レート関数

数学、特に大偏差理論において、速度関数（りょうげん）とは、稀な事象の確率を定量化するために使用される関数です。このような関数は、大偏差原理を定式化するために用いられます。大偏差原理は、確率系列における稀な事象の漸近確率を定量化します。

レート関数は、スウェーデンの確率学者Harald CramérにちなんでCramér 関数とも呼ばれます。

定義

レート関数ハウスドルフ位相空間上で定義された拡張実数値関数は、それが同一ではなく、下半連続である、すなわちすべてのサブレベル集合がレート関数であると言われる。 $I:X\to [0,+\infty ]$ $X$ $+\infty$

\{x\in X\mid I(x)\leq c\}{\mbox{ for }}c\geq 0

はで閉じている。さらに、がコンパクトであれば、は良い速度関数であると言える。 $X$ $I$

上の確率測度の族は、任意の閉集合および任意の開集合に対して、 $(\mu _{\delta })_{\delta >0}$ $X$ $I:X\to [0,+\infty )$ $1/\delta$ $F\subseteq X$ $G\subseteq X$

\limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(F)\leq -\inf _{x\in F}I(x),\quad {\mbox{(U)}}

\liminf _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(G)\geq -\inf _{x\in G}I(x).\quad {\mbox{(L)}}

上限 (U) がコンパクト集合 (閉じた集合ではなく) に対してのみ成り立つ場合、は弱大偏差原理(速度と弱速度関数を使用)を満たすと言われます。 $F$ $(\mu _{\delta })_{\delta >0}$ $1/\delta$ $I$

備考

大偏差原理における開集合と閉集合の役割は、確率測度の弱収束におけるそれらの役割と似ている。任意の閉集合と任意の開集合に対して、が弱収束すると言われることを思い出してほしい。 $(\mu _{\delta })_{\delta >0}$ $\mu$ $F\subseteq X$ $G\subseteq X$

\limsup _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(F)\leq \mu (F),

\liminf _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(G)\geq \mu (G).

文献で使用される用語法には多少のばらつきがあります。例えば、den Hollander (2000) では単に「速度関数」を使用していますが、本稿では Dembo & Zeitouni (1998) に倣って「良好な速度関数」と「弱い速度関数」を使用しています。Rassoul-Agha & Seppäläinen (2015) は、測度族の指数的タイトネスとの関連から、「良好な速度関数」ではなく「タイト速度関数」という用語を使用しています。速度関数に使用される用語法に関わらず、上限不等式 (U) が閉集合またはコンパクト集合のどちらで成立するのかを調べることで、使用されている大偏差原理が強いか弱いかが分かります。

プロパティ

ユニークさ

上記の一般的な枠組みがやや抽象的な設定であることを踏まえると、当然ながら、速度関数は一意であるかどうかという疑問が生じます。これは確かに一意です。2つの速度関数IとJに対して大偏差原理を満たす、X上の確率測度 ( μ _δ ) _{δ >0の列が与えられれば、すべての}x ∈ Xに対してI ( x ) = J ( x )が成り立ちます。

指数関数的なタイトネス

測度が十分に速く収束するならば、弱い大偏差原理を強い大偏差原理に変換することが可能である。コンパクト集合Fに対して上界が成り立ち、測度列 ( μ _δ ) _{δ >0が}指数的にタイトであるならば、閉集合Fに対しても上界が成り立つ。言い換えれば、指数的タイト性は弱い大偏差原理を強い大偏差原理に変換することを可能にする。

連続

素朴に言えば、2つの不等式(U)と(L)を、すべてのボレル集合 S⊆X に対して、

\lim _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(S)=-\inf _{x\in S}I(x).\quad {\mbox{(E)}}

等式(E)はあまりにも制限的である。なぜなら、多くの興味深い例は(U)と(L)を満たすが(E)は満たさないからである。例えば、測度μ _{δ は}すべてのδに対して非原子的である可能性があるので、等式(E)はIが恒等的に+∞である場合にのみS = { x }に対して成立するが、これは定義では許されていない。しかし、不等式(U)と(L)は、いわゆるI連続集合S ⊆ Xに対して等式(E)を導く。これらの集合は

I{\big (}{\stackrel {\circ }{S}}{\big )}=I{\big (}{\bar {S}}{\big )},

ここで、とはそれぞれSのXにおける内部と閉包を表す。多くの例において、注目する集合／事象の多くはI連続である。例えば、I が連続関数である場合、すべての集合Sは ${\stackrel {\circ }{S}}$ ${\bar {S}}$

S\subseteq {\bar {\stackrel {\circ }{S}}}

はI連続です。たとえば、すべての開集合はこの包含関係を満たします。

大偏差原理の変換

ある空間における大偏差原理が与えられた場合、別の空間においても大偏差原理を構築できるかどうかは、しばしば興味深い問題となる。この分野にはいくつかの結果がある。

収縮原理は、ある空間上の大偏差原理が連続関数を介して（確率測度の押し出しを介して）別の空間上の大偏差原理にどのように「押し出す」かを示しています。
ドーソン・ガートナーの定理は、空間の列上の大偏差原理の列がどのようにして射影極限に到達するかを示しています。
傾斜した大偏差原理は指数関数の積分に対して大偏差原理を与える。
指数的に等価な尺度には、同じ大偏差原理が適用されます。

歴史と基本的な発展

速度関数の概念は、1930年代にスウェーデンの数学者ハラルド・クラメールによるiid確率変数のシーケンス( Z _i ) _{i∈ $\mathbb {N}$}の研究で生まれました。つまり、スケーリングを考慮しながら、クラメールは平均の分布のn →∞としての挙動を研究しました。^[1]彼は、X _n の分布の裾がe ⁻^nλ⁽^x⁾として指数的に減少することを発見しました。ここで、指数の係数λ ( x ) は、キュムラント生成関数のルジャンドル–フェンシェル変換 (別名、凸共役)です。このため、この特定の関数λ ( x ) は、クラメール関数と呼ばれることもあります。この記事で上で定義した速度関数は、クラメールのこの概念を広く一般化したものであり、確率変数の状態空間ではなく、確率空間でより抽象的に定義されています。 ${\textstyle X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}$ $\Psi _{Z}(t)=\log \operatorname {E} e^{tZ}.$

参照

極値理論
中程度の逸脱の原則

参考文献

^ クラメール、ハラルド (1938)。「確率論の限界を超えたヌーボー理論」。Colloque consacré à la théorie des probabilités、パート 3、Actualités scientifiques et industrielles (フランス語)。731 : 5-23 .

デンボ、アミール；ゼイトゥニ、オフェル（1998年）「大偏差の手法と応用」『数学応用』（ニューヨーク）38（第2版）ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN xvi+ 396 0-387-98406-2。 MR 1619036
デン・ホランダー、フランク (2000).大偏差.フィールズ研究所モノグラフ 14. プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会. p. x+143. ISBN 0-8218-1989-5。 MR 1739680
ラソウル・アガ、フィラス;セッパライネン、ティモ (2015)。ギブス測度の概要を含む、大きな偏差に関するコース。数学の大学院研究 162. ロードアイランド州プロビデンス: アメリカ数学協会。 xiv+318。ISBN 978-0-8218-7578-0。 MR 3309619

[1] クラメール、ハラルド (1938)。「確率論の限界を超えたヌーボー理論」。Colloque consacré à la théorie des probabilités、パート 3、Actualités scientifiques et industrielles (フランス語)。731 : 5-23 .