Celestial orbit whose trajectory is a conic section in the orbital plane
離心率0.7の楕円ケプラー軌道、放物線ケプラー軌道、および離心率1.3の双曲ケプラー軌道。焦点までの距離は、水平線に対する極角の関数であり、次式で表される。( 13 ) 天体力学 において 、 ケプラー軌道 （ ドイツの天文学者 ヨハネス・ケプラーにちなんで名付けられた ケプラー軌道 ）は、 楕円 、 放物線 、または 双曲線 として、 3次元空間に 2次元 軌道面を形成する、1つの物体が別の物体に対して行う運動である。ケプラー軌道は 直線 を形成することもできる。これは、2つの物体の点状の重力吸引力のみを考慮し、他の物体との重力相互作用、 大気抵抗 、 太陽輻射圧 、非 球面の 中心物体などによる 摂動は無視する。したがって、これは ケプラー問題 として知られる 2体問題 の特殊なケースの解であると言われている。 古典力学 の理論としては、 一般相対性理論 の影響も考慮に入れていない。ケプラー軌道は、さまざまな方法で6つの 軌道要素 に パラメータ化 できる 。
ほとんどの応用では、大きな中心天体が存在し、その質量中心が系全体の質量中心であると仮定されます。分解により、質量が近い2つの天体の軌道は、それらの共通の質量中心、すなわち 重心の 周りのケプラー軌道として記述できます。
導入 古代から16世紀、17世紀にかけて、惑星の運動は古代ギリシャの哲学者 アリストテレス と プトレマイオス が説いたように、地球を中心とした完全な円軌道 を 描いていると信じられていました。惑星の運動の変動は、大きな軌道に小さな円軌道が重なり合うことで説明されました（ 周転円を 参照）。惑星の測定精度が向上するにつれて、この理論の修正が提案されました。1543年、 ニコラウス・コペルニクスは 太陽系 の 太陽中心 モデルを発表しました が、彼は依然として惑星が太陽を中心とした完全な円軌道を描いて移動すると信じていました。 [1]
法律の発展 1601年、 ヨハネス・ケプラーは ティコ・ブラーエ による惑星の広範かつ綿密な観測データを入手しました 。ケプラーはその後5年間、火星の観測結果を 様々な曲線に当てはめようと試みました。1609年、ケプラーは 惑星運動の 3つの法則のうち最初の2つを発表しました 。最初の法則は次のように述べています。
すべての惑星の 軌道 は 太陽を 焦点とする 楕円形 です。
より一般的には、ケプラー運動をする物体の軌道は、 放物線 や 双曲線を描くこともあります。放物線や双曲線は、楕円とともに 円錐曲線 と呼ばれる曲線群に属します 。数学的には、中心天体と周回天体間の距離は次のように表すことができます。
r ( θ ) = a ( 1 − e 2 ) 1 + e cos ( θ ) {\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos(\theta )}}}
どこ：
r {\displaystyle r} 距離は a {\displaystyle a} 軌道の大きさを定義する 長半径 である。 e {\displaystyle e} 軌道の形状を定義する 離心率 である。 θ {\displaystyle \theta } は 真近点角 であり、軌道上の物体の現在の位置と、中心天体に最も近い軌道上の位置（ 近点 と呼ばれる）との間の角度です。 あるいは、この式は次のように表すこともできます。
r ( θ ) = p 1 + e cos ( θ ) {\displaystyle r(\theta )={\frac {p}{1+e\cos(\theta )}}}
ここで、曲線の 半長軸（semi-latus rectum） と呼ばれます 。この形式の方程式は、半長軸が無限大となる放物線軌道を扱う場合に特に便利です。 p {\displaystyle p}
ケプラーは観測からこれらの法則を導き出したにもかかわらず、これらの運動を説明する理論を構築することができませんでした。 [2]アイザック・ニュートンは 重力 の概念に基づいた最初の理論を提示しました 。 アルバート・アインシュタイン の 一般相対性理論 は、現代物理学における重力の現在の記述です。 一般相対性理論における二体問題には、 閉形式の解は存在しません。
アイザック・ニュートン アイザック・ニュートンは 1665年から1666年にかけて、 運動、重力、微分積分に関するいくつかの概念を考案しました。しかし、これらの概念は1687年に『 プリンキピア』の中で初めて公表されました。この著書 の中で、彼は 運動の法則 と 万有引力の法則 を概説しました。彼の運動の3つの法則のうち、2番目の法則は次のように述べています。
物体の加速度は、物体に作用する正味の力に平行かつ正比例し 、 正味 の 力の方向にあり、 物体の 質量に反比例します。
F = m a = m d 2 r d t 2 {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}
どこ：
F {\displaystyle \mathbf {F} } 力のベクトル m {\displaystyle m} 力が作用する物体の質量である a {\displaystyle \mathbf {a} } 加速度ベクトルは位置ベクトルの2次微分である。 r {\displaystyle \mathbf {r} } 厳密に言えば、この形式の方程式は一定の質量を持つ物体にのみ適用され、これは以下の単純化された仮定に基づいて当てはまります。
ニュートンの万有引力の法則の仕組み。質点 m 1 は別の質点 m 2 を、2つの質量の積に比例し、それらの間の距離 ( r ) の2乗に反比例する力 F 2によって引き寄せます。質量や距離に関わらず、| F 1 | と | F 2 |の大きさは 常に等しくなります。G は 万有引力定数 です 。 ニュートンの万有引力の法則は次のように述べています。
全て の質点は、 両点の交線に沿う 力 によって、他の全ての質点を引きつけます。この力は、2つの質点の積に 比例し 、質点間の距離の2乗に反比例します。
F = G m 1 m 2 r 2 {\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}
どこ：
F {\displaystyle F} 2つの質点間の重力の大きさである G {\displaystyle G} 重力定数 である m 1 {\displaystyle m_{1}} 最初の質点の質量である m 2 {\displaystyle m_{2}} 2番目の質点の質量である r {\displaystyle r} 2つの質点間の距離である ニュートンは運動の法則と万有引力の法則から、天文学における軌道運動に特有のケプラーの法則を導き出しました。ケプラーの法則は観測データによって十分に裏付けられていたため、この一貫性はニュートンの一般化理論の妥当性を強力に裏付け、天体力学と通常の力学を統一しました。これらの運動の法則は、 20世紀初頭に アルバート・アインシュタインが 特殊 相対性理論と 一般 相対性理論の概念を提示する まで、現代 天体力学 の基礎を形成しました。ほとんどの応用において、ケプラーの運動は惑星や衛星の運動を比較的高い精度で近似し、 天文学 と 天体力学 で広く用いられています。
簡略化された二体問題 2 体系 における物体の運動を解くには 、次の 2 つの単純化された仮定を立てることができます。
物体は球対称であり、質点として扱うことができます。 相互の重力以外に、物体に作用する外部力または内部力はありません。 大きな天体の形状は球に近い。対称性により、均質な球に質量点を引き付ける重力は、球の中心に向かう。 殻定理 （アイザック・ニュートンによって証明された）によれば、この力の大きさは、球の密度が深さによって変化する場合（ほとんどの天体でそうであるように）であっても、すべての質量が球の中心に集中しているのと同じである。このことから、2つの均質な球の間の引力は、両方の質量が中心に集中しているのと同じであることが直ちに分かる。
小惑星 や 宇宙船 のような小型の物体は、 球形から大きく逸脱した形状をしていることがよくあります。しかし、これらの不規則性によって生じる重力は、中心天体の重力に比べて一般的に小さいです。不規則な形状と完全な球形との差は距離とともに小さくなり、ほとんどの軌道距離は小型の軌道天体の直径と比較して非常に大きくなります。そのため、用途によっては、形状の不規則性は精度に大きな影響を与えることなく無視できます。この影響は、特に低軌道を周回する人工衛星では非常に顕著です。
惑星は様々な速度で自転するため、遠心力の影響でわずかに扁平な形状をとることがあります。このような扁平形状では、重力は均質球の場合とは多少異なります。距離が長くなると、この扁平化の影響は無視できるようになります。太陽系における惑星の運動は、質点として扱えば十分な精度で計算できます。
質量と 位置ベクトルを持ち 、 ある 慣性参照フレーム を基準とした2 つの質点物体は、 重力の影響を受けます。 m 1 {\displaystyle m_{1}} m 2 {\displaystyle m_{2}} r 1 {\displaystyle \mathbf {r} _{1}} r 2 {\displaystyle \mathbf {r} _{2}}
m 1 r ¨ 1 = − G m 1 m 2 r 2 r ^ {\displaystyle m_{1}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} } m 2 r ¨ 2 = G m 1 m 2 r 2 r ^ {\displaystyle m_{2}{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }
ここで 、質量 1 の質量 2 に対する相対位置ベクトルは次のように表されます。 r {\displaystyle \mathbf {r} }
r = r 1 − r 2 {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}
は その方向の 単位ベクトル であり、 そのベクトルの 長さ です。 r ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} } r {\displaystyle r}
それぞれの質量で割り、最初の方程式から 2 番目の方程式を引くと、2 番目の物体に対する 1 番目の物体の加速度の運動方程式が得られます。
r ¨ = − α r 2 r ^ {\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} } 1
ここで 、は重力パラメータであり、 α {\displaystyle \alpha }
α = G ( m 1 + m 2 ) {\displaystyle \alpha =G(m_{1}+m_{2})}
多くのアプリケーションでは、3 番目の単純化された仮定を行うことができます。
中心天体と比較すると、周回天体の質量は無視できるほど小さい。数学的には、 m 1 >> m 2 なので、 α = G ( m 1 + m 2 ) ≈ Gm 1 となる。このような 標準的な重力パラメータは 、しばしば と表記され 、周回衛星よりもはるかに大きな質量を持つ太陽、主要な惑星、月などに対して広く用いられている 。 μ = G M {\displaystyle \mu =G\,M} M {\displaystyle M} この仮定は、簡略化された二体問題を解くためには必須ではありませんが、特に地球を周回する衛星や太陽を周回する惑星の計算を簡素化します。 木星 の質量でさえ太陽の10の47乗分の1であり [3] 、 αの値に0.096%の誤差が生じます。注目すべき例外としては、地球-月系（質量比81.3）、冥王星-カロン系（質量比8.9）、そして連星系が挙げられます。
これらの仮定の下では、二体の場合の微分方程式は数学的に完全に解くことができ、結果として得られるケプラーの惑星運動の法則に従う軌道は「ケプラー軌道」と呼ばれます。すべての惑星の軌道は、太陽の周りを高精度にケプラー軌道で回っています。わずかな偏差は、惑星間の重力がはるかに弱いためであり、 水星の場合は 一般相対性理論 によるものです 。地球の周りを回る人工衛星の軌道は、太陽、月の重力、そして地球の扁平率によるわずかな摂動を伴うケプラー軌道で、かなり近似されています。すべての重力および非重力の力（太陽 放射圧 や 大気抵抗 など）を考慮して運動方程式を数値的に積分しなければならない高精度アプリケーションでは、ケプラー軌道の概念は極めて重要であり、頻繁に利用されています。
ケプラーの要素 ケプラーの 軌道要素 。 ケプラーの軌道は、6つのパラメータで定義できます。3次元空間を移動する物体の運動は、位置ベクトルと速度ベクトルによって特徴付けられます。各ベクトルは3つの要素を持つため、空間を通る軌道を定義するために必要な値の総数は6です。軌道は一般的に、位置と速度から計算できる6つの要素（ ケプラー要素 ）で定義されます。そのうち3つについては既に説明しました。これらの要素は、6つのうち5つが不変であるため、摂動のない軌道を描くのに便利です（常に変化する2つのベクトルとは対照的です）。軌道要素から、物体の軌道上の将来の位置を予測し、新しい位置と速度を簡単に得ることができます。
2 つは軌道のサイズと形状を定義します。
長半径 （ ） a {\displaystyle a} 離心率 （ ） e {\displaystyle e} 3つは軌道面 の向きを定義します :
傾斜 ( ) は、軌道面と基準面の間の角度を定義します。 i {\displaystyle i} 昇交点の経度 ( ) は、基準方向と基準面 (昇交点) 上の軌道の上向き交差間の角度を定義します。 Ω {\displaystyle \Omega } 近点引数 ( ) は昇交点と近点間の角度を定義します。 ω {\displaystyle \omega } そして最後に:
真近点角 （ ）は、軌道上の周回天体の軌道上の位置を近点から測定した値です。真近点角の代わりにいくつかの値を使用できますが、最も一般的なのは 平均 近点角 と 、近点からの経過時間です。 ν {\displaystyle \nu } M {\displaystyle M} T {\displaystyle T} 、 およびは、単に基準系における軌道の向きを定義する角度の測定値である ため 、軌道面内での物体の運動を議論する際には厳密には必要ではありません。ここでは完全性のためにこれらについて言及していますが、以下の証明には必須ではありません。 i {\displaystyle i} Ω {\displaystyle \Omega } ω {\displaystyle \omega }
微分方程式の数学的解（ 1 ） その上 任意の中心力、つまりr に平行な力による運動では 、 特定の相対角運動量は 一定のままです。 H = r × r ˙ {\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}} H ˙ = d d t ( r × r ˙ ) = r ˙ × r ˙ + r × r ¨ = 0 + 0 = 0 {\displaystyle {\dot {\mathbf {H} }}={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0} }
位置ベクトルとその速度の外積は一定であるため、それらは に直交する同一平面上に存在する必要がある 。これは、ベクトル関数が 平面曲線 であることを意味する。 H {\displaystyle \mathbf {H} }
この方程式は原点を中心に対称なので、極座標で解く方が簡単です。しかし、式( 1 )は角加速度 やラジアル加速度 ではなく、直線加速度を表していることに注意することが重要です。したがって、この方程式を変換する際には注意が必要です。直交座標系 と、 に直交する平面上の 極単位ベクトル を導入すると、次のようになります 。 ( r ¨ ) , {\displaystyle \left({\ddot {\mathbf {r} }}\right),} ( θ ¨ ) {\displaystyle \left({\ddot {\theta }}\right)} ( r ¨ ) {\displaystyle \left({\ddot {r}}\right)} ( x ^ , y ^ ) {\displaystyle ({\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }})} ( r ^ , q ^ ) {\displaystyle ({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {q} }})} H {\displaystyle \mathbf {H} }
r ^ = cos θ x ^ + sin θ y ^ q ^ = − sin θ x ^ + cos θ y ^ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\cos {\theta }{\hat {\mathbf {x} }}+\sin {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\\{\hat {\mathbf {q} }}&=-\sin {\theta }{\hat {\mathbf {x} }}+\cos {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}}
ベクトル関数 とその導関数を次のように書き直すことができます。 r {\displaystyle \mathbf {r} }
r = r ( cos θ x ^ + sin θ y ^ ) = r r ^ r ˙ = r ˙ r ^ + r θ ˙ q ^ r ¨ = ( r ¨ − r θ ˙ 2 ) r ^ + ( r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ ) q ^ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=r\left(\cos \theta {\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta {\hat {\mathbf {y} }}\right)=r{\hat {\mathbf {r} }}\\{\dot {\mathbf {r} }}&={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {q} }}\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\mathbf {q} }}\end{aligned}}}
（「 ベクトル解析 」を参照）。これらを（ 1 ）に代入すると、次の式が得られる。 ( r ¨ − r θ ˙ 2 ) r ^ + ( r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ ) q ^ = ( − α r 2 ) r ^ + ( 0 ) q ^ {\displaystyle \left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\mathbf {q} }}=\left(-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {r} }}+(0){\hat {\mathbf {q} }}}
これは2つの変数と における常微分方程式を与える ： r {\displaystyle r} θ {\displaystyle \theta }
r ¨ − r θ ˙ 2 = − α r 2 {\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}} 2
この方程式を解くには、すべての時間微分を消去する必要があります。これにより、次の式が得られます。 H = | r × r ˙ | = | ( r cos ( θ ) r sin ( θ ) 0 ) × ( r ˙ cos ( θ ) − r sin ( θ ) θ ˙ r ˙ sin ( θ ) + r cos ( θ ) θ ˙ 0 ) | = | ( 0 0 r 2 θ ˙ ) | = r 2 θ ˙ {\displaystyle H=|\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}|=\left|{\begin{pmatrix}r\cos(\theta )\\r\sin(\theta )\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}{\dot {r}}\cos(\theta )-r\sin(\theta ){\dot {\theta }}\\{\dot {r}}\sin(\theta )+r\cos(\theta ){\dot {\theta }}\\0\end{pmatrix}}\right|=\left|{\begin{pmatrix}0\\0\\r^{2}{\dot {\theta }}\end{pmatrix}}\right|=r^{2}{\dot {\theta }}}
θ ˙ = H r 2 {\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {H}{r^{2}}}} 3
（ ３ ） の時間微分をとると、
θ ¨ = − 2 ⋅ H ⋅ r ˙ r 3 {\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {2\cdot H\cdot {\dot {r}}}{r^{3}}}} 4
式( 3 )と式( 4 )により、 の時間微分を消去することができる 。 の時間微分を消去するために 、連鎖律を用いて適切な置換を求める。 θ {\displaystyle \theta } r {\displaystyle r}
r ˙ = d r d θ ⋅ θ ˙ {\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\dot {\theta }}} 5
r ¨ = d 2 r d θ 2 ⋅ θ ˙ 2 + d r d θ ⋅ θ ¨ {\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot {\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\ddot {\theta }}} 6
これらの4つの置換法を使うと、（ 2 ）の時間微分はすべて 消去され、 の関数 として 常微分方程式が得られる。 r {\displaystyle r} θ . {\displaystyle \theta .} r ¨ − r θ ˙ 2 = − α r 2 {\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}} d 2 r d θ 2 ⋅ θ ˙ 2 + d r d θ ⋅ θ ¨ − r θ ˙ 2 = − α r 2 {\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot {\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\ddot {\theta }}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}} d 2 r d θ 2 ⋅ ( H r 2 ) 2 + d r d θ ⋅ ( − 2 ⋅ H ⋅ r ˙ r 3 ) − r ( H r 2 ) 2 = − α r 2 {\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot \left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot \left(-{\frac {2\cdot H\cdot {\dot {r}}}{r^{3}}}\right)-r\left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}
H 2 r 4 ⋅ ( d 2 r d θ 2 − 2 ⋅ ( d r d θ ) 2 r − r ) = − α r 2 {\displaystyle {\frac {H^{2}}{r^{4}}}\cdot \left({\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-2\cdot {\frac {\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}{r}}-r\right)=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}} 7
微分方程式（ 7 ）は変数置換によって解析的に解くことができる。
r = 1 s {\displaystyle r={\frac {1}{s}}} 8
微分化に連鎖律を使用すると次のようになります。
d r d θ = − 1 s 2 ⋅ d s d θ {\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}=-{\frac {1}{s^{2}}}\cdot {\frac {ds}{d\theta }}} 9
d 2 r d θ 2 = 2 s 3 ⋅ ( d s d θ ) 2 − 1 s 2 ⋅ d 2 s d θ 2 {\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}={\frac {2}{s^{3}}}\cdot \left({\frac {ds}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{s^{2}}}\cdot {\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}} 10
式（ 10 ）と（ 9 ）を用い て 、 d 2 r d θ 2 {\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}} d r d θ {\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}}
H 2 ⋅ ( d 2 s d θ 2 + s ) = α {\displaystyle H^{2}\cdot \left({\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}+s\right)=\alpha } 11
一般解で
s = α H 2 ⋅ ( 1 + e ⋅ cos ( θ − θ 0 ) ) {\displaystyle s={\frac {\alpha }{H^{2}}}\cdot \left(1+e\cdot \cos(\theta -\theta _{0})\right)} 12
ここで e と s の 初期値に依存する積分定数である。 θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} d s d θ . {\displaystyle {\tfrac {ds}{d\theta }}.}
積分定数を明示的に用いる代わりに、 軌道面の座標系を定義する単位ベクトルは 、値がゼロで e が正となるように選択されるという慣例を導入する 。これは、 が最大となり、したがってが最小となる 点で、がゼロになることを意味する 。パラメータ pを 次の ように定義すると、 θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} x ^ , y ^ {\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}} θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} θ {\displaystyle \theta } s {\displaystyle s} r = 1 s {\displaystyle r={\tfrac {1}{s}}} H 2 α {\displaystyle {\tfrac {H^{2}}{\alpha }}}
r = 1 s = p 1 + e ⋅ cos θ {\displaystyle r={\frac {1}{s}}={\frac {p}{1+e\cdot \cos \theta }}}
代替派生 極微分方程式を使用せずにこの方程式を解く別の方法は次のとおりです。
単位ベクトル , , を定義して 、 および とする 。 したがって、 u {\displaystyle \mathbf {u} } u = r r {\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}} r = r u {\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {u} } r ¨ = − α r 2 u {\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=-{\tfrac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {u} } H = r × r ˙ = r u × d d t ( r u ) = r u × ( r u ˙ + r ˙ u ) = r 2 ( u × u ˙ ) + r r ˙ ( u × u ) = r 2 u × u ˙ {\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=r\mathbf {u} \times {\frac {d}{dt}}(r\mathbf {u} )=r\mathbf {u} \times (r{\dot {\mathbf {u} }}+{\dot {r}}\mathbf {u} )=r^{2}(\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})+r{\dot {r}}(\mathbf {u} \times \mathbf {u} )=r^{2}\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }}}
さて考えてみましょう r ¨ × H = − α r 2 u × ( r 2 u × u ˙ ) = − α u × ( u × u ˙ ) = − α [ ( u ⋅ u ˙ ) u − ( u ⋅ u ) u ˙ ] {\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {u} \times (r^{2}\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha \mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha [(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }})\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} ){\dot {\mathbf {u} }}]}
（ ベクトル三重積 を参照）。 u ⋅ u = | u | 2 = 1 {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {u} =|\mathbf {u} |^{2}=1} u ⋅ u ˙ = 1 2 ( u ⋅ u ˙ + u ˙ ⋅ u ) = 1 2 d d t ( u ⋅ u ) = 0 {\displaystyle \mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }}={\frac {1}{2}}(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }}+{\dot {\mathbf {u} }}\cdot \mathbf {u} )={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )=0}
これらの値を前の式に代入すると次のようになります。 r ¨ × H = α u ˙ {\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =\alpha {\dot {\mathbf {u} }}}
双方を統合する: r ˙ × H = α u + c {\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =\alpha \mathbf {u} +\mathbf {c} }
ここで c は定数ベクトルです。これに r を点として置くと興味深い結果が得られます。r はと 間 の角度です 。r について解くと ： r ⋅ ( r ˙ × H ) = r ⋅ ( α u + c ) = α r ⋅ u + r ⋅ c = α r ( u ⋅ u ) + r c cos ( θ ) = r ( α + c cos ( θ ) ) {\displaystyle \mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} )=\mathbf {r} \cdot (\alpha \mathbf {u} +\mathbf {c} )=\alpha \mathbf {r} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {r} \cdot \mathbf {c} =\alpha r(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )+rc\cos(\theta )=r(\alpha +c\cos(\theta ))} θ {\displaystyle \theta } r {\displaystyle \mathbf {r} } c {\displaystyle \mathbf {c} } r = r ⋅ ( r ˙ × H ) α + c cos ( θ ) = ( r × r ˙ ) ⋅ H α + c cos ( θ ) = | H | 2 α + c cos ( θ ) = | H | 2 / α 1 + ( c / α ) cos ( θ ) . {\displaystyle r={\frac {\mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} )}{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }})\cdot \mathbf {H} }{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {|\mathbf {H} |^{2}}{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {|\mathbf {H} |^{2}/\alpha }{1+(c/\alpha )\cos(\theta )}}.}
はベクトル関数の極座標である ことに注意してください。 と を代入する と 、再び次の式が得られます。 ( r , θ ) {\displaystyle (r,\theta )} p = | H | 2 α {\displaystyle p={\tfrac {|\mathbf {H} |^{2}}{\alpha }}} e = c α {\displaystyle e={\tfrac {c}{\alpha }}}
r = p 1 + e ⋅ cos θ {\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cdot \cos \theta }}} 13
これは、焦点を原点とする 円錐曲線 の極座標方程式です。この議論 は「真の近点」と呼ばれます。 θ {\displaystyle \theta }
離心率ベクトル また、位置ベクトル と積分定数 の 間の角度はなので 、ベクトル は軌道の 近点 方向を向いている必要があることにも注意してください。したがって 、軌道に関連する 離心率ベクトルは 次のように定義できます。 θ {\displaystyle \theta } r {\displaystyle \mathbf {r} } c {\displaystyle \mathbf {c} } c {\displaystyle \mathbf {c} } e ≜ c α = r ˙ × H α − u = v × H α − r r = v × ( r × v ) α − r r {\displaystyle \mathbf {e} \triangleq {\frac {\mathbf {c} }{\alpha }}={\frac {{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} }{\alpha }}-\mathbf {u} ={\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {H} }{\alpha }}-{\frac {\mathbf {r} }{r}}={\frac {\mathbf {v} \times (\mathbf {r} \times \mathbf {v} )}{\alpha }}-{\frac {\mathbf {r} }{r}}}
ここで 、 は軌道の一定の角運動量ベクトルであり、 は 位置ベクトルに関連付けられた速度ベクトルです 。 H = r × r ˙ = r × v {\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {v} } v {\displaystyle \mathbf {v} } r {\displaystyle \mathbf {r} }
明らかに、 積分定数 と同じ方向を持つ 離心率ベクトル も軌道の 近点 方向を指し、軌道離心率の大きさを持ちます。そのため、 状態ベクトル [ ] または [ ] が既知の 場合、軌道 要素の 軌道決定 （OD）において非常に有用です。 c {\displaystyle \mathbf {c} } r , r ˙ {\displaystyle \mathbf {r} ,\mathbf {\dot {r}} } r , v {\displaystyle \mathbf {r} ,\mathbf {v} }
軌道方程式の性質 これは半径 p の円です 。 e = 0 {\displaystyle e=0}
これ は 楕円 で
あり、 0 < e < 1 , {\displaystyle 0<e<1,}
a = p 1 − e 2 {\displaystyle a={\frac {p}{1-e^{2}}}} 14
b = p 1 − e 2 = a ⋅ 1 − e 2 {\displaystyle b={\frac {p}{\sqrt {1-e^{2}}}}=a\cdot {\sqrt {1-e^{2}}}} 15
これ は 焦点距離 が e = 1 {\displaystyle e=1} p 2 {\displaystyle {\tfrac {p}{2}}}
これ は 双曲線 で
あり、 e > 1 {\displaystyle e>1}
a = p e 2 − 1 {\displaystyle a={\frac {p}{e^{2}-1}}} 16
b = p e 2 − 1 = a ⋅ e 2 − 1 {\displaystyle b={\frac {p}{\sqrt {e^{2}-1}}}=a\cdot {\sqrt {e^{2}-1}}} 17
次の図は、円（灰色）、楕円（赤）、放物線（緑）、双曲線（青）を示しています。
ケプラー軌道 の様々な形状とその離心率を示す図 。青は双曲線軌道（ e > 1）。緑は放物線軌道（ e = 1）。赤は楕円軌道（0 < e < 1）。灰色は円軌道（ e = 0）。 焦点から右に伸びる水平線上の点は、 焦点までの距離が最小値をとる点であり 、近心である。楕円の場合、焦点までの距離が最大値をとる遠心も存在する。 双曲線の場合、の範囲 はであり 、放物線の場合、の範囲はである。 θ = 0 {\displaystyle \theta =0} p 1 + e , {\displaystyle {\tfrac {p}{1+e}},} p 1 − e . {\displaystyle {\tfrac {p}{1-e}}.} θ {\displaystyle \theta } − cos − 1 ( − 1 e ) < θ < cos − 1 ( − 1 e ) {\displaystyle -\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)<\theta <\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)} − π < θ < π {\displaystyle -\pi <\theta <\pi }
微分に関する連鎖律（ 5 ）、式（ 2 ）およびp の定義を用いる と 、視線速度成分は H 2 α {\displaystyle {\frac {H^{2}}{\alpha }}}
V r = r ˙ = H p e sin θ = α p e sin θ {\displaystyle V_{r}={\dot {r}}={\frac {H}{p}}e\sin \theta ={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}e\sin \theta } 18
そして、接線方向成分（に垂直な速度成分 ）は V r {\displaystyle V_{r}}
V t = r ⋅ θ ˙ = H r = α p ⋅ ( 1 + e ⋅ cos θ ) {\displaystyle V_{t}=r\cdot {\dot {\theta }}={\frac {H}{r}}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}\cdot (1+e\cdot \cos \theta )} 19
極引数と時間 t の関係は、 楕円軌道と双曲軌道では若干異なります。 θ {\displaystyle \theta }
楕円軌道の場合は「 偏心異常 」 E となり、
x = a ⋅ ( cos E − e ) {\displaystyle x=a\cdot (\cos E-e)} 20
y = b ⋅ sin E {\displaystyle y=b\cdot \sin E} 21
そしてその結果
x ˙ = − a ⋅ sin E ⋅ E ˙ {\displaystyle {\dot {x}}=-a\cdot \sin E\cdot {\dot {E}}} 22
y ˙ = b ⋅ cos E ⋅ E ˙ {\displaystyle {\dot {y}}=b\cdot \cos E\cdot {\dot {E}}} 23
そして角運動量 H は
H = x ⋅ y ˙ − y ⋅ x ˙ = a ⋅ b ⋅ ( 1 − e ⋅ cos E ) ⋅ E ˙ {\displaystyle H=x\cdot {\dot {y}}-y\cdot {\dot {x}}=a\cdot b\cdot (1-e\cdot \cos E)\cdot {\dot {E}}} 24
時間t について積分すると 、
H ⋅ t = a ⋅ b ⋅ ( E − e ⋅ sin E ) {\displaystyle H\cdot t=a\cdot b\cdot (E-e\cdot \sin E)} 25
積分定数がゼロになるように 時間が選択されるという仮定の下。 t = 0 {\displaystyle t=0}
p の定義によれば 、
H = α ⋅ p {\displaystyle H={\sqrt {\alpha \cdot p}}} 26
これは次のように書ける
t = a ⋅ a α ( E − e ⋅ sin E ) {\displaystyle t=a\cdot {\sqrt {\frac {a}{\alpha }}}(E-e\cdot \sin E)} 27
双曲軌道の場合、 パラメータ化には 双曲関数を使用する。
x = a ⋅ ( e − cosh E ) {\displaystyle x=a\cdot (e-\cosh E)} 28
y = b ⋅ sinh E {\displaystyle y=b\cdot \sinh E} 29
どちらが
x ˙ = − a ⋅ sinh E ⋅ E ˙ {\displaystyle {\dot {x}}=-a\cdot \sinh E\cdot {\dot {E}}} 30
y ˙ = b ⋅ cosh E ⋅ E ˙ {\displaystyle {\dot {y}}=b\cdot \cosh E\cdot {\dot {E}}} 31
そして角運動量 H は
H = x ⋅ y ˙ − y ⋅ x ˙ = a ⋅ b ⋅ ( e ⋅ cosh E − 1 ) ⋅ E ˙ {\displaystyle H=x\cdot {\dot {y}}-y\cdot {\dot {x}}=a\cdot b\cdot (e\cdot \cosh E-1)\cdot {\dot {E}}} 32
時間t について積分する と
H ⋅ t = a ⋅ b ⋅ ( e ⋅ sinh E − E ) {\displaystyle H\cdot t=a\cdot b\cdot (e\cdot \sinh E-E)} 33
すなわち
t = a ⋅ a α ( e ⋅ sinh E − E ) {\displaystyle t=a\cdot {\sqrt {\frac {a}{\alpha }}}(e\cdot \sinh E-E)} 34
ある真の異常に対応する時間tを見つけるには、楕円軌道の場合は関係式( 27 )、双曲線軌道の場合 は関係式( 34 )に従って、時間に関連する 対応するパラメータ Eを計算する。 θ {\displaystyle \theta }
関係式（ ２７ ）と（ ３４ ）は範囲間のマッピングを定義している
ことに注意する。 [ − ∞ < t < ∞ ] ⟷ [ − ∞ < E < ∞ ] {\displaystyle \left[-\infty <t<\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}
楕円軌道 の場合、 （ 20 ）と（ 21 ）
から次の式が得られる。
r = a ⋅ ( 1 − e cos E ) {\displaystyle r=a\cdot (1-e\cos E)} 35
そしてそれゆえ
cos θ = x r = cos E − e 1 − e cos E {\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{r}}={\frac {\cos E-e}{1-e\cos E}}} 36
（ 36 ）から次のことが導かれる。 tan 2 θ 2 = 1 − cos θ 1 + cos θ = 1 − cos E − e 1 − e cos E 1 + cos E − e 1 − e cos E = 1 − e cos E − cos E + e 1 − e cos E + cos E − e = 1 + e 1 − e ⋅ 1 − cos E 1 + cos E = 1 + e 1 − e ⋅ tan 2 E 2 {\displaystyle \tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-{\frac {\cos E-e}{1-e\cos E}}}{1+{\frac {\cos E-e}{1-e\cos E}}}}={\frac {1-e\cos E-\cos E+e}{1-e\cos E+\cos E-e}}={\frac {1+e}{1-e}}\cdot {\frac {1-\cos E}{1+\cos E}}={\frac {1+e}{1-e}}\cdot \tan ^{2}{\frac {E}{2}}}
偏心異常 を定義する幾何学的構成から、ベクトル と が x 軸の同じ側にあること は明らかです 。このことから、ベクトル と が 同じ象限にあることがわかります。したがって、 ( cos E , sin E ) {\displaystyle (\cos E,\sin E)} ( cos θ , sin θ ) {\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )} ( cos E 2 , sin E 2 ) {\displaystyle \left(\cos {\tfrac {E}{2}},\sin {\tfrac {E}{2}}\right)} ( cos θ 2 , sin θ 2 ) {\displaystyle \left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},\sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)}
tan θ 2 = 1 + e 1 − e ⋅ tan E 2 {\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}} 37
そして
θ = 2 ⋅ arg ( 1 − e ⋅ cos E 2 , 1 + e ⋅ sin E 2 ) + n ⋅ 2 π {\displaystyle \theta =2\cdot \arg \left({\sqrt {1-e}}\cdot \cos {\frac {E}{2}},{\sqrt {1+e}}\cdot \sin {\frac {E}{2}}\right)+n\cdot 2\pi } 38
E = 2 ⋅ arg ( 1 + e ⋅ cos θ 2 , 1 − e ⋅ sin θ 2 ) + n ⋅ 2 π {\displaystyle E=2\cdot \arg \left({\sqrt {1+e}}\cdot \cos {\frac {\theta }{2}},{\sqrt {1-e}}\cdot \sin {\frac {\theta }{2}}\right)+n\cdot 2\pi } 39
ここで「 」はベクトルの極引数であり 、 n は次のように選択される。 arg ( x , y ) {\displaystyle \arg(x,y)} ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} | E − θ | < π {\displaystyle |E-\theta |<\pi }
数値計算には、 たとえばプログラミング言語 FORTRAN で使用可能な標準関数 ATAN2(y,x) (または 倍精度 の場合は DATAN2(y,x)) を使用できます。 arg ( x , y ) {\displaystyle \arg(x,y)}
これは範囲間のマッピングであることに注意してください [ − ∞ < θ < ∞ ] ⟷ [ − ∞ < E < ∞ ] {\displaystyle \left[-\infty <\theta <\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}
双曲軌道 の場合、 （ 28 ）と（ 29 ）
から次の式が得られる。
r = a ⋅ ( e ⋅ cosh E − 1 ) {\displaystyle r=a\cdot (e\cdot \cosh E-1)} 40
そしてそれゆえ
cos θ = x r = e − cosh E e ⋅ cosh E − 1 {\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{r}}={\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}} 41
とと が 同じ符号を持つことから 、 tan 2 θ 2 = 1 − cos θ 1 + cos θ = 1 − e − cosh E e ⋅ cosh E − 1 1 + e − cosh E e ⋅ cosh E − 1 = e ⋅ cosh E − e + cosh E e ⋅ cosh E + e − cosh E = e + 1 e − 1 ⋅ cosh E − 1 cosh E + 1 = e + 1 e − 1 ⋅ tanh 2 E 2 {\displaystyle \tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-{\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}{1+{\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}}={\frac {e\cdot \cosh E-e+\cosh E}{e\cdot \cosh E+e-\cosh E}}={\frac {e+1}{e-1}}\cdot {\frac {\cosh E-1}{\cosh E+1}}={\frac {e+1}{e-1}}\cdot \tanh ^{2}{\frac {E}{2}}} tan θ 2 {\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}} tanh E 2 {\displaystyle \tanh {\frac {E}{2}}}
tan θ 2 = e + 1 e − 1 ⋅ tanh E 2 {\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\cdot \tanh {\frac {E}{2}}} 42
この関係は、「真の異常値」とパラメータ E との間のやり取りに便利である。後者は関係式( 34 )を介して時間と結びついている。これは範囲間のマッピングであり 、 関係式を用いて計算できる
ことに注意されたい。 [ − cos − 1 ( − 1 e ) < θ < cos − 1 ( − 1 e ) ] ⟷ [ − ∞ < E < ∞ ] {\displaystyle \left[-\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)<\theta <\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)\right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]} E 2 {\displaystyle {\tfrac {E}{2}}} tanh − 1 x = 1 2 ln ( 1 + x 1 − x ) {\displaystyle \tanh ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}
関係式（ 27 ）から、楕円軌道の 軌道周期 Pは
P = 2 π a ⋅ a α {\displaystyle P=2\pi a\cdot {\sqrt {\frac {a}{\alpha }}}} 43
関係式（ １ ） の力場に対応する位置エネルギーは（ １３ ）、（ １４ ）、（ １８ ）、（ １９ ）
から、 楕円軌道の 運動エネルギーと位置エネルギーの和
は − α r {\displaystyle -{\frac {\alpha }{r}}} V r 2 + V t 2 2 − α r {\displaystyle {\frac {{V_{r}}^{2}+{V_{t}}^{2}}{2}}-{\frac {\alpha }{r}}}
− α 2 a {\displaystyle -{\frac {\alpha }{2a}}} 44
（ １３ ），（ １６ ），（ １８ ）および（ １９ ）から、 双曲軌道の運動エネルギーと位置エネルギーの和は
α 2 a {\displaystyle {\frac {\alpha }{2a}}} 45
軌道面の 慣性座標系を 近点に向けて相対的に見ると、（ 18 ）と（ 19 ）から速度成分は x ^ , y ^ {\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}} x ^ {\displaystyle {\hat {x}}}
V x = V r cos θ − V t sin θ = − α p ⋅ sin θ {\displaystyle V_{x}=V_{r}\cos \theta -V_{t}\sin \theta =-{\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}\cdot \sin \theta } 46
V y = V r sin θ + V t cos θ = α p ⋅ ( e + cos θ ) {\displaystyle V_{y}=V_{r}\sin \theta +V_{t}\cos \theta ={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}\cdot (e+\cos \theta )} 47
中心の方程式は、数値的な離心率が小さい場合の楕円軌道の平均近点と真近点を関連付けます。
与えられた初期状態に対応するケプラー軌道の決定 これは、次のように書かれるときの 6次元「状態ベクトル」の1階方程式である 微分方程式（ 1 ）の「 初期値問題」である。 ( r , v ) {\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}
v ˙ = − α ⋅ r ^ r 2 {\displaystyle {\dot {\mathbf {v} }}=-\alpha \cdot {\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}} 48
r ˙ = v {\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {v} } 49
初期「状態ベクトル」の任意の値に対して、 この初期値問題の解に対応するケプラー軌道は、次のアルゴリズムを使用して見つけることができます。 ( r 0 , v 0 ) {\displaystyle (\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})}
直交単位ベクトルを定義 する ( r ^ , t ^ ) {\displaystyle ({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {t} }})}
r 0 = r r ^ {\displaystyle \mathbf {r} _{0}=r{\hat {\mathbf {r} }}} 50
v 0 = V r r ^ + V t t ^ {\displaystyle \mathbf {v} _{0}=V_{r}{\hat {\mathbf {r} }}+V_{t}{\hat {\mathbf {t} }}} 51
と r > 0 {\displaystyle r>0} V t > 0 {\displaystyle V_{t}>0}
（ １３ ）、（ １８ ）、（ １９ ）から、
p = ( r ⋅ V t ) 2 α {\displaystyle p={\frac {{(r\cdot V_{t})}^{2}}{\alpha }}} 52
そして、とを定義し て 、 e ≥ 0 {\displaystyle e\geq 0} θ {\displaystyle \theta }
e cos θ = V t V 0 − 1 {\displaystyle e\cos \theta ={\frac {V_{t}}{V_{0}}}-1} 53
e sin θ = V r V 0 {\displaystyle e\sin \theta ={\frac {V_{r}}{V_{0}}}} 54
どこ
V 0 = α p {\displaystyle V_{0}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}} 55
真の異常に対しては（ 50 ）と（ 51 ）で定義されたものと同じ r と値 を持つ ケプラー軌道が得られる 。 θ {\displaystyle \theta } V r {\displaystyle V_{r}} V t {\displaystyle V_{t}}
このケプラー軌道が、この真の異常に対して（ ５０ ）と（ ５１ ）で定義されたものと 同じベクトルを持つ場合、 ケプラー軌道の 状態ベクトルは 真の異常に対して望ましい値を取る 。 ( r ^ , t ^ ) {\displaystyle ({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {t} }})} θ {\displaystyle \theta } ( r , v ) {\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )} ( r 0 , v 0 ) {\displaystyle (\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})} θ {\displaystyle \theta }
円錐断面（楕円、放物線、双曲線）の向きを定義する軌道面（ 同質球の中心から近心に向かう）
における 標準慣性固定座標系は、次の関係で決定できる。 ( x ^ , y ^ ) {\displaystyle ({\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }})} x ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}
x ^ = cos θ r ^ − sin θ t ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}=\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}-\sin \theta {\hat {\mathbf {t} }}} 56
y ^ = sin θ r ^ + cos θ t ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}=\sin \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\cos \theta {\hat {\mathbf {t} }}} 57
関係式（ 53 ）と（ 54 ）は、次 の場合に特異点を持つことに注意する 。 V r = 0 {\displaystyle V_{r}=0} V t = V 0 = α p = α ( r ⋅ V t ) 2 α {\displaystyle V_{t}=V_{0}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}={\sqrt {\frac {\alpha }{\frac {{(r\cdot V_{t})}^{2}}{\alpha }}}}}
V t = α r {\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {\alpha }{r}}}} 58
これは初期状態に適合する円軌道の場合である ( r 0 , v 0 ) {\displaystyle (\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})}
接触するケプラー軌道 任意の状態ベクトルに対して、 その状態に対応するケプラー軌道は、上で定義したアルゴリズムを用いて計算できる。まず、パラメータを から決定し、次に 関係式( 56 )および( 57 )を用いて軌道面内の直交単位ベクトルを求める 。 ( r , v ) {\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )} p , e , θ {\displaystyle p,e,\theta } r , V r , V t {\displaystyle r,V_{r},V_{t}} x ^ , y ^ {\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}
運動方程式が
r ¨ = F ( r , r ˙ , t ) {\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)} 59
ここで 、 は関数であり 、 によって定義される 結果パラメータ 、 、 、以外は、パラメータ のみ が変化する ケプラー軌道の場合とは異なり、すべて時間とともに変化します。 F ( r , r ˙ , t ) {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)} − α r r 2 {\displaystyle -\alpha {\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}} p {\displaystyle p} e {\displaystyle e} θ {\displaystyle \theta } x ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}} y ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}} r , r ˙ {\displaystyle \mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }}} θ {\displaystyle \theta }
このようにして計算されたケプラー軌道は、時刻 tにおける「運動方程式」（ 59 ）の解と同じ「状態ベクトル」を持ち、 この時点で「接触している」と言われる。
この概念は、例えば 次の
ような場合に役立ちます。 F ( r , r ˙ , t ) = − α r ^ r 2 + f ( r , r ˙ , t ) {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)=-\alpha {\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}+\mathbf {f} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)} f ( r , r ˙ , t ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)}
これは、例えば他の天体からの微弱な重力などによる小さな「摂動力」です。接触ケプラー軌道のパラメータはゆっくりとしか変化せず、接触ケプラー軌道は接触の前後のかなりの期間、実際の軌道の良い近似値となります。
この概念は、推進力がオフになった場合にロケットがどのケプラー軌道を継続するかを示すため、動力飛行中のロケットにも役立ちます。
「円に近い」軌道の場合、「離心率ベクトル 」 という概念が有用であり、これは次のように定義される。( 53 )、( 54 )、( 56 ) から次の式が得られる。 e = e x ^ {\displaystyle \mathbf {e} =e{\hat {\mathbf {x} }}}
e = ( V t − V 0 ) r ^ − V r t ^ V 0 {\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {(V_{t}-V_{0}){\hat {\mathbf {r} }}-V_{r}{\hat {\mathbf {t} }}}{V_{0}}}} 60
すなわち 、この状態が円軌道に対応する場合も、 状態ベクトルの滑らかな微分可能関数となります。 e {\displaystyle \mathbf {e} } ( r , v ) {\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}
参照
参考文献 ^ コペルニクス pp 513–514 ^ ベイト、ミューラー、ホワイト。pp 177–181 ^ “NASAウェブサイト”. 2011年2月16日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2012年 8月12日 閲覧。
さらに読む エルヤスバーグ「人工地球衛星の飛行理論」、イスラエル科学翻訳プログラム（1967年） ベイト、ロジャー、ミューラー、ドナルド、ホワイト、ジェリー (1971). 『天体力学の基礎』 ドーバー出版、ニューヨーク. ISBN 0-486-60061-0 。 コペルニクス、ニコラウス （1952年）「天体の運動は規則的で、円運動で、永遠である、あるいは円運動の複合である」『西洋世界の偉大な書』第16巻、チャールズ・グレン・ウォリス 訳、シカゴ：ウィリアム・ベントン、 497～ 838 頁
外部リンク 長半径と離心率の任意の値を使用して、地球の周りを楕円形のケプラー軌道で周回する衛星の軌道をアニメーション化する JAVA アプレット。
![{\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {u} \times (r^{2}\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha \mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha [(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }})\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} ){\dot {\mathbf {u} }}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af54235ba518c0147c3ffab79bb03a2fb35e68f)
![{\displaystyle \left[-\infty <t<\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f4c2d85484a0f71543d4fe4ccd324f527a0142)
![{\displaystyle \left[-\infty <\theta <\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a733a34a4893dfafb8c3df87c470eeb8d9e324b9)
![{\displaystyle \left[-\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)<\theta <\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)\right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12031710e1f6bab0ee6c0d8d016315cd06e66813)
