クマラスワミ分布

Family of continuous probability distributions

クマラスワミ
確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle a>0\,}$ （本物）（本物） ${\displaystyle b>0\,}$
サポート	${\displaystyle x\in (0,1)\,}$
PDF	${\displaystyle abx^{a-1}(1-x^{a})^{b-1}\,}$
CDF	${\displaystyle 1-(1-x^{a})^{b}}$
四分位数	${\displaystyle (1-(1-u)^{\frac {1}{b}})^{\frac {1}{a}}}$
平均	${\displaystyle {\frac {b\Gamma (1+{\tfrac {1}{a}})\Gamma (b)}{\Gamma (1+{\tfrac {1}{a}}+b)}}\,}$
中央値	${\displaystyle \left(1-2^{-1/b}\right)^{1/a}}$
モード	${\displaystyle \left({\frac {a-1}{ab-1}}\right)^{1/a}}$のために ${\displaystyle a\geq 1,b\geq 1,(a,b)\neq (1,1)}$
分散	（複雑なので本文を参照）
歪度	（複雑なので本文を参照）
過剰尖度	（複雑なので本文を参照）
エントロピ	${\displaystyle \left(1\!-\!{\tfrac {1}{b}}\right)+\left(1\!-\!{\tfrac {1}{a}}\right)H_{b}-\ln(ab)}$

確率と統計において、クマラスワミの二重有界分布は、区間 (0,1) で定義される連続確率分布の族です。ベータ分布に似ていますが、確率密度関数、累積分布関数、および分位関数を閉じた形式で表現できるため、特にシミュレーション研究でははるかに簡単に使用できます。この分布はもともと、下限と上限がゼロインフレで制限される変数に対してPoondi Kumaraswamy ^[1]によって提案されました。この分布の最初の論文では、多くの場所、特に熱帯地方の降雨量は重要な非ゼロの確率を持つため、降雨量の自然な下限ゼロは離散確率を使用してモデル化されました。この離散確率は現在、ゼロインフレと呼ばれています。これは、Fletcher と Ponnambalam の研究で、両極端 [0,1] でのインフレーションに拡張されました[ ^{2] 。}

キャラクター設定

確率密度関数

インフレを考慮しないクマラスワミ分布の確率密度関数は

${\displaystyle f(x;a,b)=abx^{a-1}{(1-x^{a})}^{b-1},\ \ {\mbox{where}}\ \ x\in (0,1),}$

ここで、aとbは非負の形状パラメータです。

累積分布関数

累積分布関数は

${\displaystyle F(x;a,b)=\int _{0}^{x}f(\xi ;a,b)d\xi =1-(1-x^{a})^{b}.\ }$

分位関数

逆累積分布関数（分位関数）は

${\displaystyle F^{-1}(y;a,b)=(1-(1-y)^{\frac {1}{b}})^{\frac {1}{a}}.\ }$

任意区間サポートへの一般化

最も単純な形では、分布の支持は(0,1)です。より一般的な形では、正規化された変数xは、シフトもスケールもされていない変数zに置き換えられます。ここで、

${\displaystyle x={\frac {z-z_{\text{min}}}{z_{\text{max}}-z_{\text{min}}}},\qquad z_{\text{min}}\leq z\leq z_{\text{max}}.\,\!}$

プロパティ

クマラスワミ分布の生のモーメントは次のように与えられる: ^{[3] [4]}

${\displaystyle m_{n}={\frac {b\Gamma (1+n/a)\Gamma (b)}{\Gamma (1+b+n/a)}}=bB(1+n/a,b)\,}$

ここで、Bはベータ関数、Γ(.)はガンマ関数を表します。分散、歪度、過剰尖度は、これらのモーメントから計算できます。例えば、分散は次のようになります。

${\displaystyle \sigma ^{2}=m_{2}-m_{1}^{2}.}$

分布のシャノンエントロピー（NATS単位）は[ 5 ^{]である。}

${\displaystyle H=\left(1\!-\!{\tfrac {1}{a}}\right)+\left(1\!-\!{\tfrac {1}{b}}\right)H_{b}-\ln(ab)}$

ここで調和関数です。 ${\displaystyle H_{i}}$

ベータ分布との関係

クマラスワミ分布はベータ分布と密接な関連がある。^[6] X _a,bがパラメータaとbを持つクマラスワミ分布に従う確率変数である と仮定する。すると、X _a,bは適切に定義されたベータ分布に従う確率変数のa乗根となる。より正式には、 Y _1,bがパラメータとを持つベータ分布に従う確率変数を表すとする。X a _,bとY _1,bの間には次のような関係がある。 ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \beta =b}$

${\displaystyle X_{a,b}=Y_{1,b}^{1/a},}$

平等に分配されます。

${\displaystyle \operatorname {P} \{X_{a,b}\leq x\}=\int _{0}^{x}abt^{a-1}(1-t^{a})^{b-1}dt=\int _{0}^{x^{a}}b(1-t)^{b-1}dt=\operatorname {P} \{Y_{1,b}\leq x^{a}\}=\operatorname {P} \{Y_{1,b}^{1/a}\leq x\}.}$

一般化クマラスワミ分布は、および の形式をとる確率変数を考えることで導入できる。ここで は、パラメータおよびを持つベータ分布の確率変数を表す。この一般化クマラスワミ分布の素モーメントは、次のように与えられる。 ${\displaystyle Y_{\alpha ,\beta }^{1/\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma >0}$ ${\displaystyle Y_{\alpha ,\beta }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle m_{n}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +n/\gamma )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\alpha +\beta +n/\gamma )}}.}$

、と設定することで、元のモーメントを再度得ることができることに注意してください。ただし、一般に累積分布関数には閉じた解はありません。 ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \beta =b}$ ${\displaystyle \gamma =a}$

関連ディストリビューション

• もしそうなら（一様分布） ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,1)\,}$ ${\displaystyle X\sim U(0,1)\,}$
• もし そうなら^[6] ${\displaystyle X\sim U(0,1)\,}$ ${\displaystyle {\left(1-X^{\tfrac {1}{b}}\right)}^{\tfrac {1}{a}}\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,}$
• （ベータ分布）ならば ${\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(1,b)\,}$ ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,}$
• （ベータ分布）ならば ${\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(a,1)\,}$ ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$
• もしそうなら ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$ ${\displaystyle (1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,}$
• もしそうなら ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,}$ ${\displaystyle (1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$
• もしそうなら ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$ ${\displaystyle -\log(X)\sim {\textrm {Exponential}}(a)\,}$
• もしそうなら ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,}$ ${\displaystyle -\log(1-X)\sim {\textrm {Exponential}}(b)\,}$
• ならば、第一種一般化ベータ分布 ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,}$ ${\displaystyle X\sim {\textrm {GB1}}(a,1,1,b)\,}$
• ならば、修正クマラスワミ分布。 ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,}$ ${\displaystyle \left\{{\frac {1}{1-X}}\right\}\sim {\textrm {MK}}(a,b)\,}$

例

クマラスワミ分布の使用例としては、上限がzmax 、下限が0である容量zの貯水池の貯水量が挙げられる。これは、多くの貯水池が空の_状態と満杯の状態の両方で非ゼロの確率を持つため、2つのインフレーションを持つ自然な例でもある。^[2]

参考文献

1. Kumaraswamy, P. (1980). 「二重境界ランダムプロセスのための一般化確率密度関数」. Journal of Hydrology . 46 ( 1–2 ): 79– 88. Bibcode :1980JHyd...46...79K. doi :10.1016/0022-1694(80)90036-0. ISSN  0022-1694.
2. Fletcher, SG; Ponnambalam, K. (1996). 「モーメント解析を用いた貯水池揚水量と貯留量分布の推定」. Journal of Hydrology . 182 ( 1–4 ): 259– 275. Bibcode :1996JHyd..182..259F. doi :10.1016/0022-1694(95)02946-x. ISSN  0022-1694.
3. Lemonte, Artur J. (2011). 「Kumaraswamy分布の改良点推定」. Journal of Statistical Computation and Simulation . 81 (12): 1971– 1982. doi :10.1080/00949655.2010.511621. ISSN  0094-9655.
4. クリバリ・ネット、フランシスコ;ジェシカ・サントス（2019）。 「クマラスワミの膨張した分布」(PDF)。アナイス・ダ・アカデミア・ブラジレイラ・デ・シエンシアス。91 (2) e20180955。土井：10.1590/0001-3765201920180955。ISSN  1678-2690。PMID  31141016。S2CID 169034252  。
5. ミハロヴィッツ、ジョセフ・ビクター、ニコルズ、ジョナサン・M、ブッコルツ、フランク (2013).微分エントロピーハンドブック. チャップマン・アンド・ホール/CRC. p. 100. ISBN 978-1-4665-8317-7。
6. Jones, MC (2009). 「クマラスワミ分布：扱いやすさの利点を持つベータ型分布」.統計手法. 6 (1): 70– 81. doi :10.1016/j.stamet.2008.04.001. ISSN  1572-3127.

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