キース番号

Type of number introduced by Mike Keith

娯楽数学において、キース数または反復フィジット数（反復フィボナッチのような数字の略）とは、与えられた基数における自然数であり、最初の項が の数字で、後続の各項が前の項の和となるような数列を作ったときに、その数列の一部となるような数字を持つ数列である。キース数は1987年にマイク・キースによって導入された。^[1]キース数 を見つけるのは計算的に非常に困難で、約125個しか知られていない。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

意味

を自然数とし、をを底とするの桁数とし、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b}}^{i+1}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

の各桁の値となります。 ${\displaystyle n}$

我々 は線形回帰関係によって数列を定義する。 ${\displaystyle S(i)}$ ${\displaystyle 0\leq i<k}$

${\displaystyle S(i)=d_{k-i-1}}$

そして ${\displaystyle i\geq k}$

${\displaystyle S(i)=\sum _{j=0}^{k}S(i-k+j)}$

となるような が存在する場合、 はキース数であるといわれます。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S(i)=n}$ ${\displaystyle n}$

例えば、88は6進数のキース数であり、

${\displaystyle S(0)=d_{3-0-1}=d_{2}={\frac {88{\bmod {6}}^{2+1}-88{\bmod {6}}^{2}}{6^{2}}}={\frac {88{\bmod {2}}16-88{\bmod {3}}6}{36}}={\frac {88-16}{36}}={\frac {72}{36}}=2}$

${\displaystyle S(1)=d_{3-1-1}=d_{1}={\frac {88{\bmod {6}}^{1+1}-88{\bmod {6}}^{1}}{6^{1}}}={\frac {88{\bmod {3}}6-88{\bmod {6}}}{6}}={\frac {16-4}{6}}={\frac {12}{6}}=2}$

${\displaystyle S(2)=d_{3-2-1}=d_{0}={\frac {88{\bmod {6}}^{0+1}-88{\bmod {6}}^{0}}{6^{0}}}={\frac {88{\bmod {6}}-88{\bmod {1}}}{1}}={\frac {4-0}{1}}={\frac {4}{1}}=4}$

そして全体のシーケンス

${\displaystyle S(i)=\{2,2,4,8,14,26,48,88,162,\ldots \}}$

そして。 ${\displaystyle S(7)=88}$

キース番号を見つける

特定の基数においてキース数が無限に存在するかどうかは、現在のところ推測の域を出ない。キース数は稀で、見つけるのが難しい。網羅的な探索によって見つけることができ、これより効率的なアルゴリズムは知られていない。^[2]キースによれば、10を基数とする場合には、平均して10の累乗の間にキース数が存在すると予想される。^[3]既知の結果はこれを裏付けているように思われる。 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {9}{10}}\log _{2}{10}\approx 2.99}$

例

14、19、28、47、61、75、197、742、1104、1537、2208、2580、3684、4788、7385、7647、7909、31331、34285、34348、55604、62662、86935、93993、120284、129106、147640、156146、174680、183186、298320、355419、694280、925993、1084051、7913837、​​​​​​​​​ ​11436171, 33445755, 44121607, 129572008, 251133297, ... ^[4]

その他の基地

2を基数とする場合には、すべてのキース数を構成する方法が存在する。^[3]

12進数のキース数は12進数で表記すると、

11、15、1Ɛ、22、2ᘔ、31、33、44、49、55、62、66、77、88、93、99、ᘔᘔ、ƐƐ、125、215、24ᘔ、405、42ᘔ、654、 80ᘔ, 8ᘔ3, ᘔ59, 1022, 1662, 2044, 3066, 4088, 4ᘔ1ᘔ, 4ᘔƐ1, 50ᘔᘔ, 8538, Ɛ18Ɛ, 17256, 18671, 24ᘔ78, 4718Ɛ、 517Ɛᘔ、157617、1ᘔ265ᘔ、5ᘔ4074、5ᘔƐ140、6Ɛ1449、6Ɛ8515、...

ここで、ᘔ は 10 を表し、Ɛ は 11 を表します。

キースクラスター

キースクラスターとは、互いに倍数となるキース数の集合のことです。例えば、10進数では、、、、はすべてキースクラスターです。これらは、10進数におけるキースクラスターの唯一の例と言えるでしょう。^[5] ${\displaystyle \{14,28\}}$ ${\displaystyle \{1104,2208\}}$ ${\displaystyle \{31331,62662,93993\}}$

プログラミング例

以下の例では、上記で定義したシーケンスをPythonで実装し、特定の基数の数が Keith 数であるかどうかを判断します。

def is_repfigit ( x : int , b : int ) -> bool : """特定の基数の数がキース数かどうかを判断します。""" if x == 0 : Trueを返します。              シーケンス =  []  y  =  x  y  >  0の間: シーケンス.append ( y % b ) y = y // b        digit_count  =  len (シーケンス) シーケンス.reverse ( )  sequence [ len ( sequence )  -  1 ]  <  x :  n  =  0 の場合、 i はrange  ( 0 , digit_count ) の範囲内です: n = n + sequence [ len ( sequence ) - digit_count + i ]の場合、 sequence . append ( n )               シーケンスを返す[ len (シーケンス)  -  1 ]  ==  x

参照

• 算術力学
• フィボナッチ数
• 線形回帰関係

参考文献

1. Keith, Mike (1987). 「Repfigit Numbers」. Journal of Recreational Mathematics . 19 (2): 41–42 .
2. アールズ、ジェイソン;リヒトブラウ、ダニエル。ワイスタイン、エリック・W.「キース・ナンバー」。マスワールド。
3. キース、マイク.「キース・ナンバーズ」。
4. Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA007629 (反復フィボナッチ風diGIT数 (またはキース数))」.オンライン整数シーケンス百科事典. OEIS財団.
5. Copeland編「14 197とその他のキース数」Numberphile、Brady Haran。2017年5月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2013年4月9日閲覧。

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