スピノルを殺す

キリングスピノルは数学と物理学で使用される用語です。

意味

数学で一般的に使われるより狭義の定義によれば、キリングスピノルという用語は、ディラック演算子の固有スピノルで もあるツイスタースピノルを指します。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}この用語はヴィルヘルム・キリングにちなんで名付けられました。

もう 1 つの同等の定義は、キリング スピノルは、いわゆるキリング数に対する キリング方程式の解であるというものです。

より正式には：^{[ 4 ]}

リーマンスピン多様体M上の キリングスピノルは、次を満たすスピノル場である。 ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \nabla _{X}\psi =\lambda X\cdot \psi }$

すべての接ベクトルXに対して、はスピノル共変微分、はクリフォード乗法、は定数で、のキリング数と呼ばれる。 のとき、スピノルは平行スピノルと呼ばれる。 ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \lambda =0}$

アプリケーション

物理学において、キリングスピノルは超重力理論や超弦理論において、特に超対称性を保存する解を求める際に用いられる。キリングスピノルは、キリングベクトル場やキリングテンソルに関連する特殊なスピノル場である。

プロパティ

がキリングスピノルを持つ多様体であるならば、はリッチ曲率を持つアインシュタイン多様体であり、ここでキリング定数である。^{[ 5 ]} ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle Ric=4(n-1)\alpha ^{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$

キリングスピノル場の種類

が純虚数の場合、 は非コンパクト多様体です。が 0 の場合、スピノル場は平行です。 最後に、が実数の場合、はコンパクトであり、スピノル場は「実スピノル場」と呼ばれます。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

参考文献

1. Th.フリードリヒ (1980)。 「Der erste Eigenwert des Dirac Operators einer kompakten, Riemannschen Mannigfaltigkei nichtnegativer Skalarkrümmung」。数学的表現。97 : 117–146 .土井: 10.1002/mana.19800970111。
2. Th.フリードリヒ (1989)。 「ツイスターとキリングスピナーの等角関係について」。パレルモのレンディコンティ デル チルコロ マテマティコ、セリエ II の補足。22：59～ 75
3. A. Lichnerowicz (1987). 「スピン多様体、キリングスピノル、そしてヒジャズ不等式の普遍性」. Lett. Math. Phys . 13 (4): 331– 334. Bibcode : 1987LMaPh..13..331L . doi : 10.1007/bf00401162 . S2CID 121971999 . 
4. フリードリヒ、トーマス（2000）、リーマン幾何学におけるディラック演算子、アメリカ数学会、pp.  116-117、ISBN 978-0-8218-2055-1
5. Bär, Christian (1993-06-01). 「Real Killing spinors and holonomy」 . Communications in Mathematical Physics . 154 (3): 509– 521. Bibcode : 1993CMaPh.154..509B . doi : 10.1007/BF02102106 . ISSN 1432-0916 . 

本

• ローソン、H. ブレイン;マイケルソン、マリー＝ルイーズ(1989).スピン幾何学.プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-08542-5。
• フリードリヒ、トーマス（2000）、リーマン幾何学におけるディラック作用素、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-2055-1

外部リンク

• 「ロレンツ幾何学におけるツイスターとキリングスピノル」ヘルガ・バウム著（PDF形式）
• ディラック演算子（MathWorldより）
• キリング方程式（MathWorldより）
• ロレンツ多様体上のキリングスピノルとツイスタースピノル（Christoph Bohle による論文）（ポストスクリプト形式）

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