ランバート級数

Mathematical term

関数は、ドメインカラーリング法^[1]のバージョンを使用して、Matplotlibプロットとして表現されます。 ${\textstyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}$

数学において、ランベルト級数（ランベルトしゅうすい、英: Lambert series）は、ヨハン・ハインリヒ・ランベルトにちなんで名付けられた、次のような形式をとる級数である。

${\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}.}$

分母を展開することで正式に要約することができます。

${\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}}$

_ここで、新しい級数の係数は定数関数1( n )=1 によるanのディリクレ畳み込みによって与えられる。

${\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}.\,}$

この級数はメビウスの反転公式によって反転することができ、メビウス変換の一例である。

例

この最後の和は典型的な数論的和であるため、ほとんどすべての自然乗法関数はランベルト級数で用いると正確に和算可能となる。したがって、例えば、

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}$

ここで、 は数 nの正の約数の個数です。 ${\displaystyle \sigma _{0}(n)=d(n)}$

高階の除数和関数については、

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {Li} _{-\alpha }(q^{n})}$

ここで、 は任意の複素数、は多重対数、 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \operatorname {Li} }$

${\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)=({\textrm {Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }\,}$

は除数関数である。特に、 に対して得られるランバート級数は ${\displaystyle \alpha =1}$

${\displaystyle q{\frac {F'(q)}{F(q)}}}$

これは（ の係数まで）分割数に対する通常の生成関数の対数微分である。 ${\displaystyle q}$

${\displaystyle F(q):={\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{n}}}.}$

前述の恒等式に関連する追加のランベルト級数には、以下に示すメビウス関数の変種のランベルト級数が含まれる。 ${\displaystyle \mu (n)}$

^[2]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=q.}$

メビウス関数上の関連するランベルト級数には、任意の素数に対する次の恒等式が含まれます。 ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)q^{n}}{1+q^{n}}}=q-2q^{2}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{1-q^{n}}}=-\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}}.}$ ^[要引用]

上記の最初の恒等式の証明は、次の形式のこれらのランバート級数生成関数の多重セクション（または二分）恒等式から得られます。ここで、 は 算術関数fのランバート級数生成関数であるとします。 ${\displaystyle L_{f}(q):=q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1+q^{n}}}&=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}-\sum _{n\geq 1}{\frac {2f(n)q^{2n}}{1-q^{2n}}}\\&=L_{f}(q)-2\cdot L_{f}(q^{2}).\end{aligned}}}$

オイラーのトーティエント関数 の場合： ${\displaystyle \varphi (n)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.}$

フォン・マンゴルト関数 の場合: ${\displaystyle \Lambda (n)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\log(n)q^{n}}$

リウヴィル関数 の場合: ${\displaystyle \lambda (n)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}}$

右辺の和はラマヌジャンのシータ関数、あるいはヤコビのシータ関数 に似ています。a n が三角関数であるランベルト級数（_例えばa n = sin ₍ 2 n x )）は、ヤコビのシータ関数の対数微分の様々な組み合わせによって評価できることに注意してください。 ${\displaystyle \vartheta _{3}(q)}$ 

一般的に言えば、正の自然数に対するべき乗の特性関数をとし、一般化m-リウヴィルのラムダ関数を を満たす算術関数と定義することで、前述の生成関数展開を拡張することができる。 のこの定義は明らかに を意味し、それは次のことを示している。 ${\displaystyle \chi _{m}(n)}$ ${\displaystyle m^{th}}$ ${\displaystyle n=k^{m}\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle m>2}$ ${\displaystyle \chi _{m}(n):=(1\ast \lambda _{m})(n)}$ ${\displaystyle \lambda _{m}(n)}$ ${\displaystyle \lambda _{m}(n)=\sum _{d^{m}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{m}}}\right)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{m}(n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n\geq 1}q^{n^{m}},\ {\text{ for }}m\geq 2.}$

また、もう少し一般化されたランバート級数展開は、次の形式で 平方和関数を生成する ^。[3] ${\displaystyle r_{2}(n)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4\cdot (-1)^{n+1}q^{2n+1}}{1-q^{2n+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }r_{2}(m)q^{m}.}$

一般に、算術関数を生成するランバート級数を上に書くと、次の関数のペアは、そのランバート級数生成関数によって表現される他のよく知られた畳み込みに対応する。 ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle g(m)=(f\ast 1)(m)}$

${\displaystyle (f,g)=(\mu ,\varepsilon ),(\varphi ,\operatorname {Id} _{1}),(\lambda ,\chi _{\operatorname {sq} }),(\Lambda ,\log ),(|\mu |,2^{\omega }),(J_{t},\operatorname {Id} _{t}),(d^{3},(d\ast 1)^{2}),}$

ここで、 はディリクレ畳み込みの乗法恒等関数、はべき乗の恒等関数、は平方の特性関数を表し、の異なる素因数の個数を数えます(素数オメガ関数を参照)、はジョルダンのトーシェント関数、は除数関数です(ディリクレ畳み込み を参照)。 ${\displaystyle \varepsilon (n)=\delta _{n,1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}}$ ${\displaystyle k^{th}}$ ${\displaystyle \chi _{\operatorname {sq} }}$ ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle J_{t}}$ ${\displaystyle d(n)=\sigma _{0}(n)}$

和において文字qを慣例的に使用する方法は歴史的なもので、楕円曲線とシータ関数の理論におけるノームとしての起源を指します。

代替形式

一つを代入すると、この数列の別の一般的な形式が得られる。 ${\displaystyle q=e^{-z}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{e^{zn}-1}}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}e^{-mz}}$

どこ

${\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{d\mid m}a_{d}\,}$

前と同じです。この形式のランベルト級数の例は、奇数の整数値に対するリーマンゼータ関数の式に現れます。詳細についてはゼータ定数を参照してください。 ${\displaystyle z=2\pi }$

現在の使用状況

文献では、ランバート級数が様々な和に適用されていることが分かります。例えば、は多重対数関数なので、以下の形式の和を指すことができます。 ${\displaystyle q^{n}/(1-q^{n})=\mathrm {Li} _{0}(q^{n})}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\xi ^{n}\,\mathrm {Li} _{u}(\alpha q^{n})}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}\,\mathrm {Li} _{s}(\xi q^{n})}{n^{u}}}}$

パラメータが適切に制限されていると仮定すると、ランバート級数として表される。したがって

${\displaystyle 12\left(\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\mathrm {Li} _{-1}(q^{n})\right)^{\!2}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\mathrm {Li} _{-5}(q^{n})-\sum _{n=1}^{\infty }n^{4}\,\mathrm {Li} _{-3}(q^{n}),}$

単位円上にないすべての複素数qに対して成り立つこの等式は、ランバート級数の恒等式とみなされます。この恒等式は、インドの数学者S. ラマヌジャンが発表したいくつかの恒等式から直接導かれます。ラマヌジャンの著作に関する非常に徹底的な研究は、ブルース・ベルントの著作に見ることができます。

因数分解定理

2017年から2018年にかけて最近発表されたやや新しい構成は、いわゆるランバート級数分解定理に関するもので、次のような形式をとっている^[4]。

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {a_{n}q^{n}}{1\pm q^{n}}}={\frac {1}{(\mp q;q)_{\infty }}}\sum _{n\geq 1}\left((s_{o}(n,k)\pm s_{e}(n,k))a_{k}\right)q^{n},}$

ここで、 は、 を偶数個（それぞれ奇数個）の異なる部分に分割した場合の の数を表す制限分割関数のそれぞれの和または差です。 は、最初のいくつかの値が以下の表に示されている可逆な下三角列を表します。 ${\displaystyle s_{o}(n,k)\pm s_{e}(n,k)=[q^{n}](\mp q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1\pm q^{k}}}}$ ${\displaystyle s_{e/o}(n,k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s_{n,k}:=s_{e}(n,k)-s_{o}(n,k)=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}}$

n \ k	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	0	0	0	0	0	0	0
2	0	1	0	0	0	0	0	0
3	-1	-1	1	0	0	0	0	0
4	-1	0	-1	1	0	0	0	0
5	-1	-1	-1	-1	1	0	0	0
6	0	0	1	-1	-1	1	0	0
7	0	0	-1	0	-1	-1	1	0
8	1	0	0	1	0	-1	-1	1

ランバート級数分解定理展開のもう一つの特徴的な形は^{[5]で与えられる。}

${\displaystyle L_{f}(q):=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}\sum _{n\geq 1}\left(s_{n,k}f(k)\right)q^{n},}$

ここで、 は（無限）q-ポッホハンマー記号である。前式の右辺の可逆行列積は、その下三角成分が分割関数とメビウス関数の約数 和で与えられる逆行列積に対応する。 ${\displaystyle (q;q)_{\infty }}$

${\displaystyle s_{n,k}^{(-1)}=\sum _{d|n}p(d-k)\mu \left({\frac {n}{d}}\right)}$

次の表は、これらの対応する逆行列の最初の数行を示しています。^[6]

n \ k	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	0	0	0	0	0	0	0
2	0	1	0	0	0	0	0	0
3	1	1	1	0	0	0	0	0
4	2	1	1	1	0	0	0	0
5	4	3	2	1	1	0	0	0
6	5	3	2	2	1	1	0	0
7	10	7	5	3	2	1	1	0
8	12	9	6	4	3	2	1	1

を交互に並んだ五角数列とすると、五角数定理は次の形に展開される。 ${\displaystyle G_{j}:={\frac {1}{2}}\left\lceil {\frac {j}{2}}\right\rceil \left\lceil {\frac {3j+1}{2}}\right\rceil }$

${\displaystyle (q;q)_{\infty }=\sum _{n\geq 0}(-1)^{\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil }q^{G_{n}}.}$

となる。すると、 の列を生成する任意のランバート級数に対して、上で拡張された因数分解定理の対応する逆関係が^{[7]で与えられる。} ${\displaystyle L_{f}(q)}$ ${\displaystyle g(n)=(f\ast 1)(n)}$

${\displaystyle f(n)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{d|n}p(d-k)\mu (n/d)\times \sum _{j:k-G_{j}>0}(-1)^{\left\lceil {\frac {j}{2}}\right\rceil }b(k-G_{j}).}$

ランバート級数分解定理に関するこの研究は、^[8]でより一般的な展開に 拡張され、

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {a_{n}q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {1}{C(q)}}\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{k=1}^{n}s_{n,k}(\gamma ){\widetilde {a}}_{k}(\gamma )\right)q^{n},}$

ここで、 は任意の（分割関連の）逆数生成関数、は任意の算術関数であり、修正された係数は次のように展開される。 ${\displaystyle C(q)}$ ${\displaystyle \gamma (n)}$

${\displaystyle {\widetilde {a}}_{k}(\gamma )=\sum _{d|k}\sum _{r|{\frac {k}{d}}}a_{d}\gamma (r).}$

上記の展開における対応する逆行列は、

${\displaystyle s_{n,k}^{(-1)}(\gamma )=\sum _{d|n}[q^{d-k}]{\frac {1}{C(q)}}\gamma \left({\frac {n}{d}}\right),}$

すると、上記のランベルト分解定理の最初の変形と同様に、次の式の右辺の係数について反転関係が得られる。

${\displaystyle {\widetilde {a}}_{k}(\gamma )=\sum _{k=1}^{n}s_{n,k}^{(-1)}(\gamma )\times [q^{k}]\left(\sum _{d=1}^{k}{\frac {a_{d}q^{d}}{1-q^{d}}}C(q)\right).}$

再帰関係

このセクションでは、自然数に対して次の関数を定義します。 ${\displaystyle n,x\geq 1}$

${\displaystyle g_{f}(n):=(f\ast 1)(n),}$

${\displaystyle \Sigma _{f}(x):=\sum _{1\leq n\leq x}g_{f}(n).}$

また、前節の表記法を採用し、

${\displaystyle s_{n,k}=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}},}$

ここでは無限q-ポッホハンマー記号である。すると、これらの関数と^[7]で証明された五角数を含む以下の漸化式が得られる。 ${\displaystyle (q;q)_{\infty }}$

${\displaystyle g_{f}(n+1)=\sum _{b=\pm 1}\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {{\sqrt {24n+1}}-b}{6}}\right\rfloor }(-1)^{k+1}g_{f}\left(n+1-{\frac {k(3k+b)}{2}}\right)+\sum _{k=1}^{n+1}s_{n+1,k}f(k),}$

${\displaystyle \Sigma _{f}(x+1)=\sum _{b=\pm 1}\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {{\sqrt {24x+1}}-b}{6}}\right\rfloor }(-1)^{k+1}\Sigma _{f}\left(n+1-{\frac {k(3k+b)}{2}}\right)+\sum _{n=0}^{x}\sum _{k=1}^{n+1}s_{n+1,k}f(k).}$

デリバティブ

ランバート級数の微分は、級数を について項ごとに微分することで得られる。任意の に対して、ランバート級数の項ごとの微分には以下の恒等式が成り立つ^{[9] [10]。} ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle s^{th}}$ ${\displaystyle s\geq 1}$

${\displaystyle q^{s}\cdot D^{(s)}\left[{\frac {q^{i}}{1-q^{i}}}\right]=\sum _{m=0}^{s}\sum _{k=0}^{m}\left[{\begin{matrix}s\\m\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}{\frac {(-1)^{s-k}k!i^{m}}{(1-q^{i})^{k+1}}}}$

${\displaystyle q^{s}\cdot D^{(s)}\left[{\frac {q^{i}}{1-q^{i}}}\right]=\sum _{r=0}^{s}\left[\sum _{m=0}^{s}\sum _{k=0}^{m}\left[{\begin{matrix}s\\m\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}{\binom {s-k}{r}}{\frac {(-1)^{s-k-r}k!i^{m}}{(1-q^{i})^{k+1}}}\right]q^{(r+1)i},}$

ここで、前式中の括弧で囲まれた三角係数は、第一種および第二種のスターリング数を表す。また、前式で示した展開式に暗黙的に含まれる項の個々の係数を抽出するための次の恒等式も存在する。

${\displaystyle [q^{n}]\left(\sum _{i\geq t}{\frac {a_{i}q^{mi}}{(1-q^{i})^{k+1}}}\right)=\sum _{\begin{matrix}d|n\\t\leq d\leq \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor \end{matrix}}{\binom {{\frac {n}{d}}-m+k}{k}}a_{d}.}$

ここで、任意の関数を次のように定義 します。 ${\displaystyle A_{t}(n)}$ ${\displaystyle n,t\geq 1}$

${\displaystyle A_{t}(n):=\sum _{\begin{matrix}0\leq k\leq m\leq t\\0\leq r\leq t\end{matrix}}\sum _{d|n}\left[{\begin{matrix}t\\m\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}{\binom {t-k}{r}}{\binom {{\frac {n}{d}}-1-r+k}{k}}(-1)^{t-k-r}k!d^{m}\cdot a_{d}\cdot \left[t\leq d\leq \left\lfloor {\frac {n}{r+1}}\right\rfloor \right]_{\delta },}$

ここで、 はアイバーソンの慣性を表す。ランバート級数の微分係数は次のように与えられる。 ${\displaystyle [\cdot ]_{\delta }}$ ${\displaystyle t^{th}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{t}(n)&=[q^{n}]\left(q^{t}\cdot D^{(t)}\left[\sum _{i\geq t}{\frac {a_{i}q^{i}}{1-q^{i}}}\right]\right)\\&=[q^{n}]\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {(A_{t}\ast \mu )(n)q^{n}}{1-q^{n}}}\right).\end{aligned}}}$

もちろん、形式的な冪級数上の演算のみによる典型的な議論によれ ば、

${\displaystyle [q^{n}]\left(q^{t}\cdot D^{(t)}\left[\sum _{i\geq 1}{\frac {f(i)q^{i}}{1-q^{i}}}\right]\right)={\frac {n!}{(n-t)!}}\cdot (f\ast 1)(n).}$

参照

• エルデシュ・ボルヴァイン定数
• 算術関数
• ディリクレ畳み込み

参考文献

1. 「Jupyter Notebook ビューアー」。
2. 実際のアプリケーションでのメビウス関数のこれら 2 つのあまり標準的ではないランバート級数の使用については、ここのフォーラム投稿 (または記事arXiv : 1112.4911 ) と、Merca と Schmidt (2018) によるarXiv : 1712.00611の結論セクションを参照してください。
3. Weisstein, Eric W. 「Lambert Series」. MathWorld . 2018年4月22日閲覧。
4. Merca, Mircea (2017年1月13日). 「ランバート級数因数分解定理」.ラマヌジャンジャーナル. 44 (2): 417– 435. doi :10.1007/s11139-016-9856-3. S2CID  125286799.
5. Merca, M. & Schmidt, MD (2019). 「ランバート級数分解による特殊算術関数の生成」.離散数学への貢献. 14 (1): 31– 45. arXiv : 1706.00393 . Bibcode :2017arXiv170600393M. doi : 10.11575/cdm.v14i1.62425 .
6. "A133732".オンライン整数列百科事典. 2018年4月22日閲覧。
7. Schmidt, Maxie D. (2017年12月8日). 「ランバート級数によって生成される算術関数のための新しい再帰関係と行列方程式」. Acta Arithmetica . 181 (4): 355– 367. arXiv : 1701.06257 . Bibcode :2017arXiv170106257S. doi :10.4064/aa170217-4-8. S2CID  119130467.
8. M. Merca & Schmidt, MD (2017). 「ランバート級数生成関数の因数分解のための新しい因数ペア」arXiv : 1706.02359 [math.CO].
9. Schmidt, Maxie D. (2017). 「有界因子を持つ一般化因子関数を含む組合せ和と恒等式」arXiv : 1704.05595 [math.NT].
10. Schmidt, Maxie D. (2017). 「ランバート級数生成関数のアダマール積と高階微分に対する因数分解定理」arXiv : 1712.00608 [math.NT].

• ベリー、マイケル・V. (2010). 数論の関数. ケンブリッジ大学出版局. pp.  637– 641. ISBN 978-0-521-19225-5。
• ランバート、プレストン A. (1904). 「特異点における代数関数の展開」Proc. Am. Philos. Soc . 43 (176): 164– 172. JSTOR  983503.
• アポストル、トム・M.（1976）「解析的数論入門」、数学の学部テキスト、ニューヨーク・ハイデルベルク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90163-3、MR  0434929、Zbl  0335.10001
• 「ランバート級数」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック・W.「ランバート・シリーズ」。マスワールド。
• Schmidt, Maxie Dion (2020-04-06). 「興味深く有用なランバート級数恒等式のカタログ」arXiv : 2004.02976 [math.NT].

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