Scientific theory
物理学 において 、 ランジュバン力学は、 ランジュバン方程式 を用いて分子系の ダイナミクス を数学的にモデル化するアプローチです 。もともとフランスの物理学者 ポール・ランジュバン によって開発されました。このアプローチは、 確率微分方程式 を用いて省略された 自由度を考慮しながら、単純化されたモデルを使用することを特徴としています。ランジュバン力学シミュレーションは、 モンテカルロシミュレーション の一種です 。 [1]
概要 現実世界の分子系は、真空中で孤立して存在するのではなく、空気または溶媒中で存在します。溶媒または空気分子の衝突は摩擦を引き起こし、時折起こる高速衝突は系に摂動を与えます。ランジュバン動力学は、これらの効果を考慮に入れるために 分子動力学 を拡張しようとします。また、ランジュバン動力学では、サーモスタットのように温度を制御することができるため、 正準集団 に近似することができます
ランジュバン動力学は溶媒の粘性特性を模倣する。しかし、このモデルは 暗黙の溶媒を完全にはモデル化していない。具体的には、このモデルは 静電遮蔽 効果と 疎水性効果 を考慮していない 。より密度の高い溶媒の場合、ランジュバン動力学では流体力学的相互作用を捉えることができない。
質量 の粒子システムで 、座標が 時間依存の 確率変数 を構成する場合、結果として得られる ランジュバン方程式は [2] [3] です。 ここで、 は粒子相互作用ポテンシャル です。 は勾配演算子で、 は粒子相互作用ポテンシャルから計算される力です。 点は時間微分で、 は速度、 は加速度です。 は減衰定数（逆時間の単位）で、衝突周波数とも呼ばれます。 は温度、は ボルツマン定数 です 。は 、平均ゼロの デルタ相関 定常 ガウス過程（ガウス 白色ノイズ ）で、次式を満たします。 N {\displaystyle N} M {\displaystyle M} X = X ( t ) {\displaystyle X=X(t)} M X ¨ = − ∇ U ( X ) − γ M X ˙ + 2 M γ k B T R ( t ) , {\displaystyle M\,{\ddot {\mathbf {X} }}=-\mathbf {\nabla } U(\mathbf {X} )-\gamma \,M\,{\dot {\mathbf {X} }}+{\sqrt {2\,M\,\gamma \,k_{\rm {B}}T}}\,\mathbf {R} (t)\,,} U ( X ) {\displaystyle U(\mathbf {X} )} ∇ {\displaystyle \nabla } − ∇ U ( X ) {\displaystyle -\mathbf {\nabla } U(\mathbf {X} )} X ˙ {\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}} X ¨ {\displaystyle {\ddot {\mathbf {X} }}} γ {\displaystyle \gamma } T {\displaystyle T} k B {\displaystyle k_{\rm {B}}} R ( t ) {\displaystyle \mathbf {R} (t)} ⟨ R ( t ) ⟩ = 0 {\displaystyle \left\langle \mathbf {R} (t)\right\rangle =0} ⟨ R ( t ) ⋅ R ( t ′ ) ⟩ = δ ( t − t ′ ) {\displaystyle \left\langle \mathbf {R} (t)\cdot \mathbf {R} (t')\right\rangle =\delta (t-t')}
ここで、 は ディラックのデルタ です。 δ {\displaystyle \delta }
標準ブラウン運動 または ウィーナー過程 の 共分散 を考慮すると 、次のことがわかります W t {\displaystyle W_{t}}
E ( W t W τ ) = min ( t , τ ) {\displaystyle \mathbb {E} (W_{t}W_{\tau })=\min(t,\tau )}
導関数の共分散行列を次のように定義する
。 共分散 の意味で、 次のように言える。 E ( W t ˙ W τ ˙ ) = ∂ ∂ t ∂ ∂ τ E ( W t W τ ) = ∂ ∂ t ∂ ∂ τ min ( t , τ ) = δ ( t − τ ) {\displaystyle \mathbb {E} ({\dot {W_{t}}}{\dot {W_{\tau }}})={\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\mathbb {E} (W_{t}W_{\tau })={\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\min(t,\tau )=\delta (t-\tau )}
d W t = R ( t ) d t {\displaystyle {\rm {d}}W_{t}=\mathbf {R} (t){\rm {d}}t} 一般性を失うことなく、質量を とすると 、 元のSDEは次のようになる。 M = 1 {\displaystyle M=1} σ = M γ k B T {\displaystyle \sigma ={\sqrt {M\gamma k_{\rm {B}}T}}} d X ˙ = − ∇ U ( X ) d t − γ d X + 2 σ d W ( t ) {\displaystyle {\rm {d}}{\dot {\mathbf {X} }}=-\nabla U(\mathbf {X} ){\rm {d}}t-\gamma {\rm {d}}{\mathbf {X} }+{\sqrt {2}}\sigma {\rm {d}}\mathbf {W} (t)}
過減衰ランジュバン力学 主な目的が温度制御である場合、小さな減衰定数を使用するように注意する必要があります 。が大きくなるにつれて、慣性領域から拡散（ ブラウン運動 ）領域まで広がります 。ランジュバン力学の非慣性極限は、一般的に ブラウン運動学 と呼ばれます。ブラウン運動学は、過減衰ランジュバン力学、つまり平均加速が発生しないランジュバン力学と見なすことができます。この極限では、 となり 、元のSDEは次のようになります γ {\displaystyle \gamma } γ {\displaystyle \gamma } d X ˙ = 0 {\displaystyle {\rm {d}}{\dot {X}}=0}
d X = − 1 γ ∇ U ( X ) d t + 2 σ γ d W ( t ) {\displaystyle {\rm {d}}{\mathbf {X} }=-{\frac {1}{\gamma }}\nabla U(\mathbf {X} ){\rm {d}}t+{\frac {{\sqrt {2}}\sigma }{\gamma }}{\rm {d}}\mathbf {W} (t)}
並進ランジュバン方程式は 、解析解の精度、許容される時間ステップ、時間可逆性（ シンプレクティック法 ）、摩擦ゼロの限界 などが異なるさまざまな数値手法 [4] [5]を使用して解くことができます。
ランジュバン方程式は 分子 や ブラウン 運動粒子 などの 回転 運動に一般化することができる 。標準的な方法（ NIST [6]によると）は、確率的回転運動の 四元数 ベースの記述を活用することである 。 [7] [8]
用途
ランジュバンサーモスタット ランジュバンサーモスタット [9]は、 分子動力学における サーモスタット アルゴリズム の一種で、所望の温度下で の正準集団 （NVT）をシミュレートするために使用されます 。以下のランジュバン運動方程式を積分します
M X ¨ = − ∇ U ( X ) − γ X ˙ + 2 γ k B T R ( t ) {\displaystyle M{\ddot {\mathbf {X} }}=-\nabla U(\mathbf {X} )-\gamma {\dot {\mathbf {X} }}+{\sqrt {2\gamma k_{B}T}}{\textbf {R}}(t)}
− ∇ U ( X ) {\displaystyle -\nabla U(\mathbf {X} )} は決定論的な力の項、 は摩擦係数、 は摩擦項または減衰項、最後の項はランダム力の項（ ： ボルツマン定数 、 ：温度）である。この方程式により、システムは仮想的な「熱浴」と結合することができる。システムの運動エネルギーは摩擦/減衰項から散逸し、ランダム力/変動項から増加し、結合の強さは によって制御される 。この方程式は、 オイラー–丸山法（ ランダム力項は 各積分ステップ（分散 、 ：時間ステップ）で ガウス乱数 に置き換えられる）や、ランジュバン・リープ フロッグ積分 などの SDE ソルバーでシミュレートすることができる。この方法はランジュバン積分器としても知られている。 [10] γ {\displaystyle \gamma } γ X ˙ {\displaystyle \gamma {\dot {X}}} k B {\displaystyle k_{B}} T {\displaystyle T} γ {\displaystyle \gamma } σ 2 = 2 γ k B T / Δ t {\displaystyle \sigma ^{2}=2\gamma k_{B}T/\Delta t} Δ t {\displaystyle \Delta t}
ランジュバン・モンテカルロ 過 減衰ランジュバン方程式 は次のように表される
d x t = − D k B T ∇ x U ( x t ) d t + 2 D d W t {\displaystyle {\rm {d}}\mathbf {x} _{t}=-{\frac {D}{k_{B}T}}\nabla _{\mathbf {x} }U(\mathbf {x} _{t}){\rm {d}}t+{\sqrt {2D}}{\rm {d}}W_{t}}
ここで、は アインシュタインの関係式 から 得られる拡散係数 です 。 フォッカー・プランク方程式 で証明されているように 、適切な条件下では、 の 定常分布は ボルツマン分布 です 。 D = k B T / γ {\displaystyle D=k_{B}T/\gamma } x t {\displaystyle \mathbf {x} _{t}} p ( x ) ∝ e − U ( x ) / k B T {\displaystyle p(\mathbf {x} )\propto e^{-U(\mathbf {x} )/k_{B}T}}
なので 、この方程式は次の形式と同等です。 ∇ log p ( x ) = − ∇ U ( x ) / k B T {\displaystyle \nabla \log p(\mathbf {x} )=-\nabla U(\mathbf {x} )/k_{B}T}
d x t = ϵ ∇ x log p ( x t ) d t + 2 ϵ d W t {\displaystyle {\rm {d}}\mathbf {x} _{t}=\epsilon \nabla _{\mathbf {x} }\log p(\mathbf {x} _{t}){\rm {d}}t+{\sqrt {2\epsilon }}{\rm {d}}W_{t}}
そして、 の分布は に従います 。言い換えれば、ランジュバン力学は、 項によって、粒子を勾配流に沿って定常分布へと導きますが、ある程度のランダムな変動は許容されます。これは 、ランジュバン・モンテカルロ として知られる、 目標分布 から データをサンプリングするために使用できる マルコフ連鎖モンテカルロ 法を提供します 。 x t ( t → ∞ ) {\displaystyle \mathbf {x} _{t}(t\to \infty )} p ( x ) {\displaystyle p(\mathbf {x} )} p ( x ) {\displaystyle p(\mathbf {x} )} ∇ log p ( x ) {\displaystyle \nabla \log p(\mathbf {x} )} x {\displaystyle \mathbf {x} } p ( x ) {\displaystyle p(\mathbf {x} )}
多くの用途では、をサンプリングしたい 望ましい分布があります が、直接サンプリングするのは困難または非効率的です。ランジュバンモンテカルロ法は、 定常状態が であるランジュバンダイナミクスに従って マルコフ連鎖 をサンプリングすることにより、サンプリングを行う別の方法を提供します 。 メトロポリス調整ランジュバンアルゴリズム (MALA) はその一例です。現在の状態 が与えられると、MALA 法は 上記のランジュバンダイナミクスを使用して 新しい状態を提案します。その後、この提案は メトロポリス-ヘイスティングスアルゴリズム に基づいて承認または拒否されます。 の選択にランジュバンダイナミクスを組み込むことで 、計算効率が向上します。これは、ダイナミクスによって粒子がより高い 確率の領域に追いやられ、受け入れられる可能性が高くなるためです。詳細は、 メトロポリス調整ランジュバンアルゴリズム を参照してください。 p ( x ) {\displaystyle p(\mathbf {x} )} x {\displaystyle \mathbf {x} } x ∼ p ( x ) {\displaystyle \mathbf {x} \sim p(\mathbf {x} )} p ( x ) {\displaystyle p(\mathbf {x} )} x t {\displaystyle \mathbf {x} _{t}} x ~ t + 1 {\displaystyle {\tilde {x}}_{t+1}} x ~ t + 1 {\displaystyle {\tilde {x}}_{t+1}} p ( x ) {\displaystyle p(\mathbf {x} )}
スコアベースの生成モデル ランジュバン力学は、スコアベースの生成モデル の基礎の一つです 。 [11] [12] （過減衰）ランジュバン力学から、
d x t = ϵ ∇ x log p ( x t ) d t + 2 ϵ d W t {\displaystyle {\rm {d}}\mathbf {x} _{t}=\epsilon \nabla _{\mathbf {x} }\log p(\mathbf {x} _{t}){\rm {d}}t+{\sqrt {2\epsilon }}{\rm {d}}W_{t}}
生成 モデルは 、 （未知のデータ分布）に従うサンプルを生成することを目的としています 。これを実現するために、スコアベースモデルは近似 スコア関数 を学習します（このプロセスは スコアマッチング と呼ばれます）。スコア関数にアクセスすることで、サンプルは以下の反復処理によって生成されます。 [11] [12] p ( x ) {\displaystyle p(\mathbf {x} )} s θ ( x ) ≈ ∇ x log p ( x ) {\displaystyle \mathbf {s} _{\theta }(\mathbf {x} )\approx \nabla _{\mathbf {x} }\log p(\mathbf {x} )}
x i + 1 ← x i + ϵ ∇ x log p ( x i ) + 2 ϵ z i , i = 0 , 1 , ⋯ , K {\displaystyle \mathbf {x} _{i+1}\gets \mathbf {x} _{i}+\epsilon \nabla _{\mathbf {x} }\log p(\mathbf {x} _{i})+{\sqrt {2\epsilon }}\mathbf {z} _{i},\quad i=0,1,\cdots ,K}
となる 。およびのとき 、 生成された分布は 目標分布に収束する 。スコアベースモデルでは 近似値として が用いられる。 [11] z i ∼ N ( 0 , 1 ) {\displaystyle \mathbf {z} _{i}\sim N(0,1)} ϵ → 0 {\displaystyle \epsilon \to 0} K → ∞ {\displaystyle K\to \infty } x K {\displaystyle \mathbf {x} _{K}} p ( x ) {\displaystyle p(\mathbf {x} )} s θ ( x ) ≈ ∇ x log p ( x ) {\displaystyle \mathbf {s} _{\theta }(\mathbf {x} )\approx \nabla _{\mathbf {x} }\log p(\mathbf {x} )}
他の理論との関係
クライン・クラマース方程式 確率微分方程式 （SDE） である ランジュバン動力学 方程式には、対応する 偏微分方程式 （PDE）である クライン・クラマース方程式があります。これは、 位相空間 における粒子の 確率分布 を支配する 特別な フォッカー・プランク方程式 です。元の ランジュバン動力学 方程式は、次の1階SDEとして再定式化できます。 ここで、次のケースとそれらの法則を考えてみましょ う d X = P d t {\displaystyle {\rm {d}}\mathbf {X} =\mathbf {P} {\rm {d}}t} d P = − γ P d t − ∇ U ( X ) d t + 2 σ d W ( t ) {\displaystyle {\rm {d}}\mathbf {P} =-\gamma \mathbf {P} {\rm {d}}t-\nabla U(\mathbf {X} ){\rm {d}}t+{\sqrt {2}}\sigma {\rm {d}}\mathbf {W} (t)} ( X , P ) {\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {P} )}
1. と d X = P d t , d P = − γ P d t − ∇ U ( X ) d t + 2 σ d W ( t ) {\displaystyle \mathbf {{\rm {d}}{X}} =\mathbf {P} {\rm {d}}t,\mathbf {{\rm {d}}{P}} =-\gamma \mathbf {P} {\rm {d}}t-\nabla U(\mathbf {X} ){\rm {d}}t+{\sqrt {2}}\sigma {\rm {d}}\mathbf {W} (t)} ( X 0 , P 0 ) ∼ ρ 0 {\displaystyle (\mathbf {X} _{0},\mathbf {P} _{0})\sim \rho _{0}}
2. と ∂ ρ ∂ t = − P ∇ X ρ + ∇ P ( γ P ρ + ∇ X U ( X ) ρ ) + ∇ P 2 ( σ T 2 ρ ) {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\mathbf {P} \nabla _{\mathbf {X} }\rho +\nabla _{\mathbf {P} }(\gamma \mathbf {P} \rho +\nabla _{\mathbf {X} }U(\mathbf {X} )\rho )+\nabla _{\mathbf {P} }^{2}(\sigma _{T}^{2}\rho )} ρ ( t = 0 , X , P ) = ρ 0 {\displaystyle \rho (t=0,\mathbf {X} ,\mathbf {P} )=\rho _{0}}
運動量と位置の一般的な関数を考える
Ψ t = Ψ ( X , P ) {\displaystyle \Psi _{t}=\Psi (\mathbf {X} ,\mathbf {P} )}
関数の期待値は
E [ Ψ t ] = ∫ ρ ( t , X , P ) Ψ ( X , P ) d P d X {\displaystyle \mathbb {E} [\Psi _{t}]=\int \rho (t,\mathbf {X} ,\mathbf {P} )\Psi (\mathbf {X} ,\mathbf {P} ){\rm {d}}\mathbf {P} {\rm {d}}\mathbf {X} }
時間について微分し 、 伊藤の公式 を適用すると、次の式が得られます。 これは次のように簡略化できます。 右辺の部分積分は、無限大の運動量または速度に対して密度がゼロとなるため、次の式が得られます。 この式は任意の$\Psi$に対して成立するため、密度が次の式を満たす必要があります。
この式は クライン・クラマース方程式 と呼ばれ、 フォッカー・プランク方程式 の特殊版です 。これは、位相空間における系の確率密度の変化を記述する偏微分方程式です。 t {\displaystyle t} E [ d d t Ψ ( X , P ) ] = E [ ∇ X Ψ d X d t + ∇ P Ψ d P d t + σ T 2 ∇ P 2 Ψ 1 d t ( d W ( t ) ) 2 ] {\displaystyle \mathbb {E} [{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\Psi (\mathbf {X} ,\mathbf {P} )]=\mathbb {E} [\nabla _{\mathbf {X} }\Psi {\frac {{\rm {d}}\mathbf {X} }{{\rm {d}}t}}+\nabla _{\mathbf {P} }\Psi {\frac {{\rm {d}}\mathbf {P} }{{\rm {d}}t}}+\sigma _{T}^{2}\nabla _{\mathbf {P} }^{2}\Psi {\frac {1}{{\rm {d}}t}}({\rm {d}}\mathbf {W} (t))^{2}]} ∫ ( ∂ ∂ t ρ ) Ψ ( X , P ) d X d P = E [ ( ∇ X Ψ ) P + ∇ P Ψ ( − γ P − ∇ X U ( X ) ) + σ T 2 ∇ P 2 Ψ ] {\displaystyle \int ({\frac {\partial }{\partial t}}\rho )\Psi (\mathbf {X} ,\mathbf {P} ){\rm {d}}\mathbf {X} {\rm {d}}\mathbf {P} =\mathbb {E} [(\nabla _{\mathbf {X} }\Psi )\mathbf {P} +\nabla _{\mathbf {P} }\Psi (-\gamma \mathbf {P} -\nabla _{\mathbf {X} }U(\mathbf {X} ))+\sigma _{T}^{2}\nabla _{\mathbf {P} }^{2}\Psi ]} ( ∂ ∂ t ρ ) Ψ ( X , P ) d X d P = ∫ ( − P ∇ X ρ + ∇ P ( γ P ρ + ∇ X U ( X ) ρ ) + ∇ P 2 ( σ T 2 ρ ) ) Ψ ( X , P ) d X d P {\displaystyle ({\frac {\partial }{\partial t}}\rho )\Psi (\mathbf {X} ,\mathbf {P} ){\rm {d}}\mathbf {X} {\rm {d}}\mathbf {P} =\int (-\mathbf {P} \nabla _{\mathbf {X} }\rho +\nabla _{\mathbf {P} }(\gamma \mathbf {P} \rho +\nabla _{\mathbf {X} }U(\mathbf {X} )\rho )+\nabla _{\mathbf {P} }^{2}(\sigma _{T}^{2}\rho ))\Psi (\mathbf {X} ,\mathbf {P} ){\rm {d}}\mathbf {X} {\rm {d}}\mathbf {P} } ∂ ρ ∂ t = − P ∇ X ρ + ∇ P ( γ P ρ + ∇ X U ( X ) ρ ) + ∇ P 2 ( σ T 2 ρ ) {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\mathbf {P} \nabla _{\mathbf {X} }\rho +\nabla _{\mathbf {P} }(\gamma \mathbf {P} \rho +\nabla _{\mathbf {X} }U(\mathbf {X} )\rho )+\nabla _{\mathbf {P} }^{2}(\sigma _{T}^{2}\rho )}
フォッカー・プランク方程式 過減衰極限では、となるので、系の発展は位置部分空間に還元できます。同様の論理に従って、位置のSDEが 確率密度の フォッカー・プランク方程式
に対応する ことを証明できます d P = 0 {\displaystyle {\rm {d}}\mathbf {P} =0} d X = − 1 γ ∇ U ( X ) d t + 2 σ γ R ( t ) d t {\displaystyle {\rm {d}}\mathbf {X} =-{\frac {1}{\gamma }}\nabla U(\mathbf {X} ){\rm {d}}t+{\sqrt {2}}{\frac {\sigma }{\gamma }}\mathbf {R} (t){\rm {d}}t} ∂ ρ ( t , X ) ∂ t = ∇ X ( 1 γ ∇ X U ( X ) ρ ( t , X ) ) + Δ X ( σ 2 γ 2 ρ ( t , X ) ) {\displaystyle {\frac {\partial \rho (t,\mathbf {X} )}{\partial t}}=\nabla _{\mathbf {X} }({\frac {1}{\gamma }}\nabla _{\mathbf {X} }U(\mathbf {X} )\rho (t,\mathbf {X} ))+\Delta _{\mathbf {X} }({\frac {\sigma ^{2}}{\gamma ^{2}}}\rho (t,\mathbf {X} ))}
揺らぎ散逸定理 自由粒子（すなわち ）のランジュバン力学を考えると、運動量の方程式は次のようになります U ( X ) = 0 {\displaystyle U(\mathbf {X} )=0}
d P = − 1 γ P d t + 2 σ γ d W t {\displaystyle {\rm {d}}\mathbf {P} =-{\frac {1}{\gamma }}\mathbf {P} {\rm {d}}t+{\frac {{\sqrt {2}}\sigma }{\gamma }}{\rm {d}}\mathbf {W} _{t}}
このSDE の解析解 は
P = P 0 e − t / γ + 2 σ γ ∫ 0 t e − ( t − t ′ ) / γ d W t ′ {\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} _{0}e^{-t/\gamma }+{\frac {{\sqrt {2}}\sigma }{\gamma }}\int _{0}^{t}{\rm {e}}^{-(t-t')/\gamma }{\rm {d}}\mathbf {W} _{t}'} したがって、運動量二次 モーメント
の平均値は（ここでは 伊藤の等長定理 を適用する ）
となる 。つまり、時間が正の無限大に近づくときの極限挙動、すなわちこの系の運動量変動は、この系のエネルギー散逸（ 摩擦 項パラメータ ）と関係している。この結果を、 粒子の 運動エネルギー の平均値と 温度を関連付ける 等分割定理と組み合わせると、 E ( P 2 ) = P 0 2 e − 2 t / γ + σ 2 γ ( 1 − e − 2 t / γ ) → t → ∞ σ 2 γ {\displaystyle \mathbb {E} (\mathbf {P} ^{2})=\mathbf {P} _{0}^{2}{\rm {e}}^{-2t/\gamma }+{\frac {\sigma ^{2}}{\gamma }}(1-{\rm {e}}^{-2t/\gamma }){\overset {t\to \infty }{\to }}{\frac {\sigma ^{2}}{\gamma }}} γ {\displaystyle \gamma }
⟨ v 2 ⟩ = k B T {\displaystyle \langle v^{2}\rangle =k_{\rm {B}}T}
ランジュバンサーモスタットのようなアプリケーションで 分散の値を決定できます。 σ {\displaystyle \sigma }
σ 2 / γ = k B T → σ = k B T γ {\displaystyle \sigma ^{2}/\gamma =k_{B}T\to \sigma ={\sqrt {k_{\rm {B}}T\gamma }}} これは、 を仮定した元の定義と一致しています 。 M = 1 {\displaystyle M=1}
経路積分 経路積分の定式化は 量子力学に由来します。しかし、ランジュバンSDEに対しては、対応する経路積分を誘導することもできます。一般性を失うことなく、次の過剰減衰ランジュバン方程式を考え ます γ = σ = 1 {\displaystyle \gamma =\sigma =1}
d X = − ∇ U ( X ) d t + 2 d W t {\displaystyle {\rm {d}}{X}=-\nabla U({X}){\rm {d}}t+{\sqrt {2}}{\rm {d}}W_{t}}
を離散化して定義すると 、 t n = n Δ t {\displaystyle t_{n}=n\Delta t}
X n + 1 − X n + ∇ U ( X ) Δ t = 2 ( W t n − W t n − 1 ) ∼ N ( 0 , 2 Δ t ) {\displaystyle {X}_{n+1}-{X}_{n}+\nabla U({X})\Delta t={\sqrt {2}}(W_{t_{n}}-W_{t_{n-1}})\sim {\mathcal {N}}(0,2{\sqrt {\Delta t}})} したがって、伝播確率は、 デルタ関数 の フーリエ変換 を適用する と、次の式が得られます。2 番目の部分は ガウス積分 で、次の式が得られます。
ここで、初期から 最終までの 確率を考えてみましょう 。 の極限をとると 、次の式が得られます
。 P ( X n + 1 | X n ) = ∫ d ξ 1 2 π Δ t e − ξ 2 4 Δ t δ ( X n + 1 − X n + ∇ U ( X ) Δ t − ξ ) {\displaystyle P({X}_{n+1}|{X}_{n})=\int {\rm {d}}\xi {\frac {1}{2{\sqrt {\pi \Delta t}}}}{\rm {e}}^{-{\frac {\xi ^{2}}{4\Delta t}}}\delta ({X}_{n+1}-{X}_{n}+\nabla U({X})\Delta t-\xi )} P = ∫ d k 2 π e i k ( X n + 1 − X n + ∇ U ( X ) Δ t ) ∫ d ξ 1 2 π Δ t e − ξ 2 4 Δ t e − i k ξ {\displaystyle P=\int {\frac {{\rm {d}}k}{2\pi }}{\rm {e}}^{{\rm {i}}k({X}_{n+1}-{X}_{n}+\nabla U({X})\Delta t)}\int {\rm {d}}\xi {\frac {1}{2{\sqrt {\pi \Delta t}}}}{\rm {e}}^{-{\frac {\xi ^{2}}{4\Delta t}}}{\rm {e}}^{-{\rm {i}}k\xi }} P = ∫ d k 2 π e i k ( X n + 1 − X n + ∇ U ( X ) Δ t ) e − k 2 Δ t {\displaystyle P=\int {\frac {{\rm {d}}k}{2\pi }}{\rm {e}}^{{\rm {i}}k({X}_{n+1}-{X}_{n}+\nabla U({X})\Delta t)}{\rm {e}}^{-k^{2}\Delta t}} X 0 {\displaystyle X_{0}} X n {\displaystyle X_{n}} P ( X n | X 0 ) = ∫ 1 2 π ∏ i N − 1 d k i e ( i k i ( X ˙ + ∇ U ( X ) ) − k i 2 ) Δ t {\displaystyle P(\mathbf {X} _{n}|\mathbf {X} _{0})=\int {\frac {1}{2\pi }}\prod _{i}^{N-1}{\rm {d}}k_{i}{\rm {e}}^{({\rm {i}}k_{i}({\dot {X}}+\nabla U(X))-k_{i}^{2})\Delta t}} Δ t → 0 {\displaystyle \Delta t\to 0} P ( X n | X 0 ) = ∫ D [ k ] e ∫ 0 t n ( i k ( X ˙ + ∇ U ( X ) ) − k 2 ) d t {\displaystyle P(\mathbf {X} _{n}|\mathbf {X} _{0})=\int {\mathcal {D}}[k]{\rm {e}}^{\int _{0}^{t_{n}}({\rm {i}}k({\dot {X}}+\nabla U(X))-k^{2}){\rm {d}}t}}
参照
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外部リンク 
![{\displaystyle \mathbb {E} [\Psi _{t}]=\int \rho (t,\mathbf {X} ,\mathbf {P} )\Psi (\mathbf {X} ,\mathbf {P} ){\rm {d}}\mathbf {P} {\rm {d}}\mathbf {X} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b1b89221c1c807c8be6c718a61751c3a3110913)
![{\displaystyle \mathbb {E} [{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\Psi (\mathbf {X} ,\mathbf {P} )]=\mathbb {E} [\nabla _{\mathbf {X} }\Psi {\frac {{\rm {d}}\mathbf {X} }{{\rm {d}}t}}+\nabla _{\mathbf {P} }\Psi {\frac {{\rm {d}}\mathbf {P} }{{\rm {d}}t}}+\sigma _{T}^{2}\nabla _{\mathbf {P} }^{2}\Psi {\frac {1}{{\rm {d}}t}}({\rm {d}}\mathbf {W} (t))^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a920558042e04fbfacd60160985d720fa29ba492)
![{\displaystyle \int ({\frac {\partial }{\partial t}}\rho )\Psi (\mathbf {X} ,\mathbf {P} ){\rm {d}}\mathbf {X} {\rm {d}}\mathbf {P} =\mathbb {E} [(\nabla _{\mathbf {X} }\Psi )\mathbf {P} +\nabla _{\mathbf {P} }\Psi (-\gamma \mathbf {P} -\nabla _{\mathbf {X} }U(\mathbf {X} ))+\sigma _{T}^{2}\nabla _{\mathbf {P} }^{2}\Psi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82fe8c8a97517a1c8aa27a8e4efb88e3a573cff)
![{\displaystyle P(\mathbf {X} _{n}|\mathbf {X} _{0})=\int {\mathcal {D}}[k]{\rm {e}}^{\int _{0}^{t_{n}}({\rm {i}}k({\dot {X}}+\nabla U(X))-k^{2}){\rm {d}}t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3358c3c27a8c9ef780a0bd298c966af597961da2)
