クロネッカー記号

Symbol in number theory

数論において、クロネッカー記号（または と表記）は、ヤコビ記号をすべての整数に一般化したものである。これはレオポルド・クロネッカー （1885年、770ページ）によって導入された。 ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)}$ ${\displaystyle (a|n)}$ ${\displaystyle n}$

意味

を非ゼロ整数とし、素因数分解する ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n=u\cdot p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{k}^{e_{k}},}$

ここでは単位（すなわち）であり、 は素数である。を整数とする。クロネッカー記号は次のように定義される 。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u=\pm 1}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right):=\left({\frac {a}{u}}\right)\prod _{i=1}^{k}\left({\frac {a}{p_{i}}}\right)^{e_{i}}.}$

奇数 の場合、は通常のルジャンドル記号となる。これは の場合にも当てはまる。 は次のように 定義される。 ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle \left({\frac {a}{p_{i}}}\right)}$ ${\displaystyle p_{i}=2}$ ${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right):={\begin{cases}0&{\mbox{if }}a{\mbox{ is even,}}\\1&{\mbox{if }}a\equiv \pm 1{\pmod {8}},\\-1&{\mbox{if }}a\equiv \pm 3{\pmod {8}}.\end{cases}}}$

これはヤコビ記号を拡張したものであるため、 のときは単に となる。のときは、 で定義する。 ${\displaystyle \left({\frac {a}{u}}\right)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle u=1}$ ${\displaystyle u=-1}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{-1}}\right):={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}a<0,\\1&{\mbox{if }}a\geq 0.\end{cases}}}$

最後に、

${\displaystyle \left({\frac {a}{0}}\right):={\begin{cases}1&{\text{if }}a=\pm 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

これらの拡張は、すべての整数値に対してクロネッカー記号を定義するのに十分です。 ${\displaystyle a,n}$

著者によっては、クロネッカー記号をより制限された値に対してのみ定義しています。たとえば、はおよび と同値です。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0,1{\bmod {4}}}$ ${\displaystyle n>0}$

値の表

以下は、1 ≤ n、k ≤ 30 のクロネッカー記号の値の表です。 ${\displaystyle \left({\frac {k}{n}}\right)}$

け n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	0	−1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0
3	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0
4	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0
5	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0
6	1	0	0	0	1	0	1	0	0	0	1	0	−1	0	0	0	−1	0	−1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	1	0
7	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1
8	1	0	−1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0
9	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0
10	1	0	1	0	0	0	−1	0	1	0	−1	0	1	0	0	0	−1	0	−1	0	−1	0	−1	0	0	0	1	0	−1	0
11	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	0	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	0	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1
12	1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	−1	0
13	1	−1	1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	−1	1	0	1	−1	1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	−1	1	0	1	−1	1	1
14	1	0	1	0	1	0	0	0	1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	−1	0
15	1	1	0	1	0	0	−1	1	0	0	−1	0	−1	−1	0	1	1	0	1	0	0	−1	1	0	0	−1	0	−1	−1	0
16	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0
17	1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	1	0	1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	1	−1	−1	−1	1
18	1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	−1	0	−1	0	0	0	1	0	−1	0	0	0	1	0	1	0	0	0	−1	0
19	1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	−1	0	1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	1
20	1	0	−1	0	0	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	0	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	0	0	−1	0	1	0
21	1	−1	0	1	1	0	0	−1	0	−1	−1	0	−1	0	0	1	1	0	−1	1	0	1	−1	0	1	1	0	0	−1	0
22	1	0	−1	0	−1	0	−1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	−1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	−1	0	1	0
23	1	1	1	1	−1	1	−1	1	1	−1	−1	1	1	−1	−1	1	−1	1	−1	−1	−1	−1	0	1	1	1	1	−1	1	−1
24	1	0	0	0	1	0	1	0	0	0	1	0	−1	0	0	0	−1	0	−1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	1	0
25	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0
26	1	0	−1	0	1	0	−1	0	1	0	1	0	0	0	−1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0
27	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0
28	1	0	−1	0	−1	0	0	0	1	0	1	0	−1	0	1	0	−1	0	−1	0	0	0	1	0	1	0	−1	0	1	0
29	1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	−1	−1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	1	1	1	−1	−1	1	0	1
30	1	0	0	0	0	0	−1	0	0	0	1	0	1	0	0	0	1	0	−1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	1	0

プロパティ

クロネッカー記号は、特定の制限の下でヤコビ記号と多くの基本的な特性を共有しています。

• ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=\pm 1}$の場合、それ以外の場合。 ${\displaystyle \gcd(a,n)=1}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=0}$
• ${\displaystyle \left({\tfrac {ab}{n}}\right)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)\left({\tfrac {b}{n}}\right)}$の場合を除き、一方がゼロでもう一方が負になります。 ${\displaystyle n=-1}$ ${\displaystyle a,b}$
• ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{mn}}\right)=\left({\tfrac {a}{m}}\right)\left({\tfrac {a}{n}}\right)}$でない限り、 の 1 つは0 であり、もう 1 つは と同値の奇数部 (定義は後述) を持ちます。 ${\displaystyle a=-1}$ ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle 3{\bmod {4}}}$
• については、 が成り立つときはいつでも、が成り立ちます。さらに が同じ符号を持つ場合は、 についても同じことが成り立ちます。 ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=\left({\tfrac {b}{n}}\right)}$ ${\displaystyle a\equiv b{\bmod {\begin{cases}4n,&n\equiv 2{\pmod {4}},\\n&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle n<0}$
• 、の場合、 は常に ${\displaystyle a\not \equiv 3{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{m}}\right)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)}$ ${\displaystyle m\equiv n{\bmod {\begin{cases}4|a|,&a\equiv 2{\pmod {4}},\\|a|&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}}$

一方、クロネッカー記号はヤコビ記号のように平方剰余とは関係がありません。特に、 のクロネッカー記号は、 が を法とする平方剰余か非剰余かに関わらず、独立した値を取ることができます。 ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)}$ ${\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$

二次相互性

クロネッカー記号は、二次の相互法則の次のバージョンも満たします。

任意の非零整数 について、その奇数部をと表記します。ここでは奇数です（ については とします）。すると、 を満たす任意の整数ペアに対して、次の対称的な二次相互法則が成立します。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n'}$ ${\displaystyle n=2^{e}n'}$ ${\displaystyle n'}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle 0'=1}$ ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle \gcd(m,n)=1}$

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=\pm (-1)^{{\frac {m'-1}{2}}{\frac {n'-1}{2}}},}$

ここで、符号はまたは の場合は に等しく、 およびの場合はに等しくなります。 ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle m\geq 0}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle m<0}$ ${\displaystyle n<0}$

互いに素な整数のあらゆるペアに対して成立する、二次の相互性の非対称バージョンも存在します。 ${\displaystyle m,n}$

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{|m|}}\right)=(-1)^{{\frac {m'-1}{2}}{\frac {n'-1}{2}}}.}$

任意の整数 について、とする。すると、もう1つの同等な非対称バージョンが得られる。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{*}=(-1)^{(n'-1)/2}n}$

${\displaystyle \left({\frac {m^{*}}{n}}\right)=\left({\frac {n}{|m|}}\right)}$

すべての整数のペア（必ずしも互いに素である必要はない）に対して。 ${\displaystyle m,n}$

補助法則はクロネッカー記号にも一般化されます。これらの法則は、前述の二次の相互法則の各バージョンから容易に導かれます（二次の相互法則を完全に記述するには主法則と補助法則の両方が必要となるルジャンドル記号やヤコビ記号とは異なります）。

任意の整数に対して ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n'-1}{2}}}$

そして任意の奇数に対しては ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}-1}{8}}.}$

ディリクレ指標との関連

かつの場合、写像はを法とする実ディリクレ指標です。逆に、すべての実ディリクレ指標は という形式で表すことができます(であるため)。 ${\displaystyle a\not \equiv 3{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \chi (n)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)}$ ${\displaystyle {\begin{cases}4|a|,&a\equiv 2{\pmod {4}},\\|a|,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$ ${\displaystyle a\equiv 0,1{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle a\equiv 2{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=\left({\tfrac {4a}{n}}\right)}$

特に、原始実ディリクレ指標は、非零平方整数である二次体と1対1対応している（二次体ではないが、主指標を表すためにこのケースを含めることができる）。指標は、アルティン記号として体から復元できる。つまり、正の素数 に対して、 の値は整数環におけるイデアルの振る舞いに依存する。 ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle F=\mathbb {Q} ({\sqrt {m}})}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {1}})=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \left({\tfrac {F/\mathbb {Q} }{\cdot }}\right)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \chi (p)}$ ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle O_{F}}$

${\displaystyle \chi (p)={\begin{cases}0,&(p){\text{ is ramified,}}\\1,&(p){\text{ splits,}}\\-1,&(p){\text{ is inert.}}\end{cases}}}$

するとクロネッカー記号に等しくなり、 ${\displaystyle \chi (n)}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {D}{n}}\right)}$

${\displaystyle D={\begin{cases}m,&m\equiv 1{\pmod {4}},\\4m,&m\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

は の判別式です。 の伝導者はです。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle |D|}$

同様に、 の場合、写像はを法とする実ディリクレ指標 です。ただし、すべての実指標がこのように表現できるわけではありません。例えば、 は任意のに対して と書くことはできません。二次の相互法則により、 が成り立ちます。指標はの奇数部 のときかつその場合にのみとして表現でき、その場合には を取ることができます。 ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \chi (a)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)}$ ${\displaystyle {\begin{cases}4n,&n\equiv 2{\pmod {4}},\\n,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {-4}{\cdot }}\right)}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{n}}\right)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{n}}\right)=\left({\tfrac {n^{*}}{\cdot }}\right)}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{\cdot }}\right)}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{n}}\right)}$ ${\displaystyle a'\equiv 1{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle n=|a|}$

参照

• ヒルベルト記号

参考文献

• Kronecker, L. (1885)、「Zur Theorie der elliptischen Funktionen」、 Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 761–784
• モンゴメリー, ヒュー・L ;ヴォーン, ロバート・C. (2007).乗法数論. I. 古典理論. ケンブリッジ高等数学研究. 第97巻.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-84903-6. Zbl  1142.11001。

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