クラインの4群

数学において、クラインの四元群は、4 つの元を持つアーベル群であり、各元は自己逆元（それ自身と合成すると恒等元になる）であり、3 つの非恒等元のうちの 2 つを合成すると 3 つ目の元になる。これは、正方形でない長方形の対称群（3 つの非恒等元は水平反転、垂直反転、および180 度回転）として、2 ビットのバイナリ値に対するビット単位の排他的論理和演算の群として、またはより抽象的には、有限生成アーベル群の基本定理による位数2の巡回群の 2 つのコピーの直積として記述できる。これはVierergruppe（ドイツ語: [ˈfiːʁɐˌɡʁʊpə]）と名付けられました。 $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ 1884年にフェリックス・クライン^{が提唱した多元数群（ⓘ}、4群を意味する）^{[ 1 ]。}クライン群も呼ばれ、文字または。 $V$ $K_{4}$

4つの元を持つクラインの4元群は、巡回群ではない最小の群です。同型を除いて、位数4の群は他に1つだけ存在します。それは位数4の巡回群です。どちらの群もアーベル群です。

プレゼンテーション

クライン群のケーリー表は次のように与えられます。

*	e	1つの	b	c
e	e	1つの	b	c
1つの	1つの	e	c	b
b	b	c	e	1つの
c	c	b	1つの	e

クラインの4群は、群の表現によっても定義される。

V=\left\langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=e\right\rangle .

クライン群の非恒等元はすべて位数2であるため、任意の2つの非恒等元は上記の表現における生成元として働くことができる。クライン四元群は最小の非巡回群である。しかし、これはアーベル群であり、位数（濃度）4の二面体群（記号（または幾何学的慣例を用いると）と同型）である。位数2の群を除けば、これはアーベル群である唯一の二面体群である。 $D_{4}$ $D_{2}$

クラインの 4 元群は直和とも同型であるため、2 を法とする成分ごとの加算で{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}のペア（または、ビットごとの XORでのビット文字列{00, 01, 10, 11}）として表すことができ、(0,0) は群の単位元です。したがって、クラインの 4 元群は基本アーベル 2 元群の一例であり、ブール群とも呼ばれます。したがって、クラインの 4 元群は、 2 つの要素を持つ集合の冪集合の部分集合に対する二項演算として対称差によって生成される群でもあります。つまり、などの 4 つの要素を持つ集合の体上の群です。この場合、空集合が群の単位元です。 $\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}$ $\{\emptyset ,\{\alpha \},\{\beta \},\{\alpha ,\beta \}\}$

クラインの四元群のもう一つの数値的構成は、 {1, 3, 5, 7}の集合であり、演算は8を法とする乗算である。ここで、aは3、bは5、c = abは3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8)である。

クラインの4元群は、行列乗算の演算を伴う 2×2の実行行列として表現されることもあります。

e={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad a={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad

b={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad c={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

ルービックキューブでは、空白のまま残される面のペアに応じて、「4 つの点」パターンを 3 つの方法で作成できます (たとえば、M2 U2 M2 U2 F2 M2 F2)。これらの 3 つの位置と解決された位置はクラインのグループの例を形成し、解決された位置は恒等式として機能します。

幾何学

Vはこの十字の対称群です。水平（a）、垂直（b）、または両方（ab）に反転しても変化しません。1/4回転すると変化します。

2 次元では、クラインの 4 群は、ひし形と正方形ではない長方形の対称群であり、4つの要素は恒等変換、垂直反射、水平反射、および 180 度回転です。

3 次元では、代数的にはクラインの 4 群である 3 つの異なる対称群が存在します。

3つの直交する2回回転軸を持つもの：二面体群 $D_{2}$
2回の回転軸と垂直な反射面を持つもの： $C_{2\mathrm {h} }=D_{1\mathrm {d} }$
反射面（したがって垂直な反射面）に 2 倍の回転軸を持つもの： $C_{2\mathrm {v} }=D_{1\mathrm {h} }$

順列表現

クラインの四元群における位数 2 の 3 つの要素は交換可能である。したがって、 Vの自己同型群はこれらの 3 つの要素の順列の群、つまり対称群である。 $S_{3}$

クラインの 4 元群の要素の順列は、抽象的には 4 つの点における順列表現として考えることができます。

V={}

{(), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}

この表現において、は4文字上の交代群（および対称群）の正規部分群である。また、はの推移的部分群であり、ガロア群として現れる。実際、はからへの射影群準同型写像の核である。 $V$ $A_{4}$ $S_{4}$ $S_{4}$ $S_{4}$ $S_{3}$

S ₄内の他の表現は次のとおりです。

{ (), (1,2), (3,4), (1,2)(3,4) }

{ (), (1,3), (2,4), (1,3)(2,4) }

{ (), (1,4), (2,3), (1,4)(2,3) }

それらはS ₄の正規部分群ではありません。

代数

ガロア理論によれば、クラインの四次群の存在（特にその置換表現）は、ルドヴィコ・フェラーリによって確立された、根号を用いて四次方程式の根を計算する公式の存在を説明します。つまり、写像はラグランジュのレゾルベントを用いた三次レゾルベントに対応します。 $S_{4}\to S_{3}$

有限環の構築において、4 つの元を持つ 11 個の環のうち 8 個は、加法的な部分構造としてクラインの 4 元群を持ちます。

が非零実数の乗法群、が正の実数の乗法群を表す場合、は環の単位群であり、はの部分群である（実際、の単位元成分である）。商群はクラインの四元群と同型である。同様に、分割複素数環の単位群をその単位元成分で割ると、クラインの四元群となる。 $\mathbb {R} ^{\times }$ $\mathbb {R} ^{+}$ $\mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }$ $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{+}$ $\mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }$ $\mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }$ $(\mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times })/(\mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{+})$

グラフ理論

単純連結グラフの中で、クライン四元群を自己同型群として許容する最も単純なグラフ（エンティティ数が最も少ないという意味で）は、下図に示すダイヤモンドグラフです。これは、エンティティ数が少ないという意味でより単純な他のグラフの自己同型群でもあります。これには、4つの頂点と1つの辺を持つグラフ（単純さは維持されますが連結性は失われます）や、2つの頂点が2つの辺で互いに連結されたグラフ（連結性は維持されますが単純さは失われます）が含まれます。

音楽

音楽作曲において、四音群は十二音技法における基本的な順列群である。この場合、ケイリー表は^{[ 2 ]と表記される。}

S	私	R	RI
私	S	RI	R
R	RI	S	私
RI	R	私	S

参照

参考文献

^ Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade (正二十面体と 5 次方程式の解に関する講義)
^バビット、ミルトン. (1960)「作曲上の決定要因としての十二音不変量」、ミュージカル・クォータリー46(2):253 特集号：現代音楽の問題：プリンストン高等音楽研究セミナー（4月）：246–59、オックスフォード大学出版局

さらに読む

MA Armstrong (1988) Groups and Symmetry、Springer Verlag、53ページ。
WE Barnes (1963) 「抽象代数入門」、DC Heath & Co.、20 ページ。

外部リンク

ワイスタイン、エリック W. 「ヴィーラーグループ」。マスワールド。

[1] Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade (正二十面体と 5 次方程式の解に関する講義)

[2] バビット、ミルトン. (1960)「作曲上の決定要因としての十二音不変量」、ミュージカル・クォータリー46(2):253 特集号：現代音楽の問題：プリンストン高等音楽研究セミナー（4月）：246–59、オックスフォード大学出版局

[ 1 ]。

[ 2 ]と表記される。