小出式

Unexplained empirical equation in particle physics

小出公式は、1981年に小出義雄によって発見された、説明のつかない経験式である。当初の形では、完全に経験的なものではなく、クォークとレプトンの質量、そしてCKM角に関するモデルに対する推測の集合であった。このモデルからは、3つの荷電レプトンの質量に関する観察のみが残されている。その後の研究者たちは、この関係をニュートリノ、クォーク、そして他の粒子ファミリーにも拡張した。^{[1] : 64–66}

式

小出式は

${\displaystyle Q={\frac {m_{\text{e}}+m_{\mu }+m_{\tau }}{\left({\sqrt {m_{\text{e}}}}+{\sqrt {m_{\mu }}}+{\sqrt {m_{\tau }}}\right)^{2}}}={\frac {2}{3}},}$

ここで、電子、ミューオン、タウの質量はそれぞれm _e =0.510 998 950 00 (15)  MeV/ c ²、 m _μ =105.658 3755 (23) MeV/ c ²、そしてm _τ =1 776 .93(09) MeV/ c ² ; 括弧内の数字は最後の数字の不確かさである。 ^[2]これはQ = 0.666 664 46 (508) . ^[a]

電子、ミューオン、タウの代わりにどのような質量が選択されても、比Qは次のように制限される。  1 /3⁠ ≤ Q < 1。上限は平方根が必ず正であるという事実から導かれ、下限はコーシー・ブニャコフスキー・シュワルツの不等式から導かれる。実験的に決定された値、 ⁠ 2 /3⁠は数学的に許容される範囲の中央に位置します。ただし、正の根の要件を除外すると、クォークセクターに追加の組（ストレンジ、チャーム、ボトムを含む組）を組み込むことができることに注意してください。

謎は物理的な値にあります。一見任意の3つの数値が単純な分数を与えるという点で結果が特異なだけでなく、電子、ミューオン、タウの場合、Qはあらゆる可能な組み合わせの両極端のちょうど中間に位置するという点でも特異です。⁠ 1 /3⁠（3つの質量が等しい場合）および1（1つの質量が他の2つの質量よりも大きい場合）。Qは無次元量であるため、質量の大きさを表すのにどの単位が使用されても、この関係は成り立ちます。

ロバート・フットは、コイデの公式を幾何学的な関係として解釈し、その値はベクトルとベクトル[1, 1, 1]の間の角度の2乗余弦であるとしました（ドット積を参照）。^[3]その角度はほぼ45度です。^[3] ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3Q}}}$ ${\displaystyle [{\sqrt {m_{\text{e}}}},{\sqrt {m_{\mu }}},{\sqrt {m_{\tau }}}]}$ ${\displaystyle \theta =45.000^{\circ }\pm 0.001^{\circ }.}$

式が正確に成り立つと仮定すると（Q = ⁠2/3⁠）、これは（より正確に知られている）電子とミューオンの質量からタウの質量を予測するのに使用できる。その予測はm _τ =1 776 .969 MeV/ c ² . ^[4]

元の公式はプレオン模型の文脈で生まれたが、それを導く他の方法が見出されている（角野と小出の両者による。以下の参考文献を参照）。しかしながら、全体としての理解は未だ不完全である。クォーク三重項についても、ランニングマスに依存した同様の一致が見出されている。^{[5] [6] [7]}クォークが交代する場合には、連続する三重項に対して小出方程式を連鎖させることで、次のような結果を得ることができる。トップクォークの質量は173.263 947 (6) GeV/ c ²である。^[8]

注目すべき特性

順列対称性

小出関係式は、3つの荷電レプトンの質量、、 の間に置換対称性を示す。^[9]これは、これらの質量をどのような形で入れ替えても の値は変化しないことを意味する。この関係式は質量の和とそれらの平方根の和に依存するため、 、 、 の任意の置換は不変となる。の任意の置換に対して となる。 ${\displaystyle m_{\text{e}}}$ ${\displaystyle m_{\mu }}$ ${\displaystyle m_{\tau }}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle m_{\text{e}}}$ ${\displaystyle m_{\mu }}$ ${\displaystyle m_{\tau }}$ ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle Q={\frac {m_{\text{e}}+m_{\mu }+m_{\tau }}{\left({\sqrt {m_{\text{e}}}}+{\sqrt {m_{\mu }}}+{\sqrt {m_{\tau }}}\right)^{2}}}={\frac {m_{\sigma ({\text{e}})}+m_{\sigma (\mu )}+m_{\sigma (\tau )}}{\left({\sqrt {m_{\sigma ({\text{e}})}}}+{\sqrt {m_{\sigma (\mu )}}}+{\sqrt {m_{\sigma (\tau )}}}\right)^{2}}}}$$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{{\text{e}},\mu ,\tau \}}$

スケール不変性

コイデ関係式はスケール不変である。つまり、各質量に共通の定数を掛けてもの値には影響しない。 を とすると、次の式が成り立つ。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle m'_{i}=\lambda m_{i}}$ ${\displaystyle i={\text{e}},\mu ,\tau }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}Q'&={\frac {m'_{\text{e}}+m'_{\mu }+m'_{\tau }}{\left({\sqrt {m'_{\text{e}}}}+{\sqrt {m'_{\mu }}}+{\sqrt {m'_{\tau }}}\right)^{2}}}\\&={\frac {\lambda m_{\text{e}}+\lambda m_{\mu }+\lambda m_{\tau }}{\left({\sqrt {\lambda m_{\text{e}}}}+{\sqrt {\lambda m_{\mu }}}+{\sqrt {\lambda m_{\tau }}}\right)^{2}}}\\&={\frac {\lambda (m_{\text{e}}+m_{\mu }+m_{\tau })}{\left({\sqrt {\lambda }}({\sqrt {m_{\text{e}}}}+{\sqrt {m_{\mu }}}+{\sqrt {m_{\tau }}})\right)^{2}}}\\&={\frac {\lambda (m_{\text{e}}+m_{\mu }+m_{\tau })}{\lambda \left({\sqrt {m_{\text{e}}}}+{\sqrt {m_{\mu }}}+{\sqrt {m_{\tau }}}\right)^{2}}}\\&={\frac {m_{\text{e}}+m_{\mu }+m_{\tau }}{\left({\sqrt {m_{\text{e}}}}+{\sqrt {m_{\mu }}}+{\sqrt {m_{\tau }}}\right)^{2}}}\\&=Q\end{aligned}}}$$

したがって、共通係数による質量のスケーリングでは変化しません。 ${\displaystyle Q}$

投機的な拡張

カール・ブランネンは^{[4]、レプトンの質量は実固有値を持つ}巡回行列の固有値の2乗で与えられ、次の関係に対応すると 提案した。

${\displaystyle {\sqrt {\,m_{n}\;}}=\mu \left[1+2\eta \cos \left(\delta +{\frac {\,2\pi \,}{3}}\cdot n\right)\right]~,~}$n = 0, 1, 2, ...の場合

これは、 η ² = 0.500003(23)（コイデ関係式に対応）および位相δ = 0.2222220(19)の実験データに適合することができ、これはほぼ正確に⁠2/9⁠  。しかし、実験データはη ² = ⁠の同時等式と矛盾している。1/2⁠およびδ = ⁠2/9⁠  . ^[4]

この種の関係はクォーク族にも提案されており、位相は低エネルギー値に等しい。2/27⁠ = ⁠2/9⁠ × ⁠1/3⁠と⁠4/27⁠ = ⁠2/9⁠ × ⁠2/3⁠、粒子ファミリーの電荷との関係を示唆している（⁠1/3⁠と⁠2/3⁠クォーク対⁠3/3⁠ = レプトンの場合は1、ここで⁠  1/3⁠ × ⁠2/3⁠ × ⁠3/3⁠ ≈ δ  ) . ^[10]

起源

元の導出^[11]では、以下の条件 を仮定している。 ${\displaystyle m_{e_{i}}\propto (z_{0}+z_{i})^{2}}$

${\displaystyle z_{1}+z_{2}+z_{3}=0}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2})=z_{0}^{2}}$

そこから式が導かれる。さらに、ニュートリノとダウンクォークの質量は比例すると仮定されていたが、アップクォークの質量は比例すると仮定されていた。 ${\displaystyle z_{i}^{2}}$ ${\displaystyle \propto (z_{0}+2z_{i})^{2}~.}$

公開されたモデル^[12]は、最初の条件を対称性の破れのスキームの一部として正当化し、2番目の条件をこの対称性の破れを引き起こす相互作用におけるプレオンの「フレーバーチャージ」として正当化します。

行列形式では、方程式は単純に、 ${\displaystyle M=A\ A^{\dagger }}$ ${\displaystyle A=Z_{0}+Z}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} Z=0}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} Z_{0}^{2}=\operatorname {tr} Z^{2}.}$

類似の式

他の質量にも同様の式が存在します。クォークの質量は測定に用いられるエネルギースケールに依存するため、解析はより複雑になります。^[13]

最も重い３つのクォーク、チャーム（1.275 ± 0.03 GeV/ c ²）、下（4.180 ± 0.04 GeV/ c ²）およびトップ（173.0 ± 0.40 GeV/ c ²）、それらの不確実性にかかわらず、F. G. Cao（2012）によって引用された値に到達する：^[14]

${\displaystyle Q_{\text{heavy}}={\frac {m_{\text{c}}+m_{\text{b}}+m_{\text{t}}}{\left({\sqrt {m_{\text{c}}}}+{\sqrt {m_{\text{b}}}}+{\sqrt {m_{\text{t}}}}\right)^{2}}}\approx 0.669\approx {\frac {2}{3}}.}$

このことはロデヨハンとチャンが2011年の論文のプレプリントで指摘していたが^[15] 、出版されたバージョンではその指摘は削除されており^[5] 、最初の出版された言及は2012年に曹によるものとなった^{[14] 。}

関係

${\displaystyle Q_{\text{middle}}={\frac {m_{\text{s}}+m_{\text{c}}+m_{\text{b}}}{\left(-{\sqrt {m_{\text{s}}}}+{\sqrt {m_{\text{c}}}}+{\sqrt {m_{\text{b}}}}\right)^{2}}}\approx 0.675}$

^{これはRivero [16]}の分析の一部として公開されており、チャーム質量の値の増加により、重い方程式と中程度の方程式の両方が正確になると指摘しています（参考文献の脚注3）。

最も軽いクォークの質量は、（2.2 ± 0.4 MeV/ c ²）、下（4.7 ± 0.3 MeV/ c ²）、そして奇妙な（95.0 ± 4.0 MeV/ c ²）、実験の不確かさを考慮せずに、

${\displaystyle Q_{\text{light}}={\frac {m_{\text{u}}+m_{\text{d}}+m_{\text{s}}}{\left({\sqrt {m_{\text{u}}}}+{\sqrt {m_{\text{d}}}}+{\sqrt {m_{\text{s}}}}\right)^{2}}}\approx 0.57,}$

この値はCaoも同じ論文で引用している。^[14]より古い論文H. Harariら^{[17]はアップクォーク、ダウンクォーク、ストレンジクォークの}理論値を計算しており、偶然にも後のKoideの公式と一致しているが、アップクォークは質量がない。

${\displaystyle Q_{\text{light}}={\frac {0+m_{\text{d}}+m_{\text{s}}}{\left({\sqrt {0}}+{\sqrt {m_{\text{d}}}}+{\sqrt {m_{\text{s}}}}\right)^{2}}}}$

これは文献における小出型の式の最初の登場であると考えられる。

粒子の塊の走行

量子場の理論では、結合定数や質量といった量はエネルギースケールに「従う」。^[18]つまり、それらの値は観測が行われるエネルギースケールに依存し、これは繰り込み群方程式（RGE）によって記述される。^[19]通常、これらの量間の関係は高エネルギー（ある程度の対称性が破れていない）では単純であると予想されるが、RGフローによって高エネルギー関係か​​ら複雑な偏差が生じる低エネルギーでは単純ではないと予想される。コイデ関係は、異なるエネルギースケールで定義される低エネルギー量である極質量に対しては（実験誤差の範囲内で）正確である。このため、多くの物理学者はこの関係を「数秘術」とみなしている。^[20]

しかし、日本の物理学者、角野幸成は、荷電レプトンスペクトルの起源と小出公式を説明するメカニズムを提案している。例えば、新しいゲージ対称性を持つ有効場の理論を構築し、極質量が関係式を正確に満たすようにするなどである。^[21]小出は角野のモデルに関する自身の意見を発表している。^{[22] [23]}フランソワ・ゴフィネの博士論文では、極質量と、質量の平方根を避けるように小出公式をどのように再定式化できるかについて議論されている。^[24]

三次方程式の解として

3次方程式は、ヒッグス真空を解く際に対称性の破れが生じる際に通常生じ、3世代の粒子を考える際に自然な対象となります。これは、3×3の質量行列の固有値を求めることを意味します。

この例では、特性多項式を考える。

${\displaystyle 4m^{3}-24n^{2}m^{2}+9n(n^{3}-4)m-9}$^[要引用]

根源は現実的かつ肯定的なものでなければなりません。 ${\displaystyle m_{j}:j=1,2,3,}$

コイデ関係式を導くには、とし、結果として得られる多項式を因数分解すると、 ${\displaystyle m\equiv x^{2}}$

${\displaystyle (2x^{3}-6nx^{2}+3n^{2}x-3)(2x^{3}+6nx^{2}+3n^{2}x+3)}$

または

${\displaystyle 4(x^{3}-3nx^{2}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}x-{\tfrac {3}{2}})(x^{3}+3nx^{2}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}x+{\tfrac {3}{2}})}$

根の基本対称多項式は、解く多項式から対応する係数を再現する必要があるため、これらの対称多項式の比をとり、最初の値を2乗して未知のパラメータを除算すると、コイデ型の公式が得られます。3次方程式の解の値に関係なく、次の式を満たす必要があります 。 ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=\pm 3n}$ ${\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}=+{\tfrac {3}{2}}n^{2}.}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {2(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1})}{(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}}}={\frac {(3n^{2})}{(\pm 3n)^{2}}}={\frac {1}{3}}}$

それで

${\displaystyle 1-{\frac {2x_{1}x_{2}+2x_{2}x_{3}+2x_{3}x_{1}}{(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}}}=1-{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}.}$

そして

${\displaystyle 1-{\frac {2x_{1}x_{2}+2x_{2}x_{3}+2x_{3}x_{1}}{(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}-2x_{1}x_{2}-2x_{2}x_{3}-2x_{3}x_{1}}{(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}}}={\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}{(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}}}.}$

元に戻す ${\displaystyle {\sqrt {m}}=x}$

${\displaystyle {\frac {m_{1}+m_{2}+m_{3}}{\left({\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt {m_{2}}}+{\sqrt {m_{3}}}\right)^{2}}}={\frac {2}{3}}.}$

相対論的なケースでは、ゴフィネの論文は、偶数次のみの多項式を構築する同様の方法を提示した。 ${\displaystyle m.}$

ヒッグス機構

小出は、この式の説明として、次のように与えられるフレーバー電荷を持つヒッグス粒子を提案した。 ${\displaystyle \mathrm {U} (3)}$ ${\displaystyle \Phi ^{a{\overline {b}}}}$

${\displaystyle V(\Phi )=\left[2\ \left[tr(\Phi )\right]^{2}-3\ tr(\Phi ^{2})\right]^{2}}$

^{荷電レプトンの質量項は[25]}で与えられる。このようなポテンシャルは、質量がコイデの公式に適合するときに最小化される。最小化しても質量スケールは得られず、質量スケールはポテンシャルの追加項で与えられる必要があるため、コイデの公式は標準モデルのヒッグス粒子の他に追加のスカラー粒子が存在することを示唆している可能性がある。 ${\displaystyle {\overline {\psi }}\Phi ^{2}\psi .}$

実際、そのようなヒッグス ポテンシャルの 1 つは、まさに、展開するとトレースの観点から行列式が Koide 関係を使用して単純化されるものになります。 ${\displaystyle V(\Phi )=\det[(\Phi -{\sqrt {m_{\text{e}}}})]^{2}+\det[(\Phi -{\sqrt {m_{\mu }}})]^{2}+\det[(\Phi -{\sqrt {m_{\tau }}})]^{2}}$

脚注

1. m _eとm _μの不確実性はm _τの不確実性よりもはるかに小さいため、 Qの不確実性は次のように計算された。 ${\displaystyle \Delta Q={\frac {\partial Q}{\partial m_{\tau }}}\Delta m_{\tau }.}$

参照

• 異常磁気双極子モーメント
• CKMマトリックス
• クリフォード代数
• 世代
• ヒッグス機構
• 標準ヒッグス模型の代替案
• PMNSマトリックス
• クォーク・レプトンの相補性
• シーソー機構
• テクニカラー

参考文献

1. Zenczykowski, P.,素粒子と創発位相空間（シンガポール：World Scientific、2014年）、64〜66頁。
2. Navas, S.; et al. ( Particle Data Group ) (2024). 「Review of Particle Physics」. Phys. Rev. D . 110 (3) 030001. doi :10.1103/PhysRevD.110.030001. hdl : 20.500.11850/695340 .
3. Foot, R. (1994年2月7日). 「小出のレプトン質量関係に関する注記」. arXiv : hep-ph/9402242 .
4. ブラネン、カール A. (2006 年 5 月 2 日)。 「レプトンの塊」(PDF)。ブランネンの個人ウェブサイト。2020 年10 月 18 日に取得。
5. Rodejohann, W.; Zhang, H. (2011). 「経験的荷電レプトン質量関係のニュートリノセクターへの拡張」. Physics Letters B. 698 ( 2): 152– 156. arXiv : 1101.5525 . Bibcode :2011PhLB..698..152R. doi :10.1016/j.physletb.2011.03.007. S2CID  59445811.
6. Rosen, G. (2007). 「レプトンとクォークの構造に関するディラック-ゴールドハーバー模型の発見的開発」. Modern Physics Letters A. 22 ( 4): 283– 288. Bibcode :2007MPLA...22..283R. doi :10.1142/S0217732307022621.
7. Kartavtsev, A. (2011). 「クォークのコイデ関係に関する考察」arXiv : 1111.0480 [hep-ph].
8. Rivero, A. (2011). 「新しいコイデ組：ストレンジ・チャーム・ボトム」. arXiv : 1111.7232 [hep-ph].
9. ゴフィネ、F. (2008)。フェルミオン質量へのボトムアップアプローチ（博士論文）。ルーヴァン、フランス: Université catholique de Louvain。
10. Zenczykowski, Piotr (2012-12-26). 「コイデのクォーク質量のZ3対称パラメータ化に関する考察」. Physical Review D. 86 ( 11) 117303. arXiv : 1210.4125 . Bibcode :2012PhRvD..86k7303Z. doi :10.1103/PhysRevD.86.117303. ISSN  1550-7998. S2CID  119189170.
11. 小出雄一(1981) サブクォーク模型から推測されるクォークとレプトンの質量
12. Koide, Y. (1983). 「クォークとレプトンのフェルミオン-ボソン複合モデル」. Physics Letters B. 120 ( 1–3 ) : 161–165 . Bibcode :1983PhLB..120..161K. doi :10.1016/0370-2693(83)90644-5.
13. Quadt, A.、「ハドロン衝突型加速器のトップクォーク物理学」（ベルリン/ハイデルベルク：シュプリンガー、2006年）、147ページ。
14. Cao, FG (2012). 「レプトンとクォークの質量関係とニュートリノ振動によるニュートリノ質量」. Physical Review D. 85 ( 11) 113003. arXiv : 1205.4068 . Bibcode :2012PhRvD..85k3003C. doi :10.1103/PhysRevD.85.113003. S2CID  118565032.
15. Rodejohann, W.; Zhang, H. (2011). 「経験的荷電レプトン質量関係のニュートリノセクターへの拡張」arXiv : 1101.5525 [hep-ph].
16. Rivero, A. (2024). 「SO(32)におけるスカラーの解釈」. European Physical Journal C. 84 ( 10) 1058. arXiv : 2407.05397 . doi :10.1140/epjc/s10052-024-13368-3.
17. Harari, Haim; Haut, Hervé; Weyers, Jacques (1978). 「クォーク質量とカビボ角」(PDF) . Physics Letters B. 78 ( 4): 459– 461. Bibcode :1978PhLB...78..459H. doi :10.1016/0370-2693(78)90485-9.
18. アルバレス＝ガウメ、L. ;マサチューセッツ州バスケス・モゾ（2012）。場の量子論への招待。デラウェア州ベルリン / デラウェア州ハイデルベルク: Springer。 151-152ページ。
19. Green, D. (2016). MATLABによる宇宙論.シンガポール: World Scientific . p. 197.
20. Motl, L. (2012年1月16日). 「コイデ式は本当なのか？」blogspot.com (ブログ). The Reference Frame . 2021年8月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2023年12月21日閲覧。
21. 隅野 雄一 (2009). 「ファミリーゲージ対称性に基づく小出の質量公式と荷電レプトンスペクトル」. J​​ournal of High Energy Physics . 2009 (5): 75. arXiv : 0812.2103 . Bibcode :2009JHEP...05..075S. doi :10.1088/1126-6708/2009/05/075. S2CID  14238049.
22. 小出義雄(2017). 「角野モデルと私の個人的見解」. arXiv : 1701.01921 [hep-ph].
23. 小出義雄(2018). 「荷電レプトンの質量関係はどのような物理学を物語るのか？」arXiv : 1809.00425 [hep-ph].
24. ゴフィネ、F. (2008)。フェルミオン質量へのボトムアップアプローチ（博士論文）。ルーヴァン、フランス: Université catholique de Louvain。
25. 小出義雄(1990). 「U(3)族ヒッグスポテンシャル模型による荷電レプトン質量和則」 . Modern Physics Letters A. 5 ( 28): 2319– 2324. Bibcode :1990MPLA....5.2319K. doi :10.1142/S0217732390002663.

さらに読む

• 小出雄一 (1983). 「クォークとレプトンの質量階層性に関する新たな視点」. Physical Review D. 28 ( 1): 252– 254. Bibcode :1983PhRvD..28..252K. doi :10.1103/PhysRevD.28.252.

• 小出雄一 (1984). 「訂正：クォークとレプトンの質量階層性に関する新たな見解」. Physical Review D. 29 ( 7): 1544. Bibcode :1984PhRvD..29Q1544K. doi : 10.1103/PhysRevD.29.1544 .

• 小根田 誠; 小出 雄二 (1991). 漸近対称性と素粒子物理学への示唆. World Scientific . ISBN 978-981-02-0498-3。
• Koide, Y. (2000). 「巡回置換不変形を持つクォークとレプトン質量行列」(PDF) . Physics . arXiv : hep-ph/0005137 . Bibcode :2000hep.ph....5137K. オリジナル(PDF)から2022年10月23日にアーカイブ。 2021年8月26日閲覧。
• 小出雄一 (2005). 「荷電レプトン質量の謎への挑戦」arXiv : hep-ph/0506247 .
• Li, N.; Ma, B.-Q. (2006). 「クォークとレプトンの質量のエネルギースケール非依存性」. Physical Review D. 73 ( 1) 013009. arXiv : hep-ph/0601031 . Bibcode :2006PhRvD..73a3009L. doi :10.1103/PhysRevD.73.013009. S2CID  2624370.
• Brannen, C. (2010). 「スピン経路積分と世代」(PDF) . Foundations of Physics . 40 (11): 1681– 1699. arXiv : 1006.3114 . Bibcode :2010FoPh...40.1681B. CiteSeerX  10.1.1.749.3756 . doi :10.1007/s10701-010-9465-8. S2CID  11007648.(記事の参考文献リンク「レプトンの質量」および「MINOS 実験の最近の結果」を参照してください。)

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズの小出式関連メディア
• Wolfram Alpha のリンクは、 Koide の式から予測されるタウ質量を解きます。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Koide_formula&oldid=1326708057"