ラー番号

Mathematical sequence

nとkが1から4までの符号なしLah数の図

数学において、（符号付きおよび符号なし）ラー数は、上昇階乗を下降階乗で、あるいはその逆で表す係数である。 1954年にイヴォ・ラーによって発見された。 ^{[1] [2]} 明示的には、符号なしラー数は二項係数を含む式で与えられる。 ${\displaystyle L(n,k)}$

$${\displaystyle L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}}$$

であり、符号付きLah数はによってそれらと関連付けられます。 ${\displaystyle n\geq k\geq 1}$ ${\displaystyle L'(n,k)}$ ${\displaystyle L'(n,k)=(-1)^{n}L(n,k)}$

符号付き Lah 数は、Lah の独創的な論文で定義された方法であるため、歴史的な関心があるだけですが、その符号パターン (符号付きスターリング数に使用されるではなく) により、数学的に興味深い数式ではほとんど役に立ちません。 ${\displaystyle (-1)^{n}}$ ${\displaystyle (-1)^{n-k}}$

符号なしLah数は組合せ論において興味深い意味を持つ。それは、要素の集合を空でない線形順序付き部分集合に分割できる方法の数を数えるということである。^{[3] Lah数は}スターリング数と関連している。^[4] ${\textstyle n}$ ${\textstyle k}$

の場合、Lah数は階乗に等しい。上記の解釈では、 を1つの集合に分割する場合、その集合を6通りに順序付けることができるのは、 のみである。は6に等しい。なぜなら、 を2つの順序付けされた部分に分割する方法が6つあるからである。 は常に1である。なぜなら、空でない部分集合に分割する唯一の方法は、サイズ1の部分集合になり、その部分集合は1つの方法でしか並べ替えられないからである。最近の文献では、^{[5] [6]} Karamata – Knuthスタイルの表記法が主流となっている。Lah数は現在、次のように表記されることが多い。 ${\textstyle n\geq 1}$ ${\textstyle L(n,1)}$ ${\textstyle n!}$ ${\textstyle \{1,2,3\}}$ $${\displaystyle \{(1,2,3)\},\{(1,3,2)\},\{(2,1,3)\},\{(2,3,1)\},\{(3,1,2)\},\{(3,2,1)\}}$$ ${\textstyle L(3,2)}$ ${\textstyle \{1,2,3\}}$ $${\displaystyle \{1,(2,3)\},\{1,(3,2)\},\{2,(1,3)\},\{2,(3,1)\},\{3,(1,2)\},\{3,(2,1)\}}$$ ${\textstyle L(n,n)}$ ${\textstyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle L(n,k)=\left\lfloor {n \atop k}\right\rfloor }$$

値の表

以下は Lah 番号の値の表です。

け n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1
1	0	1
2	0	2	1
3	0	6	6	1
4	0	24	36	12	1
5	0	120	240	120	20	1
6	0	720	1800	1200	300	30	1
7	0	5040	15120	12600	4200	630	42	1
8	0	40320	141120	141120	58800	11760	1176	56	1
9	0	362880	1451520	1693440	846720	211680	28224	2016	72	1
10	0	3628800	16329600	21772800	12700800	3810240	635040	60480	3240	90	1

行の合計は( OEISのシーケンスA000262 ) です。 ${\textstyle 1,1,3,13,73,501,4051,37633,\dots }$

上昇階乗と下降階乗

を上昇階乗、を下降階乗とします。Lah数は、これらの多項式族をそれぞれ別の多項式族で表す係数です。具体的には、とです。例えば、と ${\textstyle x^{(n)}}$ ${\textstyle x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)}$ ${\textstyle (x)_{n}}$ ${\textstyle x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$ $${\displaystyle x^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(x)_{k}}$$ $${\displaystyle (x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}L(n,k)x^{(k)}.}$$ $${\displaystyle x(x+1)(x+2)={\color {red}6}x+{\color {red}6}x(x-1)+{\color {red}1}x(x-1)(x-2)}$$ $${\displaystyle x(x-1)(x-2)={\color {red}6}x-{\color {red}6}x(x+1)+{\color {red}1}x(x+1)(x+2),}$$

ここで、係数 6、6、1 は、まさに Lah 数、、およびです。 ${\displaystyle L(3,1)}$ ${\displaystyle L(3,2)}$ ${\displaystyle L(3,3)}$

アイデンティティと関係

Lah 数はさまざまな恒等式と関係を満たします。

スターリング数のKaramata – Knuth表記では、は第1 種の符号なしスターリング数、は第 2 種のスターリング数です。 $${\displaystyle L(n,k)=\sum _{j=k}^{n}\left[{n \atop j}\right]\left\{{j \atop k}\right\}}$$ ${\textstyle \left[{n \atop j}\right]}$ ${\textstyle \left\{{j \atop k}\right\}}$

${\displaystyle L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}={n \choose k}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}={n \choose k}{n-1 \choose k-1}(n-k)!}$

${\displaystyle L(n,k)={\frac {n!(n-1)!}{k!(k-1)!}}\cdot {\frac {1}{(n-k)!}}=\left({\frac {n!}{k!}}\right)^{2}{\frac {k}{n(n-k)!}}}$

${\displaystyle k(k+1)L(n,k+1)=(n-k)L(n,k)}$、 のために。 ${\displaystyle k>0}$

再帰関係

Lah 数は、 、クロネッカーのデルタ、およびすべての に対して となる再帰関係を満たします。 $${\displaystyle {\begin{aligned}L(n+1,k)&=(n+k)L(n,k)+L(n,k-1)\\&=k(k+1)L(n,k+1)+2kL(n,k)+L(n,k-1)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle L(n,0)=\delta _{n}}$ ${\displaystyle L(n,k)=0}$ ${\displaystyle k>n}$

指数生成関数

${\displaystyle \sum _{n\geq k}L(n,k){\frac {x^{n}}{n!}}={\frac {1}{k!}}\left({\frac {x}{1-x}}\right)^{k}}$

exp(1/の微分×）

関数のn次導関数は、次のようにLah数で表すことができます^[7]例えば、 ${\displaystyle e^{\frac {1}{x}}}$ $${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}^{n}}{{\textrm {d}}x^{n}}}e^{\frac {1}{x}}=(-1)^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {L(n,k)}{x^{n+k}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}.}$$

${\displaystyle {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}e^{\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{x^{2}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}}$

${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}^{2}}{{\textrm {d}}x^{2}}}e^{\frac {1}{x}}={\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}\left(-{\frac {1}{x^{2}}}e^{\frac {1}{x}}\right)=-{\frac {-2}{x^{3}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x^{2}}}\cdot {\frac {-1}{x^{2}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}=\left({\frac {2}{x^{3}}}+{\frac {1}{x^{4}}}\right)\cdot e^{\frac {1}{x}}}$

${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}^{3}}{{\textrm {d}}x^{3}}}e^{\frac {1}{x}}={\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}\left(\left({\frac {2}{x^{3}}}+{\frac {1}{x^{4}}}\right)\cdot e^{\frac {1}{x}}\right)=\left({\frac {-6}{x^{4}}}+{\frac {-4}{x^{5}}}\right)\cdot e^{\frac {1}{x}}+\left({\frac {2}{x^{3}}}+{\frac {1}{x^{4}}}\right)\cdot {\frac {-1}{x^{2}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}=-\left({\frac {6}{x^{4}}}+{\frac {6}{x^{5}}}+{\frac {1}{x^{6}}}\right)\cdot e^{\frac {1}{x}}}$

ラゲール多項式へのリンク

一般化ラゲール多項式は 、設定時にLah数にリンクされます。この式は、アンブラル計算の慣例におけるデフォルトのラゲール多項式です。^[8] ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)}$ ${\displaystyle \alpha =-1}$ $${\displaystyle n!L_{n}^{(-1)}(x)=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(-x)^{k}}$$

実用化

近年、Lah数は画像にデータを隠すステガノグラフィーに利用されています。DCT 、DFT 、 DWTなどの代替手法と比較して、整数係数の計算が複雑ではありません。 ^{[9] [10]} Lah変換とLaguerre変換は、色分散の摂動論的記述において自然に生じます。[ 11 ^{] [12]} Lah-Laguerre光学において、このようなアプローチは最適化問題を大幅に高速化します。 ${\displaystyle O(n\log n)}$

参照

• スターリング数
• パスカル行列

参考文献

1. ああ、イヴォ (1954). 「新しい種類の数値と保険数理数学におけるその応用」。ポルトガル語アクチュアリオス研究所。9：7～ 15。
2. ジョン・リオーダン『組合せ解析入門』プリンストン大学出版局（1958年、1980年再版）ISBN 978-0-691-02365-6(2002 年に Dover Publications から再版されました)。
3. ペトコフセク, マルコ; ピサンスキ, トマズ (2007年秋). 「符号なしスターリング数とLah数の組合せ的解釈」. Pi Mu Epsilon Journal . 12 (7): 417– 424. JSTOR  24340704.
4. コンテ, ルイ (1974). 『Advanced Combinatorics』 ドルドレヒト, オランダ: ライデル社. p. 156. ISBN 9789027703804。
5. Shattuck, Mark (2014). 「一般化されたr-Lah数」. arXiv : 1412.8721 [math.CO].
6. Nyul, Gábor; Rácz, Gabriella (2015-10-06). 「r-Lah数」.離散数学. 第7回チェコ・スロバキア国際グラフ理論・組合せ論・アルゴリズム・応用シンポジウム, コシツェ 2013. 338 (10): 1660– 1666. doi :10.1016/j.disc.2014.03.029. hdl : 2437/213886 . ISSN  0012-365X.
7. Daboul, Siad; Mangaldan, Jan; Spivey, Michael Z.; Taylor, Peter J. (2013). 「Lah数とn次導関数」. Mathematics Magazine . 86 (1): 39– 47. doi :10.4169/math.mag.86.1.039. JSTOR  10.4169/math.mag.86.1.039. S2CID  123113404. ${\displaystyle e^{1 \over x}}$
8. Rota, Gian-Carlo; Kahaner, D; Odlyzko, A (1973-06-01). 「組合せ理論の基礎について VIII. 有限作用素計算」. Journal of Mathematical Analysis and Applications . 42 (3): 684– 760. doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 . ISSN  0022-247X.
9. Ghosal, Sudipta Kr; Mukhopadhyay, Souradeep; Hossain, Sabbir; Sarkar, Ram (2020). 「通信における情報隠蔽を通じたデータのセキュリティとプライバシーのためのLah変換の応用」. Transactions on Emerging Telecommunications Technologies . 32 (2) e3984. doi :10.1002/ett.3984. S2CID  225866797.
10. “Image Steganography-using-Lah-Transform”. MathWorks . 2020年6月5日.
11. Popmintchev, Dimitar; Wang, Siyang; Xiaoshi, Zhang; Stoev, Ventzislav; Popmintchev, Tenio (2022-10-24). 「摂動的な色分散のための解析的Lah-Laguerre光学形式論」. Optics Express . 30 (22): 40779– 40808. Bibcode :2022OExpr..3040779P. doi : 10.1364/OE.457139 . PMID  : 36299007.
12. ポプミンチェフ、ディミタール;王、思陽。シャオシー、チャン。ストエフ、ヴェンツィスラフ。ポミンチェフ、テニオ (2020-08-30)。 「波長分散の理論、再考」。arXiv : 2011.00066 [物理学.光学]。

外部リンク

• 符号付きおよび符号なしLah数はそれぞれ（OEISのシーケンスA008297 ）および（ OEISのシーケンスA105278）である。

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