ローラン多項式

数学において、体上の1変数のローラン多項式（ローランたるたにちなんで名付けられた）は、係数がである変数の正と負のべき乗の線形結合である。のローラン多項式はで表される環を形成する。^[1]通常の多項式とは異なり、負の次数の項を持つ場合がある。ローラン多項式の構築は反復することができ、複数の変数のローラン多項式環を導くことができる。ローラン多項式は複素変数の研究において特に重要である。 $\mathbb {F}$ $\mathbb {F}$ $X$ $\mathbb {F} [X,X^{-1}]$

意味

体上の係数を持つローラン多項式は、次の形式の表現である。 $\mathbb {F}$

p(X)=\sum _{k=n}^{\infty }p_{k}X^{k},\quad p_{k}\in \mathbb {F} ,\ n\in \mathbb {Z}

ここでは形式変数であり、総和指数は整数（必ずしも正ではない）であり、すべての大きな負のに対してとなる。2つのローラン多項式は、係数が等しい場合に等しい。このような式は加算、乗算でき、同項を約分することで元の形に戻すことができる。加算と乗算の公式は通常の多項式と全く同じであるが、の正のべき乗と負のべき乗の両方が存在できるという点が異なる。 $X$ $k$ $p_{k}=0$ $k$ $X$

{\bigg (}\sum _{i}a_{i}X^{i}{\bigg )}+{\bigg (}\sum _{i}b_{i}X^{i}{\bigg )}=\sum _{i}(a_{i}+b_{i})X^{i}

そして

{\bigg (}\sum _{i}a_{i}X^{i}{\bigg )}\cdot {\bigg (}\sum _{j}b_{j}X^{j}{\bigg )}=\sum _{k}{\Bigg (}\sum _{i,j \atop i+j=k}a_{i}b_{j}{\Bigg )}X^{k}.

係数と非ゼロの数は有限個だけなので、すべての合計は実質的に有限個の項のみを持ち、したがってローラン多項式を表します。 $a_{i}$ $b_{j}$

プロパティ

上のローラン多項式は、有限個の係数のみがゼロでないローラン級数として見ることができます。 $\mathbb {C}$
ローラン多項式環は、多項式環を「反転」することによって得られる拡張です。より厳密に言えば、これは多項式環をのべき乗からなる乗法集合に局所化したものです。ローラン多項式環の多くの性質は、局所化の一般的な性質から導かれます。 $R\left[X,X^{-1}\right]$ $R[X]$ $X$ $X$
ローラン多項式環は有理関数の部分環です。
体上のローラン多項式の環はノイザンである（アルティンではない）。
が整域の場合、ローラン多項式環の単位はの形を持ちます。ここではの単位であり、は整数です。特に、が体の場合、の単位はの形を持ちます。ここではの非零元です。 $R$ $R\left[X,X^{-1}\right]$ $uX^{k}$ $u$ $R$ $k$ $K$ $K[X,X^{-1}]$ $aX^{k}$ $a$ $K$
ローラン多項式環は上の整数群の群環と同型である。より一般に、変数に関するローラン多項式環は、階数の自由アーベル群の群環と同型である。したがって、ローラン多項式環は可換かつ可換なホップ代数の構造を持つことができる。 $R[X,X^{-1}]$ $\mathbb {Z}$ $R$ $n$ $n$

参照

ジョーンズ多項式

参考文献

^ ワイスタイン、エリック W.「ローラン多項式」。マスワールド。

[1] ワイスタイン、エリック W.「ローラン多項式」。マスワールド。