Probability distribution
確率論 と 統計学 において 、 ラプラス分布は ピエール・シモン・ラプラス にちなんで名付けられた 連続 確率分布 である。また、位置パラメータを追加した2つの 指数分布 をx軸に沿って継ぎ合わせたものと 考えられるため、二 重指数分布と呼ばれることもあるが、 [2] この用語は ガンベル分布を指すために使用されることもある。2つ の独立した同一分布の 指数ランダム変数の差は ラプラス分布によって決まり、 指数分布ランダム時間で評価された ブラウン運動も同様である [ 要出典 ] 。 ラプラス運動 の増分 や 時間スケールにわたって評価された 分散ガンマ過程もラプラス分布に従う。
定義
確率密度関数 確率変数 は 、 その 確率密度関数 が Laplace ( μ , b ) {\displaystyle \operatorname {Laplace} (\mu ,b)}
f ( x ∣ μ , b ) = 1 2 b e − | x − μ | b , {\displaystyle f(x\mid \mu ,b)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}},} ここで 、 は 位置パラメータ であり、 は「多様性」とも呼ばれ、 尺度パラメータ である。 かつ の場合 、 正の半直線は 1/2で尺度化された 指数分布と全く同じである。 [3] μ {\displaystyle \mu } b > 0 {\displaystyle b>0} μ = 0 {\displaystyle \mu =0} b = 1 {\displaystyle b=1}
ラプラス分布の確率密度関数も 正規分布 に似ていますが、正規分布が平均値からの二乗差で表されるのに対し、ラプラス密度は平均値からの 絶対差 で表されます 。そのため、ラプラス分布は正規分布よりも裾が太くなります。これは、 一般化正規分布 と 双曲型分布 の特殊なケースです。ラプラス分布のように指数分布の裾を持ちながら、確率密度関数が最頻値で微分可能な連続対称分布には、ロジスティック 分布 、 双曲型正割分布 、 シャンパーノウン分布 などがあります。 μ {\displaystyle \mu }
累積分布関数 ラプラス分布は、 絶対値 関数を用いることで（対称的な2つのケースを区別すれば）容易に 積分 できます。その 累積分布関数 は以下のとおりです。
F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( u ) d u = { 1 2 exp ( x − μ b ) if x < μ 1 − 1 2 exp ( − x − μ b ) if x ≥ μ = 1 2 + 1 2 sgn ( x − μ ) ( 1 − exp ( − | x − μ | b ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=\int _{-\infty }^{x}\!\!f(u)\,\mathrm {d} u={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x<\mu \\1-{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x\geq \mu \end{cases}}\\&={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {sgn}(x-\mu )\left(1-\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\right).\end{aligned}}} 逆累積分布関数は次のように与えられる。
F − 1 ( p ) = μ − b sgn ( p − 0.5 ) ln ( 1 − 2 | p − 0.5 | ) . {\displaystyle F^{-1}(p)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0.5)\,\ln(1-2|p-0.5|).}
プロパティ
瞬間 μ r ′ = ( 1 2 ) ∑ k = 0 r [ r ! ( r − k ) ! b k μ ( r − k ) { 1 + ( − 1 ) k } ] . {\displaystyle \mu _{r}'={\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}\sum _{k=0}^{r}{\bigg [}{\frac {r!}{(r-k)!}}b^{k}\mu ^{(r-k)}\{1+(-1)^{k}\}{\bigg ]}.}
もし そうなら 。 X ∼ Laplace ( μ , b ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)} k X + c ∼ Laplace ( k μ + c , | k | b ) {\displaystyle kX+c\sim {\textrm {Laplace}}(k\mu +c,|k|b)} もし そうなら 。 X ∼ Laplace ( 0 , 1 ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)} b X ∼ Laplace ( 0 , b ) {\displaystyle bX\sim {\textrm {Laplace}}(0,b)} ならば （ 指数分布 ） 。 X ∼ Laplace ( 0 , b ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(0,b)} | X | ∼ Exponential ( b − 1 ) {\displaystyle \left|X\right|\sim {\textrm {Exponential}}\left(b^{-1}\right)} もし そうなら ． X , Y ∼ Exponential ( λ ) {\displaystyle X,Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )} X − Y ∼ Laplace ( 0 , λ − 1 ) {\displaystyle X-Y\sim {\textrm {Laplace}}\left(0,\lambda ^{-1}\right)} もし そうなら 。 X ∼ Laplace ( μ , b ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)} | X − μ | ∼ Exponential ( b − 1 ) {\displaystyle \left|X-\mu \right|\sim {\textrm {Exponential}}(b^{-1})} ならば （ 指数 べき分布 ）。 X ∼ Laplace ( μ , b ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)} X ∼ EPD ( μ , b , 1 ) {\displaystyle X\sim {\textrm {EPD}}(\mu ,b,1)} ( 正規分布 ) の場合、 および 。 X 1 , . . . , X 4 ∼ N ( 0 , 1 ) {\displaystyle X_{1},...,X_{4}\sim {\textrm {N}}(0,1)} X 1 X 2 − X 3 X 4 ∼ Laplace ( 0 , 1 ) {\displaystyle X_{1}X_{2}-X_{3}X_{4}\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)} ( X 1 2 − X 2 2 + X 3 2 − X 4 2 ) / 2 ∼ Laplace ( 0 , 1 ) {\displaystyle (X_{1}^{2}-X_{2}^{2}+X_{3}^{2}-X_{4}^{2})/2\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)} ならば （ カイ二乗分布 ） 。 X i ∼ Laplace ( μ , b ) {\displaystyle X_{i}\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)} 2 b ∑ i = 1 n | X i − μ | ∼ χ 2 ( 2 n ) {\displaystyle {\frac {\displaystyle 2}{b}}\sum _{i=1}^{n}|X_{i}-\mu |\sim \chi ^{2}(2n)} ならば 。 （ F分布 ） X , Y ∼ Laplace ( μ , b ) {\displaystyle X,Y\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)} | X − μ | | Y − μ | ∼ F ( 2 , 2 ) {\displaystyle {\tfrac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)} ( 均一分布 ) の場合 、. X , Y ∼ U ( 0 , 1 ) {\displaystyle X,Y\sim {\textrm {U}}(0,1)} log ( X / Y ) ∼ Laplace ( 0 , 1 ) {\displaystyle \log(X/Y)\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)} および ( ベルヌーイ分布 ) が から独立している 場合 、 となります 。 X ∼ Exponential ( λ ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )} Y ∼ Bernoulli ( 0.5 ) {\displaystyle Y\sim {\textrm {Bernoulli}}(0.5)} X {\displaystyle X} X ( 2 Y − 1 ) ∼ Laplace ( 0 , λ − 1 ) {\displaystyle X(2Y-1)\sim {\textrm {Laplace}}\left(0,\lambda ^{-1}\right)} および が から独立している 場合 、 ． X ∼ Exponential ( λ ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )} Y ∼ Exponential ( ν ) {\displaystyle Y\sim {\textrm {Exponential}}(\nu )} X {\displaystyle X} λ X − ν Y ∼ Laplace ( 0 , 1 ) {\displaystyle \lambda X-\nu Y\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)} がRademacher 分布 に従う 場合 、 と なります 。 X {\displaystyle X} Y ∼ Exponential ( λ ) {\displaystyle Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )} X Y ∼ Laplace ( 0 , 1 / λ ) {\displaystyle XY\sim {\textrm {Laplace}}(0,1/\lambda )} および が から独立している 場合 、 となります 。 V ∼ Exponential ( 1 ) {\displaystyle V\sim {\textrm {Exponential}}(1)} Z ∼ N ( 0 , 1 ) {\displaystyle Z\sim N(0,1)} V {\displaystyle V} X = μ + b 2 V Z ∼ L a p l a c e ( μ , b ) {\displaystyle X=\mu +b{\sqrt {2V}}Z\sim \mathrm {Laplace} (\mu ,b)} ( 幾何安定分布 ) ならば、 . X ∼ GeometricStable ( 2 , 0 , λ , 0 ) {\displaystyle X\sim {\textrm {GeometricStable}}(2,0,\lambda ,0)} X ∼ Laplace ( 0 , λ ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(0,\lambda )} ラプラス分布は 双曲分布 の極限ケースです。 （ レイリー分布 ） の 場合には となります 。 の場合には となり 、 これは指数分布 と等しくなることに注意してください 。 X | Y ∼ N ( μ , Y 2 ) {\displaystyle X|Y\sim {\textrm {N}}(\mu ,Y^{2})} Y ∼ Rayleigh ( b ) {\displaystyle Y\sim {\textrm {Rayleigh}}(b)} X ∼ Laplace ( μ , b ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)} Y ∼ Rayleigh ( b ) {\displaystyle Y\sim {\textrm {Rayleigh}}(b)} Y 2 ∼ Gamma ( 1 , 2 b 2 ) {\displaystyle Y^{2}\sim {\textrm {Gamma}}(1,2b^{2})} E ( Y 2 ) = 2 b 2 {\displaystyle {\textrm {E}}(Y^{2})=2b^{2}} Exp ( 1 / ( 2 b 2 ) ) {\displaystyle {\textrm {Exp}}(1/(2b^{2}))} 整数が与えられたとき 、 （ ガンマ分布 、 特性化を使用）ならば、 （ 無限割り切れる ） [4] n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} X i , Y i ∼ Γ ( 1 n , b ) {\displaystyle X_{i},Y_{i}\sim \Gamma \left({\frac {1}{n}},b\right)} k , θ {\displaystyle k,\theta } ∑ i = 1 n ( μ n + X i − Y i ) ∼ Laplace ( μ , b ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\mu }{n}}+X_{i}-Y_{i}\right)\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)} X がラプラス分布に従う 場合、 Y = e X は対数ラプラス分布 に従います 。逆に、 X が 対数ラプラス分布に従う場合、その 対数 はラプラス分布に従います。
ラプラスが他のラプラスより大きい確率 を 独立したラプラス確率変数 および と し、 を計算します 。 X , Y {\displaystyle X,Y} X ∼ Laplace ( μ X , b X ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu _{X},b_{X})} Y ∼ Laplace ( μ Y , b Y ) {\displaystyle Y\sim {\textrm {Laplace}}(\mu _{Y},b_{Y})} P ( X > Y ) {\displaystyle P(X>Y)}
の確率は （以下の性質を用いて） まで減少することができる。 ここで である 。この確率は次の式に等しい。 P ( X > Y ) {\displaystyle P(X>Y)} P ( μ + b Z 1 > Z 2 ) {\displaystyle P(\mu +bZ_{1}>Z_{2})} Z 1 , Z 2 ∼ Laplace ( 0 , 1 ) {\displaystyle Z_{1},Z_{2}\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}
P ( μ + b Z 1 > Z 2 ) = { b 2 e μ / b − e μ 2 ( b 2 − 1 ) , when μ < 0 1 − b 2 e − μ / b − e − μ 2 ( b 2 − 1 ) , when μ > 0 {\displaystyle P(\mu +bZ_{1}>Z_{2})={\begin{cases}{\frac {b^{2}e^{\mu /b}-e^{\mu }}{2(b^{2}-1)}},&{\text{when }}\mu <0\\1-{\frac {b^{2}e^{-\mu /b}-e^{-\mu }}{2(b^{2}-1)}},&{\text{when }}\mu >0\\\end{cases}}}
のとき 、両方の式は次のようにその極限に置き換えられます 。 b = 1 {\displaystyle b=1} b → 1 {\displaystyle b\to 1}
P ( μ + Z 1 > Z 2 ) = { e μ ( 2 − μ ) 4 , when μ < 0 1 − e − μ ( 2 + μ ) 4 , when μ > 0 {\displaystyle P(\mu +Z_{1}>Z_{2})={\begin{cases}e^{\mu }{\frac {(2-\mu )}{4}},&{\text{when }}\mu <0\\1-e^{-\mu }{\frac {(2+\mu )}{4}},&{\text{when }}\mu >0\\\end{cases}}}
の場合を計算するには 、次の点に注意してください。 μ > 0 {\displaystyle \mu >0} P ( μ + Z 1 > Z 2 ) = 1 − P ( μ + Z 1 < Z 2 ) = 1 − P ( − μ − Z 1 > − Z 2 ) = 1 − P ( − μ + Z 1 > Z 2 ) {\displaystyle P(\mu +Z_{1}>Z_{2})=1-P(\mu +Z_{1}<Z_{2})=1-P(-\mu -Z_{1}>-Z_{2})=1-P(-\mu +Z_{1}>Z_{2})}
いつ から 。 Z ∼ − Z {\displaystyle Z\sim -Z} Z ∼ Laplace ( 0 , 1 ) {\displaystyle Z\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}
指数分布との関係 ラプラス確率変数は、独立かつ同一分布 （ iid ）する2つの指数確率変数 の差として表すことができます。 [4]これを示す一つの方法は、 特性関数 アプローチを用いることです 。任意の独立連続確率変数の集合、およびそれらの変数の任意の線形結合について、その分布を一意に決定する特性関数は、対応する特性関数を乗算することで得られます。
2つのiid確率変数を考える 。その特性関数 は X , Y ∼ Exponential ( λ ) {\displaystyle X,Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )} X , − Y {\displaystyle X,-Y}
λ − i t + λ , λ i t + λ {\displaystyle {\frac {\lambda }{-it+\lambda }},\quad {\frac {\lambda }{it+\lambda }}} それぞれこれらの特性関数（確率変数の和の特性関数に相当 ）を掛け合わせると、結果は次のようになる
。 X + ( − Y ) {\displaystyle X+(-Y)}
λ 2 ( − i t + λ ) ( i t + λ ) = λ 2 t 2 + λ 2 . {\displaystyle {\frac {\lambda ^{2}}{(-it+\lambda )(it+\lambda )}}={\frac {\lambda ^{2}}{t^{2}+\lambda ^{2}}}.} これは の特性関数と同じであり 、 Z ∼ Laplace ( 0 , 1 / λ ) {\displaystyle Z\sim {\textrm {Laplace}}(0,1/\lambda )}
1 1 + t 2 λ 2 . {\displaystyle {\frac {1}{1+{\frac {t^{2}}{\lambda ^{2}}}}}.}
サルガン分布 サルガン分布はラプラス分布を中核とする分布系である。a 次のサルガン分布の密度は [5] [6] p {\displaystyle p}
f p ( x ) = 1 2 exp ( − α | x | ) 1 + ∑ j = 1 p β j α j | x | j 1 + ∑ j = 1 p j ! β j , {\displaystyle f_{p}(x)={\tfrac {1}{2}}\exp(-\alpha |x|){\frac {\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{p}\beta _{j}\alpha ^{j}|x|^{j}}{\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{p}j!\beta _{j}}},} パラメータ の場合 。 のラプラス分布の結果 。 α ≥ 0 , β j ≥ 0 {\displaystyle \alpha \geq 0,\beta _{j}\geq 0} p = 0 {\displaystyle p=0}
統計的推論 独立かつ同一に分布する標本 が与えられた場合 、の 最大尤度 （MLE）推定値は 標本 中央値 である。 [7] n {\displaystyle n} x 1 , x 2 , . . . , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}} μ {\displaystyle \mu }
μ ^ = m e d ( x ) . {\displaystyle {\hat {\mu }}=\mathrm {med} (x).} MLE推定値は 中央値からの 平均絶対偏差 である [ 引用が必要 ] b {\displaystyle b}
b ^ = 1 n ∑ i = 1 n | x i − μ ^ | . {\displaystyle {\hat {b}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\hat {\mu }}|.} ラプラス分布と 最小絶対偏差 の間に関連があることが明らかになりました。小規模サンプルに対する補正は次のように適用できます。
b ^ ∗ = b ^ ⋅ n / ( n − 2 ) {\displaystyle {\hat {b}}^{*}={\hat {b}}\cdot n/(n-2)} (参照: 指数分布#パラメータ推定 )。
発生と応用 ラプラシアン分布は、音声認識において DFT 係数の事前分布をモデル化するために使用されてきました [8] 。また、JPEG画像圧縮においては DCT によって生成されたAC係数をモデル化するために使用されてきました [9] 。
関数の感度に適したスケーリング パラメータを使用して、ラプラシアン分布から抽出されたノイズを 統計データベース クエリの出力に追加することは、統計データベースで 差分プライバシー を提供する最も一般的な手段です。 最大日降水量に適合したラプラス分布 [10] ラプラス分布は 合成分布 または 二重 分布であり、低い値が高い値とは異なる外部条件下で発生し、異なるパターンに従うような状況に適用できます。 [14]
ランダム変数生成 区間内の 一様分布 から抽出された 確率変数が与えられた場合 、確率変数 U {\displaystyle U} ( − 1 / 2 , 1 / 2 ) {\displaystyle \left(-1/2,1/2\right)}
X = μ − b sgn ( U ) ln ( 1 − 2 | U | ) {\displaystyle X=\mu -b\,\operatorname {sgn}(U)\,\ln(1-2|U|)} は、パラメータがおよび であるラプラス分布に従います 。これは、上記の逆累積分布関数から導かれます。 μ {\displaystyle \mu } b {\displaystyle b}
変量 は、2つの IID 確率変数 の差として生成することもできます。同様に、2つの IID 一様確率変数の比の 対数 として生成することもできます 。 Laplace ( 0 , b ) {\displaystyle {\textrm {Laplace}}(0,b)} Exponential ( 1 / b ) {\displaystyle {\textrm {Exponential}}(1/b)} Laplace ( 0 , 1 ) {\displaystyle {\textrm {Laplace}}(0,1)}
歴史 この分布はしばしば「ラプラスの誤差の第一法則」と呼ばれます。彼は1774年にこの法則を発表し、誤差の頻度をその符号を無視した大きさの指数関数としてモデル化しました。ラプラスは後に 中心極限定理 の発見後、このモデルを正規分布に基づく「誤差の第二法則」に置き換えました。 [15] [16]
ケインズは 1911年に以前の論文に基づいて論文を発表し、ラプラス分布が中央値からの絶対偏差を最小化することを示した。 [17]
参照
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外部リンク
離散 一変数
連続 一変量
制限された間隔 でサポートされている 半無限 間隔 でサポートされている 実数直線 全体で サポートされている さまざまなタイプの サポート付き
混合 単変量
多変量 （ジョイント） 方向性 退化 と 特異性 家族
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\text{if }}x\leq \mu \\[8pt]1-{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\text{if }}x\geq \mu \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7aca192c82e60e094aa5b7bee60f25de3dde43b)
![{\displaystyle {\begin{cases}\mu +b\ln \left(2F\right)&{\text{if }}F\leq {\frac {1}{2}}\\[8pt]\mu -b\ln \left(2-2F\right)&{\text{if }}F\geq {\frac {1}{2}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c6ee6d1f9cb6b1b9f9070c4299a0e038d14d541)
![{\displaystyle \mu _{r}'={\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}\sum _{k=0}^{r}{\bigg [}{\frac {r!}{(rk)!}}b^{k}\mu ^{(rk)}\{1+(-1)^{k}\}{\bigg ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f540fc2de6f6c39a9471f37e38c7883a932354df)
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