クレッチマンスカラー

Quadratic scalar invariant

ローレンツ多様体理論、特に一般相対論への応用の文脈において、クレッチマン・スカラーは二次スカラー不変量である。これはエーリッヒ・クレッチマンによって導入された。^[1]

意味

クレッチマンの不変量は^{[1] [2]です。}

${\displaystyle K=R_{abcd}\,R^{abcd}}$

ここで、はリーマン曲率テンソル、はクリストッフェル記号です。テンソル成分の平方和であるため、これは二次不変量です。 ${\displaystyle R^{a}{}_{bcd}=\partial _{c}\Gamma ^{a}{}_{db}-\partial _{d}\Gamma ^{a}{}_{cb}+\Gamma ^{a}{}_{ce}\Gamma ^{e}{}_{db}-\Gamma ^{a}{}_{de}\Gamma ^{e}{}_{cb}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

上述および本稿全体を通して、アインシュタインの指数乗和法と指数乗和の慣例が用いられている。明示的な指数乗和表現は

${\displaystyle K=R_{abcd}\,R^{abcd}=\sum _{a=0}^{3}\sum _{b=0}^{3}\sum _{c=0}^{3}\sum _{d=0}^{3}R_{abcd}\,R^{abcd}{\text{ with }}R^{abcd}=\sum _{i=0}^{3}g^{ai}\,\sum _{j=0}^{3}g^{bj}\,\sum _{k=0}^{3}g^{ck}\,\sum _{\ell =0}^{3}g^{d\ell }\,R_{ijk\ell }.\,}$

例

質量 のシュワルツシルトブラックホールの場合、クレッチマンスカラーは^[1] ${\displaystyle M}$

${\displaystyle K={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}\,.}$

ここで重力定数です。 ${\displaystyle G}$

計量を持つ 一般的なFRW時空の場合

${\displaystyle ds^{2}=-\mathrm {d} t^{2}+{a(t)}^{2}\left({\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\,\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}\right),}$

クレッチマンスカラーは

${\displaystyle K={\frac {12\left[a(t)^{2}a''(t)^{2}+\left(k+a'(t)^{2}\right)^{2}\right]}{a(t)^{4}}}.}$

他の不変量との関係

もう一つの可能​​な不変量（例えば、いくつかの高次重力理論のラグランジアンの重力項を記述する際に用いられている）は

${\displaystyle C_{abcd}\,C^{abcd}}$

ここで、ワイルテンソルは共形曲率テンソルであり、リーマンテンソルの完全にトレースゼロの部分でもある。次元において、これはクレッチマン不変量と^{[3]によって関連付けられている。} ${\displaystyle C_{abcd}}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle R_{abcd}\,R^{abcd}=C_{abcd}\,C^{abcd}+{\frac {4}{d-2}}R_{ab}\,R^{ab}-{\frac {2}{(d-1)(d-2)}}R^{2}}$

ここで、はリッチ曲率テンソル、はリッチスカラー曲率（リーマンテンソルの連続トレースをとることで得られる）である。リッチテンソルは真空時空ではゼロとなる（前述のシュワルツシルト解など）。したがって、リーマンテンソルとワイルテンソルは一致し、それらの不変量も一致する。 ${\displaystyle R^{ab}}$ ${\displaystyle R}$

ゲージ理論不変量

クレッチマン スカラーとチャーン・ポントリャギン スカラー

${\displaystyle R_{abcd}\,{{}^{\star }\!R}^{abcd}}$

はリーマンテンソルの左双対であり、電磁場テンソルのよく知られた不変量と数学的に類似している（ある程度物理的にも類似している）。 ${\displaystyle {{}^{\star }R}^{abcd}}$

${\displaystyle F_{ab}\,F^{ab},\;\;F_{ab}\,{{}^{\star }\!F}^{ab}.}$

電磁気学のゲージ理論から一般非可換ゲージ理論に一般化すると、これらの不変量の最初のものは ${\displaystyle U(1)}$

${\displaystyle {\text{Tr}}(F_{ab}F^{ab})}$、

ヤン・ミルズ・ラグランジアンに比例する式。ここでは共変微分の曲率、 は跡形である。クレッチマン・スカラーは、接続をフレームバンドル上に置くことから生じる。 ${\displaystyle F_{ab}}$ ${\displaystyle {\text{Tr}}}$

参照

• カルミナティ・マクレナハン不変量、不変量の集合
• 電磁場の分類、電磁場テンソルの不変量の詳細については、
• 曲率不変量（リーマン幾何学および擬リーマン幾何学における曲率不変量全般）
• 曲率不変量（一般相対性理論）
• リッチ分解、リーマンテンソルとワイルテンソルの詳細については、

参考文献

1. Richard C. Henry (2000). 「Kretschmann Scalar for a Kerr-Newman Black Hole」. The Astrophysical Journal . 535 (1). The American Astronomical Society: 350– 353. arXiv : astro-ph/9912320v1 . Bibcode :2000ApJ...535..350H. doi :10.1086/308819. S2CID  119329546.
2. Grøn & Hervik 2007、p 219
3. ケルビーニ, クリスチャン; ビーニ, ドナート; カポッツィエッロ, サルヴァトーレ; ルフィニ, レモ (2002). 「リーマンテンソルの2次スカラー不変量：ブラックホール時空への応用」. International Journal of Modern Physics D. 11 ( 6): 827– 841. arXiv : gr-qc/0302095v1 . Bibcode :2002IJMPD..11..827C. doi :10.1142/S0218271802002037. ISSN  0218-2718. S2CID  14587539.

さらに読む

• Grøn, オイヴィンド; Hervik、Sigbjørn (2007)、アインシュタインの一般相対性理論、ニューヨーク: Springer、ISBN 978-0-387-69199-2
• BFシュッツ（2009年）、一般相対性理論入門（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-88705-2
• ミスナー、チャールズ・W. ;ソーン、キップ・S. ;ウィーラー、ジョン・A. (1973) 『重力』、WHフリーマン、ISBN 978-0-7167-0344-0

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