クライスリカテゴリー

Category theory

圏論において、クライスリ圏（Kleisli category）は、任意のモナドTに自然に関連付けられる圏である。これは自由T -代数の圏と同値である。クライスリ圏は、「すべてのモナドは随伴から生じるか？ 」という問いに対する2つの極端解のうちの1つである。もう1つの極端解はアイレンバーグ・ムーア圏である。クライスリ圏は数学者ハインリヒ・クライスリにちなんで名付けられている。

正式な定義

⟨ T , η , μ ⟩ をカテゴリC上のモナドとする。Cのクライスリカテゴリとは、その対象と射が次式で与えられるカテゴリC _{Tのことである。}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Obj} ({{\mathcal {C}}_{T}})&=\mathrm {Obj} ({\mathcal {C}}),\\\mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{T}}(X,Y)&=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,TY).\end{aligned}}}$

つまり、Cにおける任意の射f: X → TY（コドメインTY ）_は、 C _Tにおける射（コドメインY ）ともみなせる。C Tにおける射の合成は次のように与えられる 。

${\displaystyle g\circ _{T}f=\mu _{Z}\circ Tg\circ f:X\to TY\to T^{2}Z\to TZ}$

ここでf: X → TY、g: Y → TZである。恒等射はモナドユニットηによって与えられる。

${\displaystyle \mathrm {id} _{X}=\eta _{X}}$。

これを別の方法で記述すると、各オブジェクトが属する圏が明確になりますが、これはMacLaneによって用いられています^[1]。 この説明では、わずかに異なる表記法を用います。上記と同じモナドと圏が与えられ、各オブジェクトを新しいオブジェクトに 、各射を射に 関連付けます。これらのオブジェクトと射は、圏を形成します。ここで、クライスリ合成とも呼ばれる合成を次のように定義します。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X_{T}}$ ${\displaystyle f\colon X\to TY}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f^{*}\colon X_{T}\to Y_{T}}$ ${\displaystyle C_{T}}$

${\displaystyle g^{*}\circ _{T}f^{*}=(\mu _{Z}\circ Tg\circ f)^{*}.}$

すると、 における恒等射、すなわちクライスリ恒等射は、 ${\displaystyle C_{T}}$

${\displaystyle \mathrm {id} _{X_{T}}=(\eta _{X})^{*}.}$

拡張演算子とクライスリ・トリプル

クライスリ射の合成は、拡張演算子(–) ^#  : Hom( X , TY ) → Hom( TX , TY )によって簡潔に表現できます。カテゴリC上のモナド ⟨ T , η , μ ⟩と射f  : X → TYが与えられ、

${\displaystyle f^{\sharp }=\mu _{Y}\circ Tf.}$

クライスリ圏C _Tの合成は次のように書ける。

${\displaystyle g\circ _{T}f=g^{\sharp }\circ f.}$

拡張演算子は次の恒等式を満たします。

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{X}^{\sharp }&=\mathrm {id} _{TX}\\f^{\sharp }\circ \eta _{X}&=f\\(g^{\sharp }\circ f)^{\sharp }&=g^{\sharp }\circ f^{\sharp }\end{aligned}}}$

ここで、 f  : X → TY、g  : Y → TZである。これらの性質から、Kleisli合成は結合的であり、η _Xは恒等関数であることが自明である。

実際、モナドを与えるということはクライスリの三つ組⟨ T , η , (–) ^# ⟩ を与えるということである。つまり、

• 関数; ${\displaystyle T\colon \mathrm {ob} (C)\to \mathrm {ob} (C)}$
• 内の各オブジェクトに対して、射; ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \eta _{A}\colon A\to T(A)}$
• の各射に対して、射 ${\displaystyle f\colon A\to T(B)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f^{\sharp }\colon T(A)\to T(B)}$

拡張演算子に関する上記の 3 つの式が満たされるようになります。

クライスリ付加

クライスリ圏はもともと、あらゆるモナドが随伴関係から生じることを示すために定義されました。その構成は以下のとおりです。

⟨ T , η , μ ⟩ を圏C上のモナドとし、C _{T を}それに対応するクライスリ圏とする。「形式的定義」の節で述べたマクレーンの記法を用いて、関手F :  C  →  C _{T を}次のように 定義する。

${\displaystyle FX=X_{T}\;}$

${\displaystyle F(f\colon X\to Y)=(\eta _{Y}\circ f)^{*}}$

そして関手G  : C _T → Cは

${\displaystyle GY_{T}=TY\;}$

${\displaystyle G(f^{*}\colon X_{T}\to Y_{T})=\mu _{Y}\circ Tf\;}$

FとGは確かに関手であり、FはGの左随伴関数であることを示すことができる。随伴関数の余単位は次のように与えられる。

${\displaystyle \varepsilon _{Y_{T}}=(\mathrm {id} _{TY})^{*}:(TY)_{T}\to Y_{T}.}$

最後に、 T = GF、μ = GεFであることを示すことができ、⟨ T、η、μ⟩は、随伴⟨ F、G、η、ε⟩に関連付けられたモナドです。

それを示すGF＝T

カテゴリCの任意のオブジェクトXについて:

${\displaystyle {\begin{aligned}(G\circ F)(X)&=G(F(X))\\&=G(X_{T})\\&=TX.\end{aligned}}}$

カテゴリーCの場合: ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(G\circ F)(f)&=G(F(f))\\&=G((\eta _{Y}\circ f)^{*})\\&=\mu _{Y}\circ T(\eta _{Y}\circ f)\\&=\mu _{Y}\circ T\eta _{Y}\circ Tf\\&={\text{id}}_{TY}\circ Tf\\&=Tf.\end{aligned}}}$

はC内の任意のオブジェクトXに対して真であり、はC内の任意の射fに対して真であるため、 となります。QED ${\displaystyle (G\circ F)(X)=TX}$ ${\displaystyle (G\circ F)(f)=Tf}$ ${\displaystyle G\circ F=T}$

参考文献

1. Mac Lane (1998). 『働く数学者のためのカテゴリー』p. 147.

• マック・レーン、サンダース(1998). 『現役数学者のためのカテゴリー』 .大学院数学テキスト. 第5巻 (第2版). シュプリンガー. ISBN 0-387-98403-8. Zbl  0906.18001。
• ペディッキオ、マリア・クリスティーナ、トーレン、ウォルター編 (2004).圏論的基礎. 順序、位相、代数、層理論に関する特別な話題. 数学とその応用百科事典. 第97巻.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-83414-7. Zbl  1034.18001。
• リール、エミリー(2016). 文脈におけるカテゴリー理論(PDF) . ドーバー出版. ISBN 978-0-486-80903-8. OCLC  1006743127.
• Riguet, ジャック;ルネ・ギタルト（1992年）。 「カルビエンヌとクライスリの封筒」。カイエ・ド・トポロジーとジオメトリー・ディフェレンティエル・カテゴリケ。33 (3): 261–6 . MR  1186950. Zbl  0767.18008。

外部リンク

• nラボのKleisliカテゴリー

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