リー・ヤンの定理

統計力学において、リー・ヤンの定理は、統計場の理論における強磁性相互作用のあるモデルの分割関数を外部場の関数と見なすと、すべての零点は純虚数（または変数変換後の単位円上）になる、と述べています。最初のバージョンは、イジングモデルに対してTD LeeとCN Yang  ( 1952 )によって証明されました( Lee & Yang 1952 )。彼らの結果は、後に何人かの人々によってより一般的なモデルに拡張されました。1970 年に Asano は、リー・ヤンの定理をハイゼンベルクモデルに拡張し、浅野縮約を使用したより簡単な証明を提供しました。Simon & Griffiths (1973) は、イジングモデルの重ね合わせで近似することにより、リー・ヤンの定理を特定の連続確率分布に拡張しました。Newman (1974) は、リー・ヤンの定理が零相互作用に対して成り立つ限り、強磁性相互作用に対しても成り立つ、という一般的な定理を与えました。Lieb & Sokal (1981)は、R上の測度に関するNewmanの結果を、高次元ユークリッド空間上の測度へと一般化した。

リー・ヤンの定理とリーマンゼータ関数に関するリーマン予想との関係についてはいくつかの推測がなされている。( Knauf 1999 )を参照。

声明

予選

ニューマン（1974）の定式化によれば、ハミルトニアンは次のように与えられる。

${\displaystyle H=-\sum J_{jk}S_{j}S_{k}-\sum z_{j}S_{j}}$

ここで、S _jはスピン変数、z _{j は}外場です。相互作用項J _jkのすべての係数が非負の実数である 場合、系は強磁性であるといわれます。

分配関数は次のように与えられる。

${\displaystyle Z=\int e^{-H}d\mu _{1}(S_{1})\cdots d\mu _{N}(S_{N})}$

ここで、各dμ _jは実数R上の偶測度であり、無限大で非常に速く減少するので、すべてのガウス関数は積分可能である。すなわち、

${\displaystyle \int e^{bS^{2}}d|\mu _{j}(S)|<\infty ,\,\forall b\in \mathbb {R} .}$

実数上の急速に減少する測度は、そのフーリエ変換のすべての零点が次のように実数である場合に、 リー・ヤン特性を持つと言われます。

${\displaystyle \int e^{hS}d\mu _{j}(S)\neq 0,\,\forall h\in \mathbb {H} _{+}:=\{z\in \mathbb {C} \mid \Re (z)>0\}}$

定理

リー・ヤンの定理は、ハミルトニアンが強磁性であり、すべての測度dμ _{j が}リー・ヤン特性を持ち、すべての数z _jが正の実部を持つ場合、分割関数はゼロ以外になることを述べています。

${\displaystyle Z(\{z_{j}\})\neq 0,\,\forall z_{j}\in \mathbb {H} _{+}}$

特に、すべての数z _jが何らかの数zに等しい場合、分割関数 ( zの関数として考えた場合) のすべてのゼロは虚数になります。

LeeとYangが考察した元のIsing模型の場合、測度はすべて2点集合−1, 1上に台を持つため、分配関数は変数ρ = e ^{π z}の関数とみなすことができます。この変数変換により、Lee-Yangの定理は、すべての零点ρが単位円上にあることを示せます。

例

リー・ヤン特性を持つ測度のいくつかの例を以下に示します。

• イジング模型の測度。重みが1/2の2点（通常は1と-1）からなる台を持つ。これはリーとヤンが最初に検討したケースである。
• スピンn /2の分布。その台座にはn +1個の等間隔の点があり、それぞれの重みは1/( n  + 1)である。これはイジング模型の場合の一般化である。
• -1 から 1 の間に均一に分布する測度の密度。
• 密度 ${\displaystyle \exp(-\lambda \cosh(S))\,dS}$
• λ が正でbが実数の場合の密度。これは ( φ ⁴ ) ₂ユークリッド量子場理論に対応する。 ${\displaystyle \exp(-\lambda S^{4}-bS^{2})\,dS}$
• 正の λ の密度は必ずしも Lee-Yang 特性を持つわけではありません。 ${\displaystyle \exp(-\lambda S^{6}-aS^{4}-bS^{2})\,dS}$
• dμ にリー・ヤン特性がある場合、任意の正のbに対して exp( bS ² )  dμにもリー・ヤン特性があります。
• dμにリーヤン特性がある場合、すべての零点が虚数である任意の偶数多項式Qに対してQ ( S )  dμにもリーヤン特性があります。
• Lee-Yang プロパティを持つ 2 つの測度の畳み込みにも、Lee-Yang プロパティが存在します。

参照

• リー・ヤン理論

参考文献

• イツィクソン、クロード、ドゥルーフ、ジャン＝ミシェル（1989）、統計場の理論。第1巻、ケンブリッジ数理物理学モノグラフ、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-34058-8、MR  1175176
• クナウフ、アンドレアス (1999)、「数論、力学系、統計力学」、Reviews in Mathematical Physics、11 (8): 1027– 1060、Bibcode : 1999RvMaP..11.1027K、CiteSeerX  10.1.1.184.8685、doi : 10.1142/S0129055X99000325、ISSN  0129-055X、MR  1714352
• Lee, TD; Yang, CN (1952)、「状態方程式と相転移の統計理論。II. 格子気体とイジング模型」、Physical Review、87 (3): 410– 419、Bibcode : 1952PhRv...87..410L、doi : 10.1103/PhysRev.87.410、ISSN  0031-9007
• Lieb, Elliott H.; Sokal, Alan D. (1981), 「一成分および多成分強磁性体に対する一般的なリー・ヤン定理」 , Communications in Mathematical Physics , 80 (2): 153– 179, Bibcode : 1981CMaPh..80..153L , doi : 10.1007/BF01213009 , ISSN  0010-3616 , MR  0623156 , S2CID  59332042
• ニューマン、チャールズ・M.（1974）、「一般化イジングシステムの分割関数の零点」、純粋応用数学通信、27（2）：143-159、doi：10.1002/cpa.3160270203、ISSN  0010-3640、MR  0484184
• Simon, Barry ; Griffiths, Robert B. (1973)、「古典イジング模型としての(φ ⁴ ) ₂場の理論」 、Communications in Mathematical Physics、33 (2): 145– 164、Bibcode : 1973CMaPh..33..145S、CiteSeerX  10.1.1.210.9639、doi : 10.1007/BF01645626、ISSN  0010-3616、MR  0428998、S2CID  123201243
• Yang, CN; Lee, TD (1952)、「状態方程式と相転移の統計理論。I.凝縮理論」、Physical Review、87 (3): 404– 409、Bibcode : 1952PhRv...87..404Y、doi : 10.1103/PhysRev.87.404、ISSN  0031-9007

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