L10a140 リンク

10 箇所の交差点がある 3 つのループのリンク

L10a140
編み込みの長さ	10
編み込みNo.	3
交差点番号	10
双曲体積	12.27627758
コンウェイ記法	[.3:30]
シスルウェイト	L10a140
他の
交互

数学的な結び目理論において、L10a140は、シスルウェイトの結び目表において、3つのループからなる結び目の名称である。この結び目は、最も単純な視覚的表現では、ループ間に10の交差がある。^[1]これは、 6つの交差を持つボロミアン環^[3]を除いて、ブルン特性（連結成分の結び目から1つの成分を取り除くと完全に連結がなくなる特性^[2]）を持つ最も単純な結び目であると考えられるため、興味深い。

つまり、2つのループは直接つながっておらず、3つすべてが集合的に相互にリンクされているため、いずれかのループを削除すると他の2つのループが解放されます。右の情報ボックスの画像では、赤いループは青いループや黄色いループのどちらとも相互にリンクされておらず、赤いループを削除すると、青いループと黄色いループも、どちらか一方を切断することなく、互いに解くことができます。

スラヴィク・V・ジャブランの研究によると、L10a140リンクは、ボロミアン環から始まるブルン環の無限級数の2番目と見なすことができます。したがって、青と黄色のループが各辺に1回だけねじれを持つ場合、結果として得られる構成はボロミアン環です。青と黄色のループが各辺に3回ねじれを持つ場合、結果として得られる構成はL10a140リンクです。青と黄色のループが各辺に5回ねじれを持つ場合、結果として得られる構成は全体で14回の交差を持つ3ループリンクです。以下同様です。^[4]

不変量

L10a140リンクの多変数アレクサンダー多項式は

${\displaystyle \Delta (u,v,w)={\frac {(u-1)(v-1)(w-1)(vw+1)^{2}}{vw{\sqrt {uvw}}}},\,}$

コンウェイ多項式は

${\displaystyle \nabla (z)=4z^{4}+4z^{6}+z^{8},\,}$

ジョーンズ多項式は因数分解できる

${\displaystyle {\begin{aligned}V(t)&=-t^{5}+3t^{4}-5t^{3}+8t^{2}-9t+12-9t^{-1}+8t^{-2}-5t^{-3}+3t^{-4}-t^{-5}\\[8pt]&=-{\frac {1}{t^{5}}}\left(t^{5}-2t^{4}+t^{3}-2t^{2}+t-1\right)\left(t^{5}-t^{4}+2t^{3}-t^{2}+2t-1\right)\\[8pt]&=w(t)w(1/t),\,\end{aligned}}}$

ここで（ は本質的にホワイトヘッドリンクのジョーンズ多項式であることに注意してください。） ${\displaystyle w(t)=t^{5}-2t^{4}+t^{3}-2t^{2}+t-1.}$ ${\displaystyle w(t)}$

HOMFLY多項式は

${\displaystyle P(\alpha ,z)=z^{-2}\alpha ^{-2}-4z^{2}\alpha ^{-2}-4z^{4}\alpha ^{-2}-z^{6}\alpha ^{-2}-2z^{-2}+8z^{2}+12z^{4}+6z^{6}+z^{8}+z^{-2}\alpha ^{2}-4z^{2}\alpha ^{2}-4z^{4}\alpha ^{2}-z^{6}\alpha ^{2},\,}$

そしてカウフマン多項式は

${\displaystyle {\begin{aligned}F(a,z)&=1+2z^{-2}+a^{-2}z^{-2}+a^{2}z^{-2}-2a^{-1}z^{-1}-az^{-1}-20z^{2}+2a^{-4}z^{2}\\[6pt]&{}-8a^{-2}z^{2}-8a^{2}z^{2}+2a^{4}z^{4}+2a^{4}z^{2}-2a^{-5}z^{3}+4a^{-3}z^{3}+6a^{-1}z^{3}\\[6pt]&{}+6az^{3}+4a^{3}z^{3}-2a^{5}z^{3}+42z^{4}-7a^{-4}z^{4}+14a^{-2}z^{4}\\[6pt]&{}+14a^{2}z^{4}-7a^{4}z^{4}+a^{-5}z^{5}-9a^{-3}z^{5}-2a^{-1}z^{5}-2az^{5}-9a^{3}z^{5}\\[6pt]&{}+a^{5}z^{5}-28z^{6}+3a^{-4}z^{6}-11a^{-2}z^{6}-11a^{2}z^{6}+3a^{4}z^{6}+4a^{-3}z^{7}\\[6pt]&{}-2a^{-1}z^{7}-2az^{7}+4a^{3}z^{7}+8z^{8}+4a^{-2}z^{8}+4a^{2}z^{8}+2a^{-1}z^{9}+2az^{9}.\end{aligned}}}$

擬似対称視覚バリアント

デイヴィッド・スワート^[5]は、リック・メイブリーとローラ・マコーミック^[6]と独立して、 L10a140リンクの12交差による視覚的表現を発見した。これらの表現では、リンクはもはや厳密に交互交差を持たず（最も単純な10交差の場合のように）、表面的な対称性はより高まっている。

下の左端の図は、6回回転対称性を持つ12交差リンク（ボロミアンリングとL10a140リンクのどちらとも異なる）を示しています。中央の図は、L10a140リンクの似たような描写ですが、真の回転対称性はありません。同様に、右端の図は、表面的な4回対称性を持つL10a140リンクの描写です。

• 
  完全に対称な12交差ブルン連結（L12a1882）
• 
  擬似6対称形のL10a140
• 
  擬似4対称形のL10a140

参考文献

1. "L10a140", The Knot Atlas。
2. アダムス、コリン・C. (1994). 『The Knot Book』 . アメリカ数学会. p. 22. ISBN 9780716723936。
3. Bar-Natan, Dror (2010-08-16). 「All Brunnians, Maybe」, Academic Pensieve .
4. Jablan, Slavik V., Are Borromean Links So Rare? , Forma 14 (1999), 269–277. 電子ジャーナルVismathにてオンライン公開。L10a140 は上図の中央の図に示されている。
5. Dror Bar-Natan (2010-08-14). 「David Swartからのリンク」[Academic Pensieve] .
6. スワート、デイビッド（2011年4月）「それはそれである」『Math Horizo​​ns』18（4）。

外部リンク

• 「それはそれである」、Flickr.com。

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