Quantization of cyclotron orbits
量子力学 では、 均一 磁場中の荷電粒子の サイクロトロン軌道 のエネルギーは 離散的な値に量子化され、 ランダウ準位 と呼ばれる。これらの準位は 縮退して おり、準位あたりの電子数は印加磁場の強度に正比例する。この 理論は1930年にソビエト連邦の物理学者 レフ・ランダウにちなんで名付けられた 。[1]
ランダウ量子化は 金属の 磁化率 に寄与し、 ランダウ反磁性 として知られる。強磁場下では、ランダウ量子化は、印加磁場の関数として物質の電子特性に振動をもたらし、 ド・ハース・ファン・アルフェン 効果および シュブニコフ・ド・ハース効果 として知られる。
ランダウ量子化は整数量子ホール効果 を説明する上で重要な要素です 。
導出 速度v の粒子のサイクロトロン軌道の図 。これは、均一磁場 B 下にある荷電粒子（ここでは正電荷）の古典的な軌道である。ランダウ量子化とは、均一磁場下にある量子荷電粒子を指す。 電荷q とスピン S を持つ非相互作用粒子系を、xy平面内の領域A = L x L y に閉じ込めて考える 。z 軸 に 沿っ て 均一 な 磁場 を 印加 する 。SI 単位 では 、この系の ハミルトニアン （ここではスピンの影響は無視する）は
、以下の通りである 。ここで、は 標準 運動量演算子 であり 、は （ 位置空間における） 電磁ベクトルポテンシャル の 演算子 である 。 B = ( 0 0 B ) {\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}} H ^ = 1 2 m ( p ^ − q A ^ ) 2 . {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left({\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}\right)^{2}.} p ^ {\textstyle {\hat {\mathbf {p} }}} A ^ {\textstyle {\hat {\mathbf {A} }}} A {\textstyle \mathbf {A} } A ^ = A {\textstyle {\hat {\mathbf {A} }}=\mathbf {A} }
ベクトルポテンシャルは 磁場 と次のように関係している。 B = ∇ × A . {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} .}
与えられた磁場に対するベクトルポテンシャルの選択には、ある程度のゲージ自由度があります。ハミルトニアンは ゲージ不変であり、これは スカラー場 の勾配を A に加えると、 波動関数 の位相全体が スカラー場に対応する量だけ変化することを意味します。しかし、ゲージの具体的な選択によって物理的性質が影響を受けることはありません。
ランダウゲージでは A の可能な解から 、レフ・ランダウによって導入された ゲージ固定法 は、定常磁場中の荷電粒子に対してよく使用されます。 [2]
のとき 、 は ランダウゲージにおける 可能な解 [3]である（ ランダウ ゲージ と混同しないように ）。 B = ( 0 0 B ) {\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}} A = ( 0 B ⋅ x 0 ) {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0\\B\cdot x\\0\end{pmatrix}}} R ξ {\displaystyle R_{\xi }}
このゲージでは、ハミルトニアンは である。 このゲージの選択では演算子 が存在しない ため、演算子 はこのハミルトニアンと交換する 。したがって、演算子 は その固有値 に置き換えることができる 。 ハミルトニアンには は現れず、 運動エネルギー には z 方向運動量 のみが現れるため、z 方向に沿ったこの運動は自由運動である。 H ^ = p ^ x 2 2 m + 1 2 m ( p ^ y − q B x ^ ) 2 + p ^ z 2 2 m . {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2m}}\left({\hat {p}}_{y}-qB{\hat {x}}\right)^{2}+{\frac {{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m}}.} p ^ y {\displaystyle {\hat {p}}_{y}} y ^ {\displaystyle {\hat {y}}} p ^ y {\displaystyle {\hat {p}}_{y}} ℏ k y {\displaystyle \hbar k_{y}} z ^ {\displaystyle {\hat {z}}}
ハミルトニアンは 、 サイクロトロン周波数 が であることに注目して、次のようにもっと簡単に書くこともできます 。これは、 ポテンシャルの最小値が座標空間で だけシフトしていることを除けば、 量子調和振動子 のハミルトニアンとまったく同じです。 ω c = q B / m {\displaystyle \omega _{c}=qB/m} H ^ = p ^ x 2 2 m + 1 2 m ω c 2 ( x ^ − ℏ k y m ω c ) 2 + p ^ z 2 2 m . {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{\rm {c}}^{2}\left({\hat {x}}-{\frac {\hbar k_{y}}{m\omega _{\rm {c}}}}\right)^{2}+{\frac {{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m}}.} x 0 = ℏ k y / m ω c {\displaystyle x_{0}=\hbar k_{y}/m\omega _{c}}
エネルギーを求めるには、調和振動子のポテンシャルを変換してもエネルギーには影響しないことに注意する。したがって、この系のエネルギーは標準的な 量子調和振動子 のエネルギーと同一である。 [4] エネルギーは量子数に依存しない ため、有限個の縮退が存在する（粒子が閉じ込められていない空間に配置されている場合、この縮退は の連続したシーケンスに対応する ）。 の値は 、粒子がz方向に閉じ込められていない場合は連続であり、粒子がz方向にも閉じ込められている場合は離散的である。 の値が等しい波動関数の各セットは、 ランダウ準位 と呼ばれる 。 E n = ℏ ω c ( n + 1 2 ) + p z 2 2 m , n ≥ 0. {\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}},\quad n\geq 0.} k y {\displaystyle k_{y}} p y {\displaystyle p_{y}} p z {\displaystyle p_{z}} n {\displaystyle n}
波動関数については、 ハミルトニアンと交換することを思い出してください。すると、波動関数は、方向の運動量固有状態と、 方向へシフトし た調和振動子固有状態 の積に分解されます 。 ここで 、 とは量子調和振動子の n 番目の状態です。つまり、電子の状態は量子数、 、 によって 特徴付けられます 。 p ^ y {\displaystyle {\hat {p}}_{y}} y {\displaystyle y} | ϕ n ⟩ {\displaystyle |\phi _{n}\rangle } x 0 {\displaystyle x_{0}} x {\displaystyle x} Ψ ( x , y , z ) = e i ( k y y + k z z ) ϕ n ( x − x 0 ) {\displaystyle \Psi (x,y,z)=e^{i(k_{y}y+k_{z}z)}\phi _{n}(x-x_{0})} k z = p z / ℏ {\displaystyle k_{z}=p_{z}/\hbar } ϕ n ( x − x 0 ) {\displaystyle \phi _{n}(x-x_{0})} n {\displaystyle n} k y {\displaystyle k_{y}} k z {\displaystyle k_{z}}
対称ゲージでは この導出では x と y を 非対称として扱っています。しかし、系の対称性により、これらの座標を区別する 物理量は存在しません。 x と y を適切に入れ替えれば、同じ結果が得られます 。
より適切なゲージの選択は対称ゲージであり、これは A ^ = 1 2 B × r ^ = 1 2 ( − B y B x 0 ) . {\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-By\\Bx\\0\end{pmatrix}}.}
無次元の長さとエネルギーの観点から、ハミルトニアンは次のように表される。 H ^ = 1 2 [ ( − i ∂ ∂ x + y 2 ) 2 + ( − i ∂ ∂ y − x 2 ) 2 ] {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[\left(-i{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {y}{2}}\right)^{2}+\left(-i{\frac {\partial }{\partial y}}-{\frac {x}{2}}\right)^{2}\right]}
および の係数を導入することで正しい単位を復元できます 。 q , ℏ , B {\displaystyle q,\hbar ,\mathbf {B} } m {\displaystyle m}
演算子を考慮する a ^ = 1 2 [ ( x 2 + ∂ ∂ x ) − i ( y 2 + ∂ ∂ y ) ] a ^ † = 1 2 [ ( x 2 − ∂ ∂ x ) + i ( y 2 − ∂ ∂ y ) ] b ^ = 1 2 [ ( x 2 + ∂ ∂ x ) + i ( y 2 + ∂ ∂ y ) ] b ^ † = 1 2 [ ( x 2 − ∂ ∂ x ) − i ( y 2 − ∂ ∂ y ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {b}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {b}}^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\end{aligned}}}
これらの演算子は特定の交換関係に従う [ a ^ , a ^ † ] = [ b ^ , b ^ † ] = 1. {\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1.}
上記の演算子に関して、ハミルトニアンは 次のように記述できます。ここで単位を再導入します。 H ^ = ℏ ω c ( a ^ † a ^ + 1 2 ) , {\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right),}
ランダウ準位指数は 演算子の 固有値 です 。 n {\displaystyle n} N ^ = a ^ † a ^ {\displaystyle {\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}
を適用する と を維持しながら1単位 増加します が、 を適用すると は同時に1単位増加し 、 は1単位減少します。 量子調和振動子 との類似性から、 と
の 解が得られます 。 b ^ † {\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }} m z {\displaystyle m_{z}} n {\displaystyle n} a ^ † {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }} n {\displaystyle n} m z {\displaystyle m_{z}} H ^ | n , m z ⟩ = E n | n , m z ⟩ , {\displaystyle {\hat {H}}|n,m_{z}\rangle =E_{n}|n,m_{z}\rangle ,} E n = ℏ ω c ( n + 1 2 ) {\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)} | n , m z ⟩ = ( b ^ † ) m z + n ( m z + n ) ! ( a ^ † ) n n ! | 0 , 0 ⟩ . {\displaystyle |n,m_{z}\rangle ={\frac {({\hat {b}}^{\dagger })^{m_{z}+n}}{\sqrt {(m_{z}+n)!}}}{\frac {({\hat {a}}^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0,0\rangle .}
上記の状態は、 に比例する波動関数を選択することに対応していることを確認でき ます 。 ψ n , m z ( x , y ) = ( ∂ ∂ w − w ¯ 4 ) n w n + m z e − | w | 2 / 4 {\displaystyle \psi _{n,m_{z}}(x,y)=\left({\frac {\partial }{\partial w}}-{\frac {\bar {w}}{4}}\right)^{n}w^{n+m_{z}}e^{-|w|^{2}/4}} w = x − i y {\displaystyle w=x-iy}
特に、最も低いランダウ準位は、 ガウス関数を乗じた任意の解析関数で構成されます 。 n = 0 {\displaystyle n=0} ψ ( x , y ) = f ( w ) e − | w | 2 / 4 {\displaystyle \psi (x,y)=f(w)e^{-|w|^{2}/4}}
ランダウ準位の縮退
ランダウゲージでは ランダウ準位の影響は、平均熱エネルギー kT が エネルギー準位間隔よりも小さい場合にのみ観察されます。 これは、低温と強い磁場を意味します。 k T ≪ ℏ ω c {\displaystyle kT\ll \hbar \omega _{c}}
各ランダウ準位は、第二量子数 によって縮退しており、 は整数 の 値をとる 。 の許容値は、 振動子の力の中心 が 物理的に系 内に存在しなければならないという条件によってさらに制限される 。このため、 の範囲は次のようになる 。 k y {\displaystyle k_{y}} k y = 2 π N L y , {\displaystyle k_{y}={\frac {2\pi N}{L_{y}}},} N {\displaystyle N} N {\displaystyle N} x 0 {\displaystyle x_{0}} 0 ≤ x 0 < L x {\displaystyle 0\leq x_{0}<L_{x}} N {\displaystyle N} 0 ≤ N < m ω c L x L y 2 π ℏ . {\displaystyle 0\leq N<{\frac {m\omega _{\rm {c}}L_{x}L_{y}}{2\pi \hbar }}.}
電荷 を持つ粒子の場合 、 の上限は単純に 磁束 の比として表すことができます 。 ここで は基本 磁束量子 、 は システムを通過する磁束です (面積 )。 q = Z e {\displaystyle q=Ze} N {\displaystyle N} Z B L x L y ( h / e ) = Z Φ Φ 0 , {\displaystyle {\frac {ZBL_{x}L_{y}}{(h/e)}}=Z{\frac {\Phi }{\Phi _{0}}},} Φ 0 = h / e {\displaystyle \Phi _{0}=h/e} Φ = B A {\displaystyle \Phi =BA} A = L x L y {\displaystyle A=L_{x}L_{y}}
したがって、スピン を持つ粒子の場合、 ランダウ準位あたりの粒子の 最大数は であり 、電子の場合 (ただし および ) は となり 、システムを貫通する各磁束量子に対して 2 つの利用可能な状態となります。 S {\displaystyle S} D {\displaystyle D} D = Z ( 2 S + 1 ) Φ Φ 0 , {\displaystyle D=Z(2S+1){\frac {\Phi }{\Phi _{0}}},} Z = 1 {\displaystyle Z=1} S = 1 / 2 {\displaystyle S=1/2} D = 2 Φ / Φ 0 {\displaystyle D=2\Phi /\Phi _{0}}
上記は有限サイズの幾何学的効果について大まかな考えを示したに過ぎません。厳密に言えば、 調和振動子の 標準解は、 -方向に無限の（無限ストリップの）系に対してのみ有効です。サイズが 有限の場合、その方向の境界条件は磁場に対する非標準的な量子化条件を生じさせ、原理的にはエルミート方程式の両方の解を包含します。これらの準位を多数の電子で満たすことは、依然として [5] 活発な研究分野です。 x {\displaystyle x} L x {\displaystyle L_{x}}
一般的に、ランダウ準位は電子系において観測されます。磁場が増加すると、与えられたランダウ準位に収まる電子の数が増えていきます。最高ランダウ準位の占有率は、完全に満たされたものから完全に空になったものまで変化し、様々な電子特性の振動を引き起こします（ ド・ハース・ファン・アルフェン効果 および シュブニコフ・ド・ハース効果を 参照）。
ゼーマン分裂を 考慮すると 、各ランダウ準位は、スピンアップ電子とスピンダウン電子のペアに分裂します。この場合、各スピンランダウ準位の占有率は、フラックスの比に等しくなります 。ランダウ準位のエネルギースケールは同じであるため、ゼーマン分裂はランダウ準位に大きな影響を与えます 。しかし、多くの満たされた準位を持つ系では、フェルミエネルギーと 基底状態 エネルギーはほぼ同じままです。これは、分裂したエネルギー準位のペアは、足し合わせると互いに打ち消し合うためです。 D = Φ / Φ 0 {\displaystyle D=\Phi /\Phi _{0}} 2 μ B B = ℏ ω c {\displaystyle 2\mu _{B}B=\hbar \omega _{c}}
さらに、上記のランダウゲージにおける導出では、電子が - 方向に閉じ込められていると仮定しているが、これは2次元電子ガスなどで見られるような、実験的に重要な状況である。しかし、この仮定は結果にとって本質的なものではない。電子が - 方向に自由に移動できる場合、波動関数には乗法項 が追加される。 この自由運動に対応するエネルギー が 、議論されている に加算される。この項は、異なるランダウ準位間のエネルギーの隔たりを埋め、量子化の効果を曖昧にする。しかしながら、 磁場に垂直な -面 内の運動は依然として量子化されている。 z {\displaystyle z} z {\displaystyle z} exp ( i k z z ) {\displaystyle \exp(ik_{z}z)} ( ℏ k z ) 2 / ( 2 m ) {\displaystyle (\hbar k_{z})^{2}/(2m)} E {\displaystyle E} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y}
対称ゲージでは 各ランダウ準位は、対称ゲージの量子数でラベル付けされた縮退軌道を持つ 。単位面積あたりの縮退度は各ランダウ準位で同じである。 m z {\displaystyle m_{z}}
角運動量の Z 成分は L ^ z = − i ℏ ∂ ∂ θ = − ℏ ( b ^ † b ^ − a ^ † a ^ ) {\displaystyle {\hat {L}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}=-\hbar ({\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}-{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})}
この性質を利用して、 と を対角化する固有関数を選択しました 。 の固有値は で表されます。ここで、 番目のランダウ準位 で は であることは明らかです 。しかし、この値は任意に大きくても構いません。これは、系が示す無限縮退（または単位面積あたりの有限縮退）を得るために必要です。 [ H ^ , L ^ z ] = 0 {\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {L}}_{z}]=0} H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} L ^ z {\displaystyle {\hat {L}}_{z}} L ^ z {\displaystyle {\hat {L}}_{z}} − m z ℏ {\displaystyle -m_{z}\hbar } m z ≥ − n {\displaystyle m_{z}\geq -n} n {\displaystyle n}
相対論的なケース グラフェン のランダウ準位 。グラフェンの 電荷キャリアは相対論的な質量ゼロの ディラック 粒子 として振る舞う。 一定磁場下での ディラック方程式 に従う電子は解析的に解くことができる。 [6] [7] エネルギーは次のように与えられる
。 E r e l = ± ( m c 2 ) 2 + ( c ℏ k z ) 2 + 2 ν ℏ ω c m c 2 {\displaystyle E_{\rm {rel}}=\pm {\sqrt {(mc^{2})^{2}+(c\hbar k_{z})^{2}+2\nu \hbar \omega _{\rm {c}}mc^{2}}}}
ここで、 c は 光速 、符号は粒子・反粒子成分に依存し、 ν は非負の整数です。スピンの影響により、 ν = 0 の基底状態を除くすべての準位は縮退しています。
質量のない2Dのケースは、 ディラックコーンの 近くの グラフェン のような 単層材料でシミュレートすることができ、固有エネルギーは [8] で与えられ、 ここで光速は材料の フェルミ速度 v F に置き換えられ、マイナス記号は 電子ホール に対応します。 E g r a p h e n e = ± 2 ν ℏ e B v F 2 {\displaystyle E_{\rm {graphene}}=\pm {\sqrt {2\nu \hbar eBv_{\rm {F}}^{2}}}}
フェルミ気体の磁化率 フェルミ 気体（相互作用しない フェルミオン の集団 ）は、金属の熱力学的性質を理解するための基礎となる。1930年、ランダウはフェルミ気体の 磁化率 の推定値、すなわち ランダウ磁化率 を導出した。この値は磁場が小さい場合一定である。ランダウはまた、磁化率が磁場が大きい場合、高周波で振動することにも気づいた。 [9] この物理現象は ド・ハース・ファン・アルフェン効果 として知られている。
2次元格子 二次元無限格子中の荷電粒子の強束縛エネルギースペクトルは、ホフスタッターの蝶で実証されているように、自己相似性がありフラクタルであることが知られている 。 磁束 量子 と 格子 セル を 通過 する磁束の比が整数の場合 、大きな整数に対するランダウ準位が回復する。 [10]
整数量子ホール効果 強磁場中の 半導体 のエネルギースペクトルは、整数の指数でラベル付けできるランダウ準位を形成します。さらに、 ホール抵抗率 も整数 νでラベル付けされた離散的な準位を示します。これら2つの量が関連していることは様々な方法で示せますが、最も簡単には ドルーデ模型 から見ることができます 。ホール伝導率は電子密度 n に依存し、次のように
表されます。
ρ x y = B n e . {\displaystyle \rho _{xy}={\frac {B}{ne}}.}
抵抗率プラトーは次のように表される。
ρ x y = 2 π ℏ e 2 1 ν , {\displaystyle \rho _{xy}={\frac {2\pi \hbar }{e^{2}}}{\frac {1}{\nu }},}
必要な密度は
n = B Φ 0 ν , {\displaystyle n={\frac {B}{\Phi _{0}}}\nu ,}
これはまさにランダウ準位を満たすのに必要な密度です。異なるランダウ準位間の ギャップ と各準位の大きな縮退により、抵抗率は量子化されます。
参照
参考文献 ^ ランダウ、L. (1930)。 「金属の反磁性」。 Zeitschrift für Physik (ドイツ語)。 64 （ 9-10 ）。 Springer Science and Business Media LLC: 629–637 。 Bibcode :1930ZPhy...64..629L。 土井 ：10.1007/bf01397213。 ISSN 1434-6001。 S2CID 123206025。 ^ 「磁場中の電荷」 （PDF） . courses.physics.illinois.edu . 2023年 3月11日 閲覧 。 ^ ランダウゲージにおける同様に正しい解は次のようになります 。 A = ( − B y 0 0 ) T {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-By&0&0\end{pmatrix}}^{T}} ^ Landau, LD ; Lifshitz, EM (1977). 量子力学：非相対論的理論 （第3版）. アムステルダム：バターワース・ハイネマン. pp. 424– 426. ISBN 978-0-7506-3539-4 . OCLC 846962062。 ^ Mikhailov, SA (2001). 「量子ホール系の基底状態への新たなアプローチ．基本原理」. Physica B: Condensed Matter . 299 ( 1–2 ): 6– 31. arXiv : cond-mat/0008227 . Bibcode :2001PhyB..299....6M. doi :10.1016/S0921-4526(00)00769-9. S2CID 118500817. ^ ラビ 2 世 (1928)。 「電子は同質であるため、磁石フェルトとディラクシェン理論は一致しない」 。 Zeitschrift für Physik (ドイツ語)。 49 ( 7–8 ): 507– 511。 Bibcode :1928ZPhy...49..507R。 土井 ：10.1007/BF01333634。 ISSN 1434-6001。 S2CID 121121095。 ^ Berestetskii, VB; Pitaevskii, LP; Lifshitz, EM (2012-12-02). 量子電気力学：第4巻. Elsevier. ISBN 978-0-08-050346-2 。 ^ Yin, Long-Jing; Bai, Ke-Ke; Wang, Wen-Xiao; Li, Si-Yu; Zhang, Yu; He, Lin (2017). 「グラフェンとその多層膜におけるディラックフェルミオンのランダウ量子化」. Frontiers of Physics . 12 (4): 127208. arXiv : 1703.04241 . Bibcode :2017FrPhy..12l7208Y. doi : 10.1007/s11467-017-0655-0 . ISSN 2095-0462. ^ Landau, LD; Lifshitz, EM (2013年10月22日). 統計物理学: 第5巻. エルゼビア. p. 177. ISBN 978-0-08-057046-4 。 ^ Analytis, James G.; Blundell, Stephen J.; Ardavan, Arzhang (2004年5月). 「有限系におけるランダウ準位、分子軌道、そしてホフスタッターバタフライ」 . American Journal of Physics . 72 (5): 613– 618. Bibcode :2004AmJPh..72..613A. doi :10.1119/1.1615568. ISSN 0002-9505.
外部リンク レブ・ランダウ (1930)。 「金属の反磁性」 (PDF) (ドイツ語)。 {{cite web }}: CS1 maint: numeric names: authors list (link )
さらに読む Landau, LD; Lifschitz, EM; (1977). 量子力学：非相対論的理論. 理論物理学講座 . 第3巻（第3版. ロンドン：Pergamon Press). ISBN 0750635398 。
![{\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[\left(-i{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {y}{2}}\right)^{2}+\left(-i{\frac {\partial }{\partial y}}-{\frac {x}{2}}\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dd0e6d7582b38ff9607b1549df0a0f390c092de)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {b}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {b}}^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23ceb14692b2b208f987da6692a74c0cfd2bb0b8)
![{\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b0aeaf8ebf909fdec2f9aef796bd7269d0c28a2)
![{\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {L}}_{z}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a37129cea0cbf853914608acc4a0cde30126dfb)
