ディリクレL関数

Type of mathematical function

数学において、ディリクレL級数とは、次のような形式の関数である。

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}},}$

ここではディリクレ指標であり、実部がより大きい複素変数である。これはディリクレ級数の特別な場合である。解析接続により、これは複素平面全体にわたる有理型関数に拡張することができ、その場合ディリクレL関数と呼ばれる。 ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 1}$

これらの関数は、 1837年^[1]に等差数列における素数定理を証明するために導入したピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレにちなんで名付けられました。ディリクレは証明の中で、 がにおいて非零であることを示しました。さらに、が主関数である場合、対応するディリクレL関数はにおいて単極を持ちます。そうでない場合、L関数はにおいて整極を持ちます。 ${\displaystyle L(s,\chi )}$ ${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle s=1}$

オイラー積

ディリクレ指標は完全に乗法的なので、そのL関数は絶対収束の半平面におけるオイラー積として書くこともできます。 ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-\chi (p)p^{-s}\right)^{-1}{\text{ for }}{\text{Re}}(s)>1,}$

ここで積はすべての素数について成り立つ。^[2]

原始的な文字

L関数に関する結果は、文字が原始的であると仮定すると、より簡潔に述べられることが多いが、その結果は通常、多少の複雑さを伴って非原始的文字にも拡張できる。^[3]これは、非原始的文字とそれを誘導する原始的文字との関係によるものである。 ^[4] ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi ^{\star }}$

${\displaystyle \chi (n)={\begin{cases}\chi ^{\star }(n)&\mathrm {if} \gcd(n,q)=1,\\\;\;\;0&\mathrm {otherwise} .\end{cases}}}$

（ここで、は の絶対値である。）オイラー積の応用により、対応するL関数間の簡単な関係が得られる。^{[5] [6]} ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle L(s,\chi )=L(s,\chi ^{\star })\prod _{p\,|\,q}\left(1-{\frac {\chi ^{\star }(p)}{p^{s}}}\right).}$

解析接続により、この式はすべての複素数 に対して成立するが、オイラー積は の場合にのみ有効である。この式は、のL関数が、を誘導する原始指標のL関数に有限個の因数を乗じたものに等しいことを示している。^[7] ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi }$

特別な場合として、主特性を法とするL関数はリーマンゼータ関数で表される：^{[8] [9]} ${\displaystyle \chi _{0}}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle L(s,\chi _{0})=\zeta (s)\prod _{p\,|\,q}(1-p^{-s}).}$

関数方程式

ディリクレL関数は関数方程式を満たし、この方程式は複素平面全体にわたって解析的に接続する方法を提供します。この関数方程式は の値と の値を関連付けます。 ${\displaystyle L(s,\chi )}$ ${\displaystyle L(1-s,{\overline {\chi }})}$

を法とする原始指標とする。関数方程式を表す一つの方法は^{[10]である。} ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q>1}$

${\displaystyle L(s,\chi )=W(\chi )2^{s}\pi ^{s-1}q^{1/2-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}(s+\delta )\right)\Gamma (1-s)L(1-s,{\overline {\chi }}),}$

ここで、はガンマ関数、、および ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \chi (-1)=(-1)^{\delta }}$

${\displaystyle W(\chi )={\frac {\tau (\chi )}{i^{\delta }{\sqrt {q}}}},}$

ガウス和はどこにあるか ${\displaystyle \tau (\chi )}$

${\displaystyle \tau (\chi )=\sum _{a=1}^{q}\chi (a)\exp(2\pi ia/q).}$

ガウス和の性質はなので、 となる。^{[11] [12]}別の関数方程式は ${\displaystyle |\tau (\chi )|={\sqrt {q}}}$ ${\displaystyle |W(\chi )|=1}$

${\displaystyle \Lambda (s,\chi )=q^{s/2}\pi ^{-(s+\delta )/2}\operatorname {\Gamma } \left({\frac {s+\delta }{2}}\right)L(s,\chi ),}$

これは次のように表される^{[10] [12]}

${\displaystyle \Lambda (s,\chi )=W(\chi )\Lambda (1-s,{\overline {\chi }}).}$

これは、とが の整関数であることを意味する。ここでも、 が を法とする原始指標であることを前提としている。 の場合には 、 はに極を持つ。^{[10] [12]} ${\displaystyle L(s,\chi )}$ ${\displaystyle \Lambda (s,\chi )}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q>1}$ ${\displaystyle q=1}$ ${\displaystyle L(s,\chi )=\zeta (s)}$ ${\displaystyle s=1}$

一般化については、 L関数の関数方程式に関する記事を参照してください。

ゼロ

ディリクレL関数L ( s , χ ) = 1 − 3 ^{− s} + 5 ^{− s} − 7 ^{− s} + ⋅⋅⋅ （ディリクレベータ関数という特別な名前が付けられることもある）は、負の奇数に自明な零点を持つ。

を法とするプリミティブ文字とし、 とします。 ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q>1}$

の零点は存在しない。 の場合には、特定の負の整数において零点が存在する。 ${\displaystyle L(s,\chi )}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)<0}$ ${\displaystyle s}$

• の場合には、 の零点はにおける単純零点のみである。が主零点ではない場合も における零点が存在する。これらは の極に対応する。^[13] ${\displaystyle \chi (-1)=1}$ ${\displaystyle L(s,\chi )}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)<0}$ ${\displaystyle -2,-4,-6,\dots }$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \textstyle \Gamma ({\frac {s}{2}})}$
• の場合には、 の零点はにおける単純な零点のみであり、これらは の極に対応する。^[13] ${\displaystyle \chi (-1)=-1}$ ${\displaystyle L(s,\chi )}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)<0}$ ${\displaystyle -1,-3,-5,\dots }$ ${\displaystyle \textstyle \Gamma ({\frac {s+1}{2}})}$

これらは自明な零点と呼ばれる。^[10]

残りの零点は臨界線 上にあり、非自明零点と呼ばれる。非自明零点は臨界線 を中心に対称である。つまり、 ならば、関数方程式 より も となる。 が実指標であれば、非自明零点も実軸を中心に対称となるが、 が複素指標であれば は とならない。一般化リーマン予想とは、すべての非自明零点が臨界線 上に存在するという予想である。^[10] ${\displaystyle 0\leq \operatorname {Re} (s)\leq 1}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=1/2}$ ${\displaystyle L(\rho ,\chi )=0}$ ${\displaystyle L(1-{\overline {\rho }},\chi )=0}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=1/2}$

ジーゲル零点が存在する可能性を除けば、リーマンゼータ関数の直線に類似した直線を含む、およびその先の零点のない領域は、すべてのディリクレL関数に対して存在することが知られている。例えば、実数でない係数に対して、次式が成り立つ。 ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=1}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \beta <1-{\frac {c}{\log \!\!\;{\big (}q(2+|\gamma |){\big )}}}\ }$

非実数零の場合。 ^[14] ${\displaystyle \beta +i\gamma }$

フルヴィッツゼータ関数との関係

ディリクレL関数は、有理数におけるフルヴィッツゼータ関数の線型結合として表すことができます。整数 を固定すると、 を法とする指標 のディリクレL関数は、およびの定数係数を持つ線型結合となります。これは、有理数 のフルヴィッツゼータ関数が、ディリクレL関数と密接に関連する解析的性質を持つことを意味します。具体的には、が を法とする指標である場合、そのディリクレL関数は次のように表すことができます^[15] ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \zeta (s,a)}$ ${\displaystyle a=r/k}$ ${\displaystyle r=1,2,\dots ,k}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{r=1}^{k}\chi (r)\operatorname {\zeta } \left(s,{\frac {r}{k}}\right).}$

参照

• 一般化リーマン予想
• L関数
• モジュラリティ定理
• アルティン予想
• L関数の特殊値

注記

1. ディリクレ、ピーター・グスタフ・ルジューヌ(1837)。 「Beweis des Satzes、dass jede unbegrenzte arithmetische Progression、deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind、unendlich viele Primzahlen enthält」。とんでもない。アク。ウィス。ベルリン。４８．
2. アポストル 1976、定理11.7
3. ダベンポート 2000、第5章
4. Davenport 2000、第5章、式(2)
5. Davenport 2000、第5章、式(3)
6. モンゴメリー＆ヴォーン 2006、282ページ
7. アポストル 1976年、262ページ
8. アイルランド＆ローゼン 1990、第16章、第4節
9. モンゴメリー＆ヴォーン 2006、121ページ
10. モンゴメリー & ヴォーン 2006、p. 333
11. モンゴメリー＆ヴォーン 2006、332ページ
12. イワニエツ & コワルスキー 2004、p. 84
13. Davenport 2000、第9章
14. モンゴメリー, ヒュー・L. (1994).解析的数論と調和解析のインターフェースに関する10の講義. 数学地域会議シリーズ. 第84巻. プロビデンス, ロードアイランド州:アメリカ数学会. p. 163. ISBN 0-8218-0737-4. Zbl  0814.11001。
15. アポストル 1976年、249ページ

参考文献

• アポストル、トム・M.（1976）「解析的数論入門」、数学の学部テキスト、ニューヨーク・ハイデルベルク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90163-3、MR  0434929、Zbl  0335.10001
• Apostol, TM (2010)、「ディリクレL関数」、Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.)、NIST Handbook of Mathematical Functions、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。
• ダヴェンポート, H. (2000).乗法数論（第3版）. シュプリンガー. ISBN 0-387-95097-4。
• ディリクレ、PGL (1837)。 「Beweis des Satzes、dass jede unbegrenzte arithmetische Progression、deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind、unendlich viele Primzahlen enthält」。とんでもない。アク。ウィス。ベルリン。４８．
• アイルランド、ケネス、ローゼン、マイケル(1990). 『現代数論への古典的入門』（第2版）. シュプリンガー出版.
• モンゴメリー, ヒュー・L. ;ヴォーン, ロバート・C. (2006).乗法数論. I. 古典理論. ケンブリッジ数学小要集. 第97巻. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-84903-6。
• イワニエツ、ヘンリク、コワルスキー、エマニュエル (2004).解析的数論. アメリカ数学会コロキウム出版. 第53巻. プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学会.
• 「ディリクレL関数」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]

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