ランバートW関数

Multivalued function in mathematics

複素平面上にプロットされた積対数ランベルトW関数は、-2-2iから2 + 2iまでである。

実数とのグラフ。 を とする上側の枝（青）は関数 のグラフ（主枝）であり、 を とする下側の枝（マゼンタ）は関数 のグラフです。 の最小値は です。 ${\displaystyle y=W(x)}$ ${\displaystyle x<6}$ ${\displaystyle y>-4}$ ${\displaystyle y\geq -1}$ ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle y\leq -1}$ ${\displaystyle W_{-1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left\{-1/e,-1\right\}}$

数学において、ランベルトのW関数（オメガ関数、積対数とも呼ばれる）^[1]は、多価関数、すなわち関数の逆関係の枝である。ここで、wは任意の複素数、は指数関数である。この関数は、1758年に関連する問題を考察したヨハン・ランベルトにちなんで名付けられた。ランベルトの研究を基に、レオンハルト・オイラーは1783年にW関数そのものを記述した。^[2] ${\displaystyle f(w)=we^{w}}$ ${\displaystyle e^{w}}$

各整数に対して、 で表される1つの枝があり、これは1つの複素引数を持つ複素数値関数です。は主枝として知られています。これらの関数には次の性質があります。と が任意の複素数である場合、 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle W_{k}\left(z\right)}$ ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle we^{w}=z}$

成立するのは、

${\displaystyle w=W_{k}(z)\ \ {\text{ for some integer }}k.}$

実数のみを扱う場合は、2つの分岐とで十分です。実数と方程式 の場合、 ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle W_{-1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle ye^{y}=x}$

は の場合にのみ解くことができ、の場合は となり、の場合は 2 つの値と となります。 ${\displaystyle y}$ ${\textstyle x\geq {\frac {-1}{e}}}$ ${\displaystyle y=W_{0}\left(x\right)}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle y=W_{0}\left(x\right)}$ ${\displaystyle y=W_{-1}\left(x\right)}$ ${\textstyle {\frac {-1}{e}}\leq x<0}$

ランバートのW関数の枝は、基本関数では表現できない。^[3]これは組合せ論において有用であり、例えば木の列挙に用いられる。また、指数関数を含む様々な方程式（例えば、プランク分布、ボーズ・アインシュタイン分布、フェルミ・ディラック分布の最大値）を解くのに用いることができ、また、のような遅延微分方程式の解にも現れる。生化学、特に酵素反応速度論においては、ミカエリス・メンテン反応速度論の経時的反応速度論解析に対する開形式解は、ランバートのW関数を用いて記述される。 ${\displaystyle y'\left(t\right)=a\ y\left(t-1\right)}$

複素平面におけるランベルトW関数の主枝を、 という領域色でプロットしたもの。負の実軸に沿って分岐が切断され、 で終わる点に注意すること。 ${\textstyle -{\frac {1}{e}}}$

ランバートW関数の主枝の係数。 ${\displaystyle \arg W\left(z\right)}$

用語

ここで選択された表記法（および）は、Corless、Gonnet、Hare、Jeffrey、 KnuthによるLambert W関数の標準的な参考文献に従っています。^[4] ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle W_{-1}}$

「積対数」という名称は、次のように理解できます。の逆関数は対数と呼ばれるので、積の逆「関数」を「積対数」と呼ぶのは理にかなっています。（技術的注釈：複素対数と同様に、これは多価であるため、W は逆関数ではなく逆関係として記述されます。）これは、に等しいオメガ定数と関連しています。 ${\displaystyle f\left(w\right)=e^{w}}$ ${\displaystyle we^{w}}$ ${\displaystyle W_{0}\left(1\right)}$

歴史

ランバートは1758年に初めて関連するランバートの超越方程式を検討し^[5] 、それが1783年にレオンハルト・オイラーによる特殊なケースを議論した論文^[6]につながりました。 ${\displaystyle we^{w}}$

ランバートが考えた方程式は

${\displaystyle x=x^{m}+q.}$

オイラーはこの方程式を次のように変形した。

${\displaystyle x^{a}-x^{b}=(a-b)cx^{a+b}.}$

両著者とも、方程式の級数解を導き出しました。

オイラーはこの方程式を解いた後、次の場合について考察した。極限 ${\displaystyle a=b}$をとって、次の方程式を導出した。

${\displaystyle \ln x=cx^{a}.}$

次に彼は⁠ ⁠ ${\displaystyle a=1}$を代入し、得られた方程式の収束級数解を得て、⁠ ⁠を ${\displaystyle x}$⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$で 表しました。

⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$に関して導関数をとり、いくつかの操作を行った後、ランバート関数の標準形が得られます。

1993年、ランバート関数が、等価電荷に対する量子力学的二重井戸型ディラックデルタ関数モデルの正確な解を与えることが報告されました[ 7 ${\displaystyle W}$ ] 。これは^物理学における基礎問題です。この報告を受けて、ロブ・コーレスとMaple 数式処理システムの開発者たちは、「ランバートW関数は多くの分野で広く用いられているが、表記法が異なり、標準的な名称も存在しないため、この関数の認知度は本来あるべきほど高くなかった」ことに気づきました^{[4] [8]。}

この関数が見られるもう一つの例はミカエリス・メンテン反応速度論である。^[9]

ランバート関数は基本関数（ ${\displaystyle W}$リウヴィリアン関数）では表現できないと広く信じられていたが、最初の証明は2008年まで発表されなかった。^[10]

基本的な性質、分岐、範囲

W関数の値域。すべての分岐を示しています。黒い曲線（実軸を含む）は実軸の像、オレンジ色の曲線は虚軸の像です。紫色の曲線と円は、点z = 0を囲む小円の像、赤い曲線は点z = −1/eを囲む小円の像です。

W _n ( x + iy )の虚数部の、枝n = −2, −1, 0, 1, 2に対するプロット。このプロットは、シート間の間隔が一定ではなく、主シートの接続が異なる点を除けば、多値複素対数関数のプロットと類似している。

W関数には、整数kに対してW _k ( z )で表され、可算な数の枝があります。W 0 ( z )_が主な（または主要な）枝です。W 0 ( z )はすべての複素数zに対して定義されますが_、k ≠ 0のW _k ( z )は、 W ₀ (0) = 0で、すべてのk ≠ 0のときに、すべての非ゼロzに対して定義されます。 ${\displaystyle \lim \limits _{z\to 0}W_{k}(z)=\;-\infty ,}$

主枝の分岐点は であり、負の実軸に沿って−∞まで分岐切断が伸びる。この分岐切断は、主枝を2つの枝W ₋₁とW _{1から分離する。} k ≠ 0となるすべての枝W _kには、 z = 0に分岐点があり、負の実軸全体にわたって分岐切断が伸びる。 ${\displaystyle z=-e^{-1}}$

関数W _k ( z ), k ∈ Zはすべて単射であり、その値域は互いに素である。多価関数W全体の値域は複素平面である。実軸の像は、実軸とヒッピアスの四分曲面の和、すなわち媒介変数曲線w = − t cot t + it である。

逆

複素平面上の領域で、W ( n , ze ^z ) = z（ただしz = x + iy ）となる領域。特定の領域の暗い境界は、同じ色の明るい領域に含まれます。 {−1, 0}の点は、n = −1（青）領域とn = 0 （灰色）領域の両方に含まれます。水平グリッド線はπの倍数です。

上記の範囲プロットは、複素平面において単純な逆関係⁠ ⁠ ${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$が成り立つ領域も示しています。⁠ ⁠ は、 ${\displaystyle f=ze^{z}}$⁠ ⁠となる⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$が存在し、ここで⁠ ⁠は⁠ ⁠の値に依存します。 ⁠ ⁠が⁠ ⁠の分岐点にあるとき、整数⁠ ⁠の値は急激に変化します。つまり、 ⁠ ⁠ ≤ 0となりますが、 ⁠ ⁠では⁠ ⁠ ≤ −1/ ⁠ ⁠となる場合が例外です。 ${\displaystyle z=W(n,f)=W(n,ze^{z})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ze^{z}}$ ${\displaystyle W(n,ze^{z})}$ ${\displaystyle ze^{z}}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle ze^{z}}$ ${\displaystyle e}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle z=x+iy}$（⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle y}$は実数）を定義し、⁠ ⁠ を ${\displaystyle e^{z}}$極座標で表すと、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}ze^{z}&=(x+iy)e^{x}(\cos y+i\sin y)\\&=e^{x}(x\cos y-y\sin y)+ie^{x}(x\sin y+y\cos y)\\\end{aligned}}}$

の場合、 ⁠ ⁠の分岐は非正実軸となるので、 ${\displaystyle n\neq 0}$ ${\displaystyle W(n,ze^{z})}$

${\displaystyle x\sin y+y\cos y=0\Rightarrow x=-y/\tan(y),}$

そして

${\displaystyle (x\cos y-y\sin y)e^{x}\leq 0.}$

の場合、 ⁠ ⁠の分岐はの実軸となるので、不等式は次のようになる。 ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle W[n,ze^{z}]}$ ${\displaystyle -\infty <z\leq -1/e}$

${\displaystyle (x\cos y-y\sin y)e^{x}\leq -1/e.}$

上記で囲まれた領域内では、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle W(n,ze^{z})}$に不連続な変化はなく、それらの領域は⁠ ⁠ ${\displaystyle W}$関数が単純に逆関数である場所、つまり⁠ ⁠ ${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$を指定します。

微積分

デリバティブ

暗黙の微分により、 Wのすべての枝が微分方程式を満たすことが示される。

${\displaystyle z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.}$

（Wはz = − ⁠に対して微分可能ではない。1/e⁠ .) 結果として、 Wの導関数の次の式が得られます。

${\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad {\text{for }}z\not \in \left\{0,-{\frac {1}{e}}\right\}.}$

等式e ^{W ( z )} = ⁠を用いるとz/W ( z )⁠ は、次の同等の式を与えます。

${\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.}$

起源には

${\displaystyle W'_{0}(0)=1.}$

Wの n 次導関数は次の形式になります。

${\displaystyle {\frac {d^{n}W}{dz^{n}}}={\frac {P_{n}(W(z))}{(z+e^{W(z)})^{n}(W(z)+1)^{n-1}}}\quad {\text{for }}n>0,\,z\neq -{\frac {1}{e}}.}$

ここで、P _nはA042977で定義された係数を持つ多項式関数です。zがP _nの根である場合にのみ、ze ^zはWのn次導関数の根となります。

Wの n 次導関数をとると次の式が得られます。

${\displaystyle {\frac {d^{n+1}W}{dz^{n+1}}}={\frac {(W(z)+1)P_{n}'(W(z))+(1-3n-nW(z))P_{n}(W(z))}{(n+e^{W(z)})^{n+1}(W(z)+1)^{n}}}\quad {\text{for }}n>0,\,z\neq -{\frac {1}{e}}.}$

n 次導関数方程式を帰納的に証明する。

積分

関数W ( x )やW ( x )を含む他の多くの式は、置換w = W ( x )、つまりx = we ^wを使用して積分できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x)\,dx&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\&=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.\end{aligned}}}$

（最後の式は文献ではより一般的だが、x = 0では定義されていない）。このことの1つの帰結は（ W ₀ ( e ) = 1という事実を用いて）、恒等式である 。

${\displaystyle \int _{0}^{e}W_{0}(x)\,dx=e-1.}$

テイラー級数と組合せ論

ケーリーの公式によれば、 n個のラベル付き頂点上の木グラフの数は個であり、指定されたルート頂点を持つ木の数は 個である。この数え上げ列の指数生成関数は次のようになる。 ${\displaystyle n^{n-2}}$ ${\displaystyle n^{n-1}}$

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{n-1}}{n!}}x^{n}.}$

根付き木のクラスは自然回帰性を持つ。つまり、根付き木は、より小さな根付き木の集合に付随する根頂点と等価である。ラベル付き組合せ類の指数公式^[11]を用いると、これは以下の式で表される。

${\displaystyle T(x)=xe^{T(x)},}$

これは、 ${\displaystyle -T(-x)e^{-T(-x)}=x}$

${\displaystyle W_{0}(x)=-T(-x)}$。

議論を逆にすると、の周りのテイラー級数はラグランジュの逆定理を使って直接求めることができます。 ${\displaystyle W_{0}(x)}$ ${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n},}$

これにより、ケーリーの公式の標準的な解析的証明が得られます。

漸近展開

ラグランジュの反転定理により、の周りの主枝のテイラー級数は、次のようになります。 ${\displaystyle W_{0}(x)}$ ${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}=x-x^{2}+{\tfrac {3}{2}}x^{3}-{\tfrac {16}{6}}x^{4}+{\tfrac {125}{24}}x^{5}-\cdots .}$

収束半径は比テストによって求められ、級数によって定義される関数は、区間に沿った分岐を除くすべての複素数上で定義される正則関数に拡張できます。 ${\displaystyle 1/e}$ ${\displaystyle (-\infty ,1/e]}$

大きな値の場合、実関数は ${\displaystyle x\to \infty }$ ${\displaystyle W_{0}(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(x)&=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}\left(-2+L_{2}\right)}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}\left(6-9L_{2}+2L_{2}^{2}\right)}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}\left(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3}\right)}{12L_{1}^{4}}}+\cdots \\[5pt]&=L_{1}-L_{2}+\sum _{\ell =1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\ell }{\frac {(-1)^{\ell }\left[{\begin{smallmatrix}\ell \\\ell -m+1\end{smallmatrix}}\right]}{m!}}{\frac {L_{2}^{m}}{L_{1}^{\ell }}},\end{aligned}}}$

ここで、L ₁ = ln x、L ₂ = ln ln x、および[ⁿ
_k]は第一種非負スターリング数である。^[4]展開の最初の2項のみを残すと、

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln x-\ln \ln x+{\mathcal {o}}(1).}$

もう一方の実数枝W ₋₁は、区間[− ⁠1/e⁠ , 0)は、 x が0 に近づくにつれて同じ形の近似値を持ち、この場合L ₁ = ln(− x )およびL ₂ = ln(−ln(− x ))となる。 ^[4]

整数と複素数の累乗

W ₀の整数乗は、ゼロにおける単純なテイラー（またはローラン）級数展開も許します。

${\displaystyle W_{0}(x)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {-2\left(-n\right)^{n-3}}{(n-2)!}}x^{n}=x^{2}-2x^{3}+4x^{4}-{\tfrac {25}{3}}x^{5}+18x^{6}-\cdots .}$

より一般的には、r∈Zに対して、ラグランジュ逆変換公式は次のように表される。

${\displaystyle W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r\left(-n\right)^{n-r-1}}{(n-r)!}}x^{n},}$

これは一般に、 r次のローラン級数である。同様に、後者はW ₀ ( x ) / xのべき乗のテイラー展開の形で書くこともできる。

${\displaystyle \left({\frac {W_{0}(x)}{x}}\right)^{r}=e^{-rW_{0}(x)}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r\left(n+r\right)^{n-1}}{n!}}\left(-x\right)^{n},}$

これは任意のr∈Cと| x | < ⁠1/e⁠。

境界と不等式

ランバート関数には、いくつかの非漸近的な境界が知られています。

主支店

HoorfarとHassani [ 12 ^]はx≥eに対して次の境界が成り立つことを示した。

${\displaystyle \ln x-\ln \ln x+{\frac {\ln \ln x}{2\ln x}}\leq W_{0}(x)\leq \ln x-\ln \ln x+{\frac {e}{e-1}}{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}.}$

Roberto IaconoとJohn P. Boyd ^[13]はx ≥ eの境界を次のように拡張した。

${\displaystyle \ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)-{\frac {\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}{1+\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}}\ln \left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)\leq W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)-\ln \left(\left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)\left(1-{\frac {\ln \left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)}{1+\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}}\right)\right).}$

フーファーとハッサニ^[12]も一般境界を示した。

${\displaystyle W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {x+y}{1+\ln(y)}}\right),}$

と に対しては等しく、に対してのみ等しくなります。この境界から、例えば を取ることで境界が得られるなど、他の多くの境界を導くことができます。 ${\displaystyle y>1/e}$ ${\displaystyle x\geq -1/e}$ ${\displaystyle x=y\ln(y)}$ ${\displaystyle y=x+1}$

${\displaystyle W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {2x+1}{1+\ln(x+1)}}\right).}$

関数の境界はスチュワートによって得られている。^[14] ${\displaystyle W_{0}(-xe^{-x})}$ ${\displaystyle x\geq 1}$

二次ブランチ

次の単純な境界が成り立ちます。 ${\displaystyle x\in [-{\tfrac {1}{e}},0)}$

${\displaystyle \ln(-x)-\ln(-\ln(-x))-0.5\leq W_{-1}(x)\leq \ln(-x)-\ln(-\ln(-x)).}$

証拠

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{-1}(x)&=\ln {\Bigl (}{\frac {-W_{-1}(x)e^{W_{-1}(x)}}{-W_{-1}(x)}}{\Bigr )}\\&=\ln(-x)-\ln(-W_{-1}(x))\\&=\ln(-x)-\ln(-W_{-1}(x))-\ln(-\ln(-x))+\ln {\Bigl (}-\ln(-W_{-1}(x)e^{W_{-1}(x)}){\Bigr )}\\&=\ln(-x)-\ln(-\ln(-x))+\ln {\Bigl (}{\frac {-\ln(-W_{-1}(x)e^{W_{-1}(x)})}{-W_{-1}(x)}}{\Bigr )}\\&=\ln(-x)-\ln(-\ln(-x))+\ln {\Bigl (}{\frac {-\ln(-W_{-1}(x))-W_{-1}(x)}{-W_{-1}(x)}}{\Bigr )}\\&=\ln(-x)-\ln(-\ln(-x))+\ln {\Bigl (}1-{\frac {\ln(-W_{-1}(x))}{-W_{-1}(x)}}{\Bigr )}.\end{aligned}}}$

t ≥ 1 の場合、 となるので、 と設定すると、 ${\displaystyle \ln {\Bigl (}1-{\frac {\ln t}{t}}{\Bigr )}\in \left[-\ln {\Bigl (}{\frac {e}{e-1}}{\Bigr )},0\right]\subset \left[-0.5,0\right]}$ ${\displaystyle t=-W_{-1}(x)}$

${\displaystyle \ln(-x)-\ln(-\ln(-x))-0.5\leq W_{-1}(x)\leq \ln(-x)-\ln(-\ln(-x)).}$

式内のの両方の出現を現在の範囲内に置き換えることによって、LHS に対してより厳密な範囲内の境界を作成できることに注意してください。 ${\displaystyle W_{-1}(x)}$ ${\displaystyle \ln {\Bigl (}1-{\frac {\ln(-W_{-1}(x))}{-W_{-1}(x)}}{\Bigr )}}$

アイデンティティ

W _j ( xe ^x )のプロット。青はj = 0、赤はj = −1の区間を表す。対角線はW _j ( xe ^x ) = xとなる区間を表す。

複素平面上で−2 − 2 iから2 + 2 iまでプロットした積対数ランベルトW関数W ₂ ( z )

この定義から、いくつかの同一性が導き出されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\geq -1,\\W_{-1}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\leq -1.\end{aligned}}}$

f ( x ) = xe ^xは単射ではないため、逆三角関数の場合と同様に、常にW ( f ( x )) = xが成立するとは限りません。x < 0かつx ≠ −1の場合、方程式xe ^x = ye ^yにはyに関する2つの実解があり、そのうちの1つは当然y = xです。そして、i = 0かつx < −1の場合、およびi = −1かつx ∈ (−1, 0)の場合、もう1つの解はy = W _i ( xe ^x )です。

その他の身元: ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)e^{W(x)}=x,\quad {\text{therefore:}}\\[5pt]&e^{W(x)}={\frac {x}{W(x)}},\qquad e^{-W(x)}={\frac {W(x)}{x}},\qquad e^{nW(x)}=\left({\frac {x}{W(x)}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \ln W_{0}(x)=\ln x-W_{0}(x)\quad {\text{for }}x>0.}$^[16]

${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{0}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}{\frac {1}{e}}\leq x.}$

${\displaystyle W_{-1}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{-1}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}0<x\leq {\frac {1}{e}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)=\ln {\frac {x}{W(x)}}&&{\text{for }}x\geq -{\frac {1}{e}},\\[5pt]&W\left({\frac {nx^{n}}{W\left(x\right)^{n-1}}}\right)=nW(x)&&{\text{for }}n,x>0\end{aligned}}}$

(正しいブランチが選択されると、他のnおよびxに拡張できます)。

${\displaystyle W(x)+W(y)=W\left(xy\left({\frac {1}{W(x)}}+{\frac {1}{W(y)}}\right)\right)\quad {\text{for }}x,y>0.}$

定義に−ln xを代入すると： ^[17]

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}0&<x\leq e,\\[5pt]W_{-1}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}x&>e.\end{aligned}}}$

オイラーの反復指数関数h ( x )を用いると：

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x)&=e^{-W(-\ln x)}\\&={\frac {W(-\ln x)}{-\ln x}}\quad {\text{for }}x\neq 1.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \forall c\in \left[-{\frac {1}{e}},0\right),{\text{let }}t={\frac {W_{-1}(c)}{W_{0}(c)}}\geq 1\implies W_{0}(c)={\frac {\ln t}{1-t}},W_{-1}(c)={\frac {t\ln t}{1-t}}}$

特別な値

以下は主ブランチの特別な値です。 $${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {1}{e}}\right)=-1}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(2\ln 2\right)=\ln 2}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad \left(x\geqslant {\tfrac {1}{e}}\approx 0.36788\right)}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(x^{x+1}\ln x\right)=x\ln x\quad \left(x>0\right)}$$ $${\displaystyle W_{0}(0)=0}$$

${\displaystyle W_{0}(1)=\Omega =\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\left(e^{t}-t\right)^{2}+\pi ^{2}}}\right)^{\!-1}\!\!\!\!-\,1\approx 0.56714329\quad }$（オメガ定数）

$${\displaystyle W_{0}(1)=e^{-W_{0}(1)}=\ln {\frac {1}{W_{0}(1)}}=-\ln W_{0}(1)}$$ $${\displaystyle W_{0}(e)=1}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(e^{1+e}\right)=e}$$ $${\displaystyle W_{0}\left({\frac {\sqrt {e}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}}$$ $${\displaystyle W_{0}\left({\frac {\sqrt[{n}]{e}}{n}}\right)={\frac {1}{n}}}$$ $${\displaystyle W_{0}(-1)\approx -0.31813+1.33723i}$$

枝W ₋₁の特別な値: $${\displaystyle W_{-1}\left(-{\frac {\ln 2}{2}}\right)=-\ln 4}$$

表現

ランバート関数の主枝はポアソン積分によって真積分で表すことができる。^[18]

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}W_{0}(-x)=\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)-xe^{\cos t}\sin \left({\tfrac {5}{2}}t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^{2}e^{2\cos t}}}\sin \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\,dt\quad {\text{for }}|x|<{\frac {1}{e}}.}$

主枝の別の表現はカルギン・ジェフリー・コーレスによって発見された：^[19]

${\displaystyle W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\ln \left(1+x{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt.}$

主枝に対しては次のような連分数表現も成り立つ： ^[20]

${\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2+{\cfrac {5x}{3+{\cfrac {17x}{10+{\cfrac {133x}{17+{\cfrac {1927x}{190+{\cfrac {13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}$

また、| W ₀ ( x ) | < 1 の場合: ^[21]

${\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$

一方、| W ₀ ( x ) | > 1ならば、

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$

その他の式

定積分

W関数の主分岐に関する有用な定積分式はいくつかあり、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\pi }W_{0}\left(2\cot ^{2}x\right)\sec ^{2}x\,dx=4{\sqrt {\pi }},\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx=2{\sqrt {2\pi }},\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\,dx={\sqrt {2\pi }},{\text{ and more generally}}\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{N}}}\right)\,dx=N^{1-{\frac {1}{N}}}\Gamma \left(1-{\frac {1}{N}}\right)\qquad {\text{for }}N>0\end{aligned}}}$

ここで はガンマ関数を表します。 ${\displaystyle \Gamma }$

最初の恒等式は、ガウス積分を極座標で書くことで見つけることができます。

2番目の恒等式は、 u = W ₀ ( x )を代入することによって導出され、

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=ue^{u},\\[5pt]{\frac {dx}{du}}&=(u+1)e^{u}.\end{aligned}}}$

したがって

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}du\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\right)+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {\pi }}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}$

3番目の恒等式は、2番目の恒等式からu = x ⁻²を代入することで導出でき、1番目の恒等式も3番目の恒等式からz = ⁠を代入することで導出できる。1/√2​⁠ tan x。その一般化である4番目の恒等式を導くのは、少しだけ複雑で、、、を代入して、ガンマ関数の定義に一致する2つの積分が得られることを確認し、最後にガンマ関数の特性を使って項をまとめて簡略化することで行うことができます。 ${\displaystyle u=x^{\frac {1}{N}}}$ ${\displaystyle t=W_{0}(u)}$ ${\displaystyle z={\frac {t}{N}}}$

ただし、分岐切断に沿ったzについては（−∞、− ⁠1/e⁠ ]（積分が収束しない）の場合、ランバートW関数の主枝は次の積分で計算できる： ^[22]

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(z)&={\frac {z}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \left(\nu \right)e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu \\[5pt]&={\frac {z}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \left(\nu \right)e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu ,\end{aligned}}}$

ここで、2 つの積分式は、積分対象の対称性により等価です。

不定積分

$${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}$$

1回目の校正

置換変数を導入する ${\displaystyle u=W(x)\rightarrow ue^{u}=x\;\;\;\;{\frac {d}{du}}ue^{u}=(u+1)e^{u}}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\frac {u}{ue^{u}}}(u+1)e^{u}\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\frac {\cancel {\color {OliveGreen}{u}}}{{\cancel {\color {OliveGreen}{u}}}{\cancel {\color {BrickRed}{e^{u}}}}}}\left(u+1\right){\cancel {\color {BrickRed}{e^{u}}}}\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int (u+1)\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {u^{2}}{2}}+u+C}$

${\displaystyle u=W(x)}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}$

2回目の校正

${\displaystyle W(x)e^{W(x)}=x\rightarrow {\frac {W(x)}{x}}=e^{-W(x)}}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int e^{-W(x)}\,dx}$

${\displaystyle u=W(x)\rightarrow ue^{u}=x\;\;\;\;{\frac {d}{\,du}}ue^{u}=\left(u+1\right)e^{u}}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int e^{-u}(u+1)e^{u}\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\cancel {\color {OliveGreen}{e^{-u}}}}\left(u+1\right){\cancel {\color {OliveGreen}{e^{u}}}}\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int (u+1)\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {u^{2}}{2}}+u+C}$

${\displaystyle u=W(x)}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}$

$${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C}$$

証拠

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx}$

${\displaystyle u=Bx\rightarrow {\frac {u}{B}}=x\;\;\;\;{\frac {d}{du}}{\frac {u}{B}}={\frac {1}{B}}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{u}\right){\frac {1}{B}}du}$

${\displaystyle v=e^{u}\rightarrow \ln \left(v\right)=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}\ln \left(v\right)={\frac {1}{v}}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {W\left(Av\right)}{v}}dv}$

${\displaystyle w=Av\rightarrow {\frac {w}{A}}=v\;\;\;\;{\frac {d}{dw}}{\frac {w}{A}}={\frac {1}{A}}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {{\cancel {\color {OliveGreen}{A}}}W(w)}{w}}{\cancel {\color {OliveGreen}{\frac {1}{A}}}}dw}$

${\displaystyle t=W\left(w\right)\rightarrow te^{t}=w\;\;\;\;{\frac {d}{dt}}te^{t}=\left(t+1\right)e^{t}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {t}{te^{t}}}\left(t+1\right)e^{t}dt}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{{\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}}}\left(t+1\right){\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}dt}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int (t+1)dt}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {t^{2}}{2B}}+{\frac {t}{B}}+C}$

${\displaystyle t=W\left(w\right)}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(w\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(w\right)}{B}}+C}$

${\displaystyle w=Av}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Av\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Av\right)}{B}}+C}$

${\displaystyle v=e^{u}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{u}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{u}\right)}{B}}+C}$

${\displaystyle u=Bx}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C}$

$${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C}$$

証拠

置換変数を導入すると、次の式が得られる。 ${\displaystyle u=W(x)}$ ${\displaystyle ue^{u}=x}$ ${\displaystyle {\frac {d}{du}}ue^{u}=\left(u+1\right)e^{u}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;\int {\frac {u}{\left(ue^{u}\right)^{2}}}\left(u+1\right)e^{u}du\\&=\;\int {\frac {u+1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int {\frac {u}{ue^{u}}}du\;+\;\int {\frac {1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int e^{-u}du\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du\end{aligned}}}$

${\displaystyle v=-u\rightarrow -v=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}-v=-1}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\int e^{v}\left(-1\right)dv\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{v}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C}$

${\displaystyle v=-u}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{-u}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C}$

${\displaystyle u=W(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;-e^{-W(x)}+\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)+C\\&=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C\end{aligned}}}$

アプリケーション

方程式を解く

ランバートのW関数は、未知数が底と指数の両方、あるいは対数の内側と外側の両方に存在する方程式を解くために使用されます。この方程式をze ^z = wの形に変換し、 W関数を用いてzについて解きます。

例えば、次の式

${\displaystyle 3^{x}=2x+2}$

（xは未知の実数）は、次のように書き直すことによって解くことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(x+1)\ 3^{-x}={\frac {1}{2}}&({\mbox{multiply by }}3^{-x}/2)\\\Leftrightarrow \ &(-x-1)\ 3^{-x-1}=-{\frac {1}{6}}&({\mbox{multiply by }}{-}1/3)\\\Leftrightarrow \ &(\ln 3)(-x-1)\ e^{(\ln 3)(-x-1)}=-{\frac {\ln 3}{6}}&({\mbox{multiply by }}\ln 3)\end{aligned}}}$

この最後の方程式は望ましい形を持ち、実数xの解は次のようになります。

${\displaystyle (\ln 3)(-x-1)=W_{0}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)\ \ \ {\textrm {or}}\ \ \ (\ln 3)(-x-1)=W_{-1}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)}$

そしてこうなります:

${\displaystyle x=-1-{\frac {W_{0}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=-0.79011\ldots \ \ {\textrm {or}}\ \ x=-1-{\frac {W_{-1}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=1.44456\ldots }$

一般的に、

${\displaystyle x=a+b\,e^{cx}}$

は：

${\displaystyle x=a-{\frac {1}{c}}W(-bc\,e^{ac})}$

ここで、 a、b、cは複素定数であり、bとc はゼロではなく、W関数は任意の整数次数です。

非粘性流

（ここで、、、a、x、tは密度、縮小変数、加速度、空間変数、時間変数）の形の 珍しい加速進行波 仮説を適用すると 、対応するオイラー方程式の流体密度はW関数の助けを借りて与えることができる。^[23] ${\displaystyle \rho (\eta )=\rho {\big (}x-{\frac {at^{2}}{2}}{\big )}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \eta }$

粘性流

自然現象および実験室実験における粒状流および土石流の前面と堆積物、および粘性流体の前面は、次のようにランベルト・オイラーのオメガ関数を使用して記述できます。

${\displaystyle H(x)=1+W\left((H(0)-1)e^{(H(0)-1)-{\frac {x}{L}}}\right),}$

ここで、H ( x )は土石流の高さ、xは水路下流位置、Lは流れ、流高、水圧勾配のいくつかの物理的および幾何学的パラメータで構成される統一モデルパラメータです。

管内流れにおいて、ランバートW関数は、ダルシー摩擦係数を求めるためのコールブルック式の明示的な定式化の一部である。この係数は、乱流流れにおける直管の圧力損失を決定するために使用される。^[24]

単純な分岐油圧システムにおける時間依存流れ

ランバートのW関数の主な分野は、機械工学の分野で、遠心ポンプを使用して、自由表面レベルが変化する2つの貯留層間でのニュートン流体の時間依存的な移動の研究に使用されています。 ^[25]ランバートのW関数は、層流と乱流の両方の領域で流体の流量の正確な解を提供しました。 ここで、は初期流量、は時間です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{\text{turb}}&={\frac {Q_{i}}{\zeta _{i}}}W_{0}\left[\zeta _{i}\,e^{(\zeta _{i}+\beta t/b)}\right]\\Q_{\text{lam}}&={\frac {Q_{i}}{\xi _{i}}}W_{0}\left[\xi _{i}\,e^{\left(\xi _{i}+\beta t/(b-\Gamma _{1})\right)}\right]\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle t}$

神経画像

ランバートW関数は、脳ボクセル内の脳血流と酸素消費量の変化を、対応する血液酸素化レベル依存（BOLD）信号にリンクするために神経画像診断の分野で利用されています。 ^[26]

化学工学

ランバートW関数は、化学工学分野において、電気化学的エネルギー貯蔵用のガラス状炭素系スーパーキャパシタにおける多孔質電極膜厚のモデル化に用いられています。ランバートW関数は、炭素膜の成長と燃焼が競合する気相熱活性化プロセスに対する正確な解を提供します。^{[27] [28]}

結晶成長

結晶成長においては、ランバートW関数の負の原理を利用して、分配係数、および融液中の溶質濃度、を計算することができる。^{[29] [30]}シャイユの式から： ${\textstyle k}$ ${\textstyle C_{L}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&k={\frac {W_{0}(Z)}{\ln(1-fs)}}\\&C_{L}={\frac {C_{0}}{(1-fs)}}e^{W_{0}(Z)}\\&Z={\frac {C_{S}}{C_{0}}}(1-fs)\ln(1-fs)\end{aligned}}}$

材料科学

ランバートW関数は、エピタキシャル膜成長の分野において、臨界転位開始膜厚の決定に用いられます。これは、熱力学原理により、膜に蓄積される弾性エネルギーを最小化するために、膜が結晶転位を発達させるエピタキシャル膜の厚さの計算値です。この問題にランバートW関数を適用する以前は、臨界膜厚は暗黙の方程式を解くことによって決定する必要がありました。ランバートW関数は、これを明示的な方程式に変換し、解析的な取り扱いを容易にします。^[31]

半導体

W関数はダイオードの電圧、電流、抵抗の関係を記述することが示された。^[32]

多孔質媒体

ランバートW関数は、多孔質媒体中の流体流動の分野において、一定の傾斜と厚さを持つ均質な傾斜多孔質層において、重力によって分離した2つの流体を隔てる界面の傾斜をモデル化するために用いられてきた。このとき、下端から注入された重い流体が、上端から同じ速度で生成される軽い流体を置換する。この解の主分岐は安定した置換に対応し、-1分岐は、重い流体が軽い流体の下を流れるような置換が不安定な場合に適用される。^[33]

ベルヌーイ数とトッド種数

次の方程式（ベルヌーイ数の生成関数とトッド種数に関連付けられている）：

${\displaystyle Y={\frac {X}{1-e^{X}}}}$

2つの実数枝W ₀とW ₋₁を使って解くことができる。

${\displaystyle X(Y)={\begin{cases}W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}Y<-1,\\W_{0}\left(Ye^{Y}\right)-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}-1<Y<0.\end{cases}}}$

この応用は、 W関数の分岐差分が他の超越方程式を解くために使用できることを示しています。^[34]

統計

対称化されたカルバック・ライブラー情報（ジェフリーズ情報^[35]とも呼ばれる）に関して定義されたヒストグラムの集合の重心は、ランバートW関数^[36]を用いた閉じた形をとる。

感染症検査のプール

少なくとも1人の感染者がいるようにプールテストに最適なグループサイズを解くには、ランバートW関数が関係します。^{[37] [38] [39]}

シュレーディンガー方程式の厳密解

ランベルトのW関数は量子力学的ポテンシャルに現れ、調和振動子＋遠心力、クーロン＋逆二乗、モース、逆平方根ポテンシャルに次ぐ5番目の、定常1次元シュレーディンガー方程式の合流型超幾何関数による厳密解を与える。このポテンシャルは次のように与えられる。

${\displaystyle V={\frac {V_{0}}{1+W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right)}}.}$

この解の特徴は、シュレーディンガー方程式の一般解を構成する2つの基本解のそれぞれが、2つの合流超幾何関数の組み合わせで与えられ、その引数は^{[40]に比例するということである。}

${\displaystyle z=W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right).}$

ランベルトのW関数は、二重デルタポテンシャルを持つ 1 次元シュレーディンガー方程式の束縛状態エネルギーの正確な解にも現れます。

QCD結合定数の厳密解

強い相互作用の量子場理論である量子色力学では、結合定数は摂動論的に計算され、n次数はn個の量子ループを含むファインマン図に対応する。^[41] 1次数n = 1の解は（その次数では）正確かつ解析的である。n > 1の高次数では、正確かつ解析的な解は存在せず、通常は反復法を用いて近似解を求める。しかし、2次数n = 2の場合には、ランバート関数は（非解析的ではあるが）正確な解を与える。^[41] ${\displaystyle \alpha _{\text{s}}}$

アインシュタイン真空方程式の厳密解

アインシュタイン真空方程式のシュワルツシルト計量解において、エディントン・フィンケルシュタイン座標からシュワルツシルト座標へ変換するためにW関数が必要となる。このため、W関数はクラスカル・シェケレス座標の構築にも現れる。

デルタ殻ポテンシャルの共鳴

デルタ殻ポテンシャルのS波共鳴は、ランバートW関数で正確に記述することができる。^[42]

熱力学的平衡

反応が、温度に対して一定の熱容量を持つ反応物と生成物を含む場合、平衡定数Kは以下に従う。

${\displaystyle \ln K={\frac {a}{T}}+b+c\ln T}$

定数a、b、cに対して、c（⁠ΔC _p​/R⁠ ) がゼロでない場合、 Tの値は、 K が次のように指定された値に等しい場合に見つかります。ここで、 L はln Tに使用できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}-a&=(b-\ln K)T+cT\ln T\\&=(b-\ln K)e^{L}+cLe^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}&=\left({\frac {b-\ln K}{c}}+L\right)e^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}&=\left(L+{\frac {b-\ln K}{c}}\right)e^{L+{\frac {b-\ln K}{c}}}\\[5pt]L&=W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\\[5pt]T&=\exp \left(W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\right).\end{aligned}}}$

aとc が同じ符号を持つ場合、解は 2 つ存在するか、または 0 つ存在するかのいずれかになります（ Wの引数がちょうど− ⁠1/e⁠）。（上の解は関係ない可能性があります。）符号が反対の場合、解は 1 つになります。

ポリマー混合物の相分離

エドモンド・オグストンモデルに従って熱力学的に非相溶性のポリマー混合物の状態図を計算する場合、双節線と共線線の解はランバートW関数で定式化される。^[43]

ウィーンの変位法則D次元宇宙

ウィーンの変位法則は と表される。 および（スペクトルエネルギー密度）とすると、（空間並進の自由度）が得られる。この解は、スペクトルエネルギー密度が宇宙の次元数に依存することを示している。^[44] ${\displaystyle \nu _{\max }/T=\alpha =\mathrm {const} }$ ${\displaystyle x=h\nu _{\max }/k_{\mathrm {B} }T}$ ${\displaystyle d\rho _{T}\left(x\right)/dx=0}$ ${\displaystyle \rho _{T}}$ ${\displaystyle e^{-x}=1-{\frac {x}{D}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x=D+W\left(-De^{-D}\right)}$

AdS/CFT通信

巨大マグノン、単一スパイク、GKP弦の分散関係に対する古典的な有限サイズ補正は、ランバートW関数で表すことができます。^{[45] [46]}

疫学

SIRモデルのt →∞限界では、感受性個体と回復個体の割合はランバートW関数で解を持つ。^[47]

発射体の飛行時間の測定

速度に比例した空気抵抗を受ける発射体の移動時間は、ランバートW関数を使って正確に求めることができます。^[48]

電磁表面波伝播

円筒状の金属線を伝搬する電磁軸対称表面波（低減衰単一TM01モード）の伝搬波数を決定する際に現れる超越方程式は、u ln u = v（uとvは問題の幾何学的要因と物理的要因をまとめたものである）のような方程式を導き、これはランベルトW関数によって解かれる。この問題に対する最初の解は、 1898年頃にゾンマーフェルトによって示され、ランベルトW関数の値を決定する反復法を既に含んでいた。^[49]

実楕円の直交軌道

を中心とする楕円族は、離心率 によってパラメータ化されます。この族の直交軌道は、一般解が族 である微分方程式で与えられます。 ${\displaystyle x^{2}+(1-\varepsilon ^{2})y^{2}=\varepsilon ^{2}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \left({\frac {1}{y}}+y\right)dy=\left({\frac {1}{x}}-x\right)dx}$ ${\displaystyle y^{2}=}$ ${\displaystyle W_{0}(x^{2}\exp(-2C-x^{2}))}$

一般化

標準的なランベルトのW関数は、次の形式の超越代数方程式（x ）の正確な解を表現します。

$${\displaystyle e^{-cx}=a_{0}(x-r)}$$

1

ここで、a ₀、c、rは実定数である。解はランバートW関数^{[50] [51] [52]}の一般化には以下が含まれる。 $${\displaystyle x=r+{\frac {1}{c}}W\left({\frac {c\,e^{-cr}}{a_{0}}}\right).}$$

• 低次元における一般相対性理論と量子力学（量子重力）への応用、実際にはこれら2つの分野間のリンク（2007年以前は知られていなかった^{[53] ）であり、（} 1 ）の右辺がxの2次多項式に置き換えられる。

  $${\displaystyle e^{-cx}=a_{0}\left(x-r_{1}\right)\left(x-r_{2}\right),}$$

  2

  ここで、 r ₁とr ₂は実数の異なる定数で、二次多項式の根です。ここで、解は単一の引数xを持つ関数ですが、 r _iやa ₀などの項はその関数のパラメータです。この点で、一般化は超幾何関数やMeijer G関数に似ていますが、異なるクラスの関数に属します。r ₁ = r _{2のとき、(} 2 )の両辺を因数分解して ( 1 ) に簡約できるため、解は標準のW関数の解に簡約されます。 式 ( 2 ) は、ディラトン場を支配する式を表しており、この式から、不等静止質量の場合の 1 + 1 次元 (1 つの空間次元と 1 つの時間次元) でのR = Tまたは線形2 体重力問題の計量、および1 次元での不等電荷の量子力学的二重井戸型ディラック デルタ関数モデルの固有エネルギーが導出されます。

• 量子力学的三体問題の特殊なケース、すなわち（三次元）水素分子イオンの固有エネルギーの解析解。^{[54]ここで（} 1 ）の右辺はxの無限次多項式の比に置き換えられる。

  $${\displaystyle e^{-cx}=a_{0}{\frac {\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }(x-r_{i})}{\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }(x-s_{i})}}}$$

  3

  ここで、r _iとs _{i は}異なる実定数であり、xは固有エネルギーと核間距離Rの関数である。式( 3 )とその特殊なケースである( 1 )と( 2 )は、遅延微分方程式の大きなクラスと関連している。GHハーディの「偽微分」の概念は、式( 3 )の特殊なケースに正確な多重根を与える。^[55]

ランバートW関数の基礎物理学的問題への応用は、（ 1 ）で表現される標準的なケースであっても尽きることはない。これは、最近の原子物理学、分子物理学、光物理学の分野で見られる。^[56]

プロット

• 複素平面上のランバートW関数のプロット
• 
  z = Re( W ₀ ( x + iy ))
• 
  z = Im( W ₀ ( x + iy ))
• 
  z = | W ₀ ( x + iy ) |
• 
  前の3つのグラフの重ね合わせ

数値評価

W関数はニュートン法を用いて近似することができ、 w = W ( z ) (つまりz = we ^w )の逐次近似は

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}+w_{j}e^{w_{j}}}}.}$

W関数はハレー法を用いて近似することもできる。

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}\left(w_{j}+1\right)-{\dfrac {\left(w_{j}+2\right)\left(w_{j}e^{w_{j}}-z\right)}{2w_{j}+2}}}}}$

Corless et al. ^{[4]に示されている}Wを計算する。

実数については、R. IaconoとJP Boydの2次速度再帰式で近似できる。^[13] ${\displaystyle x\geq -1/e}$

${\displaystyle w_{n+1}(x)={\frac {w_{n}(x)}{1+w_{n}(x)}}\left(1+\log \left({\frac {x}{w_{n}(x)}}\right)\right).}$

ラヨシュ・ローチは^[57]、適切な初期値でこの反復法を使用することで、 ${\displaystyle w_{0}(x)}$

• 主支店の場合 ${\displaystyle W_{0}:}$
  • もし： ${\displaystyle x\in (e,\infty )}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=\log(x)-\log(\log(x)),}$
  • もし ${\displaystyle x\in (0,e):}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=x/e,}$
  • もし ${\displaystyle x\in (-1/e,0):}$ ${\displaystyle w_{0}(x)={\frac {ex\log(1+{\sqrt {1+ex}})}{1+ex+{\sqrt {1+ex}}}},}$
• 支店向け ${\displaystyle W_{-1}:}$
  • もし ${\displaystyle x\in (-1/4,0):}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=\log(-x)-\log(-\log(-x)),}$
  • もし ${\displaystyle x\in (-1/e,-1/4]:}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=-1-{\sqrt {2}}{\sqrt {1+ex}},}$

任意の精度に対して、反復ステップの最大数を事前に決定することができます。

• （定理2.4）の場合： ${\displaystyle x\in (e,\infty )}$ ${\displaystyle 0<W_{0}(x)-w_{n}(x)<\left(\log(1+1/e)\right)^{2^{n}},}$
• （定理2.9）の場合： ${\displaystyle x\in (0,e)}$ ${\displaystyle 0<W_{0}(x)-w_{n}(x)<{\frac {\left(1-1/e\right)^{2^{n}-1}}{5}},}$
• もし ${\displaystyle x\in (-1/e,0):}$
  • 主枝の場合（定理2.17）： ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle 0<w_{n}(x)-W_{0}(x)<\left(1/10\right)^{2^{n}},}$
  • 枝について（定理2.23）： ${\displaystyle W_{-1}}$ ${\displaystyle 0<W_{-1}(x)-w_{n}(x)<\left(1/2\right)^{2^{n}}.}$

福島俊夫は、 W関数 の主枝と副枝の実数値部分を反復計算なしで近似する高速な手法を提示した。^[58]この手法では、W関数は変換された変数に対する有理関数の条件付きスイッチとして評価される。ここで、 x、u、y、vはzの変換である。 $${\displaystyle W_{0}(z)={\begin{cases}X_{k}(x),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=1,2,\ldots ,17),\\U_{k}(u),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=18,19),\end{cases}}}$$ $${\displaystyle W_{-1}(z)={\begin{cases}Y_{k}(y),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=-1,-2,\ldots ,-7),\\V_{k}(u),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=-8,-9,-10),\end{cases}}}$$

${\displaystyle x={\sqrt {z+1/e}},\quad u=\ln {z},\quad y=-z/(x+1/{\sqrt {e}}),\quad v=\ln(-z)}$。

ここで、、、、は有理関数であり、異なるk値に対する係数は、部分領域を決定する値とともに、参考文献に記載されています。これらの有理関数の次数が高い多項式を用いることで、この手法はW関数をより正確に近似することができます。 ${\displaystyle X_{k}(x)}$ ${\displaystyle U_{k}(u)}$ ${\displaystyle Y_{k}(y)}$ ${\displaystyle V_{k}(v)}$ ${\displaystyle z_{k}}$

たとえば、 のとき、は 64 ビット浮動小数点値で 24 ビットの精度に近似できます。ここで、 x は上記の変換で定義され、係数とは次の表で与えられます。 ${\displaystyle -1/e\leq z\leq 2.0082178115844727}$ ${\displaystyle W_{0}(z)}$ ${\displaystyle W_{0}(z)\approx X_{1}(x)={\frac {\sum _{i}^{4}P_{i}x^{i}}{\sum _{i}^{3}Q_{i}x^{i}}}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$

係数

${\displaystyle i}$	${\displaystyle P_{i}}$	${\displaystyle Q_{i}}$
0	−0.999 999 940 395 4019	1
1	0.055 730 052 161 7778	2.275 906 559 863 465
2	2.126 973 249 105 3173	1.367 597 013 868 904
3	0.813 511 236 783 5288	0.186 158 234 528 316 23
4	0.016 324 880 146 070 16	0

福島氏はまた、8 次および 7 次多項式を使用する 64 ビット浮動小数点数で 50 ビットの精度の近似値も提供しています。

ソフトウェア

ランバートW関数は多くのプログラミング言語で実装されています。以下にいくつか例を挙げます。

言語	関数名	必要なライブラリ
C / C++	gsl_sf_lambert_W0そしてgsl_sf_lambert_Wm1	GNU科学ライブラリ（GSL）の特殊関数セクション[59]
	lambert_w0、lambert_wm1、lambert_w0_prime、 そしてlambert_wm1_prime	Boost C++ライブラリ[60]
	LambertW	ランバートW関数[61]
GP	lambertw
ジュリア	lambertw	LambertW[62]
メープル	LambertW[63]
マセマティカ	ProductLog（LambertWサイレントエイリアスとして）[64]
Matlab	lambertw[65]
マキシマ	lambert_w[66]
オクターブ	lambertw	specfun[67]
パリ	glambertW, lambertWC, glambertW_i, mplambertW, lambertW
パール	LambertW	ntheory[68]
パイソン	lambertw	scipy[69]
R	lambertW0そしてlambertWm1	lamW[70]
さび	lambert_w、lambert_w0そしてlambert_wm1	lambert_w[71]

参照

• ライトオメガ関数
• ランバートの三項方程式
• ラグランジュの反転定理
• 実験数学
• ホルスタイン・ニリング法
• R = Tモデル
• ロスのπ補題

注記

1. Lehtonen, Jussi (2016年4月), Rees, Mark (編), 「生態学的および進化的モデルにおけるランバートW関数」, Methods in Ecology and Evolution , 7 (9): 1110– 1118, Bibcode :2016MEcEv...7.1110L, doi : 10.1111/2041-210x.12568 , S2CID  124111881
2. オイラー、レオンハルト(1783)、「De serie Lambertina plurimisque eius insignibus proprietatibus」、Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (ラテン語)、1779 (II) : 29–51
3. Chow, Timothy Y. (1999)、「閉形式数とは何か？」アメリカ数学月刊誌、106 (5): 440– 448、arXiv : math/9805045、doi :10.2307/2589148、JSTOR  2589148、MR  1699262。
4. コーレス、RM;ゴネット、GH;ヘア、DEG;ジェフリー、DJ。デラウェア州クヌース (1996)。 「ランバート W 関数について」(PDF)。計算数学の進歩。5 : 329–359。土井:10.1007/BF02124750。S2CID  29028411。
5. Lambert JH、「Observationes variae in mathesin puram」、Acta Helveticae physico-mathematico-anaTOMico-botanico-medica、Band III、128–168、1758。
6. オイラー、L.「De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus」。アクタ・アカド。科学的。ペトロポール。 2、29–51、1783 。オイラー、L.オペラ オムニア、シリーズ プリマ、Vol.に再版。6: 代数解説。ライプツィヒ、ドイツ: Teubner、350–369 ページ、1921 年。
7. Scott, TC; Babb, JF; Dalgarno, A; Morgan, John D (1993年8月15日). 「交換力の計算：一般的な結果と具体的なモデル」. J​​. Chem. Phys . 99 (4). American Institute of Physics: 2841– 2854. Bibcode :1993JChPh..99.2841S. doi :10.1063/1.465193. ISSN  0021-9606.
8. Corless, RM; Gonnet, GH; Hare, DEG; Jeffrey, DJ (1993). 「MapleにおけるLambert関数」. The Maple Technical Newsletter . 9 : 12–22 . CiteSeerX 10.1.1.33.2556 . ${\displaystyle W}$ 
9. Mező, István (2022). ランバートW関数：その一般化と応用. doi :10.1201/9781003168102. ISBN 978-1-003-16810-2. S2CID  247491347。
10. Bronstein, Manuel; Corless, Robert M.; Davenport, James H.; Jeffrey, DJ (2008). 「Lambert ⁠ W {\displaystyle W} ⁠ 関数の代数的性質（RosenlichtとLiouvilleの結果に基づく）」(PDF) . Integral Transforms and Special Functions . 19 (10): 709– 712. doi :10.1080/10652460802332342. S2CID 120069437. 2015年12月11日時点のオリジナルより アーカイブ（PDF） .
11. フラジョレ, フィリップ; セジウィック, ロバート (2009-01-15). 「第2章」. 解析的組合せ論. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-89806-5。
12. A. Hoorfar、M. Hassani、「ランバートW関数と超べき関数の不等式」、JIPAM、定理2.7、7ページ、第9巻、第2号、記事51。2008年。
13. Iacono, Roberto; Boyd, John P. (2017-12-01). 「ランバートW関数の主実数値枝への新たな近似」.計算数学の進歩. 43 (6): 1403– 1436. doi :10.1007/s10444-017-9530-3. ISSN  1572-9044. S2CID  254184098.
14. Stewart, Seán M. (2009). 「Lambert W関数を含む特定の不等式について」. JIPAM. Journal of Inequalities in Pure & Applied Mathematics [電子版のみ] . 10 (4): 論文番号96、4ページ、電子版のみ–論文番号96、4ページ、電子版のみ. ISSN  1443-5756.
15. 「ランバート関数：恒等式（式01.31.17.0001）」。
16. 「ランバートW関数」。
17. https://isa-afp.org/entries/Lambert_W.html 注: 関連する補題の仮定の 1 つはx > 1/ eでなければならないとしていますが、この補題を調べると、この仮定は使用されていないことがわかります。下限は実際には x > 0 です。eでの分岐スイッチの理由は単純です。x > 1 の場合、常に 2 つの解、 −ln  xとeの反対側のxから取得してWに同じ値を与える別の解があります。これらはx = eで交差する必要があります。[1] W _{n は、}x < eからの ln x/x の値と、もう 1 つのx > eからの同じ値を区別できないため、戻り値の順序を反転できません。
18. Finch, SR (2003).数学定数. ケンブリッジ大学出版局. p. 450.
19. Kalugin, German A.; Jeffrey, David J.; Corless, Robert M. (2012). 「Bernstein, Pick, Poisson および Lambert W に関する関連積分表現」(PDF) .積分変換と特殊関数. 23 (11): 817– 829. doi :10.1080/10652469.2011.640327. MR  2989751.出版版の821ページ（プレプリントの5ページ）の定理3.4を参照。
20. Dubinov, AE; Dubinova, ID; Saǐkov, SK (2006).ランベルトW関数と物理学の数学的問題への応用（ロシア語） . RFNC-VNIIEF. p. 53.
21. W関数の級数列」. 1997年国際記号計算・代数計算シンポジウム - ISSAC '97 議事録. pp.  197– 204. doi :10.1145/258726.258783. ISBN 978-0-89791-875-6. S2CID  6274712。
22. 「ランバートW関数」。オンタリオコンピュータ代数研究センター。
23. Barna, IF; Mátyás, L. (2013). 「異なる種類の状態方程式で閉じた、熱伝導を考慮した1次元圧縮性オイラー方程式の解析解」.ミシュコルツ数学ノート. 13 (3): 785– 799. arXiv : 1209.0607 . doi :10.18514/MMN.2013.694.
24. More, AA (2006). 「コールブルック・ホワイト方程式および理想気体配管流における圧力降下の解析解」.化学工学科学. 61 (16): 5515– 5519. Bibcode :2006ChEnS..61.5515M. doi :10.1016/j.ces.2006.04.003.
25. Pellegrini, CC; Zappi, GA; Vilalta-Alonso, G. (2022-05-12). 「遠心ポンプを備えた単純な分岐油圧システムにおける時間依存流れの解析解」 . Arabian Journal for Science and Engineering . 47 (12): 16273– 16287. doi :10.1007/s13369-022-06864-9. ISSN  2193-567X. S2CID  248762601.
26. Sotero, Roberto C.; Iturria-Medina, Yasser (2011). 「血液酸素化レベル依存（BOLD）シグナルから脳温度マップへ」 . Bull Math Biol (投稿原稿). 73 (11): 2731–47 . doi :10.1007/s11538-011-9645-5. PMID  21409512. S2CID  12080132.
27. Braun, Artur; Wokaun, Alexander; Hermanns, Heinz-Guenter (2003). 「二つの移動境界を持つ成長問題の解析解」.応用数学モデル. 27 (1): 47– 52. doi : 10.1016/S0307-904X(02)00085-9 .
28. Braun, Artur; Baertsch, Martin; Schnyder, Bernhard; Koetz, Ruediger (2000). 「二つの移動境界を持つ試料における膜成長モデル ― 未反応コアモデルの応用と拡張」. Chem Eng Sci . 55 (22): 5273– 5282. doi :10.1016/S0009-2509(00)00143-3.
29. Asadian, M; Saeedi, H; Yadegari, M; Shojaee, M (2014年6月). 「溶融YAG中にドープされたNd+3の平衡偏析、有効偏析、拡散係数の測定」. Journal of Crystal Growth . 396 (15): 61– 65. Bibcode :2014JCrGr.396...61A. doi :10.1016/j.jcrysgro.2014.03.028.https://doi.org/10.1016/j.jcrysgro.2014.03.028
30. Asadian, M; Zabihi, F; Saeedi, H (2024年3月). 「Nd:YAGチョクラルスキー結晶成長における偏析と構造的過冷却」. Journal of Crystal Growth . 630 127605. Bibcode :2024JCrGr.63027605A. doi :10.1016/j.jcrysgro.2024.127605. S2CID  267414096.https://doi.org/10.1016/j.jcrysgro.2024.127605
31. Braun, Artur; Briggs, Keith M.; Boeni, Peter (2003). 「マシューズとブレイクスリーのエピタキシャル成長薄膜における臨界転位形成厚さの解析解」J Cryst Growth . 241 ( 1– 2): 231– 234. Bibcode :2002JCrGr.241..231B. doi :10.1016/S0022-0248(02)00941-7.
32. Banwell, TC; Jayakumar, A. (2000). 「直列抵抗を持つダイオードを流れる電流の正確な解析解」 . Electronics Letters . 36 (1): 29– 33. Bibcode :2000ElL....36..291B. doi :10.1049/el:20000301.
33. Colla, Pietro (2014). 「傾斜多孔質媒体における二相界面の運動に関する新たな解析手法」.スタンフォード大学地熱貯留層工学ワークショップ第38回議事録. SGP-TR-202.（[2]）
34. DJ JeffreyとJE Jankowski、「Branch Differences and Lambert W」
35. Flavia-Corina Mitroi-Symeonidis、Ion Anghel、Shigeru Furuichi (2019). 「順列低エントロピー計算のためのエンコーディングと実規模区画火災データへの応用」Acta Technica Napocensis 62, IV: 607– 616.
36. F. ニールセン、「ジェフリーズ・セントロイド：正のヒストグラムの閉形式表現と頻度ヒストグラムの保証された厳密な近似」
37. https://arxiv.org/abs/2005.03051 J. Batson 他、「COVID-19 検査のためのグループ検査アーキテクチャの比較」。
38. AZ Broder、「二重プーリングテストに関する注記」。
39. Rudolf Hanel, Stefan Thurner (2020). 「SARS-CoV-2のプール検査による検査効率の向上 - 最適なプールサイズの計算式」. PLOS ONE . 15, 11 (11) e0240652. Bibcode :2020PLoSO..1540652H. doi : 10.1371/journal.pone.0240652 . PMC 7641378. PMID  33147228 . 
40. AM Ishkhanyan、「ランバートのW障壁 - 正確に解ける合流型超幾何ポテンシャル」。
41. Deur, Alexandre; Brodsky, Stanley J.; De Téramond, Guy F. (2016). 「QCDランニングカップリング」.粒子・核物理学の進歩. 90 : 1– 74. arXiv : 1604.08082 . Bibcode :2016PrPNP..90....1D. doi :10.1016/j.ppnp.2016.04.003. S2CID  118854278.
42. de la Madrid, R. (2017). 「デルタ殻ポテンシャルの共鳴における崩壊幅、崩壊定数、および崩壊エネルギースペクトルの数値計算」Nucl. Phys. A . 962 : 24– 45. arXiv : 1704.00047 . Bibcode :2017NuPhA.962...24D. doi :10.1016/j.nuclphysa.2017.03.006. S2CID  119218907.
43. Bot, A.; Dewi, BPC; Venema, P. (2021). 「相分離する二成分ポリマー混合物：ビリアル係数の縮退と相図からの抽出」. ACS Omega . 6 (11): 7862– 7878. doi : 10.1021/acsomega.1c00450 . PMC 7992149. PMID  33778298 . 
44. Cardoso, TR; de Castro, AS (2005). 「D次元宇宙における黒体放射」Rev. Bras. Ens. Fis . 27 (4): 559– 563. doi : 10.1590/S1806-11172005000400007 . hdl : 11449/211894 .
45. Floratos, Emmanuel; Georgiou, George; Linardopoulos, Georgios (2014). 「GKP弦の大規模スピン展開」JHEP . 2014 (3): 0180. arXiv : 1311.5800 . Bibcode :2014JHEP...03..018F. doi :10.1007/JHEP03(2014)018. S2CID  53355961.
46. Floratos, Emmanuel; Linardopoulos, Georgios (2015). 「巨大マグノンと単一スパイクの大規模スピンおよび大規模巻き線展開」Nucl. Phys. B . 897 : 229–275 . arXiv : 1406.0796 . Bibcode :2015NuPhB.897..229F. doi :10.1016/j.nuclphysb.2015.05.021. S2CID  118526569.
47. Wolfram Research, Inc. 「Mathematica バージョン12.1」。シャンペーン、イリノイ州、2020年。
48. Packel, E.; Yuen, D. (2004). 「抵抗を伴う投射物の運動とランバートW関数」 . College Math. J. 35 ( 5): 337– 341. doi :10.1080/07468342.2004.11922095.
49. Mendonça, JRG (2019). 「金属線における電磁表面波伝搬とランバートW関数」. American Journal of Physics . 87 (6): 476– 484. arXiv : 1812.07456 . Bibcode :2019AmJPh..87..476M. doi :10.1119/1.5100943. S2CID  119661071.
50. Scott, TC; Mann, RB; Martinez Ii, Roberto E. (2006). 「一般相対性理論と量子力学：ランバートW関数の一般化に向けて」AAECC (工学、通信、コンピューティングにおける応用代数) 17 ( 1): 41– 47. arXiv : math-ph/0607011 . Bibcode :2006math.ph...7011S. doi :10.1007/s00200-006-0196-1. S2CID  14664985.
51. Scott, TC; Fee, G.; Grotendorst, J. (2013). 「一般化ランバートW関数の漸近級数」. ACM Communications in Computer Algebra . 47 (185): 75– 83. doi :10.1145/2576802.2576804. S2CID  15370297.
52. Scott, TC; Fee, G.; Grotendorst, J.; Zhang, WZ (2014). 「一般化ランバートW関数の数値計算」. ACM Communications in Computer Algebra . 48 (1/2): 42– 56. doi :10.1145/2644288.2644298. S2CID  15776321.
53. Farrugia, PS; Mann, RB; Scott, TC (2007). 「N体重力とシュレーディンガー方程式」. Class. Quantum Grav . 24 (18): 4647– 4659. arXiv : gr-qc/0611144 . Bibcode :2007CQGra..24.4647F. doi :10.1088/0264-9381/24/18/006. S2CID  119365501.
54. Scott, TC; Aubert-Frécon, M.; Grotendorst, J. (2006). 「水素分子イオンの電子エネルギーに関する新たなアプローチ」. Chem. Phys . 324 ( 2–3 ): 323– 338. arXiv : physics/0607081 . Bibcode :2006CP....324..323S. CiteSeerX 10.1.1.261.9067 . doi :10.1016/j.chemphys.2005.10.031. S2CID  623114. 
55. W関数の肉付け」. ACM Communications in Computer Algebra . 50 (2): 45– 60. doi :10.1145/2992274.2992275. S2CID  53222884.
56. Scott, TC; Lüchow, A.; Bressanini, D.; Morgan, JD III (2007). 「ヘリウム原子の固有関数の節点面」(PDF) . Phys. Rev. A . 75 (6) 060101. Bibcode :2007PhRvA..75f0101S. doi :10.1103/PhysRevA.75.060101. hdl : 11383/1679348 . 2017年9月22日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) .
57. Lóczi, Lajos (2022年11月15日). 「Lambert W関数の保証された高精度評価」.応用数学・計算. 433 127406. doi : 10.1016/j.amc.2022.127406 . hdl : 10831/89771 . ISSN  0096-3003.
58. 福島俊夫 (2020年11月25日). 「変数変換を用いた区分的ミニマックス有理関数近似によるランバートW関数の高精度かつ高速な計算」. doi : 10.13140/RG.2.2.30264.37128 .
59. 「Lambert W 関数 - GNU 科学ライブラリ (GSL)」。
60. 「Lambert W 関数 - Boost ライブラリ」。
61. Mező、István (2017-12-05)、LambertW-function 、 2024-12-13取得
62. 「Lambert W関数とそれに関連するオメガ定数」。GitHub。
63. 「LambertW - Maple ヘルプ」。
64. ProductLog - Wolfram言語リファレンス
65. lambertw – MATLAB
66. Maxima、コンピュータ代数システム
67. "lambertw - specfun on Octave-Forge" . 2024年9月12日閲覧。
68. ntheory - MetaCPAN
69. "lambertw — SciPy v1.16.1 マニュアル". docs.scipy.org .
70. Adler, Avraham (2017-04-24), lamW: Lambert W Function , 2017-12-19取得
71. Sörngård、Johanna (2024-07-28)、lambert_w 、 2025-03-27取得

参考文献

• Corless, R.; Gonnet, G.; Hare, D.; Jeffrey, D.; Knuth, Donald (1996). 「Lambert W関数について」(PDF) . Advances in Computational Mathematics . 5 : 329– 359. doi :10.1007/BF02124750. ISSN  1019-7168. S2CID  29028411. オリジナル(PDF)から2010年12月14日にアーカイブ。 2007年3月10日閲覧。
• Chapeau-Blondeau, F.; Monir, A. (2002). 「Lambert W関数の評価と指数1/2の一般化ガウスノイズ生成への応用」(PDF) . IEEE Trans. Signal Process . 50 (9). doi :10.1109/TSP.2002.801912. オリジナル(PDF)から2012年3月28日にアーカイブ。 2004年3月10日閲覧。
• Francis; et al. (2000). 「周期呼吸の定量的一般理論」. Circulation . 102 (18): 2214–21 . CiteSeerX  10.1.1.505.7194 . doi :10.1161/01.cir.102.18.2214. PMID  11056095. S2CID  14410926.(ランバート関数は、ヒトの疾患における遅延微分ダイナミクスを解明するために使用されます。)
• Hayes, B. (2005). 「なぜWなのか？」(PDF) . American Scientist . 93 (2): 104– 108. doi :10.1511/2005.2.104. 2022年10月10日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) .
• Roy, ​​R.; Olver, FWJ (2010)、「Lambert W 関数」、Olver, Frank WJ、Lozier, Daniel M.、Boisvert, Ronald F.、Clark, Charles W. (編)、NIST Handbook of Mathematical Functions、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。
• Stewart, Seán M. (2005). 「カリキュラムのための新たな初等関数？」(PDF) . Australian Senior Mathematics Journal . 19 (2): 8– 26. ISSN 0819-4564. 2022年10月10日時点のオリジナルより アーカイブ(PDF) .
• Veberic, D., "Having Fun with Lambert W(x) Function" arXiv:1003.1628 (2010); Veberic, D. (2012). "Lambert W function for applications in physics". Computer Physics Communications . 183 (12): 2622– 2628. arXiv : 1209.0735 . Bibcode :2012CoPhC.183.2622V. doi :10.1016/j.cpc.2012.07.008. S2CID  315088.
• Chatzigeorgiou, I. (2013). 「ランバート関数の境界値とユーザー協力の停止分析への応用」IEEE Communications Letters . 17 (8): 1505– 1508. arXiv : 1601.04895 . Bibcode :2013IComL..17.1505C. doi :10.1109/LCOMM.2013.070113.130972. S2CID  10062685.

外部リンク

• 国立科学技術研究所デジタルライブラリ – ランバート・W
• MathWorld – ランバートW関数
• ランバートW関数の計算
• Corless et al. Lambert W の研究に関するメモ
• Halley と Fritsch の反復による GPL C++ 実装。
• GNU Scientific Library の特殊関数 – GSL
• [3]

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