カンファイブレーション

Map between simplicial sets with lifting property

数学において、カン複体とカンファイブレーションは単体集合論の一部です。カンファイブレーションは、単体集合上の標準モデル圏構造のファイブレーションであり、したがって根本的に重要です。カン複体は、このモデル圏におけるファイブラント対象です。 その名称はダニエル・カンに敬意を表して付けられました

単体集合のさまざまな種類のファイバ化については、「単体集合のファイバ化」を参照してください。

定義

標準n単体の定義

この写像がカンファイバ化されるためには、領域内の青い縞模様の単体が存在しなければならない。

各n  ≥ 0に対して、標準単体 ${\displaystyle n}$、は表現可能な単体集合である ことを思い出してください。 ${\displaystyle \Delta ^{n}}$

${\displaystyle \Delta ^{n}(i)=\mathrm {Hom} _{\mathbf {\Delta } }([i],[n])}$

この単体集合に幾何学的実現関数を適用すると、位相標準の-単体 ${\displaystyle n}$に同相な空間、つまり、座標が非負で合計が 1 になるようなすべての点からなる凸部分空間が得られます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle (t_{0},\dots ,t_{n})}$

ホーンの定義

各k  ≤  nに対して、これは部分複体 を持ち、これはの内側のk番目の角で、n -単体の境界からk番目の面を取り除いたものに対応する。これは、 の他のすべての面に対応するn個の写像の像の和集合など、様々な方法で正式に定義できる。[ ^1]内側にある形の角は、隣接する像の上部にある黒い V のように見える。 が単体集合である場合、写像 ${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n-1}\rightarrow \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \Lambda _{k}^{2}}$ ${\displaystyle \Delta ^{2}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle s:\Lambda _{k}^{n}\to X}$

は、各 に対して1つずつ、適合条件を満たす -単体の集合に対応する。明示的には、この条件は次のように書ける。-単体をリストとして書き、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n-1}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle (s_{0},\dots ,s_{k-1},s_{k+1},\dots ,s_{n})}$

${\displaystyle d_{i}s_{j}=d_{j-1}s_{i}\,}$すべての人のために。[ ^2] ${\displaystyle i<j}$ ${\displaystyle i,j\neq k}$

これらの条件は、内部に座るという単純な行為に対して満たされます。 ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$

カンファイブレーションの定義

カンファイブレーションのリフティングダイアグラム

単体集合の写像がカンファイブレーションであるとは、任意の および に対して、かつ任意の写像および に対して（はへの の包含） かつ となる写像が存在するときである。このように述べると、その定義は位相幾何学におけるファイブレーションの定義と非常に似ている（ホモトピーの持ち上げ特性も参照）。そのため、「ファイブレーション」という名前が付けられている。 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ ${\displaystyle s:\Lambda _{k}^{n}\rightarrow X}$ ${\displaystyle y:\Delta ^{n}\rightarrow Y\,}$ ${\displaystyle f\circ s=y\circ i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle x:\Delta ^{n}\rightarrow X}$ ${\displaystyle s=x\circ i}$ ${\displaystyle y=f\circ x}$

技術的なコメント

単体集合の -単体と射（米田の補題の帰結）との対応関係を用いることで、この定義は単体を用いて記述することができる。写像の像は、上で述べたように角として考えることができる。を通して因数となることを問うことは、その面が（他の一つの面と共に）からの角を構成するような-単体が存在することを要求するのに対応する。すると、要求される写像は、その面が からの角を含む単体に対応する。右の図は二次元の例である。下の図の黒い V は青い-単体で埋められているので、上の黒い V がそれに写像するならば、縞模様の青い-単体が、点線の青い -単体とともに、自明な方法で写像されて存在しなければならない。^[3] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}\to X}$ ${\displaystyle fs:\Lambda _{k}^{n}\to Y}$ ${\displaystyle fs}$ ${\displaystyle yi}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle fs}$ ${\displaystyle x:\Delta ^{n}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1}$

Kanファイバーから定義されるKan複体

単体集合は、一点単体集合からの写像が Kan ファイブレーションであるとき、Kan 複体と呼ばれる。単体集合のモデル圏では、 は終端対象であり、したがって Kan 複体はファイブラント対象と全く同じである。同様に、これは次のようにも言える。ホーンからのすべての写像が への拡張を持つとき、つまり という揚力が存在する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to \{*\}}$ ${\displaystyle \{*\}}$ ${\displaystyle \alpha :\Lambda _{k}^{n}\to X}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}:\Delta ^{n}\to X}$

${\displaystyle \alpha ={\tilde {\alpha }}\circ \iota }$

包含写像 の場合、 はカン複体である。逆に、すべてのカン複体はこの性質を持つため、カン複体となるための単純な技術的条件を与える。 ${\displaystyle \iota :\Lambda _{k}^{n}\hookrightarrow \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle X}$

例

特異ホモロジーからの単体集合

重要な例は、特異ホモロジーを定義するために使用される特異単体、つまり特異関数 の構築から得られます^{[4] 7ページ}

${\displaystyle S:{\text{Top}}\to s{\text{Sets}}}$。

空間が与えられたとき、X の特異-単体を、 標準的な位相-単体（上記参照）から への連続写像として定義します ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f:\Delta _{n}\to X}$

これらの写像をすべての非負に対して集合化すると、次数付き集合が得られる。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle S(X)=\coprod _{n}S_{n}(X)}$。

これを単体集合にするには、面マップを次のように 定義します。 ${\displaystyle d_{i}:S_{n}(X)\to S_{n-1}(X)}$

${\displaystyle (d_{i}f)(t_{0},\dots ,t_{n-1})=f(t_{0},\dots ,t_{i-1},0,t_{i},\dots ,t_{n-1})\,}$

および退化マップ ${\displaystyle s_{i}:S_{n}(X)\to S_{n+1}(X)}$

${\displaystyle (s_{i}f)(t_{0},\dots ,t_{n+1})=f(t_{0},\dots ,t_{i-1},t_{i}+t_{i+1},t_{i+2},\dots ,t_{n+1})\,}$。

の任意の面の和はの強い変形後退であるので、これらの面上で定義された任意の連続関数は に拡張することができ、これはが Kan 複体であることを示す。^[5] ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \Delta _{n+1}}$ ${\displaystyle \Delta _{n+1}}$ ${\displaystyle \Delta _{n+1}}$ ${\displaystyle S(X)}$

幾何学的実現との関係

特異関数が幾何学的実現関数の右随伴関数で あることは注目に値する。

${\displaystyle |\cdot |:s{\text{Sets}}\to {\text{Top}}}$

同型性を与える

${\displaystyle {\text{Hom}}_{\text{Top}}(|X|,Y)\cong {\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(X,S(Y))}$

参照：カン複体に関するミルナーの定理

単体群の基礎となる単体集合

単体群の基礎となる単体集合は常にフィブラントであることが示される^{[4] 12ページ}。特に、単体アーベル群の場合、その幾何学的実現はアイレンベルグ・マクレーン空間の積にホモトピー同値である。

${\displaystyle \prod _{i\in I}K(A_{i},n_{i})}$

特に、これには空間 の分類が含まれます。したがって、空間、、および無限レンズ空間 は、ある単体集合のカン複体に対応します。実際、この集合は、鎖複体のドルド-カン対応と、単体アーベル群の基礎となる単体集合を用いることで明示的に構成できます。 ${\displaystyle S^{1}\simeq K(\mathbb {Z} ,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }\simeq K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle L_{q}^{\infty }\simeq K(\mathbb {Z} /q,2)}$

小群体の幾何学的実現

もう一つの重要な例としては、小さな群 に関連付けられた単体集合が挙げられる。これは単体集合の幾何学的実現として定義され、通常は と表記される。これを無限群 に置き換えることも可能である。無限群 の幾何学的実現のホモトピー圏は、ホモトピー型のホモトピー圏と同値であると推測される。これはホモトピー仮説と呼ばれる。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle [\Delta ^{op},{\mathcal {G}}]}$ ${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

写像空間

を∞-圏とする。そして、各対象 に対して、点上ののファイバーを とする。そして、はカン複体である。^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle \operatorname {Map} _{X}(x,y)}$ ${\displaystyle (s,t):{\underline {\operatorname {Hom} }}(\Delta ^{1},X)\to X^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \operatorname {Map} _{X}(x,y)}$

ポストニコフ断面

XをKan複体とする。すると、n次のポストニコフ断面 は単体集合であり、は の余等化子となる。^[7]このとき、以下は直接検証できる ${\displaystyle P_{n}X}$ ${\displaystyle P_{n}X_{m}}$ ${\displaystyle X_{m}\rightrightarrows \operatorname {cosk} _{n}X_{m}}$

• ${\displaystyle P_{n}X}$は Kan 複合体であり、Kan ファイブレーションです。 ${\displaystyle X\to P_{n}X}$
• 誘導写像は、X上の基点の各選択および に対する同型写像です。 ${\displaystyle \pi _{i}X\to \pi _{i}P_{n}X}$ ${\displaystyle i=0}$ ${\displaystyle 0<i\leq n}$
• ${\displaystyle \pi _{i}X=0}$それぞれについて、 X上の基点を選択します。 ${\displaystyle i>n}$

単体集合Xに対して、 がEx∞関手であるとします。 ${\displaystyle P_{n}X=P_{n}\operatorname {Ex} ^{\infty }X}$ ${\displaystyle \operatorname {Ex} ^{\infty }}$

非例：標準n単体

標準n単体はKan複体ではないことが判明しました^{[8] 38ページ}。一般的な反例の構成は、例えば低次元の例を見ることで見つけることができます。写像を ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{1}}$ ${\displaystyle \Lambda _{0}^{2}\to \Delta ^{1}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}[0,2]\mapsto [0,0]&[0,1]\mapsto [0,1]\end{matrix}}}$

は反例となる。なぜなら、写像は順序保存性を持つ必要があるため、写像に拡張することはできないからである。もし写像が存在するなら、 ${\displaystyle \Delta ^{2}\to \Delta ^{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0\mapsto 0\\1\mapsto 1\\2\mapsto 0\end{aligned}}}$

しかし、これは単体集合のマップではありません。

カテゴリー特性

単体的エンリッチメントと関数複体

単体集合には関数 complexと呼ばれる関連する単体集合があり、単体は次のように定義される。 ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle {\textbf {Hom}}(X,Y)}$

${\displaystyle {\textbf {Hom}}_{n}(X,Y)={\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(X\times \Delta ^{n},Y)}$

順序写像に対しては誘導写像が存在する ${\displaystyle \theta :[m]\to [n]}$

${\displaystyle \theta ^{*}:{\textbf {Hom}}(X,Y)_{n}\to {\textbf {Hom}}(X,Y)_{m}}$

（ホムの最初の因子は反変なので）写像を合成に送ることで定義される ${\displaystyle f:X\times \Delta ^{n}\to Y}$

${\displaystyle X\times \Delta ^{m}\xrightarrow {1\times \theta } X\times \Delta ^{n}\xrightarrow {f} Y}$

指数法則

この複体には、次のような単体集合の指数法則があります

${\displaystyle {\text{ev}}_{*}:{\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(K,{\textbf {Hom}}(X,Y))\to {\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(X\times K,Y)}$

合成マップにマップを送信する ${\displaystyle f:K\to {\textbf {Hom}}(X,Y)}$

${\displaystyle X\times K\xrightarrow {1\times g} X\times {\textbf {Hom}}(X,Y)\xrightarrow {ev} Y}$

ここで、 はn 単体 に持ち上げられます。 ${\displaystyle ev(x,f)=f(x,\iota _{n})}$ ${\displaystyle \iota _{n}\in {\text{Hom}}_{\Delta }([n],[n])}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$

カンファイブレーションとプルバック

（カン）ファイブレーションと単体集合の包含が与えられると、ファイブレーションが存在する^{[4] 21ページ} ${\displaystyle p:X\to Y}$ ${\displaystyle i:K\hookrightarrow L}$

${\displaystyle {\textbf {Hom}}(L,X)\xrightarrow {(i^{*},p_{*})} {\textbf {Hom}}(K,X)\times _{{\textbf {Hom}}(K,Y)}{\textbf {Hom}}(L,Y)}$

（ここで、は単体集合のカテゴリにおける関数複素数に含まれる）可換図式から誘導される ${\displaystyle {\textbf {Hom}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\textbf {Hom}}(L,X)&\xrightarrow {p_{*}} &{\textbf {Hom}}(L,Y)\\i^{*}\downarrow &&\downarrow i^{*}\\{\textbf {Hom}}(K,X)&\xrightarrow {p_{*}} &{\textbf {Hom}}(K,Y)\end{matrix}}}$

ここで、 は前合成によって与えられる引き戻し写像であり、 は後合成によって与えられる押し出し写像である。特に、前のファイブレーションは、 とがファイブレーションであることを示唆する。 ${\displaystyle i^{*}}$ ${\displaystyle p_{*}}$ ${\displaystyle p_{*}:{\textbf {Hom}}(L,X)\to {\textbf {Hom}}(L,Y)}$ ${\displaystyle i^{*}:{\textbf {Hom}}(L,Y)\to {\textbf {Hom}}(K,Y)}$

上記はガブリエルとジスマンの定理の結果です。

カン複体のホモトピー群

フィブラント単体集合のホモトピー群は、それを実現する位相空間のホモトピー群と一致するように、角を用いて組み合わせ的に定義することができる。カン複体と頂点に対して、集合 は、特定の可換図式に適合する単体集合の写像全体の集合として定義される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x:\Delta ^{0}\to X}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$ ${\displaystyle \alpha :\Delta ^{n}\to X}$

${\displaystyle \pi _{n}(X,x)=\left\{\alpha :\Delta ^{n}\to X:{\begin{matrix}\Delta ^{n}&{\overset {\alpha }{\to }}&X\\\uparrow &&\uparrow x\\\partial \Delta ^{n}&\to &\Delta ^{0}\end{matrix}}\right\}}$

点に写像される事実は、標準単位球の商として球の定義と等しいことに注意する。 ${\displaystyle \partial \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle B^{n}/\partial B^{n}}$

${\displaystyle B^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:||x||_{eu}\leq 1\}}$

群構造の定義には、もう少し作業が必要です。基本的に、2つの写像が与えられた場合、それらの和を与えるような-単体が存在します。この写像は写像の単体ホモトピー類まで定義され、群構造を与えます。さらに、群はに対してアーベル群です。 に対して、 は頂点写像のホモトピー類として定義されます。 ${\displaystyle \alpha ,\beta :\Delta ^{n}\to X}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle \omega :\Delta ^{n+1}\to X}$ ${\displaystyle d_{n}\omega :\Delta ^{n}\to X}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \pi _{0}(X)}$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle x:\Delta ^{0}\to X}$

単体集合のホモトピー群

モデル圏を用いると、任意の単体集合は、単体集合のホモトピー圏においてホモトピー同値となるフィブラント置換を持つ。すると、 のホモトピー群は次のように定義できる^[要出典] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi _{n}(X,x):=\pi _{n}({\hat {X}},{\hat {x}})}$

ここで、は から への持ち上げである。これらのフィブラント置換は、連鎖複体の分解（射影分解や平坦分解など）の位相的な類似物と考えることができる。 ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle x:\Delta ^{0}\to X}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$

カン

カン複体自体は、カンと呼ばれる弱いカン複体を形成します。つまり、まず、対象がカン複体であり、射が単体集合の写像である圏Kを考えます。前層の圏は内部Homを持つため、 Kの各Hom集合は単体集合の構造を持ちます。つまり、Kは単体圏です。そのホモトピーコヒーレント神経は

${\displaystyle {\textbf {Kan}}:=N^{hc}(K)}$

は弱いカン複体（∞-圏）である。^[9]ホモトピー仮説の観点から、これはしばしば空間 = ∞-群体の∞-圏としてとらえられ、あるいは他のいくつかの変形として表記される。 ${\displaystyle {\mathsf {S}}}$

参照:普遍左線維化。

参照

• 単体ホモトピー理論
• 単体的に豊富な圏
• 弱いカン複体（準カテゴリ、∞カテゴリとも呼ばれる）
• ∞群
• 最小ファイブレーション

脚注

1. GoerssとJardine、7ページ参照
2. 1992年5月、2ページ
3. メイはこの単純な定義を使用している。1992年メイ、25ページを参照。
4. Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (2009).単体ホモトピー理論. バーゼル大学図書館. ISBN 978-3-0346-0188-7 OCLC  837507571
5. 3ページ参照
6. Cisinski 2023、§3.7.1。
7. § 5.6. Jardine, John F. (2015).局所ホモトピー理論. Springer Monographs in Mathematics. ニューヨーク: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4939-2300-7. ISBN 978-1-4939-2299-4 MR  3309296
8. フリードマン、グレッグ (2016年10月3日). 「単体集合への初等的な図解入門」. arXiv : 0809.4221 [math.AT]
9. ルリー、ジェイコブ. 「構成 5.5.1.1 (空間の∞圏)」.ケラドン: ホモトピーコヒーレント数学のオンラインリソース.

参考文献

• フリードマン、グレッグ (2012). 「サーベイ記事：図解による単体集合の初歩的入門」ロッキーマウンテン数学ジャーナル42 (2). arXiv : 0809.4221 . doi : 10.1216/RMJ-2012-42-2-353
• Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999).単体ホモトピー理論. バーゼル: バーゼル・ビルクハウザー. doi :10.1007/978-3-0348-8707-6. ISBN 978-3-0348-9737-2 MR  1711612
• メイ、J. ピーター(1992) [1967].代数的位相幾何学における単体的対象. シカゴ数学講義. シカゴ、イリノイ州：シカゴ大学出版局. ISBN 0-226-51180-4 MR  1206474
• ピエール・ガブリエル、ミシェル・ジスマン、『分数の微積分とホモトピー理論』、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete、Band 35、Springer (1967) [1]
• Cisinski, Denis-Charles (2023). 高次圏とホモトピー代数(PDF) .ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1108473200。
• ニコラウス、トーマス (2011). 「高次カテゴリのための代数モデル」. Indagationes Mathematicae . 21 ( 1–2 ): 52–75 . arXiv : 1003.1342 . doi :10.1016/j.indag.2010.12.004

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