }}_{t-2\mid t-1}\\\vdots \\{\hat {\mathbf {x} }}_{t-N+1\mid t-1}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\mathbf {K} ^{(0)}\\\mathbf {K} ^{(1)}\\\vdots \\\mathbf {K} ^{(N-1)}\\\end{bmatrix}}\mathbf {y} _{t\mid t-1}}$

どこ：

• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{t\mid t-1}}$標準的なカルマンフィルタによって推定されます。
• ${\displaystyle \mathbf {y} _{t\mid t-1}=\mathbf {z} _{t}-\mathbf {H} {\hat {\mathbf {x} }}_{t\mid t-1}}$標準カルマンフィルタの推定を考慮して生成されたイノベーションです。
• さまざまなは新しい変数です。つまり、標準のカルマン フィルタには表示されません。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{t-i\mid t}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,N-1}$
• ゲインは次の方式で計算されます。

  ${\displaystyle \mathbf {K} ^{(i+1)}=\mathbf {P} ^{(i)}\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left[\mathbf {H} \mathbf {P} \mathbf {H} ^{\textsf {T}}+\mathbf {R} \right]^{-1}}$

そして

${\displaystyle \mathbf {P} ^{(i)}=\mathbf {P} \left[\left(\mathbf {F} -\mathbf {K} \mathbf {H} \right)^{\textsf {T}}\right]^{i}}$

ここで、およびは予測誤差共分散と標準カルマンフィルタのゲイン（すなわち、）です。 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{t\mid t-1}}$

推定誤差共分散が次のように定義されるならば

${\displaystyle \mathbf {P} _{i}:=E\left[\left(\mathbf {x} _{t-i}-{\hat {\mathbf {x} }}_{t-i\mid t}\right)^{*}\left(\mathbf {x} _{t-i}-{\hat {\mathbf {x} }}_{t-i\mid t}\right)\mid z_{1}\ldots z_{t}\right],}$

の推定値の改善は次のように表されることがわかります。 ${\displaystyle \mathbf {x} _{t-i}}$

${\displaystyle \mathbf {P} -\mathbf {P} _{i}=\sum _{j=0}^{i}\left[\mathbf {P} ^{(j)}\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {H} \mathbf {P} \mathbf {H} ^{\textsf {T}}+\mathbf {R} \right)^{-1}\mathbf {H} \left(\mathbf {P} ^{(i)}\right)^{\textsf {T}}\right]}$

固定間隔スムージング

最適固定区間平滑化器は、固定区間からまでの測定値を用いて、 ( ) の最適推定値を提供します。これは「カルマン平滑化」とも呼ばれます。一般的に使用されている平滑化アルゴリズムはいくつかあります。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid n}}$ ${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle \mathbf {z} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {z} _{n}}$

ラウフ・トゥング・シュトリーベル

ラウフ・トゥング・ストリーベル（RTS）スムージングは​​、固定間隔スムージングのための効率的な2パスアルゴリズムです。^[60]

フォワードパスは通常のカルマンフィルタアルゴリズムと同じです。これらのフィルタリングされた事前および事後状態推定値、および共分散は、バックワードパス（遡及予測）で使用するために保存されます。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$

逆方向パスでは、平滑化された状態推定値と共分散を計算します。最後の時間ステップから開始し、以下の再帰方程式を用いて時間を遡っていきます。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid n}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid n}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}+\mathbf {C} _{k}\left({\hat {\mathbf {x} }}_{k+1\mid n}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k+1\mid k}\right)\\\mathbf {P} _{k\mid n}&=\mathbf {P} _{k\mid k}+\mathbf {C} _{k}\left(\mathbf {P} _{k+1\mid n}-\mathbf {P} _{k+1\mid k}\right)\mathbf {C} _{k}^{\textsf {T}}\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {C} _{k}=\mathbf {P} _{k\mid k}\mathbf {F} _{k+1}^{\textsf {T}}\mathbf {P} _{k+1\mid k}^{-1}.}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{k\mid k}}$はタイムステップの事後状態推定値であり、はタイムステップの事前状態推定値です。共分散にも同じ表記法が適用されます。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{k+1\mid k}}$ ${\displaystyle k+1}$

修正ブライソン・フレイジャースムーザー

RTSアルゴリズムの代替として、Biermanによって開発された修正Bryson-Frazier（MBF）固定区間平滑化器があります。^[49]この平滑化器も、カルマンフィルタのフォワードパスから保存されたデータを処理するバックワードパスを使用します。バックワードパスの式は、各観測時刻において平滑化された状態と共分散を計算するために使用されるデータの再帰計算を含みます。

再帰方程式は

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {\Lambda }}_{k}&=\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}\mathbf {H} _{k}+{\hat {\mathbf {C} }}_{k}^{\textsf {T}}{\hat {\Lambda }}_{k}{\hat {\mathbf {C} }}_{k}\\{\hat {\Lambda }}_{k-1}&=\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}{\tilde {\Lambda }}_{k}\mathbf {F} _{k}\\{\hat {\Lambda }}_{n}&=0\\{\tilde {\lambda }}_{k}&=-\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}\mathbf {y} _{k}+{\hat {\mathbf {C} }}_{k}^{\textsf {T}}{\hat {\lambda }}_{k}\\{\hat {\lambda }}_{k-1}&=\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}{\tilde {\lambda }}_{k}\\{\hat {\lambda }}_{n}&=0\end{aligned}}}$

ここで、残差共分散は残差共分散であり、平滑化された状態と共分散は、以下の式に代入することで求められる。 ${\displaystyle \mathbf {S} _{k}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {C} }}_{k}=\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid n}&=\mathbf {P} _{k\mid k}-\mathbf {P} _{k\mid k}{\hat {\Lambda }}_{k}\mathbf {P} _{k\mid k}\\\mathbf {x} _{k\mid n}&=\mathbf {x} _{k\mid k}-\mathbf {P} _{k\mid k}{\hat {\lambda }}_{k}\end{aligned}}}$

または

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid n}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}{\tilde {\Lambda }}_{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\\\mathbf {x} _{k\mid n}&=\mathbf {x} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}{\tilde {\lambda }}_{k}.\end{aligned}}}$

MBFの重要な利点は、共分散行列の逆行列を求める必要がないことです。Biermanの導出は、基礎分布がガウス分布であると仮定するRTSスムーザーに基づいています。しかし、ガウス分布の仮定を必要としない固定点スムーザーの概念に基づくMBFの導出は、Gibbsによって示されています。^[61]

MBFは、フィルタ残差と、更新後のフィルタ状態の値と平滑化された状態の値との差の整合性チェックにも使用できる。^[62] ${\displaystyle \mathbf {x} _{k\mid k}-\mathbf {x} _{k\mid n}}$

最小分散スムージング

最小分散スムーザーは、モデルが線形であり、そのパラメータとノイズ統計が正確にわかっている場合、可能な限り最高の誤差性能を達成することができる。^{[63]このスムーザーは、最適な非因果}ウィーナーフィルタの時間変動状態空間一般化である。

平滑化計算は2つのパスで行われる。順方向計算は1ステップ先の予測器を必要とし、次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}_{k+1\mid k}&=(\mathbf {F} _{k}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}){\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {z} _{k}\\\alpha _{k}&=-\mathbf {S} _{k}^{-{\frac {1}{2}}}\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {S} _{k}^{-{\frac {1}{2}}}\mathbf {z} _{k}\end{aligned}}}$

上記のシステムは逆ウィーナー・ホップ因子として知られています。後方回帰は上記の順方向システムの随伴関数です。後方パスの結果は、 順方向方程式を時間反転したものに作用させ、その結果を時間反転させることで計算できます 。出力推定の場合、平滑化された推定値は次のように与えられます。 ${\displaystyle \beta _{k}}$ ${\displaystyle \alpha _{k}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid N}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {R} _{k}\beta _{k}}$

この最小分散平滑化の因果部分を取ると、次の式が得られる。

${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {R} _{k}\mathbf {S} _{k}^{-{\frac {1}{2}}}\alpha _{k}}$

これは最小分散カルマンフィルタと同一です。上記の解は、出力推定誤差の分散を最小化します。Rauch–Tung–Striebel平滑化器の導出では、基礎分布がガウス分布であると仮定していますが、最小分散解ではそうではないことに注意してください。状態推定と入力推定のための最適な平滑化器も同様に構築できます。

上記のスムージング装置の連続時間バージョンについては^{[64] [65]で説明されている。}

最小分散フィルタや平滑化器において、未知の状態空間パラメータの近似最大尤度推定値を計算するには、期待最大化アルゴリズムが用いられることがある。問題の仮定には不確実性が残ることが多い。不確実性を考慮した平滑化器は、リカッチ方程式に正定値項を追加することで設計できる。^[66]

モデルが非線形の場合、段階的な線形化は、最小分散フィルターとより滑らかな再帰（拡張カルマンフィルタリング）の範囲内で行われる可能性があります。

周波数加重カルマンフィルタ

異なる周波数における音の知覚に関する先駆的な研究は、1930年代にフレッチャーとマンソンによって行われました。彼らの研究は、産業騒音と難聴の調査において、測定された音響レベルに重み付けを行う標準的な方法につながりました。周波数重み付けはその後、フィルタやコントローラの設計において、対象帯域内の性能管理に利用されてきました。

通常、周波数整形関数は、特定の周波数帯域における誤差スペクトル密度の平均パワーに重み付けするために使用されます。 は、従来のカルマンフィルタの出力推定誤差を表します。また、 は因果周波数重み付け伝達関数を表します。 の分散を最小化する最適解は、 を単純に構築することによって得られます。 ${\displaystyle \mathbf {y} -{\hat {\mathbf {y} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {W} }$ ${\displaystyle \mathbf {W} \left(\mathbf {y} -{\hat {\mathbf {y} }}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {W} ^{-1}{\hat {\mathbf {y} }}}$

の設計は未解決の問題である。一つの方法としては、推定誤差を生成するシステムを特定し、そのシステムの逆関数を設定することである。^[67]この手順は、フィルタ次数の増加を犠牲にして平均二乗誤差の改善を得るために反復することができる。同じ手法は平滑化器にも適用できる。 ${\displaystyle \mathbf {W} }$ ${\displaystyle \mathbf {W} }$

非線形フィルタ

基本的なカルマンフィルタは線形仮定に限定されます。しかし、より複雑なシステムでは非線形となる場合があります。非線形性は、プロセスモデル、観測モデル、あるいはその両方に関係する場合があります。

非線形システムにおけるカルマンフィルタの最も一般的なバリエーションは、拡張カルマンフィルタとアンセンテッドカルマンフィルタです。どちらのフィルタを使用するのが適切かは、プロセスと観測モデルの非線形性指標によって異なります。^[68]

拡張カルマンフィルタ

拡張カルマンフィルタ（EKF）では、状態遷移モデルと観測モデルは状態の線形関数である必要はなく、非線形関数でも良い。これらの関数は微分可能な型である。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} _{k}&=f(\mathbf {x} _{k-1},\mathbf {u} _{k})+\mathbf {w} _{k}\\\mathbf {z} _{k}&=h(\mathbf {x} _{k})+\mathbf {v} _{k}\end{aligned}}}$

関数fは、前回の推定値から予測状態を計算するために使用でき、同様に関数hは、予測状態から予測測定値を計算するために使用できます。ただし、fとh を共分散に直接適用することはできません。代わりに、偏微分行列（ヤコビアン）が計算されます。

各タイムステップにおいて、ヤコビ行列は現在の予測状態を用いて評価されます。これらの行列はカルマンフィルタ方程式で使用できます。このプロセスは、基本的に非線形関数を現在の推定値を中心に線形化します。

無香料カルマンフィルタ

状態遷移モデルと観測モデル、つまり予測関数と更新関数が高度に非線形である場合、拡張カルマンフィルタのパフォーマンスは 特に低下する可能性があります。 ^{[69] [70]これは、基礎となる非線形モデルの線形化によって共分散が伝播されるためです。アンセンテッド カルマンフィルタ (UKF) [69]は}、アンセンテッド変換 (UT)と呼ばれる決定論的サンプリング手法を使用して、平均値の周りのサンプルポイント (シグマポイントと呼ばれる) の最小セットを選択します。次に、シグマポイントは非線形関数を介して伝播され、そこから新しい平均値と共分散の推定値が形成されます。結果として得られるフィルタは、UT の変換された統計量がどのように計算されるか、およびどのシグマポイントのセットが使用されるかによって異なります。常に一貫した方法で新しい UKF を構築できることに留意する必要があります。^[71] 特定のシステムでは、結果として得られる UKF の方が真の平均と共分散をより正確に推定します。^{[72]これは、}モンテカルロサンプリングや事後統計量のテイラー級数展開 によって検証できる。さらに、この手法はヤコビアンを明示的に計算する必要性を排除する。ヤコビアンは複雑な関数の場合、それ自体が困難な作業（つまり、解析的に行う場合は複雑な微分を必要とし、数値的に行う場合は計算コストが高くなる）となる可能性があり、場合によっては不可能となる（これらの関数が微分可能でない場合は）。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$

シグマポイント

ランダムベクトルの場合、シグマ点は任意のベクトルの集合である。 ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{L})}$

${\displaystyle \{\mathbf {s} _{0},\dots ,\mathbf {s} _{N}\}={\bigl \{}{\begin{pmatrix}s_{0,1}&s_{0,2}&\ldots &s_{0,L}\end{pmatrix}},\dots ,{\begin{pmatrix}s_{N,1}&s_{N,2}&\ldots &s_{N,L}\end{pmatrix}}{\bigr \}}}$

に起因する

• を満たす一次重み ${\displaystyle W_{0}^{a},\dots ,W_{N}^{a}}$

1. ${\displaystyle \sum _{j=0}^{N}W_{j}^{a}=1}$
2. すべての人のために： ${\displaystyle i=1,\dots ,L}$ ${\displaystyle E[x_{i}]=\sum _{j=0}^{N}W_{j}^{a}s_{j,i}}$

• 2次の重みを満たす ${\displaystyle W_{0}^{c},\dots ,W_{N}^{c}}$

1. ${\displaystyle \sum _{j=0}^{N}W_{j}^{c}=1}$
2. すべてのペアに対して。 ${\displaystyle (i,l)\in \{1,\dots ,L\}^{2}:E[x_{i}x_{l}]=\sum _{j=0}^{N}W_{j}^{c}s_{j,i}s_{j,l}}$

UKFアルゴリズムにおけるシグマポイントと重みの簡単な選択は、 ${\displaystyle \mathbf {x} _{k-1\mid k-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {s} _{0}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}\\-1&<W_{0}^{a}=W_{0}^{c}<1\\\mathbf {s} _{j}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+{\sqrt {\frac {L}{1-W_{0}}}}\mathbf {A} _{j},\quad j=1,\dots ,L\\\mathbf {s} _{L+j}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}-{\sqrt {\frac {L}{1-W_{0}}}}\mathbf {A} _{j},\quad j=1,\dots ,L\\W_{j}^{a}&=W_{j}^{c}={\frac {1-W_{0}}{2L}},\quad j=1,\dots ,2L\end{aligned}}}$

ここで はの平均推定値です。ベクトルはのj番目の列で、 です。通常、は のコレスキー分解によって得られます。注意すれば、フィルタ方程式はの中間計算なしに直接評価されるように表現できます。これは平方根アンセンテッドカルマンフィルタと呼ばれます。^[73] ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{k-1\mid k-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k-1\mid k-1}=\mathbf {AA} ^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k-1\mid k-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k-1\mid k-1}}$

平均値の重みは任意に選択できます。 ${\displaystyle W_{0}}$

もう一つの一般的なパラメータ化（上記を一般化する）は

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {s} _{0}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}\\W_{0}^{a}&={\frac {\alpha ^{2}\kappa -L}{\alpha ^{2}\kappa }}\\W_{0}^{c}&=W_{0}^{a}+1-\alpha ^{2}+\beta \\\mathbf {s} _{j}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+\alpha {\sqrt {\kappa }}\mathbf {A} _{j},\quad j=1,\dots ,L\\\mathbf {s} _{L+j}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}-\alpha {\sqrt {\kappa }}\mathbf {A} _{j},\quad j=1,\dots ,L\\W_{j}^{a}&=W_{j}^{c}={\frac {1}{2\alpha ^{2}\kappa }},\quad j=1,\dots ,2L.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \alpha }$シグマポイントの広がりを制御します。 はの分布と関連しています。これは、、、のいずれか1つを任意に選択できるという意味で、過剰パラメータ化であることに注意してください。 ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \kappa }$

適切な値は問題によって異なりますが、通常は、、、が推奨されます。^{[引用が必要]}の真の分布がガウス分布である場合、が最適です。^[74] ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \beta =0}$ ${\displaystyle \kappa \approx 3L/2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \beta =2}$

予測する

EKF と同様に、UKF 予測は UKF 更新とは独立して使用することも、線形 (または EKF) 更新と組み合わせて使用​​することも、その逆も可能です。

平均と共分散の推定値、およびが与えられれば、上記のセクションで説明したようにシグマポイントが得られます。シグマポイントは遷移関数fを通じて伝播します。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k-1\mid k-1}}$ ${\displaystyle N=2L+1}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{j}=f\left(\mathbf {s} _{j}\right)\quad j=0,\dots ,2L}$。

伝播されたシグマ ポイントは重み付けされ、予測される平均と共分散が生成されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}&=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{a}\mathbf {x} _{j}\\\mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{c}\left(\mathbf {x} _{j}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\left(\mathbf {x} _{j}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k}\end{aligned}}}$

ここで、 は元のシグマポイントの1次重み、 は2次重みです。行列 は遷移ノイズの共分散です。 ${\displaystyle W_{j}^{a}}$ ${\displaystyle W_{j}^{c}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$

アップデート

予測推定値とが与えられると、対応する1次重みと2次重みを持つ新しいシグマポイントの集合が計算される。^[75]これらのシグマポイントは測定関数を通じて変換される。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k-1}}$ ${\displaystyle N=2L+1}$ ${\displaystyle \mathbf {s} _{0},\dots ,\mathbf {s} _{2L}}$ ${\displaystyle W_{0}^{a},\dots W_{2L}^{a}}$ ${\displaystyle W_{0}^{c},\dots ,W_{2L}^{c}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle \mathbf {z} _{j}=h(\mathbf {s} _{j}),\,\,j=0,1,\dots ,2L}$。

次に、変換されたポイントの経験平均と共分散が計算されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {z} }}&=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{a}\mathbf {z} _{j}\\[6pt]{\hat {\mathbf {S} }}_{k}&=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{c}(\mathbf {z} _{j}-{\hat {\mathbf {z} }})(\mathbf {z} _{j}-{\hat {\mathbf {z} }})^{\textsf {T}}+\mathbf {R_{k}} \end{aligned}}}$

ここで、は観測ノイズの共分散行列である。さらに、相互共分散行列も必要となる。 ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {C_{xz}} &=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{c}(\mathbf {x} _{j}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1})(\mathbf {z} _{j}-{\hat {\mathbf {z} }})^{\textsf {T}}.\end{aligned}}}$

カルマンゲインは

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{k}=\mathbf {C_{xz}} {\hat {\mathbf {S} }}_{k}^{-1}.\end{aligned}}}$

更新された平均と共分散の推定値は

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}+\mathbf {K} _{k}(\mathbf {z} _{k}-{\hat {\mathbf {z} }})\\\mathbf {P} _{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}{\hat {\mathbf {S} }}_{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}.\end{aligned}}}$

識別カルマンフィルタ

観測モデルが高度に非線形かつ非ガウス分布である場合、ベイズの定理を 適用して推定することが有利となる可能性がある。 ${\displaystyle p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k})}$

${\displaystyle p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k})\approx {\frac {p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{k})}{p(\mathbf {x} _{k})}}}$

ここで、非線形関数は です。これは、標準的なカルマンフィルタの生成仕様を、観測値が与えられた潜在状態の識別モデルに置き換えます。 ${\displaystyle p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{k})\approx {\mathcal {N}}(g(\mathbf {z} _{k}),Q(\mathbf {z} _{k}))}$ ${\displaystyle g,Q}$

定常状態モデルでは

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mathbf {x} _{1})&={\mathcal {N}}(0,\mathbf {T} ),\\p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1})&={\mathcal {N}}(\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1},\mathbf {C} ),\end{aligned}}}$

ここで、もし ${\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {F} \mathbf {T} \mathbf {F} ^{\intercal }+\mathbf {C} }$

${\displaystyle p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{1:k})\approx {\mathcal {N}}({\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1},\mathbf {P} _{k|k-1}),}$

新たな観察結果から、次のことが導かれる^[76]。 ${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$

${\displaystyle p(\mathbf {x} _{k+1}\mid \mathbf {z} _{1:k+1})\approx {\mathcal {N}}({\hat {\mathbf {x} }}_{k+1|k},\mathbf {P} _{k+1|k})}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} _{k+1}&=\mathbf {F} \mathbf {P} _{k|k-1}\mathbf {F} ^{\intercal }+\mathbf {C} ,\\\mathbf {P} _{k+1|k}&=(\mathbf {M} _{k+1}^{-1}+Q(\mathbf {z} _{k})^{-1}-\mathbf {T} ^{-1})^{-1},\\{\hat {\mathbf {x} }}_{k+1|k}&=\mathbf {P} _{k+1|k}(\mathbf {M} _{k+1}^{-1}\mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}+\mathbf {P} _{k+1|k}^{-1}g(\mathbf {z} _{k})).\end{aligned}}}$

この近似は正定値であることが必要であることに注意する。そうでない場合は、 ${\displaystyle Q(\mathbf {z} _{k})^{-1}-\mathbf {T} ^{-1}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k+1|k}=(\mathbf {M} _{k+1}^{-1}+Q(\mathbf {z} _{k})^{-1})^{-1}}$

代わりに使用される。このようなアプローチは、観測値の次元が潜在状態の次元よりもはるかに大きい場合に特に有用であることが証明されており^[77]、観測モデルの非定常性に対して特に堅牢なフィルタを構築するために使用できる。^[78]

適応カルマンフィルタ

適応カルマンフィルタは、プロセスモデルでモデル化されていないプロセスダイナミクスに適応することを可能にする。これは、例えば、一定速度（低次元）カルマンフィルタが追跡に使用される場合の操縦ターゲットのコンテキストで発生する。^[79] ${\displaystyle \mathbf {F} (t)}$

カルマン・ビューシーフィルタ

カルマン・ビューシーフィルタリング（リチャード・スノーデン・ビューシーにちなんで名付けられた）は、カルマンフィルタリングの連続時間バージョンである。^{[80] [81]}

これは状態空間モデルに基づいている

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)+\mathbf {w} (t)\\\mathbf {z} (t)&=\mathbf {H} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {v} (t)\end{aligned}}}$

ここで、 と はそれぞれ 2 つのホワイトノイズ項との強度を表します。 ${\displaystyle \mathbf {Q} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {w} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$

フィルタは、状態推定用と共分散用の 2 つの微分方程式で構成されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}{\hat {\mathbf {x} }}(t)&=\mathbf {F} (t){\hat {\mathbf {x} }}(t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)+\mathbf {K} (t)\left(\mathbf {z} (t)-\mathbf {H} (t){\hat {\mathbf {x} }}(t)\right)\\{\frac {d}{dt}}\mathbf {P} (t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {P} (t)\mathbf {F} ^{\textsf {T}}(t)+\mathbf {Q} (t)-\mathbf {K} (t)\mathbf {R} (t)\mathbf {K} ^{\textsf {T}}(t)\end{aligned}}}$

ここでカルマンゲインは次のように与えられる。

${\displaystyle \mathbf {K} (t)=\mathbf {P} (t)\mathbf {H} ^{\textsf {T}}(t)\mathbf {R} ^{-1}(t)}$

この式では観測ノイズの共分散は同時に予測誤差（またはイノベーション）の共分散も表していることに注意する。これらの共分散は連続時間の場合にのみ等しい。^[82] ${\displaystyle \mathbf {K} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} (t)}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {y} }}(t)=\mathbf {z} (t)-\mathbf {H} (t){\hat {\mathbf {x} }}(t)}$

離散時間カルマンフィルタリングの予測ステップと更新ステップの区別は、連続時間では存在しません。

共分散を求める第2微分方程式は、リカッチ方程式の一例である。カルマン・ビューシーフィルタの非線形一般化には、連続時間拡張カルマンフィルタが含まれる。

ハイブリッドカルマンフィルタ

ほとんどの物理システムは連続時間モデルとして表現されるが、離散時間測定はデジタルプロセッサによる状態推定のために頻繁に行われる。したがって、システムモデルと測定モデルは次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)+\mathbf {w} (t),&\mathbf {w} (t)&\sim N\left(\mathbf {0} ,\mathbf {Q} (t)\right)\\\mathbf {z} _{k}&=\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k}+\mathbf {v} _{k},&\mathbf {v} _{k}&\sim N(\mathbf {0} ,\mathbf {R} _{k})\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {x} (t_{k})}$。

初期化

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0}=E\left[\mathbf {x} (t_{0})\right],\mathbf {P} _{0\mid 0}=\operatorname {Var} \left[\mathbf {x} \left(t_{0}\right)\right]}$

予測する

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)&=\mathbf {F} (t){\hat {\mathbf {x} }}(t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t){\text{, with }}{\hat {\mathbf {x} }}\left(t_{k-1}\right)={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}\\\Rightarrow {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}&={\hat {\mathbf {x} }}\left(t_{k}\right)\\{\dot {\mathbf {P} }}(t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {P} (t)\mathbf {F} (t)^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} (t){\text{, with }}\mathbf {P} \left(t_{k-1}\right)=\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}\\\Rightarrow \mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\mathbf {P} \left(t_{k}\right)\end{aligned}}}$

予測方程式は、測定からの更新を行わない連続時間カルマンフィルタの方程式から導出されます。すなわち、 です。予測状態と共分散は、それぞれ、前ステップの推定値に等しい初期値を持つ微分方程式を解くことによって計算されます。 ${\displaystyle \mathbf {K} (t)=0}$

線形時間不変システムの場合、連続時間ダイナミクスは、行列指数を使用して離散時間システムに正確に離散化できます。

アップデート

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k}\right)^{-1}\\{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\\\mathbf {P} _{k\mid k}&=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\end{aligned}}}$

更新方程式は離散時間カルマン フィルタの方程式と同一です。

疎な信号の回復のための変種

従来のカルマンフィルタは、ノイズの多い観測からスパースな、場合によっては動的な信号を復元するためにも用いられてきた。最近の研究^{[83] [84] [85]では、}圧縮センシング／サンプリング理論の概念、例えば制限付き等長性や関連する確率的復元論などを用いて、本質的に低次元のシステムにおけるスパース状態を逐次推定している。

ガウス過程との関係

線形ガウス状態空間モデルはガウス過程につながるため、カルマンフィルタはガウス過程回帰の逐次ソルバーとして見ることができる。^[86]

アプリケーション

• 姿勢および方位基準システム
• 自動操縦
• 電気バッテリーの 充電状態（SoC）の推定^{[87] [88]}
• 脳コンピュータインターフェース^{[76] [78] [77]}
• 粒子検出器における荷電粒子の追跡と頂点フィッティング^[89]
• コンピュータビジョンにおける物体の追跡
• 海運におけるダイナミックポジショニング
• 経済学、特にマクロ経済学、時系列分析、計量経済学^[90]
• 慣性誘導システム
• 核医学- 単一光子放出コンピュータ断層撮影画像修復^[91]
• 軌道決定
• 電力システムの状態推定
• レーダートラッカー
• 衛星ナビゲーションシステム
• 地震学^[92]
• ACモータ可変周波数ドライブのセンサレス制御
• 同時位置特定とマッピング
• 音声強調
• 視覚オドメトリ
• 天気予報
• ナビゲーションシステム
• 3Dモデリング
• 構造健全性モニタリング
• 人間の感覚運動処理^[93]

参照

• アルファベータフィルター
• 逆分散重み付け
• 共分散交差
• データ同化
• アンサンブルカルマンフィルタ
• 拡張カルマンフィルタ
• 高速カルマンフィルタ
• フィルタリング問題（確率過程）
• 一般化フィルタリング
• 不変拡張カルマンフィルタ
• カーネル適応フィルタ
• マスレリエの定理
• 移動地平線の推定
• 粒子フィルタ推定器
• PIDコントローラ
• 予測子修正子法
• 再帰最小二乗フィルタ
• シュミット・カルマンフィルタ
• 分離原理
• スライディングモード制御
• 状態遷移行列
• 確率微分方程式
• スイッチングカルマンフィルタ

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さらに読む

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外部リンク

• 線形フィルタリングと予測問題への新しいアプローチ、REカルマン著、1960年
• Pythonで学ぶカルマンフィルタとベイジアンフィルタ。オープンソースのカルマンフィルタの教科書。
• カルマンフィルタの仕組みを図解で解説。カルマンフィルタを画像と色彩でわかりやすく解説します。

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