Probability distribution on a sphere
ケント分布から抽出された3つの点集合。平均方向は矢印で示されている。 赤色の集合のパラメータが最も高い。 κ {\displaystyle \kappa \,} 方向統計学 において 、 ケント分布（ 5母数フィッシャー・ビンガム分布 とも呼ばれる 。ジョン・T・ケント、 ロナルド・フィッシャー 、 クリストファー・ビンガム にちなんで名付けられた）は、 単位 球面 （ 3次元空間 R 3 内の 2次元球面 S 2 ）上の 確率分布である。これは、制約のない 共分散行列 を持つ2 変量 正規分布の S 2 上の類似物である 。ケント分布は1982年にジョン・T・ケントによって提唱され、 地質学 や バイオインフォマティクス で用いられている。
意味 ケント分布の確率密度関数は次のように与えられ ます 。 f ( x ) {\displaystyle f(\mathbf {x} )\,}
f ( x ) = 1 c ( κ , β ) exp { κ γ 1 T x + β [ ( γ 2 T x ) 2 − ( γ 3 T x ) 2 ] } {\displaystyle f(\mathbf {x} )={\frac {1}{{\textrm {c}}(\kappa ,\beta )}}\exp \left\{\kappa {\boldsymbol {\gamma }}_{1}^{T}\mathbf {x} +\beta [({\boldsymbol {\gamma }}_{2}^{T}\mathbf {x} )^{2}-({\boldsymbol {\gamma }}_{3}^{T}\mathbf {x} )^{2}]\right\}} ここで 、 は3次元単位ベクトル、 の転置を表し 、正規化定数 は次のようになります。 x {\displaystyle \mathbf {x} \,} ( ⋅ ) T {\displaystyle (\cdot )^{T}} ( ⋅ ) {\displaystyle (\cdot )} c ( κ , β ) {\displaystyle {\textrm {c}}(\kappa ,\beta )\,}
c ( κ , β ) = 2 π ∑ j = 0 ∞ Γ ( j + 1 2 ) Γ ( j + 1 ) β 2 j ( 1 2 κ ) − 2 j − 1 2 I 2 j + 1 2 ( κ ) {\displaystyle c(\kappa ,\beta )=2\pi \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (j+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (j+1)}}\beta ^{2j}\left({\frac {1}{2}}\kappa \right)^{-2j-{\frac {1}{2}}}I_{2j+{\frac {1}{2}}}(\kappa )} ここで 、 は 修正ベッセル関数 、は ガンマ関数 です 。 および は フォン・ミーゼス・フィッシャー分布 の正規化定数であることに注意してください 。 I v ( κ ) {\displaystyle I_{v}(\kappa )} Γ ( ⋅ ) {\displaystyle \Gamma (\cdot )} c ( 0 , 0 ) = 4 π {\displaystyle c(0,0)=4\pi } c ( κ , 0 ) = 4 π ( κ − 1 ) sinh ( κ ) {\displaystyle c(\kappa ,0)=4\pi (\kappa ^{-1})\sinh(\kappa )}
パラメータ （ ）は分布の集中度または広がりを決定し、 （ ）は等確率等高線の楕円度を決定します。 パラメータ と パラメータの値が大きいほど 、分布はそれぞれ集中度と楕円度が高くなります。ベクトル は平均方向であり、ベクトル は長軸と短軸です。後者の2つのベクトルは球面上の等確率等高線の方向を決定し、最初のベクトルは等高線の共通中心を決定します。行列は直交 行列 でなければなりません。 κ {\displaystyle \kappa \,} κ > 0 {\displaystyle \kappa >0\,} β {\displaystyle \beta \,} 0 ≤ 2 β < κ {\displaystyle 0\leq 2\beta <\kappa } κ {\displaystyle \kappa \,} β {\displaystyle \beta \,} γ 1 {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}_{1}\,} γ 2 , γ 3 {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}_{2},{\boldsymbol {\gamma }}_{3}\,} 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} ( γ 1 , γ 2 , γ 3 ) {\displaystyle ({\boldsymbol {\gamma }}_{1},{\boldsymbol {\gamma }}_{2},{\boldsymbol {\gamma }}_{3})\,}
高次元への一般化 ケント分布は高次元の球面にも容易に一般化できる。 が の 単位球面上の点である場合 、次元ケント分布の密度関数 は に比例する。 x {\displaystyle x} S p − 1 {\displaystyle S^{p-1}} R p {\displaystyle \mathbb {R} ^{p}} p {\displaystyle p}
exp { κ γ 1 T x + ∑ j = 2 p β j ( γ j T x ) 2 } , {\displaystyle \exp \left\{\kappa {\boldsymbol {\gamma }}_{1}^{T}\mathbf {x} +\sum _{j=2}^{p}\beta _{j}({\boldsymbol {\gamma }}_{j}^{T}\mathbf {x} )^{2}\right\}\ ,} ここで 、 およびベクトルは 直交しています。しかし、正規化定数は の場合、扱いが非常に難しくなります 。 ∑ j = 2 p β j = 0 {\displaystyle \sum _{j=2}^{p}\beta _{j}=0} 0 ≤ 2 | β j | < κ {\displaystyle 0\leq 2|\beta _{j}|<\kappa } { γ j ∣ j = 1 , … , p } {\displaystyle \{{\boldsymbol {\gamma }}_{j}\mid j=1,\ldots ,p\}} p > 3 {\displaystyle p>3}
参照
参考文献 Boomsma, W., Kent, JT, Mardia, KV, Taylor, CC & Hamelryck, T. (2006) グラフィカルモデルと方向統計によるタンパク質構造の捕捉 Archived 2021-05-07 at the Wayback Machine . S. Barber, PD Baxter, KVMardia, & RE Walls (Eds.), Interdisciplinary Statistics and Bioinformatics , pp. 91–94. Leeds, Leeds University Press. Hamelryck T, Kent JT, Krogh A (2006) 局所構造バイアスを用いた現実的なタンパク質コンフォメーションのサンプリング PLoS Comput Biol 2(9): e131 Kent, JT (1982) 球面上のフィッシャー–ビンガム分布、 J. Royal. Stat. Soc. 、44:71–80。 Kent, JT, Hamelryck, T. (2005). タンパク質構造の確率モデルにおけるフィッシャー・ビンガム分布の利用 2021年5月7日アーカイブ、 Wayback Machine 掲載。S. Barber, PD Baxter, KVMardia, & RE Walls (Eds.), Quantitative Biology, Shape Analysis, and Wavelets , pp. 57–60. リーズ、リーズ大学出版局。 Mardia, KVM, Jupp, PE (2000) 方向統計（第2版）、John Wiley and Sons Ltd. ISBN 0-471-95333-4 Peel, D., Whiten, WJ., McLachlan, GJ. (2001) ケント分布の混合フィッティングによるジョイントセット同定の支援 J. Am. Stat. Ass. , 96:56–63
離散 一変数
連続 一変量
制限された間隔 でサポートされている 半無限 間隔 でサポートされている 実数直線 全体で サポートされている さまざまなタイプの サポート付き
混合 単変量
多変量 （ジョイント） 方向性 退化 と 特異性 家族
![{\displaystyle f(\mathbf {x} )={\frac {1}{{\textrm {c}}(\kappa ,\beta )}}\exp \left\{\kappa {\boldsymbol {\gamma }}_{1}^{T}\mathbf {x} +\beta [({\boldsymbol {\gamma }}_{2}^{T}\mathbf {x} )^{2}-({\boldsymbol {\gamma }}_{3}^{T}\mathbf {x} )^{2}]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abe75725abd3696fe41c7a6fbc462276587986bd)
