Physics formula
キルヒホッフ の回折式 [1] [2] （ フレネル・キルヒホッフ回折式 とも呼ばれる）は 、光回折（影の境界領域における光場）における 光の 強度と位相を 近似する。この近似は、解析的 または 数値モデル化 によって、幅広い構成における 光の伝播を モデル化するために使用できる 、検討中の状況における 単色 球面波 が入射波である場合の波の擾乱を表す式である 。この式は、グリーンの第2恒等式 を使用して 同次スカラー波動方程式 の解を導出する キルヒホッフの積分定理を 、いくつかの近似を伴う球面波に適用することによって導出される。
ホイヘンス -フレネルの原理は 、フレネル-キルヒホッフの回折式によって導かれます。
キルヒホッフの積分定理は フレネル・キルヒホッフの積分定理とも呼ばれ、 [3] グリーンの第2恒等式 を用いて 、任意の空間位置 Pにおける同次 スカラー波動方程式 の解を、 P を含むある体積の境界としての 任意の閉曲面上のすべての点における波動方程式とその1次導関数の解に基づいて導出します 。 S {\displaystyle S}
単色 光源 に対する積分定理によって提供される解は [1] : 378 である。
ここでは同次 スカラー波動方程式 の解の空間部分 （すなわち、 同次スカラー波動方程式の解として）、 k は 波数 、 sは P から（無限小の）積分面要素までの距離であり 、 は 積分面要素の法線単位ベクトル （すなわち、 法線導関数 ）に沿った微分、すなわち を表す 。この積分では、面法線または の方向は 囲まれた体積の内側に向いていることに注意してください。より一般的な 外向きの法線 を使用する場合、積分は反対の符号を持ちます。また、ここに示した積分定理では、 と P はベクトル 量であり、 他の項は スカラー 量であることにも注意してください。 U ( P ) = 1 4 π ∫ S [ U ∂ ∂ n ( e i k s s ) − e i k s s ∂ U ∂ n ] d S , {\displaystyle U({\textbf {P}})={\frac {1}{4\pi }}\int _{S}\left[U{\frac {\partial }{\partial {\textbf {n}}}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\partial U}{\partial {\textbf {n}}}}\right]dS,} U {\displaystyle U} V ( r , t ) = U ( r ) e − i ω t {\displaystyle V(\mathbf {r} ,t)=U(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}} ∂ ∂ n {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n}}} n {\displaystyle n} ∂ f ∂ n = ∇ f ⋅ n {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial n}}=\nabla f\cdot n} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n}
以下のケースでは、次のような基本的な仮定が立てられています。
波の点源 と積分領域との間の距離、積分領域と観測点 P との間の距離 、および開口部の寸法 S は、波の波長よりもはるかに大きい 。 λ {\displaystyle \lambda } U {\displaystyle U} 開口部の境界では波は不連続であり、キルヒホッフの境界条件と呼ばれます 。 これ は、開口部（または開放領域）上の波は、波にとって障害物がない場合に存在する波と同じであるという別の仮定と関係している可能性があります。 ∂ U ∂ n = ∇ U ⋅ n {\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}=\nabla U\cdot n}
点光源 キルヒホッフの回折式を導く際に用いられる幾何学的配置。A 1 で示される領域は 開口部、A 2 で示される領域は不透明領域、A 3は キルヒホッフの積分定理における閉積分面（領域A 1 、A 2 、A 3 から成る） の一部である半球面である 。 P 0 にある単色点光源 がスクリーンの開口部を照らしているとする。点光源から放射される波の 強度 は移動距離の2乗に反比例して減少するため、振幅も距離の反比例して減少する。ある距離における擾乱の複素振幅は 次式で与えられる
。 r {\displaystyle r}
U ( r ) = a e i k r r , {\displaystyle U(r)={\frac {ae^{ikr}}{r}},} ここで、 は 点源における擾乱の 強さ を表します。 a {\displaystyle a}
空間位置P における擾乱は、半径 R の球とスクリーンの 交差によって形成される閉曲面に キルヒホッフの積分定理を 適用することで求めることができる。積分は領域 A 1 、 A 2 、 A 3 にわたって行われ、以下の式が得られる。 U ( P ) = 1 4 π [ ∫ A 1 + ∫ A 2 + ∫ A 3 ] ( U ∂ ∂ n ( e i k s s ) − e i k s s ∂ U ∂ n ) d S . {\displaystyle U(P)={\frac {1}{4\pi }}\left[\int _{A_{1}}+\int _{A_{2}}+\int _{A_{3}}\right]\left(U{\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\partial U}{\partial n}}\right)dS.}
この方程式を解くには、開口部領域 A 1 におけると の値が スクリーンがない場合と同じであると仮定します。つまり、位置 Q において、 は 直線 P 0 Q の長さ、 は P 0 Q を直線状に延長したものと開口部の（内側への）法線 との間の角度です。 は A 1 上の正の実数であることに注意してください 。 U {\displaystyle U} ∂ U ∂ n {\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}} U A 1 = a e i k r r , {\displaystyle U_{A_{1}}={\frac {ae^{ikr}}{r}},} ∂ U A 1 ∂ n = ∇ U A 1 ⋅ n = a e i k r r [ i k − 1 r ] cos ( n , r ) , {\displaystyle {\frac {\partial U_{A_{1}}}{\partial n}}=\nabla U_{A_{1}}\cdot n={\frac {ae^{ikr}}{r}}\left[ik-{\frac {1}{r}}\right]\cos(n,r),} r {\displaystyle r} ( n , r ) {\displaystyle (n,r)} 0 < ( n , r ) < π 2 {\displaystyle 0<(n,r)<{\frac {\pi }{2}}} cos ( n , r ) {\displaystyle \cos(n,r)}
Q においては 、 直線 PQ の長さ、 PQ を 直線状に延長したものと開口部 の法線（内側）との間の角度が成り立ちます 。A 1においては 、 は 負の実数となることに注意してください 。 ∂ ∂ n ( e i k s s ) = e i k s s [ i k − 1 s ] cos ( n , s ) , {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)={\frac {e^{iks}}{s}}\left[ik-{\frac {1}{s}}\right]\cos(n,s),} s {\displaystyle s} ( n , s ) {\displaystyle (n,s)} π 2 < ( n , s ) < 3 π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}<(n,s)<{\frac {3\pi }{2}}} cos ( n , s ) {\displaystyle \cos(n,s)}
さらに次の 2 つの仮定を立てます。
上記の正規導関数では、両方の角括弧内の項 と項は 波数 と比較して無視できると仮定されており 、 および は 波長 より もはるかに大きいことを意味します 。 1 r {\displaystyle {\frac {1}{r}}} 1 s {\displaystyle {\frac {1}{s}}} k = 2 π λ {\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}} r {\displaystyle r} s {\displaystyle s} λ {\displaystyle \lambda } キルヒホッフは、 A 2 で示される不透明領域における と の値は ゼロであると仮定しています。これは 、 と が開口部 A 1 の縁で不連続になることを意味します 。しかし、これは事実ではなく、 キルヒホッフの回折式を導く際に用いられる 近似の一つです。 [4] [5]これらの仮定は、 キルヒホッフの境界条件 と呼ばれることもあります 。 U {\displaystyle U} ∂ U ∂ n {\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}} U {\displaystyle U} ∂ U ∂ n {\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}} 半球 A 3 からの積分への寄与はゼロであると予想され、それは次のいずれかの理由によって正当化できます。
源が特定の時間に放射を開始すると仮定し、 Rを十分に大きくして、 P における擾乱 を考慮する際にA3からの寄与が そこ に 到達しないようにする。 [1] このような波はもはや 単色 ではない。なぜなら、単色波は常に存在しなければならないからである。しかし、この仮定は必要ではなく、その仮定の使用を避けるより正式な議論が導かれている。 [6] 開口部A 1 から放射された波は、 伝播するにつれて球面波へと発展することが期待されます（この水波の例は、比較的狭い開口部を通過する水波を示す多くの図に見られます）。したがって、 Rが十分に大きい場合、 A 3 上の積分は となります。 ここで 、 とはそれぞれ、開口部 A 1 の中心から積分面要素まで の距離と、 球面座標系における微分立体角 です。 U ( P ) ∼ − i a 2 λ ∫ A 3 e 2 i k ( r ′ ) r ′ 2 [ cos ( n , r ′ ) − cos ( n , r ′ ) ] d A 3 = − i a 2 λ ∫ A 3 e 2 i k ( r ′ ) [ cos ( n , r ′ ) − cos ( n , r ′ ) ] d Ω = 0 {\displaystyle U(P)\sim -{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{3}}{\frac {e^{2ik(r')}}{r'^{2}}}[\cos(n,r')-\cos(n,r')]d{A_{3}}=-{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{3}}e^{2ik(r')}[\cos(n,r')-\cos(n,r')]d{\Omega }=0} r ′ {\displaystyle r'} d Ω {\displaystyle d\Omega } その結果、最終的にP における複素振幅を表す上記の積分 は、 U ( P ) = − i a 2 λ ∫ A 1 e i k ( r + s ) r s [ cos ( n , r ) − cos ( n , s ) ] d A 1 . {\displaystyle U(P)=-{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{1}}{\frac {e^{ik(r+s)}}{rs}}[\cos(n,r)-\cos(n,s)]d{A_{1}}.}
これは キルヒホッフ または フレネル・キルヒホッフの回折式 です。
ホイヘンス・フレネル原理との等価性 キルヒホッフの公式をホイヘンス・フレネルに似た形で表現するために使用される幾何学的配置 ホイヘンス ・フレネルの原理は、異なる閉曲面（観測点 P を持つある体積の境界 ）上で積分することによって導くことができる。上の領域 A 1は、開口部に最も近い r 0 における波面（ P 0 から放射された）の一部と、右の図で A 4 と示されている P 0 を頂点とする円錐の一部に 置き換えられる。波面が開口部の縁に非常に近い位置にある場合、 A 4 からの寄与は無視できる（ここではそのように 仮定 ） 。この新しい A 1 上で、 A 1 の 内向き（閉積分面によって囲まれた体積に向かって、つまり図の右側に向かって）の法線は、 P 0 から の 放射方向 、すなわち波面に垂直な方向に沿っている。結果として、角度 と角度は、 角度 （ ホイヘンス・フレネルの原理 で定義された角度 ）と次のように
関係付けられる。 n {\displaystyle n} ( n , r ) = 0 {\displaystyle (n,r)=0} ( n , s ) {\displaystyle (n,s)} χ {\displaystyle \chi } ( n , s ) = π − χ . {\displaystyle (n,s)=\pi -\chi .}
r 0 における波面の複素振幅 は次のように与えられる。 U ( r 0 ) = a e i k r 0 r 0 . {\displaystyle U(r_{0})={\frac {ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}}.}
したがって、回折式は、 図において開口に最も近い r 0 における波面部分について積分を行うと、次のようになります。この積分から 、ホイヘンス・フレネルの 原理（傾斜係数 を使用 ）が導かれます。 U ( P ) = − i 2 λ a e i k r 0 r 0 ∫ S e i k s s ( 1 + cos χ ) d S , {\displaystyle U(P)=-{\frac {i}{2\lambda }}{\frac {ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}}\int _{S}{\frac {e^{iks}}{s}}(1+\cos \chi )dS,} 1 + cos χ 2 {\textstyle {\frac {1+\cos \chi }{2}}}
この積分の導出では、右の図に示した形状の代わりに、中心が P 0 で内球の半径が r 0 で外球の半径が無限大の二重球を使用することができる。 [7] この形状では、観測点 P は 2 つの球で囲まれた体積内に位置するため、2 つの球にフレネル・キルヒホッフの回折式が適用されます。（これらの積分面の表面法線は、前述の回折式で囲まれた体積に向いている。）この式の適用において、外球上の積分は、上記の半球上の積分がゼロであるのと同様の理由によりゼロになる。
拡張ソース 開口部が拡張された光源波によって照らされていると仮定する。 [8] 開口部における複素振幅は U 0 ( r )で与えられる。
前述のように、領域 A 1 におけるおよび の値は スクリーンがない場合と同じであり、 A 2 における およびの値はゼロ（キルヒホッフの境界条件）であり、 A 3 からの積分への寄与もゼロであると仮定する。また、1/ sは k と比較して無視できるほど小さいと 仮定する 。すると、 U {\displaystyle U} ∂ U ∂ n {\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}} U {\displaystyle U} ∂ U ∂ n {\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}} U ( P ) = 1 4 π ∫ A 1 e i k s s [ i k U 0 ( r ) cos ( n , s ) − ∂ U 0 ( r ) ∂ n ] d S . {\displaystyle U(P)={\frac {1}{4\pi }}\int _{A_{1}}{\frac {e^{iks}}{s}}\left[ikU_{0}(r)\cos(n,s)-{\frac {\partial U_{0}(r)}{\partial n}}\right]\,dS.}
これはキルヒホッフの回折公式の最も一般的な形です。拡張光源についてこの式を解くには、光源内の個々の点による寄与を合計するための追加の積分が必要になります。しかし、光源から開口部内の各点への光の方向が明確に定義されていると仮定すると、光源と開口部の距離が波長よりも大幅に大きい場合、次のように書くことができます。 ここで、 a ( r ) は開口部内の
点 r における擾乱の強度です。 したがって
、 U 0 ( r ) ≈ a ( r ) e i k r , {\displaystyle U_{0}(r)\approx a(r)e^{ikr},} ∂ U 0 ( r ) ∂ n = i k a ( r ) e i k r cos ( n , r ) {\displaystyle {\frac {\partial {U_{0}(r)}}{\partial n}}=ika(r)e^{ikr}\cos(n,r)} U ( P ) = − i 2 λ ∫ S a ( r ) e i k ( s + r ) s [ cos χ + cos ( n , r ) ] d S . {\displaystyle U(P)=-{\frac {i}{2\lambda }}\int _{S}a(r){\frac {e^{ik(s+r)}}{s}}[\cos \chi +\cos(n,r)]\,dS.}
フラウンホーファーとフレネルの回折方程式 この式を導くにあたって様々な近似が行われたにもかかわらず、この式は機器光学におけるほとんどの問題を記述するのに十分です。これは主に、光の波長が、遭遇する障害物の寸法よりもはるかに小さいためです。ほとんどの構成では解析的な解は不可能ですが、 近傍場 および 遠方場に対するキルヒホッフの式の近似である フレネル回折 方程式と フラウンホーファー回折 方程式は、 非常に幅広い光学系に適用できます。
キルヒホッフの回折式を導く上で重要な仮定の一つは、 r と s がλよりも大幅に大きいというものです。もう一つの近似式を立てると、式はさらに大幅に簡略化されます。それは、距離 P 0 Q と QPが 開口部の寸法よりもはるかに大きいというものです。これにより、さらに2つの近似式を立てることができます。
cos( n, r ) − cos( n, s ) は 2cos β に置き換えられます。ここで、β は P 0 P と開口部の法線との間の角度です。係数 1/ rsは 1/ r ' s ' に置き換えられます。 ここで、 r ' と s 'はそれぞれ P 0 と P から開口部内の原点までの距離です 。複素振幅は次のようになります。 U ( P ) = − i a cos β λ r ′ s ′ ∫ S e i k ( r + s ) d s . {\displaystyle U(P)=-{\frac {ia\cos \beta }{\lambda r's'}}\int _{S}e^{ik(r+s)}\,ds.} 開口部が xy平面上にあり、 P 0 、 P 、 Q （開口部内の一般点）の座標がそれぞれ( x 0 、 y 0 、 z 0 )、( x 、 y 、 z )、( x ' 、 y ' 、 0 )であると仮定します 。すると、以下の式が得られます。 r 2 = ( x 0 − x ′ ) 2 + ( y 0 − y ′ ) 2 + z 0 2 , {\displaystyle ~r^{2}=(x_{0}-x')^{2}+(y_{0}-y')^{2}+z_{0}^{2},} s 2 = ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + z 2 , {\displaystyle ~s^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2},} r ′ 2 = x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 , {\displaystyle ~r'^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2},} s ′ 2 = x 2 + y 2 + z 2 . {\displaystyle ~s'^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.} r と s は 次のように表すことができます 。 r = r ′ [ 1 − 2 ( x 0 x ′ + y 0 y ′ ) r ′ 2 + x ′ 2 + y ′ 2 r ′ 2 ] 1 / 2 , {\displaystyle r=r'\left[1-{\frac {2(x_{0}x'+y_{0}y')}{r'^{2}}}+{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{r'^{2}}}\right]^{1/2},} s = s ′ [ 1 − 2 ( x x ′ + y y ′ ) s ′ 2 + x ′ 2 + y ′ 2 s ′ 2 ] 1 / 2 . {\displaystyle s=s'\left[1-{\frac {2(xx'+yy')}{s'^{2}}}+{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{s'^{2}}}\right]^{1/2}.}
これらは、べき級数 として展開することができます 。 r = r ′ [ 1 − 1 2 r ′ 2 [ 2 ( x 0 x ′ + y 0 y ′ ) − ( x ′ 2 + y ′ 2 ) ] + 1 8 r ′ 4 [ 2 ( x 0 x ′ + y 0 y ′ ) − ( x ′ 2 + y ′ 2 ) ] 2 + ⋯ ] , {\displaystyle r=r'\left[1-{\frac {1}{2r'^{2}}}\left[2(x_{0}x'+y_{0}y')-(x'^{2}+y'^{2})\right]+{\frac {1}{8r'^{4}}}\left[2(x_{0}x'+y_{0}y')-(x'^{2}+y'^{2})\right]^{2}+\cdots \right],} s = s ′ [ 1 − 1 2 s ′ 2 [ 2 ( x x ′ + y y ′ ) − ( x ′ 2 + y ′ 2 ) ] + 1 8 s ′ 4 [ 2 ( x x ′ + y y ′ ) − ( x ′ 2 + y ′ 2 ) ] 2 + ⋯ ] . {\displaystyle s=s'\left[1-{\frac {1}{2s'^{2}}}\left[2(xx'+yy')-(x'^{2}+y'^{2})\right]+{\frac {1}{8s'^{4}}}\left[2(xx'+yy')-(x'^{2}+y'^{2})\right]^{2}+\cdots \right].}
P における複素振幅は 次のように表すことができます。 ここで 、f ( x ' , y ' ) には、各式の最初の項を除く、上記の s および r のすべての項が含まれており、 c i が定数で
ある 形式で表すことができます 。 U ( P ) = − i cos β λ a e i k ( r ′ + s ′ ) r ′ s ′ ∫ S e i k f ( x ′ , y ′ ) d x ′ d y ′ , {\displaystyle U(P)=-{\frac {i\cos \beta }{\lambda }}{\frac {ae^{ik(r'+s')}}{r's'}}\int _{S}e^{ikf(x',y')}\,dx'dy',} f ( x ′ , y ′ ) = c 1 x ′ + c 2 y ′ + c 3 x ′ 2 + c 4 y ′ 2 + c 5 x ′ y ′ ⋯ , {\displaystyle f(x',y')=c_{1}x'+c_{2}y'+c_{3}x'^{2}+c_{4}y'^{2}+c_{5}x'y'\cdots ,}
フラウンホーファー回折 f ( x ' , y ' )の項のうち x ' と y ' の項以外の項を無視できる場合、 フラウンホーファー回折方程式 が 得られます。P 0 Q と PQ の方向余弦 が l 0 = − x 0 / r ′ , m 0 = − y 0 / r ′ , l = x / s ′ , m = y / s ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}l_{0}&=-x_{0}/r',\\m_{0}&=-y_{0}/r',\\l&=x/s',\\m&=y/s'.\end{aligned}}}
フラウンホーファ ー回折方程式 は、 C が定数で
ある式 で表されます。これは次のようにも書けます。 ここで、 k 0 と kはそれぞれ P 0 から開口部へ、そして開口部から P へ伝わる波の 波数ベクトル であり 、 r 'は 開口部内の点です。 U ( P ) = C ∫ S e i k [ ( l 0 − l ) x ′ + ( m 0 − m ) y ′ ] d x ′ d y ′ , {\displaystyle U(P)=C\int _{S}e^{ik[(l_{0}-l)x'+(m_{0}-m)y']}\,dx'dy',} U ( P ) = C ∫ S e i ( k 0 − k ) ⋅ r ′ d r ′ , {\displaystyle U(P)=C\int _{S}e^{i(\mathbf {k} _{0}-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr',}
点光源を、開口部における複素振幅がU 0 ( r' ) で与えられる拡張光源に置き換えると、 フラウンホーファー回折 方程式は次のようになります。 ここで、 a 0 ( r' ) は、前述と同様に、開口部における擾乱の大きさです。 U ( P ) ∝ ∫ S a 0 ( r ′ ) e i ( k 0 − k ) ⋅ r ′ d r ′ , {\displaystyle U(P)\propto \int _{S}a_{0}(\mathbf {r} ')e^{i(\mathbf {k} _{0}-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr',}
キルヒホッフ方程式を導出する際に行われた近似に加えて、
r と s は開口部のサイズよりも大幅に大きい。 式 f ( x ' , y ' ) の2次以上の項は無視できます。
フレネル回折 二次項は無視できないが、高次の項はすべて無視できる場合、方程式は フレネル回折 方程式となる。キルヒホッフ方程式の近似が用いられ、追加の仮定は以下の通りである。
r と s は開口部のサイズよりも大幅に大きい。 式 f ( x ' , y ' ) の 3 次以上の項は無視できます。
参考文献 ^ abc ボルン、マックス 、 ウルフ、エミール (1999). 『光学の原理：光の伝播、干渉、回折の電磁気理論 』ケンブリッジ： ケンブリッジ大学出版局 . p. 986. ISBN 9780521642224 。 ^ ロングハースト、リチャード・サミュエル (1986). 幾何光学と物理光学 . オリエント・ブラックスワン. p. 651. ISBN 8125016236 。 ^ キルヒホッフ、G. (1883)。 「リヒトストラレンの理論」。 Annalen der Physik (ドイツ語)。 254 (4)。ワイリー: 663–695 。 ビブコード :1882AnP...254..663K。 土井 ：10.1002/andp.18832540409。 ^ JZ Buchwald & C.-P. Yeang、「キルヒホッフの光回折理論、その前身とその後の発展：矛盾した理論の回復力」 Wayback Machine に2021年6月24日にアーカイブ、 Archive for History of Exact Sciences 、vol. 70、no. 5（2016年9月）、pp. 463–511; doi :10.1007/s00407-016-0176-1。 ^ J. Saatsi & P. Vickers, "Miraculous success? Inconsistency and untruth in Kirchhoff's diffraction theory", British J. for the Philosophy of Science , vol. 62, no. 1 (2011年3月), pp. 29–46; jstor.org/stable/41241806. (ページ番号が異なるプレ出版版: dro.dur.ac.uk/10523/1/10523.pdf.) ^ M. Born、 Optik: ein Lehrbuch der elektromagnetischen Lichttheorie 。ベルリン、シュプリンガー、1933 年、再版 1965 年、p. 149. ^ ヘクト、ユージン (2017). 「10.4 キルヒホッフのスカラー回折理論」. 光学 （第5版（グローバル版））. ピアソン. pp. 532– 535. ISBN 978-1-292-09693-3 。 ^ MV Klein & TE Furtak、1986年、 光学 ;第2版ジョン・ワイリー＆サンズ、ニューヨーク州 ISBN 0-471-87297-0 。
さらに読む 
![{\displaystyle U({\textbf {P}})={\frac {1}{4\pi }}\int _{S}\left[U{\frac {\partial }{\partial {\textbf {n}}}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\partial U}{\partial {\textbf {n}}}}\right]dS,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef39cb0a1dcc041fe7b095fd67dec8e193fed12a)
![{\displaystyle U(P)={\frac {1}{4\pi }}\left[\int _{A_{1}}+\int _{A_{2}}+\int _{A_{3}}\right]\left(U{\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\partial U}{\partial n}}\right)dS.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e868b7b6c02e67b3a9de389ca74c35dea29c5c2)
![{\displaystyle {\frac {\partial U_{A_{1}}}{\partial n}}=\nabla U_{A_{1}}\cdot n={\frac {ae^{ikr}}{r}}\left[ik-{\frac {1}{r}}\right]\cos(n,r),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fdcc1e15b5647baa0f617c5cda95513dafe7aff)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)={\frac {e^{iks}}{s}}\left[ik-{\frac {1}{s}}\right]\cos(n,s),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2234b4549e2fc131bfcc05b03762a9b058fe76)
![{\displaystyle U(P)\sim -{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{3}}{\frac {e^{2ik(r')}}{r'^{2}}}[\cos(n,r')-\cos(n,r')]d{A_{3}}=-{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{3}}e^{2ik(r')}[\cos(n,r')-\cos(n,r')]d{\Omega }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec8c23b15427d371000ea0713913d8e24c33f537)
![{\displaystyle U(P)=-{\frac {ia}{2\lambda}\int _{A_{1}}{\frac {e^{ik(r+s)}}{rs}}[\cos(n,r)-\cos(n,s)]d{A_{1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42ce3b7f0d59de9a19276492b784aede55faaa2b)
![{\displaystyle U(P)={\frac {1}{4\pi }}\int _{A_{1}}{\frac {e^{iks}}{s}}\left[ikU_{0}(r)\cos(n,s)-{\frac {\partial U_{0}(r)}{\partial n}}\right]\,dS.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50cee27eecc2def77bea0687a8b224c1cc60a307)
![{\displaystyle U(P)=-{\frac {i}{2\lambda }}\int _{S}a(r){\frac {e^{ik(s+r)}}{s}}[\cos \chi +\cos(n,r)]\,dS.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/262bfaa47357f78f93757302c2bd19be485af0cb)
![{\displaystyle r=r'\left[1-{\frac {2(x_{0}x'+y_{0}y')}{r'^{2}}}+{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{r'^{2}}}\right]^{1/2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/536f08fb63f055b7a8fdb568e0c3668fef791ef3)
![{\displaystyle s=s'\left[1-{\frac {2(xx'+yy')}{s'^{2}}}+{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{s'^{2}}}\right]^{1/2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f475903d11bb8b04579db861d401f0e464b3701d)
![{\displaystyle r=r'\left[1-{\frac {1}{2r'^{2}}}\left[2(x_{0}x'+y_{0}y')-(x'^{2}+y'^{2})\right]+{\frac {1}{8r'^{4}}}\left[2(x_{0}x'+y_{0}y')-(x'^{2}+y'^{2})\right]^{2}+\cdots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d56d72208823ecdf4259d206dbce7868bfb6c0c4)
![{\displaystyle s=s'\left[1-{\frac {1}{2s'^{2}}}\left[2(xx'+yy')-(x'^{2}+y'^{2})\right]+{\frac {1}{8s'^{4}}}\left[2(xx'+yy')-(x'^{2}+y'^{2})\right]^{2}+\cdots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0fa1630df2f86f825e8fb09b438c42446d86096)
![{\displaystyle U(P)=C\int _{S}e^{ik[(l_{0}-l)x'+(m_{0}-m)y']}\,dx'dy',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8efe3239b2d3dc8ca3858ac0b64de6be496b82f)
