ラーモア歳差

物理学において、ラーモア歳差運動（ジョセフ・ラーモアにちなんで名付けられた）は、物体の磁気モーメントが外部磁場を中心として歳差運動することである。この現象は、外部のトルクを及ぼす重力場における傾斜した古典的なジャイロスコープの歳差運動と概念的に類似している。磁気モーメントを持つ物体は、角運動量と、その角運動量に比例する有効内部電流も持つ。これには、電子、陽子、その他のフェルミオン、多くの原子核系、そして古典的な巨視的系が含まれる。外部磁場は磁気モーメントにトルクを及ぼす。

{\vec {\tau }}={\vec {\mu }}\times {\vec {B}}=\gamma {\vec {J}}\times {\vec {B}},

ここで、はトルク、は磁気双極子モーメント、は角運動量ベクトル、は外部磁場、は外積を表し、は磁気回転比で、磁気モーメントと角運動量の間の比例定数を与えます。角運動量ベクトルは、ラーモア周波数と呼ばれる角周波数で外部磁場軸の周りを歳差運動します。 ${\vec {\tau }}$ ${\vec {\mu }}$ ${\vec {J}}$ ${\vec {B}}$ $\times$ $\gamma$ ${\vec {J}}$

\omega =\vert \gamma B\vert

、

ここで、は角周波数、^[1]は印加磁場の強さ、は電荷の粒子の磁気回転比、^[2]はに等しく、は歳差運動する系の質量、は系のg 因子です。g因子は系の角運動量と固有磁気モーメントを関連付ける単位のない比例係数です。古典物理学では、電荷密度と質量密度が同一に分布している任意の剛体に対してg因子は1です。ラーモア周波数はとの間の角度に依存しません。 $\omega$ $B$ $\gamma$ $-e$ $-{\frac {eg}{2m}}$ $m$ $g$ ${\vec {J}}$ ${\vec {B}}$

原子核物理学において、与えられた系のg因子には、核子スピン、軌道角運動量、そしてそれらの結合の影響が含まれます。一般的に、このような多体系のg因子を計算することは非常に困難ですが、ほとんどの原子核では高精度で測定されています。ラーモア周波数はNMR分光法において重要です。与えられた磁場強度におけるラーモア周波数を与える磁気回転比は、測定され、表にまとめられています。^[3]

重要なのは、ラーモア周波数は印加磁場と磁気モーメントの方向との間の極角に依存しないことです。歳差運動速度はスピンの空間的配向に依存しないため、ラーモア周波数は核磁気共鳴（NMR）や電子常磁性共鳴（EPR）などの分野において重要な概念となっています。

トーマス歳差運動を含む

上記の式は、ほとんどの応用で用いられます。しかし、トーマス歳差運動の影響を完全に考慮するには、以下の式（CGS単位系。E とBの単位が同じになるように使用されます）が必要です。

\omega _{s}={\frac {geB}{2mc}}+(1-\gamma ){\frac {eB}{mc\gamma }}={\frac {eB}{2mc}}\left(g-2+{\frac {2}{\gamma }}\right)

ここで、は相対論的ローレンツ因子である（上記の磁気回転比と混同しないように）。特に、電子スピンgは2に非常に近い（ $\gamma$ 2.002...）なので、g = 2とすると、

\omega _{s(g=2)}={\frac {eB}{mc\gamma }}

バーグマン・ミシェル・テレグディ方程式

外部電磁場中の電子のスピン歳差運動は、バーグマン・ミシェル・テレグディ（BMT）方程式（バレンタイン・バーグマン、ルイ・ミシェル、バレンタイン・テレグディにちなんで名付けられた）によって記述される^[4]

{\frac {da^{\tau }}{ds}}={\frac {e}{m}}u^{\tau }u_{\sigma }F^{\sigma \lambda }a_{\lambda }+2\mu (F^{\tau \lambda }-u^{\tau }u_{\sigma }F^{\sigma \lambda })a_{\lambda },

ここで、、、、はそれぞれ分極4元ベクトル、電荷、質量、磁気モーメント、は電子の4元速度（単位系）、、、、は電磁場強度テンソルである。運動方程式を用いると、 $a^{\tau }$ $e$ $m$ $\mu$ $u^{\tau }$ $c=1$ $a^{\tau }a_{\tau }=-u^{\tau }u_{\tau }=-1$ $u^{\tau }a_{\tau }=0$ $F^{\tau \sigma }$

m{\frac {du^{\tau }}{ds}}=eF^{\tau \sigma }u_{\sigma },

BMT方程式の右辺第1項はと書き直すことができる。ここでは4元加速度である。この項はフェルミ・ウォーカー輸送を記述し、トーマス歳差運動につながる。第2項はラーモア歳差運動に関連する。 $(-u^{\tau }w^{\lambda }+u^{\lambda }w^{\tau })a_{\lambda }$ $w^{\tau }=du^{\tau }/ds$

電磁場が空間的に均一な場合、または勾配力のような力が無視できる場合、粒子の並進運動は次のように記述されます。 $\nabla ({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {B}})$

{\frac {du^{\alpha }}{d\tau }}={\frac {e}{m}}F^{\alpha \beta }u_{\beta }\;.

BMT方程式は次のように表される^[5]

{\frac {dS^{\alpha }}{d\tau }}={\frac {e}{m}}{\bigg [}{g \over 2}F^{\alpha \beta }S_{\beta }+\left({g \over 2}-1\right)u^{\alpha }\left(S_{\lambda }F^{\lambda \mu }u_{\mu }\right){\bigg ]}\;,

荷電粒子ビーム光学の量子論に基づくトーマスBMTのビーム光学バージョンで、加速器光学に適用できる。^[6]^[7]

アプリケーション

1935年にレフ・ランダウとエフゲニー・リフシッツが発表した論文では、ラーモア歳差運動の強磁性共鳴の存在が予測され、これは1946年にJHEグリフィス（英国） ^[8]とEKザヴォイスキー（ソ連）による実験で独立して検証された。 ^[9]^[10]

ラーモア歳差運動は、核磁気共鳴、磁気共鳴画像法、電子常磁性共鳴、ミューオンスピン共鳴、中性子スピンエコーにおいて重要な役割を果たします。また、星の光の偏光の原因となる宇宙塵粒子の配列にも重要です。

磁場内の粒子のスピンを計算するには、一般に、粒子が動いている場合にはトーマス歳差運動も考慮する必要があります。

歳差運動の方向

電子のスピン角運動量は、磁場の方向を中心に反時計回りに歳差運動します。電子は負の電荷を持つため、磁気モーメントの方向はスピンの方向と逆になります。

参照

LARMOR中性子顕微鏡

注記

^ スピンダイナミクス、マルコム・H・レビット、ワイリー、2001年、
^ Louis N. Hand and Janet D. Finch. (1998). 解析力学. ケンブリッジ大学出版局, イギリス. p. 192. ISBN 978-0-521-57572-0。
^ NMR同位体リスト
^ V. Bargmann、L. Michel、VL Telegdi、「均一電磁場中を移動する粒子の分極の歳差運動」、Phys. Rev. Lett. 2、435 (1959)。
^ Jackson, JD, Classical Electrodynamics、第3版、Wiley、1999年、563ページ。
^ M. Conte、R. Jagannathan Archived 2017-02-02 at the Wayback Machine、SA Khan および M. Pusterla、「異常磁気モーメントを持つディラック粒子のビーム光学」、Particle Accelerators、56、99–126 (1996)；(プレプリント: IMSc/96/03/07、INFN/AE-96/08)。
^ Khan, SA (1997). 荷電粒子ビーム光学の量子理論、博士論文、マドラス大学、チェンナイ、インド。（博士研究が行われた数学研究所のIMSc図書館のDspaceから論文全文を入手できます。）
^ JHE Griffiths (1946). 「強磁性金属の異常高周波抵抗」. Nature . 158 (4019): 670– 671. Bibcode :1946Natur.158..670G. doi :10.1038/158670a0. S2CID 4143499.
^ ザヴォイスキー、E. (1946)。「デシメートル波領域におけるスピン磁気共鳴」。フィジチェスキー・ジュルナル。１０．
^ Zavoisky, E. (1946). 「垂直磁場中におけるいくつかの塩の常磁性吸収」Zhurnal Eksperimental'noi i Teoreticheskoi Fiziki . 16 (7): 603– 606.

外部リンク

ジョージア州立大学 HyperPhysics のラーモア周波数に関するページ
ラーモア周波数計算機

[1] スピンダイナミクス、マルコム・H・レビット、ワイリー、2001年、

[2] ^ Louis N. Hand and Janet D. Finch. (1998). 解析力学. ケンブリッジ大学出版局, イギリス. p. 192. ISBN 978-0-521-57572-0。

[3] NMR同位体リスト

[4] V. Bargmann、L. Michel、VL Telegdi、「均一電磁場中を移動する粒子の分極の歳差運動」、Phys. Rev. Lett. 2、435 (1959)。

[5] Jackson, JD, Classical Electrodynamics、第3版、Wiley、1999年、563ページ。

[6] M. Conte、R. Jagannathan Archived 2017-02-02 at the Wayback Machine、SA Khan および M. Pusterla、「異常磁気モーメントを持つディラック粒子のビーム光学」、Particle Accelerators、56、99–126 (1996)；(プレプリント: IMSc/96/03/07、INFN/AE-96/08)。

[7] Khan, SA (1997). 荷電粒子ビーム光学の量子理論、博士論文、マドラス大学、チェンナイ、インド。（博士研究が行われた数学研究所のIMSc図書館のDspaceから論文全文を入手できます。）

[8] JHE Griffiths (1946). 「強磁性金属の異常高周波抵抗」. Nature . 158 (4019): 670– 671. Bibcode :1946Natur.158..670G. doi :10.1038/158670a0. S2CID 4143499.

[9] ザヴォイスキー、E. (1946)。「デシメートル波領域におけるスピン磁気共鳴」。フィジチェスキー・ジュルナル。１０．

[10] Zavoisky, E. (1946). 「垂直磁場中におけるいくつかの塩の常磁性吸収」Zhurnal Eksperimental'noi i Teoreticheskoi Fiziki . 16 (7): 603– 606.