ランダウ分布

Probability distribution

ランダウ分布
確率密度関数 ${\displaystyle \mu =0,\;c=\pi /2}$
パラメータ	${\displaystyle c\in (0,\infty )}$—スケールパラメータ ${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )}$—位置パラメータ
サポート	${\displaystyle \mathbb {R} }$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(\left(x-\mu \right){\frac {t}{c}}+{\frac {2t}{\pi }}\ln {\frac {t}{c}}\right)\,dt}$
平均	未定義
分散	未定義
MGF	未定義
CF	${\displaystyle \exp \left(it\mu -{\frac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)}$

確率論において、ランダウ分布^[1]はレフ・ランダウにちなんで名付けられた確率分布です。

この分布の「太い」裾野のため、平均や分散といった分布のモーメントは定義されません。この分布は安定分布の特殊なケースです。

意味

ランダウによって最初に書かれた確率密度関数は、複素 積分によって定義されます。

$${\displaystyle p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{a-i\infty }^{a+i\infty }e^{s\ln s+xs}\,ds,}$$

ここで、a は任意の正の実数であり、積分経路は虚軸に平行で実正半軸と交差する任意の経路をとることができることを意味します。また、a は自然対数を指します。言い換えれば、これは関数 のラプラス変換です。 ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle s^{s}}$

次の実積分は上記と同等です。

$${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-t\ln t-xt}\sin(\pi t)\,dt.}$$

ランダウ分布の完全な族は、元の分布をパラメータとを持つ位置スケールの安定分布族に拡張することによって得られます。^[2]特性関数は^[3]です。 ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \beta =1}$

$${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left(it\mu -{\tfrac {2ict}{\pi }}\ln |t|-c|t|\right)}$$

ここで、およびは密度関数を与える。 ${\displaystyle c\in (0,\infty )}$ ${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )}$

$${\displaystyle p(x;\mu ,c)={\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(\left(x-\mu \right){\frac {t}{c}}+{\frac {2t}{\pi }}\ln {\frac {t}{c}}\right)\,dt,}$$

を取ると、上記の元の形式が得られます。 ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle c={\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle p(x)}$

プロパティ

近似関数は ${\displaystyle \mu =0,\,c=1}$

• 翻訳: もしそうなら。 ${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)\,}$ ${\displaystyle X+m\sim {\textrm {Landau}}(\mu +m,\,c)\,}$
• スケーリング: If then . ${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)\,}$ ${\displaystyle aX\sim {\textrm {Landau}}(a\mu -{\tfrac {2}{\pi }}ac\ln a,\,ac)}$
• 合計: の場合、。 ${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{1},c_{1})}$ ${\displaystyle Y\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{2},c_{2})\,}$ ${\displaystyle X+Y\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{1}+\mu _{2},\,c_{1}+c_{2})}$

これらの性質はすべて特性関数から導出できます。これらを合わせると、ランダウ分布はアフィン変換に対して閉じていることがわかります。

近似値

「標準的な」ケースおよびでは、pdfはリンドハルト理論^[4]を使用して近似することができ、次のように表すことができます。 ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle c=\pi /2}$

$${\displaystyle p(x+\ln x-1+\gamma )\approx {\frac {\exp(-1/x)}{x(1+x)}},}$$

ここでオイラー定数です。 ${\displaystyle \gamma }$

およびの同様の近似値^[5]は次のようになる。 ${\displaystyle p(x;\mu ,c)}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle c=1}$

$${\displaystyle p(x)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {x+e^{-x}}{2}}\right).}$$

アプリケーション

原子核物理学および素粒子物理学において、ランダウ分布は、与えられた初期エネルギーを持つ高速粒子が、与えられた厚さの物質層を通過した後、与えられたエネルギーを失う確率として現れる^[6]。

関連ディストリビューション

• ランダウ分布は、安定性パラメータと歪度パラメータがともに 1 に等しい安定した分布です。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

参考文献

1. Landau, L. (1944). 「イオン化による高速粒子のエネルギー損失について」J. Phys. (USSR) . 8 : 201.
2. Gentle, James E. (2003).乱数生成とモンテカルロ法. 統計とコンピューティング（第2版）. ニューヨーク：Springer. p. 196. doi :10.1007/b97336. ISBN 978-0-387-00178-4。
3. Zolotarev, VM (1986). 1次元安定分布. プロビデンス, RI: アメリカ数学会. ISBN 0-8218-4519-5。
4. 「LandauDistribution—Wolfram言語ドキュメント」。
5. Behrens, SE; Melissinos, ACロチェスター大学 プレプリント UR-776 (1981) .
6. Bulyak E., Shul'ga N. (2022). 「ランダウ分布におけるイオン化損失：歴史、重要性、拡張」. arXiv : 2209.06387 [physics.plasm-ph].

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