Stochastic differential equation
物理学において、 ランジュバン方程式（ ポール・ランジュバン にちなんで名付けられた ）は、 システム が決定論的な力と変動する（「ランダム」な）力の組み合わせを受けたときにどのように発展するかを記述する確率微分方程式です。ランジュバン方程式の従属変数は、典型的には、システムの他の（ミクロな）変数と比較してゆっくりとしか変化しない集団的（マクロな）変数です。高速（ミクロな）変数が、ランジュバン方程式の確率的性質を担っています。この方程式の応用例の一つは 、流体中の小さな粒子の変動運動をモデル化する ブラウン運動です。
ブラウン運動のプロトタイプ ランジュバン方程式 [1] [2]は ブラウン運動 を記述しており 、流体中の分子との衝突により流体中の粒子がランダムに運動する様子を示している。 m d v d t = − λ v + η ( t ) . {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=-\lambda \mathbf {v} +{\boldsymbol {\eta }}\left(t\right).}
ここで、 は粒子の速度、 は減衰係数、 は 質量です。粒子に作用する力は、粒子の速度に比例する粘性力（ ストークスの法則 ）と、 流体分子との衝突の影響を表す ノイズ項 の和として表されます。この力は相関関数 を持つ ガウス確率分布に 従います。 ここで 、 は ボルツマン定数 、 は温度、 はベクトル のi番目の成分です 。時間相関の 関数 形は、ある時点における力 が他の時点における力と相関しないことを意味します。これは近似値です。実際のランダム力は、分子の衝突時間に対応する非ゼロの相関時間を持ちます。しかし、ランジュバン方程式は「巨視的」粒子の運動をはるかに長い時間スケールで記述するために用いられ、この限界において 相関とランジュバン方程式はほぼ正確になります。このデルタ相関（ホワイト）ノイズの近似は、せん断流 [3] やAC外部駆動下にある高密度荷電システムなど、システムの平衡状態を崩す外部駆動力が存在する特定の条件下では破綻する。 [4] これは、デルタ相関ノイズの仮定が局所性原理と矛盾する相対論的システムのランジュバン方程式の場合にも当てはまる。 [5] v {\displaystyle \mathbf {v} } λ {\displaystyle \lambda } m {\displaystyle m} η ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)} η ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)} ⟨ η i ( t ) η j ( t ′ ) ⟩ = 2 λ k B T δ i , j δ ( t − t ′ ) , {\displaystyle \left\langle \eta _{i}\left(t\right)\eta _{j}\left(t'\right)\right\rangle =2\lambda k_{\text{B}}T\delta _{i,j}\delta \left(t-t'\right),} k B {\displaystyle k_{\text{B}}} T {\displaystyle T} η i ( t ) {\displaystyle \eta _{i}\left(t\right)} η ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)} δ {\displaystyle \delta } t {\displaystyle t} δ {\displaystyle \delta }
ランジュバン方程式のもう1つの共通の特徴は、ランダム力の相関関数に減衰係数が現れることです 。これは平衡システムでは アインシュタインの関係式 で表現されます。 λ {\displaystyle \lambda }
数学的側面 厳密に 相関する変動力は 、通常の数学的な意味での関数ではなく、 この極限では微分さえも定義されない。この問題は、ランジュバン方程式を積分形式で書くと解消される。 δ {\displaystyle \delta } η ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)} d v / d t {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {v} /\mathrm {d} t} m v = ∫ t ( − λ v + η ( t ) ) d t . {\displaystyle m\mathbf {v} =\int ^{t}\left(-\lambda \mathbf {v} +{\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)\right)\mathrm {d} t.}
したがって、微分形式は時間積分の略称に過ぎません。この種の方程式の一般的な数学用語は「 確率微分方程式 」です。
乗法ノイズを伴うランジュバン方程式には、もう一つの数学的な曖昧さが生じる。乗法ノイズとは、従属変数の非定数関数によって乗算されるノイズ項のことである（例： ） 。乗法ノイズがシステムに内在する場合、その定義は曖昧であり、ストラトノビッチスキームまたは伊藤スキームに従って解釈することが等しく有効である（ 伊藤計算を 参照）。しかしながら、方程式を操作する際に解釈が一貫して適用される限り、物理的観測量は解釈に依存しない。これは、計算の記号規則が解釈スキームによって異なるためである。ノイズがシステムの外部にある場合、適切な解釈はストラトノビッチの解釈である。 [6] [7] | v ( t ) | η ( t ) {\displaystyle \left|{\boldsymbol {v}}(t)\right|{\boldsymbol {\eta }}(t)}
一般的なランジュバン方程式 古典力学から一般的なランジュバン方程式が正式に導出される。 [8] [9]この一般的な方程式は、 臨界動力学 理論や[10] 非平衡統計力学の他の分野において中心的な役割を果たしている 。 上記 の ブラウン 運動の方程式は特別な場合である。
導出における重要なステップは、自由度を遅い と 速い の カテゴリに分割することです 。たとえば、液体中の局所的な熱力学的平衡は数回の衝突で達成されますが、質量やエネルギーなどの保存量の密度が平衡状態に緩和するにははるかに長い時間がかかります。したがって、保存量の密度、特にその長波長成分は、遅い変数の候補です。この分割は、 ツヴァンツィヒ射影演算子を 使用して正式に表現できます。 [11] ただし、導出は、厳密な証明を欠く仮定に依存しており、物理システムの妥当な近似としてのみ正当化されているため、 数理物理学の 観点から完全に厳密ではありません。
遅い変数を とすると、一般的なランジュバン方程式は次のようになる 。 A = { A i } {\displaystyle A=\{A_{i}\}} d A i d t = k B T ∑ j [ A i , A j ] d H d A j − ∑ j λ i , j ( A ) d H d A j + ∑ j d λ i , j ( A ) d A j + η i ( t ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A_{i}}{\mathrm {d} t}}=k_{\text{B}}T\sum \limits _{j}{\left[{A_{i},A_{j}}\right]{\frac {{\mathrm {d} }{\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}}-\sum \limits _{j}{\lambda _{i,j}\left(A\right){\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}+}\sum \limits _{j}{\frac {\mathrm {d} {\lambda _{i,j}\left(A\right)}}{\mathrm {d} A_{j}}}+\eta _{i}\left(t\right).}
変動力は 相関関数を持つ ガウス確率分布 に従う η i ( t ) {\displaystyle \eta _{i}\left(t\right)} ⟨ η i ( t ) η j ( t ′ ) ⟩ = 2 λ i , j ( A ) δ ( t − t ′ ) . {\displaystyle \left\langle {\eta _{i}\left(t\right)\eta _{j}\left(t'\right)}\right\rangle =2\lambda _{i,j}\left(A\right)\delta \left(t-t'\right).}
これは、 減衰係数 に対する オンサガーの相反関係 を意味します。の へ の 依存性は 、ほとんどの場合無視できます。 記号は システムの ハミルトニアン を表し、 は 変数 の平衡確率分布です 。最後に、は、 遅い変数 と の ポアソン括弧 を 遅い変数の空間に 射影したものです。 λ i , j = λ j , i {\displaystyle \lambda _{i,j}=\lambda _{j,i}} λ {\displaystyle \lambda } d λ i , j / d A j {\displaystyle \mathrm {d} \lambda _{i,j}/\mathrm {d} A_{j}} λ {\displaystyle \lambda } A {\displaystyle A} H = − ln ( p 0 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=-\ln \left(p_{0}\right)} p 0 ( A ) {\displaystyle p_{0}\left(A\right)} A {\displaystyle A} [ A i , A j ] {\displaystyle [A_{i},A_{j}]} A i {\displaystyle A_{i}} A j {\displaystyle A_{j}}
ブラウン運動の場合 、 、 または 、が成り立ちます 。 の運動方程式 は 正確です。変動力はなく 、減衰係数 もありません 。 H = p 2 / ( 2 m k B T ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=\mathbf {p} ^{2}/\left(2mk_{\text{B}}T\right)} A = { p } {\displaystyle A=\{\mathbf {p} \}} A = { x , p } {\displaystyle A=\{\mathbf {x} ,\mathbf {p} \}} [ x i , p j ] = δ i , j {\displaystyle [x_{i},p_{j}]=\delta _{i,j}} d x / d t = p / m {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} /\mathrm {d} t=\mathbf {p} /m} x {\displaystyle \mathbf {x} } η x {\displaystyle \eta _{x}} λ x , p {\displaystyle \lambda _{x,p}}
例
電気抵抗器の熱雑音 抵抗器とコンデンサーで構成される電気回路。 上で述べた典型的なブラウン運動粒子と、抵抗器の熱変動によって発生する電圧である ジョンソンノイズ との間には、密接な類似点がある。 [12] 右の図は、 抵抗 R と 容量 C からなる電気回路を示している。遅い変数は、抵抗器の両端間の電圧 U である。ハミルトニアンはとなり 、ランジュバン方程式は次のように表される。 H = E / k B T = C U 2 / ( 2 k B T ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=E/k_{\text{B}}T=CU^{2}/(2k_{\text{B}}T)} d U d t = − U R C + η ( t ) , ⟨ η ( t ) η ( t ′ ) ⟩ = 2 k B T R C 2 δ ( t − t ′ ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {U}{RC}}+\eta \left(t\right),\;\;\left\langle \eta \left(t\right)\eta \left(t'\right)\right\rangle ={\frac {2k_{\text{B}}T}{RC^{2}}}\delta \left(t-t'\right).}
この式は、静電容量C が無視できるほど小さくなった
ときにホワイト ノイズ (ジョンソン ノイズ) になる 相関関数を決定するために使用できます 。 ⟨ U ( t ) U ( t ′ ) ⟩ = k B T C exp ( − | t − t ′ | R C ) ≈ 2 R k B T δ ( t − t ′ ) , {\displaystyle \left\langle U\left(t\right)U\left(t'\right)\right\rangle ={\frac {k_{\text{B}}T}{C}}\exp \left(-{\frac {\left|t-t'\right|}{RC}}\right)\approx 2Rk_{\text{B}}T\delta \left(t-t'\right),}
クリティカルダイナミクス 二次相転移の 秩序パラメータ のダイナミクスは 臨界点 付近で減速し、ランジュバン方程式で記述できる。 [10] 最も単純なケースは、 非保存スカラー秩序パラメータを持つ 普遍性クラス 「モデルA」であり、これは例えば軸性強磁性体で実現される。
他の普遍性クラス（命名法は「モデルA」、…、「モデルJ」）には、拡散秩序パラメータ、複数の成分を持つ秩序パラメータ、その他の臨界変数、および/またはポアソン括弧からの寄与が含まれる。 [10] φ {\displaystyle \varphi } ∂ ∂ t φ ( x , t ) = − λ δ H δ φ + η ( x , t ) , H = ∫ d d x [ 1 2 r 0 φ 2 + u φ 4 + 1 2 ( ∇ φ ) 2 ] , ⟨ η ( x , t ) η ( x ′ , t ′ ) ⟩ = 2 λ δ ( x − x ′ ) δ ( t − t ′ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}\varphi {\left(\mathbf {x} ,t\right)}&=-\lambda {\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \varphi }}+\eta {\left(\mathbf {x} ,t\right)},\\[2ex]{\mathcal {H}}&=\int d^{d}x\left[{\frac {1}{2}}r_{0}\varphi ^{2}+u\varphi ^{4}+{\frac {1}{2}}\left(\nabla \varphi \right)^{2}\right],\\[2ex]\left\langle \eta {\left(\mathbf {x} ,t\right)}\,\eta {\left(\mathbf {x} ',t'\right)}\right\rangle &=2\lambda \,\delta {\left(\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right)}\;\delta {\left(t-t'\right)}.\end{aligned}}}
図 1:ランジュバン方程式による広がりを示す 調和振動子 の位相図。 図2: 調和ポテンシャルにおけるランジュバン力学の平衡確率
流体中の調和振動子 m d v d t = − λ v + η ( t ) − k x {\displaystyle m{\frac {dv}{dt}}=-\lambda v+\eta (t)-kx}
流体内の粒子は、位置エネルギー関数、減衰力、および 揺らぎ散逸定理 によって与えられる熱揺らぎを持つランジュバン方程式で記述されます。ポテンシャルが 2 次関数の場合、一定エネルギー曲線は図に示すように楕円になります。散逸はあるが熱ノイズがない場合、粒子は継続的に環境に対してエネルギーを失い、その時間依存の 位相ポートレート (速度 vs 位置) は 0 速度に向かう内向きの螺旋に対応します。対照的に、熱揺らぎは継続的に粒子にエネルギーを追加し、粒子が正確に 0 速度に到達するのを妨げます。むしろ、確率振動子の初期集団は、速度と位置が マクスウェル・ボルツマン分布 に従って分布する定常状態に近づきます。下の図 (図 2) では、調和ポテンシャル ( ) における長時間の速度分布 (青) と位置分布 (オレンジ) が、速度 (緑) と位置 (赤) のボルツマン確率とともにプロットされています。特に、遅い時間の挙動は熱平衡を示しています。 U = 1 2 k x 2 {\textstyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}}
自由ブラウン運動粒子（半透明の波線）の変位二乗のシミュレーション結果を、時間の関数として示した。初期速度二乗を それぞれ0、3 k B T / m 、6 k B T / mとした場合のシミュレーション結果である。3 k B T / m は熱平衡状態における等分配値である。色付きの実線は、対応するパラメータ選択における平均変位二乗を示す。
自由ブラウン運動粒子の軌道 で記述される運動方程式を持つ 質量の 自由粒子 を考えてみましょう。 ここで は粒子速度、 は粒子の移動度、 は 急速に変動する力で、その時間平均は 粒子衝突の特性タイムスケールでゼロになります 。つまり です。運動方程式の一般解は です
。 ここではノイズ項の相関時間です。 粒子速度の 自己相関関数は [13] で与えられる ことも示せます。 ここで、変数 および は 時間間隔 で無相関になるという特性を使用しています 。さらに、 の値は と等しくなるように設定され、 等分割定理 に従います 。システムが で最初から熱平衡状態にある場合 、 すべての でとなり 、システムは常に平衡状態にあることを意味します。 m {\displaystyle m} m d v d t = − v μ + η ( t ) , {\displaystyle m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=-{\frac {\mathbf {v} }{\mu }}+{\boldsymbol {\eta }}(t),} v = d r / d t {\displaystyle \mathbf {v} =d\mathbf {r} /dt} μ {\displaystyle \mu } η ( t ) = m a ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}(t)=m\mathbf {a} (t)} t c {\displaystyle t_{c}} η ( t ) ¯ = 0 {\displaystyle {\overline {{\boldsymbol {\eta }}(t)}}=0} v ( t ) = v ( 0 ) e − t / τ + ∫ 0 t a ( t ′ ) e − ( t − t ′ ) / τ d t ′ , {\displaystyle \mathbf {v} (t)=\mathbf {v} (0)e^{-t/\tau }+\int _{0}^{t}\mathbf {a} (t')e^{-(t-t')/\tau }dt',} τ = m μ {\displaystyle \tau =m\mu } v {\displaystyle \mathbf {v} } R v v ( t 1 , t 2 ) ≡ ⟨ v ( t 1 ) ⋅ v ( t 2 ) ⟩ = v 2 ( 0 ) e − ( t 1 + t 2 ) / τ + ∫ 0 t 1 ∫ 0 t 2 R a a ( t 1 ′ , t 2 ′ ) e − ( t 1 + t 2 − t 1 ′ − t 2 ′ ) / τ d t 1 ′ d t 2 ′ ≃ v 2 ( 0 ) e − | t 2 − t 1 | / τ + [ 3 k B T m − v 2 ( 0 ) ] [ e − | t 2 − t 1 | / τ − e − ( t 1 + t 2 ) / τ ] , {\displaystyle {\begin{aligned}R_{vv}(t_{1},t_{2})&\equiv \langle \mathbf {v} (t_{1})\cdot \mathbf {v} (t_{2})\rangle \\&=v^{2}(0)e^{-(t_{1}+t_{2})/\tau }+\int _{0}^{t_{1}}\int _{0}^{t_{2}}R_{aa}(t_{1}',t_{2}')e^{-(t_{1}+t_{2}-t_{1}'-t_{2}')/\tau }dt_{1}'dt_{2}'\\&\simeq v^{2}(0)e^{-|t_{2}-t_{1}|/\tau }+\left[{\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}-v^{2}(0)\right]{\Big [}e^{-|t_{2}-t_{1}|/\tau }-e^{-(t_{1}+t_{2})/\tau }{\Big ]},\end{aligned}}} a ( t 1 ′ ) {\displaystyle \mathbf {a} (t_{1}')} a ( t 2 ′ ) {\displaystyle \mathbf {a} (t_{2}')} t 2 ′ − t 1 ′ ≫ t c {\displaystyle t_{2}'-t_{1}'\gg t_{c}} lim t → ∞ ⟨ v 2 ( t ) ⟩ = lim t → ∞ R v v ( t , t ) {\textstyle \lim _{t\to \infty }\langle v^{2}(t)\rangle =\lim _{t\to \infty }R_{vv}(t,t)} 3 k B T / m {\displaystyle 3k_{\text{B}}T/m} v 2 ( 0 ) = 3 k B T / m {\displaystyle v^{2}(0)=3k_{\text{B}}T/m} ⟨ v 2 ( t ) ⟩ = 3 k B T / m {\displaystyle \langle v^{2}(t)\rangle =3k_{\text{B}}T/m} t {\displaystyle t}
ブラウン運動粒子の速度を 積分すると、その軌道が得られる 。もしブラウン運動粒子が確率1で原点に位置するとすると、結果は次のようになる。 v ( t ) {\displaystyle \mathbf {v} (t)} r ( t ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)} r ( t ) = v ( 0 ) τ ( 1 − e − t / τ ) + τ ∫ 0 t a ( t ′ ) [ 1 − e − ( t − t ′ ) / τ ] d t ′ . {\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {v} (0)\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right)+\tau \int _{0}^{t}\mathbf {a} (t')\left[1-e^{-(t-t')/\tau }\right]dt'.}
したがって、平均変位は 系が緩和するにつれて 漸近線を描く。 平均二乗変位 も同様に決定できる。 ⟨ r ( t ) ⟩ = v ( 0 ) τ ( 1 − e − t / τ ) {\textstyle \langle \mathbf {r} (t)\rangle =\mathbf {v} (0)\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right)} v ( 0 ) τ {\displaystyle \mathbf {v} (0)\tau } ⟨ r 2 ( t ) ⟩ = v 2 ( 0 ) τ 2 ( 1 − e − t / τ ) 2 − 3 k B T m τ 2 ( 1 − e − t / τ ) ( 3 − e − t / τ ) + 6 k B T m τ t . {\displaystyle \langle r^{2}(t)\rangle =v^{2}(0)\tau ^{2}\left(1-e^{-t/\tau }\right)^{2}-{\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}\tau ^{2}\left(1-e^{-t/\tau }\right)\left(3-e^{-t/\tau }\right)+{\frac {6k_{\text{B}}T}{m}}\tau t.}
この式は を意味し、 系の 緩和時間よりもはるかに短い時間スケールにおけるブラウン運動は（近似的に） 時間反転 不変であることを示しています。一方 は、 不可逆な 散逸 過程 を意味します 。 ⟨ r 2 ( t ≪ τ ) ⟩ ≃ v 2 ( 0 ) t 2 {\displaystyle \langle r^{2}(t\ll \tau )\rangle \simeq v^{2}(0)t^{2}} τ {\displaystyle \tau } ⟨ r 2 ( t ≫ τ ) ⟩ ≃ 6 k B T τ t / m = 6 μ k B T t = 6 D t {\displaystyle \langle r^{2}(t\gg \tau )\rangle \simeq 6k_{\text{B}}T\tau t/m=6\mu k_{\text{B}}Tt=6Dt}
この図は、オイラー・丸山法 を用いて得られた、軽度減衰調和振動子の完全ランジュバン方程式の解に対応する 。左の図は、異なる温度における位相図の時間発展を示す。右の図は、対応する平衡確率分布を示す。温度がゼロの場合、減衰により、速度は初期値（赤い点）から数回の振動を経てゼロまでゆっくりと減衰する。温度がゼロでない場合、熱変動により、速度は初期値よりも高い値まで上昇することがある。長時間では、速度はゼロ以外の値を維持し、位置と速度の分布は熱平衡時の分布に対応する。
ボルツマン統計の回復 外部ポテンシャルが保存的であり、ノイズ項が熱平衡状態のリザーバーから導かれる場合、ランジュバン方程式の長時間解は、 熱平衡状態にある粒子の確率分布関数である ボルツマン分布に簡約される必要がある。 過減衰 ダイナミクスの特殊なケースでは、粒子の慣性は減衰力と比較して無視でき、軌道は 過減衰ランジュバン方程式によって記述される
。 ここで、 は減衰定数である。 項は白色ノイズであり、 （正式には ウィーナー過程 ）によって特徴付けられる 。この方程式を解く1つの方法は、テスト関数を導入し 、その平均を計算することである。 の平均は 有限 に対して時間に依存しないため 、 x ( t ) {\displaystyle x(t)} λ d x d t = − ∂ V ( x ) ∂ x + η ( t ) ≡ − ∂ V ( x ) ∂ x + 2 λ k B T d B t d t , {\displaystyle \lambda {\frac {dx}{dt}}=-{\frac {\partial V(x)}{\partial x}}+\eta (t)\equiv -{\frac {\partial V(x)}{\partial x}}+{\sqrt {2\lambda k_{\text{B}}T}}{\frac {dB_{t}}{dt}},} λ {\displaystyle \lambda } η ( t ) {\displaystyle \eta (t)} ⟨ η ( t ) η ( t ′ ) ⟩ = 2 k B T λ δ ( t − t ′ ) {\displaystyle \left\langle \eta (t)\eta (t')\right\rangle =2k_{\text{B}}T\lambda \delta (t-t')} f {\displaystyle f} f ( x ( t ) ) {\displaystyle f(x(t))} x ( t ) {\displaystyle x(t)} d d t ⟨ f ( x ( t ) ) ⟩ = 0 , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle f(x(t))\right\rangle =0,}
伊藤のドリフト拡散過程 に関する 補題 によれば、2回微分可能な関数 f ( t , x ) の微分は次のように与えられる。 d X t = μ t d t + σ t d B t {\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t}} d f = ( ∂ f ∂ t + μ t ∂ f ∂ x + σ t 2 2 ∂ 2 f ∂ x 2 ) d t + σ t ∂ f ∂ x d B t . {\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}.}
これを計算に適用すると 、 ⟨ f ( x ( t ) ) ⟩ {\displaystyle \langle f(x(t))\rangle } ⟨ − f ′ ( x ) ∂ V ∂ x + k B T f ″ ( x ) ⟩ = 0. {\displaystyle \left\langle -f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}}+k_{\text{B}}Tf''(x)\right\rangle =0.}
この平均は確率密度関数 を用いて表すことができます 。 ここで、第2項は部分積分されています（したがって負の符号です）。これは任意の関数 に対して成り立つため 、 ボルツマン分布を復元すると、 p ( x ) {\displaystyle p(x)} ∫ ( − f ′ ( x ) ∂ V ∂ x p ( x ) + k B T f ″ ( x ) p ( x ) ) d x = ∫ ( − f ′ ( x ) ∂ V ∂ x p ( x ) − k B T f ′ ( x ) p ′ ( x ) ) d x = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&\int \left(-f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}}p(x)+{k_{\text{B}}T}f''(x)p(x)\right)dx\\=&\int \left(-f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}}p(x)-{k_{\text{B}}T}f'(x)p'(x)\right)dx\\=&\;0\end{aligned}}} f {\displaystyle f} ∂ V ∂ x p ( x ) + k B T p ′ ( x ) = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial x}}p(x)+{k_{\text{B}}T}p'(x)=0,} p ( x ) ∝ exp ( − V ( x ) k B T ) . {\displaystyle p(x)\propto \exp \left({-{\frac {V(x)}{k_{\text{B}}T}}}\right).}
同等の技術 状況によっては、ノイズの特定の実現値に対する解ではなく、ランジュバン方程式のノイズ平均挙動に主に関心が向けられることがあります。本節では、この平均挙動を得るための手法について解説します。これらの手法は、 ランジュバン方程式に内在する 確率微分学とは異なるものの、それと同等のものです。
フォッカー・プランク方程式 フォッカー ・プランク方程式は 、確率変数の 時間依存確率密度に関する決定論的方程式である 。本稿で述べる一般的なランジュバン方程式に対応するフォッカー・プランク方程式は以下の通りである。 [14] 平衡分布 は定常解である。 P ( A , t ) {\displaystyle P\left(A,t\right)} A {\displaystyle A} ∂ P ( A , t ) ∂ t = ∑ i , j ∂ ∂ A i ( − k B T [ A i , A j ] ∂ H ∂ A j + λ i , j ∂ H ∂ A j + λ i , j ∂ ∂ A j ) P ( A , t ) . {\displaystyle {\frac {\partial P\left(A,t\right)}{\partial t}}=\sum _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{i}}}\left(-k_{\text{B}}T\left[A_{i},A_{j}\right]{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{j}}}\right)P\left(A,t\right).} P ( A ) = p 0 ( A ) = const × exp ( − H ) {\displaystyle P(A)=p_{0}(A)={\text{const}}\times \exp(-{\mathcal {H}})}
クライン・クラマース方程式 減衰不足のブラウン運動粒子に対するフォッカー・プランク方程式は、 クライン・クラマース方程式 と呼ばれます。 [15] [16] ランジュバン方程式が と書かれ 、 が運動量である 場合、対応するフォッカー・プランク方程式は です 。ここで 、 と は r と p に関する 勾配演算子 であり 、は p に関する ラプラシアン です 。 r ˙ = p m p ˙ = − ξ p − ∇ V ( r ) + 2 m ξ k B T η ( t ) , ⟨ η T ( t ) η ( t ′ ) ⟩ = I δ ( t − t ′ ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}&={\frac {\mathbf {p} }{m}}\\{\dot {\mathbf {p} }}&=-\xi \,\mathbf {p} -\nabla V(\mathbf {r} )+{\sqrt {2m\xi k_{\mathrm {B} }T}}{\boldsymbol {\eta }}(t),\qquad \langle {\boldsymbol {\eta }}^{\mathrm {T} }(t){\boldsymbol {\eta }}(t')\rangle =\mathbf {I} \delta (t-t')\end{aligned}}} p {\displaystyle \mathbf {p} } ∂ f ∂ t + 1 m p ⋅ ∇ r f = ξ ∇ p ⋅ ( p f ) + ∇ p ⋅ ( ∇ V ( r ) f ) + m ξ k B T ∇ p 2 f {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\mathbf {p} \cdot \nabla _{\mathbf {r} }f=\xi \nabla _{\mathbf {p} }\cdot \left(\mathbf {p} \,f\right)+\nabla _{\mathbf {p} }\cdot \left(\nabla V(\mathbf {r} )\,f\right)+m\xi k_{\mathrm {B} }T\,\nabla _{\mathbf {p} }^{2}f} ∇ r {\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }} ∇ p {\displaystyle \nabla _{\mathbf {p} }} ∇ p 2 {\displaystyle \nabla _{\mathbf {p} }^{2}}
次元 自由空間において、 に対応する この方程式は フーリエ変換 を用いて解くことができる 。粒子が 位置 と運動量で初期化され 、初期条件 に対応すると 、解は [16] [17] となる。
ここで 、3次元空間では、平均二乗変位は d {\displaystyle d} V ( r ) = constant {\displaystyle V(\mathbf {r} )={\text{constant}}} R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} t = 0 {\displaystyle t=0} r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} p ′ {\displaystyle \mathbf {p} '} f ( r , p , 0 ) = δ ( r − r ′ ) δ ( p − p ′ ) {\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,0)=\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p} ')} f ( r , p , t ) = 1 ( 2 π σ X σ P 1 − β 2 ) d × exp [ − 1 2 ( 1 − β 2 ) ( | r − μ X | 2 σ X 2 + | p − μ P | 2 σ P 2 − 2 β ( r − μ X ) ⋅ ( p − μ P ) σ X σ P ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)=&{\frac {1}{\left(2\pi \sigma _{X}\sigma _{P}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\right)^{d}}}\times \\&\quad \exp \left[-{\frac {1}{2(1-\beta ^{2})}}\left({\frac {|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\mu }}_{X}|^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {|\mathbf {p} -{\boldsymbol {\mu }}_{P}|^{2}}{\sigma _{P}^{2}}}-{\frac {2\beta (\mathbf {r} -{\boldsymbol {\mu }}_{X})\cdot (\mathbf {p} -{\boldsymbol {\mu }}_{P})}{\sigma _{X}\sigma _{P}}}\right)\right]\end{aligned}}} σ X 2 = k B T m ξ 2 [ 1 + 2 ξ t − ( 2 − e − ξ t ) 2 ] ; σ P 2 = m k B T ( 1 − e − 2 ξ t ) β = k B T ξ σ X σ P ( 1 − e − ξ t ) 2 μ X = r ′ + ( m ξ ) − 1 ( 1 − e − ξ t ) p ′ ; μ P = p ′ e − ξ t . {\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma _{X}^{2}={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m\xi ^{2}}}\left[1+2\xi t-\left(2-e^{-\xi t}\right)^{2}\right];\qquad \sigma _{P}^{2}=mk_{\mathrm {B} }T\left(1-e^{-2\xi t}\right)\\&\beta ={\frac {k_{\text{B}}T}{\xi \sigma _{X}\sigma _{P}}}\left(1-e^{-\xi t}\right)^{2}\\&{\boldsymbol {\mu }}_{X}=\mathbf {r} '+(m\xi )^{-1}\left(1-e^{-\xi t}\right)\mathbf {p} ';\qquad {\boldsymbol {\mu }}_{P}=\mathbf {p} 'e^{-\xi t}.\end{aligned}}} ⟨ r ( t ) 2 ⟩ = ∫ f ( r , p , t ) r 2 d r d p = μ X 2 + 3 σ X 2 {\displaystyle \langle \mathbf {r} (t)^{2}\rangle =\int f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\mathbf {r} ^{2}\,d\mathbf {r} d\mathbf {p} ={\boldsymbol {\mu }}_{X}^{2}+3\sigma _{X}^{2}}
経路積分 ランジュバン方程式と等価な経路積分は、対応するフォッカー・プランク方程式から、または変動力のガウス確率分布を遅い変数の確率分布（図式的に ）に変換することによって得ることができる 。 関数 の 行列 式 および 関連する数学的な微妙な点は、ランジュバン方程式を自然な（因果的な）方法（ は に 依存する が には依存しない）で離散化すると消えてしまう。補助的な 応答変数 を導入すると便利であることがわかる 。一般的なランジュバン方程式と等価な経路積分は次のように表される [18 ]。
ここで は正規化係数であり 経路積分の定式化により、摂動法や繰り込み群法などの 量子場の理論 のツールを使用することができる。この定式化は、一般に、その開発者にちなんで Martin-Siggia-Rose 形式 [19] もしくは Janssen-De Dominicis [18] [20]形式と呼ばれている。この表現の数学的形式は 、抽象的なウィーナー空間 上で展開することができる 。 P ( η ) ( η ) d η {\displaystyle P^{(\eta )}(\eta )\mathrm {d} \eta } η {\displaystyle \eta } P ( A ) d A = P ( η ) ( η ( A ) ) det ( d η / d A ) d A {\displaystyle P(A)\mathrm {d} A=P^{(\eta )}(\eta (A))\det(\mathrm {d} \eta /\mathrm {d} A)\mathrm {d} A} A ( t + Δ t ) − A ( t ) {\displaystyle A(t+\Delta t)-A(t)} A ( t ) {\displaystyle A(t)} A ( t + Δ t ) {\displaystyle A(t+\Delta t)} A ~ {\displaystyle {\tilde {A}}} ∫ P ( A , A ~ ) d A d A ~ = N ∫ exp ( L ( A , A ~ ) ) d A d A ~ , {\displaystyle \int P(A,{\tilde {A}})\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} {\tilde {A}}=N\int \exp \left(L(A,{\tilde {A}})\right)\mathrm {d} A\,\mathrm {d} {\tilde {A}},} N {\displaystyle N} L ( A , A ~ ) = ∫ ∑ i , j { A ~ i λ i , j A ~ j − A ~ i { δ i , j d A j d t − k B T [ A i , A j ] d H d A j + λ i , j d H d A j − d λ i , j d A j } } d t . {\displaystyle L(A,{\tilde {A}})=\int \sum _{i,j}\left\{{\tilde {A}}_{i}\lambda _{i,j}{\tilde {A}}_{j}-{\widetilde {A}}_{i}\left\{\delta _{i,j}{\frac {\mathrm {d} A_{j}}{\mathrm {d} t}}-k_{\text{B}}T\left[A_{i},A_{j}\right]{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} \lambda _{i,j}}{\mathrm {d} A_{j}}}\right\}\right\}\mathrm {d} t.}
参照
参考文献 ^ ランジュバン、P. (1908)。 「Sur la théorie du mouvement Brownien [ブラウン運動の理論について]」。 CRアカデミー。科学。パリ 。 146 : 530–533 . ^ レモンズ, ドン・S.; ギシエル, アンソニー (1997). 「ポール・ランジュバンの1908年の論文『ブラウン運動の理論について』["Sur la théorie du mouvement brownien," CR Acad. Sci. (Paris) 146, 530–533 (1908)]」. American Journal of Physics . 65 (11). American Association of Physics Teachers (AAPT): 1079– 1081. Bibcode :1997AmJPh..65.1079L. doi :10.1119/1.18725. ISSN 0002-9505. ^ Pelargonio, Sara; Zaccone, Alessio (2023). 「せん断流を伴う一般化ランジュバン方程式と、カルデイラ・レゲット・ハミルトニアンから導かれる変動散逸定理」. Physical Review E. 107 064102. doi : 10.1103/PhysRevE.107.064102. hdl : 2434/1107844 . ^ Cui, Bingyu; Zaccone, Alessio (2018). 「外部振動場中の粒子浴系における一般化ランジュバン方程式と変動散逸定理」. Physical Review E. 97 ( 6): 060102(R). arXiv : 1802.09848 . doi :10.1103/PhysRevE.97.060102. ^ Petrosyan, Aleksandr; Zaccone, Alessio (2022). 「粒子浴ラグランジアンから導出される相対論的ランジュバン方程式」. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 55 (1): 015001. arXiv : 2107.07205 . doi :10.1088/1751-8121/ac3a33. ^ ファン・カンペン、NG (1981)。 「伊藤対ストラトノビッチ」。 統計物理学ジャーナル 。 24 (1)。 Springer Science and Business Media LLC: 175–187 。 書誌コード :1981JSP....24..175V。 土井 ：10.1007/bf01007642。 ISSN 0022-4715。 S2CID 122277474。 ^ van Kampen, NG (2007). 物理と化学における確率過程 . Elsevier. doi :10.1016/b978-0-444-52965-7.x5000-4. ISBN 978-0-444-52965-7 。 ^ Kawasaki, K. (1973). 「一般化線形および非線形ランジュバン方程式の簡単な導出」. J. Phys. A: Math. Nucl. Gen. 6 ( 9): 1289– 1295. Bibcode :1973JPhA....6.1289K. doi :10.1088/0305-4470/6/9/004. ^ Dengler, R. (2015). 「一般化ランジュバン方程式のもう一つの導出」. arXiv : 1506.02650v2 [physics.class-ph]. ^ abc Hohenberg, PC; Halperin, BI (1977). 「動的臨界現象の理論」 Reviews of Modern Physics . 49 (3): 435– 479. Bibcode :1977RvMP...49..435H. doi :10.1103/RevModPhys.49.435. S2CID 122636335. ^ Zwanzig, R. (1961). 「不可逆熱力学におけるメモリ効果」. Phys. Rev. 124 (4): 983– 992. Bibcode :1961PhRv..124..983Z. doi :10.1103/PhysRev.124.983. ^ Johnson, J. (1928). 「導体における電気の熱振動」 . Phys. Rev. 32 ( 1): 97. Bibcode :1928PhRv...32...97J. doi :10.1103/PhysRev.32.97. ^ Pathria RK (1972). 統計力学 . オックスフォード: ペルガモン・プレス. pp. 443, 474– 477. ISBN 0-08-018994-6 。 ^ ichimaru, S. (1973)、 Basic Principles of Plasma Physics (第 1 版)、米国: Benjamin、p. 231、 ISBN 0-8053-8753-6 ^ Kramers, HA (1940). 「力場におけるブラウン運動と化学反応の拡散モデル」. Physica . 7 (4). Elsevier BV: 284– 304. Bibcode : 1940Phy.....7..284K. doi : 10.1016/s0031-8914(40)90098-2. ISSN 0031-8914. S2CID 33337019. ^ ab Risken、H. (1989)。 フォッカー・プランク方程式: 解法と応用 。ニューヨーク: Springer-Verlag。 ISBN 978-0-387-50498-8 。 ^ Chandrasekhar, S. (1943). 「物理学と天文学における確率的問題」. 現代物理学評論 . 15 (1): 1– 89. Bibcode :1943RvMP...15....1C. doi :10.1103/RevModPhys.15.1. ISSN 0034-6861. ^ ab Janssen, HK (1976). 「古典場のダイナミクスと動的臨界特性の再正規化群計算のためのラグランジュ関数」. Z. Phys. B. 23 ( 4): 377– 380. Bibcode :1976ZPhyB..23..377J. doi :10.1007/BF01316547. S2CID 121216943. ^ Martin, PC、Siggia, ED、Rose, HA (1973). 「古典系の統計力学」. Phys. Rev. A. 8 ( 1): 423– 437. doi :10.1103/PhysRevA.8.423. {{cite journal }}: CS1 maint: multiple names: authors list (link )^ デ・ドミニシス、C. (1976)。 「シャンの理論と現象批評の動的再正規化の技術」。 Ｊ．Ｐｈｙｓ．コロックス 。 37 ( C1): 247–253。doi :10.1051/ jphyscol :1976138。
さらに読む WT Coffey ( トリニティ・カレッジ、ダブリン 、アイルランド) と Yu P. Kalmykov ( ペルピニャン大学 、 フランス ) 、 『ランジュバン方程式: 物理学、化学、電気工学における確率的問題への応用 (第 3 版)』、現代化学物理学の世界科学シリーズ – 第 27 巻。 ライフ、F. 統計熱物理学の基礎 、マグロウヒル、ニューヨーク、1965年。15.5ランジュバン方程式を参照。 R. フリードリヒ、J. ペインケ、Ch. レナー「 外国為替市場の統計における決定論的影響とランダム影響の定量化方法」 Phys. Rev. Lett. 84, 5224–5227 (2000) LCG RogersとD. Williams著 『拡散、マルコフ過程、マルチンゲール』 、ケンブリッジ数学図書館、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、第2版（1994年）の再版、2000年。 
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A_{i}}{\mathrm {d} t}}=k_{\text{B}}T\sum \limits _{j}{\left[{A_{i},A_{j}}\right]{\frac {{\mathrm {d} }{\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}}-\sum \limits _{j}{\lambda _{i,j}\left(A\right){\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}+}\sum \limits _{j}{\frac {\mathrm {d} {\lambda _{i,j}\left(A\right)}}{\mathrm {d} A_{j}}}+\eta _{i}\left(t\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7183701623c9efce8faef97f9f7ffa8f76c46878)
![{\displaystyle [A_{i},A_{j}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4434b552a3a074fb0813b3c59632e9ce553e30e9)
![{\displaystyle [x_{i},p_{j}]=\delta _{i,j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2625cfd936b8d504ac70e2961cdf7881263438)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}\varphi {\left(\mathbf {x} ,t\right)}&=-\lambda {\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \varphi }}+\eta {\left(\mathbf {x} ,t\right)},\\[2ex]{\mathcal {H}}&=\int d^{d}x\left[{\frac {1}{2}}r_{0}\varphi ^{2}+u\varphi ^{4}+{\frac {1}{2}}\left(\nabla \varphi \right)^{2}\right],\\[2ex]\left\langle \eta {\left(\mathbf {x} ,t\right)}\,\eta {\left(\mathbf {x} ',t'\right)}\right\rangle &=2\lambda \,\delta {\left(\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right)}\;\delta {\left(tt'\right)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724746cd4da6fb03cf03f5e3f2fa647c795223b1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{vv}(t_{1},t_{2})&\equiv \langle \mathbf {v} (t_{1})\cdot \mathbf {v} (t_{2})\rangle \\&=v^{2}(0)e^{-(t_{1}+t_{2})/\tau }+\int _{0}^{t_{1}}\int _{0}^{t_{2}}R_{aa}(t_{1}',t_{2}')e^{-(t_{1}+t_{2}-t_{1}'-t_{2}')/\tau }dt_{1}'dt_{2}'\\&\simeq v^{2}(0)e^{-|t_{2}-t_{1}|/\tau }+\left[{\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}-v^{2}(0)\right]{\Big [}e^{-|t_{2}-t_{1}|/\tau }-e^{-(t_{1}+t_{2})/\tau }{\Big ]},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48721dabe74d72ba5d1bb285ba0cc1b270236f5a)
![{\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {v} (0)\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right)+\tau \int _{0}^{t}\mathbf {a} (t')\left[1-e^{-(tt')/\tau }\right]dt'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2dfb99fe46d52881d93aeecef47487549521d73)
![{\displaystyle {\frac {\partial P\left(A,t\right)}{\partial t}}=\sum _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{i}}}\left(-k_{\text{B}}T\left[A_{i},A_{j}\right]{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{j}}}\right)P\left(A,t\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e9bee80d2ef4b6eee4db5f50f8d515961dcf8a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)=&{\frac {1}{\left(2\pi \sigma _{X}\sigma _{P}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\right)^{d}}}\times \\&\quad \exp \left[-{\frac {1}{2(1-\beta ^{2})}}\left({\frac {|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\mu }}_{X}|^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {|\mathbf {p} -{\boldsymbol {\mu }}_{P}|^{2}}{\sigma _{P}^{2}}}-{\frac {2\beta (\mathbf {r} -{\boldsymbol {\mu }}_{X})\cdot (\mathbf {p} -{\boldsymbol {\mu }}_{P})}{\sigma _{X}\sigma _{P}}}\right)\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91003d787e4850f4793cd89825ad4ce7697c6b44)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma _{X}^{2}={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m\xi ^{2}}}\left[1+2\xi t-\left(2-e^{-\xi t}\right)^{2}\right];\qquad \sigma _{P}^{2}=mk_{\mathrm {B} }T\left(1-e^{-2\xi t}\right)\\&\beta ={\frac {k_{\text{B}}T}{\xi \sigma _{X}\sigma _{P}}}\left(1-e^{-\xi t}\right)^{2}\\&{\boldsymbol {\mu }}_{X}=\mathbf {r} '+(m\xi )^{-1}\left(1-e^{-\xi t}\right)\mathbf {p} ';\qquad {\boldsymbol {\mu }}_{P}=\mathbf {p} 'e^{-\xi t}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92e3f02e7fc4b68b7cabce35fc892cd8ed339992)
![{\displaystyle L(A,{\tilde {A}})=\int \sum _{i,j}\left\{{\tilde {A}}_{i}\lambda _{i,j}{\tilde {A}}_{j}-{\widetilde {A}}_{i}\left\{\delta _{i,j}{\frac {\mathrm {d} A_{j}}{\mathrm {d} t}}-k_{\text{B}}T\left[A_{i},A_{j}\right]{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} \lambda _{i,j}}{\mathrm {d} A_{j}}}\right\}\right\}\mathrm {d} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adc92357d3b2836c3edd7eb3a16c3f86c1d05431)
