ルジャンドル多項式

System of complete and orthogonal polynomials

最初の6つのルジャンドル多項式

数学において、ルジャンドル多項式は、アドリアン＝マリー・ルジャンドル（1782）にちなんで名付けられた、完全な直交多項式の体系であり、多くの数学的性質と多様な応用を持つ。ルジャンドル多項式は様々な方法で定義することができ、様々な定義は異なる側面を強調するだけでなく、一般化や様々な数学的構造、物理的・数値的応用への関連性を示唆する。

ルジャンドル多項式に密接に関連しているものとしては、ルジャンドル随伴多項式、ルジャンドル関数、第 2 種ルジャンドル関数、大 q-ルジャンドル多項式、ルジャンドル随伴関数などがあります。

定義と表現

直交系としての構成による定義

このアプローチでは、多項式は区間 上の重み関数に関する直交系として定義されます。つまり、は次数 の多項式であり、 ${\displaystyle w(x)=1}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx=0\quad {\text{if }}n\neq m.}$$

追加の標準化条件 を用いることで、すべての多項式を一意に決定できます。次に、構築プロセスを開始します。は、正しく標準化された 0 次多項式の唯一のものです。は に直交する必要があり、が導かれます。また、 は、およびに直交することを要求することで決定されます。以下同様です。は、 のすべての に直交することを要求することで固定されます。これにより、 の標準化と相まって、のすべての係数が固定される条件が得られます。 を作用させることで、あらゆる多項式のすべての係数を体系的に決定でき、以下に示す のべき乗の明示的な表現が得られます。 ${\displaystyle P_{n}(1)=1}$ ${\displaystyle P_{0}(x)=1}$ ${\displaystyle P_{1}(x)}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P_{1}(x)=x}$ ${\displaystyle P_{2}(x)}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle P_{m}}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{n}(1)=1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle x}$

のこの定義は最も単純なものである。これは微分方程式の理論には当てはまらない。第二に、多項式の完全性は、べき乗 1, の完全性から直接導かれる。最後に、上のルベーグ測度に関する直交性を介してそれらを定義することにより、ルジャンドル多項式は3つの古典的な直交多項式系 の1つとなる。他の2つは、重み を持つ半直線上で直交するラゲール多項式と、重み を持つ全直線上で直交するエルミート多項式である。 ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle x,x^{2},x^{3},\ldots }$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle e^{-x}}$ ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$

生成関数による定義

ルジャンドル多項式は、生成関数のべき乗の形式展開における係数として定義することもできる^[1] ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}\,.}$$

2

の係数はの次数 の多項式である。まで展開すると が得られる 。高次の展開は次第に面倒になるが、体系的に行うことは可能であり、これも以下に示す明示的な形式のいずれかにつながる。 ${\displaystyle t^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |x|\leq 1}$ ${\displaystyle t^{1}}$ $${\displaystyle P_{0}(x)=1\,,\quad P_{1}(x)=x.}$$

しかし、テイラー級数を直接展開しなくても、より高い を得ることは可能です。 式 2は両辺をtについて微分し、整理すると次の式が得られます。 式2の平方根の商をその定義に 置き換え、結果として得られる展開でtのべき乗の係数を等しくすると、ボネットの再帰式が得られます 。 この関係と最初の 2 つの多項式P ₀とP ₁により、残りはすべて再帰的に生成できます。 ${\displaystyle P_{n}}$ $${\displaystyle {\frac {x-t}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\left(1-2xt+t^{2}\right)\sum _{n=1}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}\,.}$$ $${\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,.}$$

生成関数アプローチは、以下で説明するように、静電気学における多重極展開に直接関連しており、1782 年にルジャンドルによって多項式が初めて定義された方法です。

微分方程式による定義

3番目の定義はルジャンドルの微分方程式の解に基づいている。

$${\displaystyle (1-x^{2})P_{n}''(x)-2xP_{n}'(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0.}$$

1

この微分方程式はx = ±1に正則特異点を持つため、標準的なフロベニウス法またはべき級数法を使用して解を求める場合、一般に、原点の周りの級数は| x | < 1でのみ収束します。 n が整数のとき、 x = 1で正則な解P _n ( x )はx = −1でも正則であり、この解の級数は終了しています（つまり、多項式です）。 これらの解の直交性と完全性は、ストゥルム・リウヴィル理論の観点から最もよく理解されます。の代わりに固有値を使用して、微分方程式を固有値問題として書き直します。 これは を持つストゥルム・リウヴィル方程式です。 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right){\frac {d}{dx}}P(x)\right)=-\lambda P(x)\,,}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n(n+1)}$ ${\displaystyle p=1-x^{2},q=0,w=1}$

解が において正則であることを要求すると、左辺の微分作用素はエルミートとなる。固有値はn ( n + 1)の形をとり、 となり、固有関数は となる。この解の集合の直交性と完全性は、シュトゥルム・リウヴィル理論のより大きな枠組みから直ちに導かれる。 ${\displaystyle x=\pm 1}$ ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$

微分方程式には、第二種ルジャンドル関数という、多項式ではない別の解が存在する。(式 1 )の2パラメータ一般化は ルジャンドルの一般微分方程式と呼ばれ、ルジャンドル多項式によって解かれる。ルジャンドル関数は、ルジャンドル微分方程式（一般化または非一般）の非整数パラメータ解である。 ${\displaystyle Q_{n}}$

物理的な設定では、ラプラス方程式（および関連する偏微分方程式）を球面座標で変数分離して解くときはいつでも、ルジャンドルの微分方程式が自然に生じます。この観点から、ラプラス演算子の角度部分の固有関数は球面調和関数であり、そのルジャンドル多項式は（乗法定数を除いて）極軸の周りの回転で不変のままになる部分集合です。多項式は のように表されます。ここでは極角です。ルジャンドル多項式へのこのアプローチは、回転対称性との深いつながりを提供します。解析手法を通じて苦労して見つけられるルジャンドル多項式の特性の多く（たとえば加法定理）は、対称性および群論の方法を使用するとより簡単に見つけられ、深い物理的および幾何学的意味を持ちます。 ${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle \theta }$

ロドリゲスの公式とその他の明示的な公式

ルジャンドル多項式の特に簡潔な表現はロドリゲスの公式で与えられる： $${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\,.}$$

この公式は、の多数の性質を導出することを可能にする。その中には、以下のような明示的な表現がある。 ${\displaystyle P_{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{\!2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k},\\[1ex]P_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{\!k},\\[1ex]P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k},\\[1ex]P_{n}(x)&=2^{n}\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {\frac {n+k-1}{2}}{n}},\\[1ex]P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=\lceil n/2\rceil }^{n}{\frac {(-1)^{k+n}(2k)!}{(2k-n)!(n-k)!k!}}x^{2k-n},\\[1ex]P_{n}(x)&={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cdot \cos(t)\right)}^{n}\,dt&{\text{if }}|x|>1,\\x^{n}&{\text{if }}|x|=1,\\\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\cdot x^{n}\cdot |x|\cdot \int _{|x|}^{1}{\frac {t^{-n-1}}{\sqrt {t^{2}-x^{2}}}}\cdot {\frac {\cos \left(n\cdot \arccos(t)\right)}{\sin \left(\arccos(t)\right)}}\,dt&{\text{if }}0<|x|<1,\\\displaystyle (-1)^{n/2}\cdot 2^{-n}\cdot {\binom {n}{n/2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}n{\text{ even}},\\0&{\text{if }}x=0{\text{ and }}n{\text{ odd}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

多項式をべき級数として表すと、のべき乗の係数は再帰を使って計算することもできる。 ${\textstyle P_{n}(x)=\sum a_{n,k}x^{k}}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle a_{n,k}=-{\frac {(n-k+2)(n+k-1)}{k(k-1)}}a_{n,k-2}.}$$または

${\displaystyle a_{n,k}=-{\frac {n+k-1}{n-k}}a_{n-2,k}.}$

ルジャンドル多項式は、2つの定数との値によって決定されます。ここで、が奇数の場合は、が偶数です。^[2] ${\textstyle a_{n,0}}$ ${\textstyle a_{n,1}}$ ${\textstyle a_{n,0}=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle a_{n,1}=0}$ ${\displaystyle n}$

4番目の表現では、は以下の最大の整数を表します。5番目の表現も再帰式から直接得られ、ルジャンドル多項式を単純な単項式で表し、二項係数 の一般化形を含みます。 ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle n/2}$

冪級数表現の反転は^{[3] [4]}

${\displaystyle x^{m}=\sum _{s=0}^{\lfloor m/2\rfloor }(2m-4s+1){\frac {(2s+2)(2s+4)\cdots 2\lfloor m/2\rfloor }{(2m-2s+1)(2m-2s-1)(2m-2s-3)\cdots (1+2\lfloor (m+1)/2\rfloor )}}P_{m-2s}(x).}$

の場合、分子の空積（最後の因数が最初の因数より小さい）は 1 と評価されます。 ${\displaystyle m=0,1,2,\ldots }$

最初のいくつかのルジャンドル多項式は次のとおりです。

${\displaystyle n}$	${\displaystyle P_{n}(x)}$
0	${\textstyle 1}$
1	${\textstyle x}$
2	${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\left(3x^{2}-1\right)}$
3	${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\left(5x^{3}-3x\right)}$
4	${\textstyle {\tfrac {1}{8}}\left(35x^{4}-30x^{2}+3\right)}$
5	${\textstyle {\tfrac {1}{8}}\left(63x^{5}-70x^{3}+15x\right)}$
6	${\textstyle {\tfrac {1}{16}}\left(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5\right)}$
7	${\textstyle {\tfrac {1}{16}}\left(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x\right)}$
8	${\textstyle {\tfrac {1}{128}}\left(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35\right)}$
9	${\textstyle {\tfrac {1}{128}}\left(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x\right)}$
10	${\textstyle {\tfrac {1}{256}}\left(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63\right)}$

これらの多項式のグラフ（n = 5まで）を以下に示します。

最初の 6 つのルジャンドル多項式のプロット。

主な特性

直交性と正規化

標準化は、ルジャンドル多項式の正規化を固定します（区間−1 ≤ x ≤ 1におけるL ²ノルムに関して）。ロドリゲスの公式を用いて正規化積分を求めることができます。正規化と直交性の記述は、1つの式で簡潔に表すことができます。ここで、δ _{mn は}クロネッカーのデルタを表します。 ${\displaystyle P_{n}(1)=1}$ $${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{n}(x)^{2}\,dx={\frac {2}{2n+1}}.}$$ $${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn},}$$

完全

多項式が完全であるということは、次のことを意味する。区間[−1, 1]に有限個の不連続点を持つ任意の区分連続関数が与えられたとき、和の列は平均で に収束する。ただし、 ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{\ell =0}^{n}a_{\ell }P_{\ell }(x)}$$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ $${\displaystyle a_{\ell }={\frac {2\ell +1}{2}}\int _{-1}^{1}f(x)P_{\ell }(x)\,dx.}$$

この完全性プロパティは、この記事で説明するすべての展開の基礎となり、多くの場合、 −1 ≤ x ≤ 1および−1 ≤ y ≤ 1の形式 で表現されます。 $${\displaystyle \sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {2\ell +1}{2}}P_{\ell }(x)P_{\ell }(y)=\delta (x-y),}$$

アプリケーション

逆距離ポテンシャルの拡大

ルジャンドル多項式は、ニュートン力学ポテンシャルの展開における係数として、 1782年にアドリアン・マリー・ルジャンドル^[5]によって初めて導入されました。 ここで、rとr ′はそれぞれベクトルxとx ′の長さ、 γはこれら2つのベクトル間の角度です。この級数はr > r ′のときに収束します。この式は、質点に関連する重力ポテンシャル、または点電荷に関連するクーロンポテンシャルを与えます。ルジャンドル多項式を用いた展開は、例えば、この式を連続的な質量分布や電荷分布にわたって積分する場合に役立ちます。 $${\displaystyle {\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+{r'}^{2}-2r{r'}\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {{r'}^{\ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma ),}$$

ルジャンドル多項式は、電荷のない空間領域におけるラプラス方程式の静的ポテンシャル∇ ² Φ( x ) = 0の解に、変数分離法を用いて現れる。この場合、境界条件は軸対称性を持つ（方位角に依存しない）。ここで、ẑは対称軸、θは観測者の位置とẑ軸（天頂角）の間の角度である。ポテンシャルの解は、 $${\displaystyle \Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right)P_{\ell }(\cos \theta )\,.}$$

A _lとB _lは各問題の境界条件に応じて決定される。 ^[6]

これらは、中心力について 3 次元のシュレーディンガー方程式を解くときにも現れます。

多重極展開において

電位の多重極展開の図。

ルジャンドル多項式は、（前述と同じで、少し書き方が異なりますが）形式の関数を展開する際にも役立ちます。 これは多重極展開で自然に生じます。方程式の左辺は、ルジャンドル多項式の生成関数です。 $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\eta ^{2}-2\eta x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\eta ^{k}P_{k}(x),}$$

例えば、z = a（右図参照）のz軸上の点電荷による電位 Φ( r , θ )（球座標）は次のように変化する。 $${\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{R}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}.}$$

観測点Pの半径rがaより大きい場合、ポテンシャルはルジャンドル多項式で展開される可能性があり、η = ⁠ $${\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta ),}$$1つの/r⁠ < 1かつx = cos θ。この展開は、通常の多重極展開を展開するために使用されます。

逆に、観測点Pの半径rがaより小さい場合、ポテンシャルは上記と同様にルジャンドル多項式で展開できるが、aとrは入れ替えられる。この展開は内部多重極展開の基礎となる。

三角法では

三角関数cos nθ は、チェビシェフ多項式 T _n (cos θ ) ≡ cos nθとも表記され、ルジャンドル多項式P _n (cos θ )によって多重極展開することもできる。最初のいくつかの次数は以下の通りである。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}T_{0}(\cos \theta )&=1&&=P_{0}(\cos \theta ),\\[4pt]T_{1}(\cos \theta )&=\cos \theta &&=P_{1}(\cos \theta ),\\[4pt]T_{2}(\cos \theta )&=\cos 2\theta &&={\tfrac {1}{3}}{\bigl (}4P_{2}(\cos \theta )-P_{0}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{3}(\cos \theta )&=\cos 3\theta &&={\tfrac {1}{5}}{\bigl (}8P_{3}(\cos \theta )-3P_{1}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{4}(\cos \theta )&=\cos 4\theta &&={\tfrac {1}{105}}{\bigl (}192P_{4}(\cos \theta )-80P_{2}(\cos \theta )-7P_{0}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{5}(\cos \theta )&=\cos 5\theta &&={\tfrac {1}{63}}{\bigl (}128P_{5}(\cos \theta )-56P_{3}(\cos \theta )-9P_{1}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{6}(\cos \theta )&=\cos 6\theta &&={\tfrac {1}{1155}}{\bigl (}2560P_{6}(\cos \theta )-1152P_{4}(\cos \theta )-220P_{2}(\cos \theta )-33P_{0}(\cos \theta ){\bigr )}.\end{alignedat}}}$$

これをまとめると、 ${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle T_{n}(x)=2^{2n-n'}{\hat {n}}!\sum _{t=0}^{\hat {n}}(n-2t+1/2){\frac {(n-t-1)!}{2^{2t}t!(n-1)!}}\times {\frac {(-1)\cdot 1\cdot 3\cdots (2t-3)}{(1+2n')(3+2n')\cdots (2n-2t+1)}}P_{n-2t}(x).}$

ここで、、、および、分子と分母のステップが 2 である積は、空の場合、つまり最後の因数が最初の因数よりも小さい場合は 1 と解釈されます。 ${\displaystyle {\hat {n}}\equiv \lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle n'\equiv \lfloor (n+1)/2\rfloor }$

もう一つの性質はsin ( n + 1) θの式であり、 $${\displaystyle {\frac {\sin(n+1)\theta }{\sin \theta }}=\sum _{\ell =0}^{n}P_{\ell }(\cos \theta )P_{n-\ell }(\cos \theta ).}$$

リカレントニューラルネットワークでは

d次元のメモリベクトルを含むリカレントニューラルネットワークは、そのニューラル活動が次の状態空間表現によって与えられる線形時間不変システムに従うように最適化できます。 ${\displaystyle \mathbf {m} \in \mathbb {R} ^{d}}$ $${\displaystyle \theta {\dot {\mathbf {m} }}(t)=A\mathbf {m} (t)+Bu(t),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left[a\right]_{ij}\in \mathbb {R} ^{d\times d}{\text{,}}\quad &&a_{ij}=\left(2i+1\right){\begin{cases}-1&i<j\\(-1)^{i-j+1}&i\geq j\end{cases}},\\B&=\left[b\right]_{i}\in \mathbb {R} ^{d\times 1}{\text{,}}\quad &&b_{i}=(2i+1)(-1)^{i}.\end{aligned}}}$$

この場合、過去の時間単位にわたる のスライディングウィンドウは、の時点におけるの要素で重み付けされた最初のシフトされたルジャンドル多項式の線形結合によって最もよく近似されます。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbf {m} }$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle u(t-\theta ')\approx \sum _{\ell =0}^{d-1}{\widetilde {P}}_{\ell }\left({\frac {\theta '}{\theta }}\right)\,m_{\ell }(t),\quad 0\leq \theta '\leq \theta .}$$

ディープラーニング手法と組み合わせることで、これらのネットワークは、より少ない計算リソースで、長期短期記憶ユニットや関連アーキテクチャよりも優れたパフォーマンスを発揮するようにトレーニングすることができます。 ^[7]

追加のプロパティ

ルジャンドル多項式は明確な偶奇性を持つ。つまり 、偶数か奇数かである。^[8] $${\displaystyle P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x)\,.}$$

もう一つの有用な性質は、との直交関係を考慮することで得られる である。これは、関数や実験データを近似するためにルジャンドル級数を用いる場合に便利である。区間[−1, 1]における級数の平均は、単に展開係数 によって与えられる。 $${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{n}(x)\,dx=0{\text{ for }}n\geq 1,}$$ ${\displaystyle P_{0}(x)=1}$ ${\textstyle \sum _{i}a_{i}P_{i}}$ ${\displaystyle a_{0}}$

反微分は^[9]

${\displaystyle \int P_{n}(x)dx={\frac {1}{2n+1}}[P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x)],\quad n\geq 1.}$

微分方程式と直交性はスケーリングに依存しないため、ルジャンドル多項式の定義は「標準化」（「正規化」と呼ばれることもあるが、実際のノルムは1ではない）され、 $${\displaystyle P_{n}(1)=1\,.}$$

終点における導関数は次のように与えられる。 $${\displaystyle P_{n}'(1)={\frac {n(n+1)}{2}}\,.}$$

製品の拡張は^[10]

${\displaystyle P_{m}(x)P_{n}(x)=\sum _{r=0}^{\min(m,n)}{\frac {A_{r}A_{m-r}A_{n-r}}{A_{m+n-r}}}{\frac {2m+2n-4r+1}{2m+2n-2r+1}}P_{m+n-2r}(x)}$

どこ。 ${\displaystyle A_{r}\equiv (2r-1)!!/r!}$

ルジャンドル多項式に対するアスキー・ガスパー不等式は次のようになる。 $${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}P_{j}(x)\geq 0\quad {\text{for }}\quad x\geq -1\,.}$$

単位ベクトルのスカラー積のルジャンドル多項式は、球面調和関数を使用して展開できます。ここで、単位ベクトルrとr ′ は、それぞれ球面座標( θ、φ )と( θ ′、φ ′)を持ちます。 $${\displaystyle P_{\ell }\left(r\cdot r'\right)={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\varphi ')\,,}$$

^{2つのルジャンドル多項式[11]} の積は、第一種完全楕円積分である。 $${\displaystyle \sum _{p=0}^{\infty }t^{p}P_{p}(\cos \theta _{1})P_{p}(\cos \theta _{2})={\frac {2}{\pi }}{\frac {\mathbf {K} \left(2{\sqrt {\frac {t\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}}{t^{2}-2t\cos \left(\theta _{1}+\theta _{2}\right)+1}}}\right)}{\sqrt {t^{2}-2t\cos \left(\theta _{1}+\theta _{2}\right)+1}}}\,,}$$ ${\displaystyle K(\cdot )}$

ディリクレ・メーラーの公式：^{[12] [13] [14] : 86、式4.8.6、式4.8.7  [15]}は、ルジャンドル多項式にも一般化されている。^{[16] [17]} $${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\theta }{\frac {\cos \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\phi }{(2\cos \phi -2\cos \theta )^{\frac {1}{2}}}}d\phi ={\frac {2}{\pi }}\int _{\theta }^{\pi }{\frac {\sin \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\phi }{(2\cos \theta -2\cos \phi )^{\frac {1}{2}}}}d\phi }$$

フーリエ・ルジャンドル級数: ^[18]ここで第一種ベッセル関数である。 $${\displaystyle e^{itx}=\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)i^{n}{\sqrt {\frac {\pi }{2t}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(t)P_{n}(x)}$$ ${\displaystyle J}$

再帰関係

上で述べたように、ルジャンドル多項式は、ボネの再帰式として知られる3項再帰関係に従う。これは 、また、別の表現で、端点においても成り立つ。 $${\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)}$$ $${\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{n}}{\frac {d}{dx}}P_{n}(x)=xP_{n}(x)-P_{n-1}(x)}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(n+1)P_{n}(x)+x{\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\,.}$$

ルジャンドル多項式の積分に便利なのは $${\displaystyle (2n+1)P_{n}(x)={\frac {d}{dx}}{\bigl (}P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x){\bigr )}\,.}$$

上記から、または等価的 に、 ‖ P _n ‖は区間−1 ≤ x ≤ 1上のノルムである ことがわかる。より一般的には、すべての次数の微分はルジャンドル多項式の和​​として表すことができる。^[19] $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(2n+1)P_{n}(x)+{\bigl (}2(n-2)+1{\bigr )}P_{n-2}(x)+{\bigl (}2(n-4)+1{\bigr )}P_{n-4}(x)+\cdots }$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)={\frac {2P_{n}(x)}{\left\|P_{n}\right\|^{2}}}+{\frac {2P_{n-2}(x)}{\left\|P_{n-2}\right\|^{2}}}+\cdots }$$ $${\displaystyle \|P_{n}\|={\sqrt {\int _{-1}^{1}{\bigl (}P_{n}(x){\bigr )}^{2}\,dx}}={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}\,.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{aligned}&{\frac {d^{q}}{dx^{q}}}P_{q+2j}(x)={\frac {2^{q-1}}{(q-1)!}}\sum _{i=0}^{j}(4i+1){\frac {(q+j-i-1)!\Gamma \left(q+j+i+{\frac {1}{2}}\right)}{(j-i)!\Gamma (j+i+3/2)}}P_{2i}(x)\\&\quad ={\frac {1}{2^{q-2}(q-1)!}}\sum _{i=0}^{j}(4i+1){\frac {(q+j-i-1)!(2q+2j+2i-1)!}{(j-i)!(2j+2i+2)!}}{\frac {(j+i+1)!}{(q+j+i-1)!}}P_{2i}(x)\end{aligned}}\\&{\begin{aligned}&{\frac {d^{q}}{dx^{q}}}P_{q+2j+1}(x)={\frac {2^{q-1}}{(q-1)!}}\sum _{i=0}^{j}(4i+3){\frac {(q+j-i-1)!\Gamma (q+j+i+3/2)}{(j-i)!\Gamma (j+i+5/2)}}P_{2i+1}(x)\\&\quad ={\frac {1}{2^{q-2}(q-1)!}}\sum _{i=0}^{j}(4i+3){\frac {(q+j-i-1)!(2q+2j+2i+1)!}{(j-i)!(2j+2i+4)!}}{\frac {(j+i+2)!}{(q+j+i)!}}P_{2i+1}(x)\end{aligned}}\end{aligned}}}$$

漸近解析

漸近的に、 に対して、ルジャンドル多項式はヒルブの公式として表すことができます: ^{[14] : 194、定理8.21.2}および より大きい引数に対して^[20]となります。 ここで、 J ₀、J ₁、およびI ₀はベッセル関数です。 ${\displaystyle \ell \to \infty }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\ell }(\cos \theta )&={\sqrt {\frac {\theta }{\sin \left(\theta \right)}}}\left\{J_{0}{\left[\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right]}-{\frac {\left({\frac {1}{\theta }}-\cot \theta \right)}{8(\ell +{\frac {1}{2}})}}J_{1}{\left[\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right]}\right\}+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-2}\right)\\[1ex]&={\sqrt {\frac {2}{\pi \ell \sin \left(\theta \right)}}}\cos \left[\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta -{\tfrac {\pi }{4}}\right]+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-3/2}\right),\quad \theta \in (0,\pi ),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\ell }\left(\cosh \xi \right)&={\sqrt {\frac {\xi }{\sinh \xi }}}I_{0}\left(\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)\xi \right)\left(1+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\right)\,,\\P_{\ell }\left({\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \ell e}}}{\frac {(1+e)^{\frac {\ell +1}{2}}}{(1-e)^{\frac {\ell }{2}}}}+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\end{aligned}}}$$

ゼロ

のすべての零点は実数で、互いに異なり、区間 内にあります。さらに、これらを区間を部分区間に分割するものとみなすと、各部分区間には の零点がちょうど1つ含まれます。これはインターレース性として知られています。パリティ性により、が の零点であればも の零点であることは明らかです。これらの零点は、ガウス積分法に基づく数値積分において重要な役割を果たします。 の に基づく特定の積分法は、ガウス・ルジャンドル積分法として知られています。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle P_{n+1}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle -x_{k}}$ ${\displaystyle P_{n}}$

の零点はの範囲にわたってほぼ均一に分布しており、ごとに1つの零点があるという意味である。^[21]これはディリクレ・メーラーの第一公式を見ることで証明できる。^[22] ${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle \theta \in (0,\pi )}$ ${\displaystyle \theta \in \left({\frac {\pi (k+1/2)}{n+1/2}},{\frac {\pi (k+1)}{n+1/2}}\right)}$ ${\displaystyle k=0,1,\dots ,n-1}$

この性質と という事実から、は において極小値と極大値を持つことがわかります。同様に、はにおいてゼロを持ちます。 ${\displaystyle P_{n}(\pm 1)\neq 0}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle dP_{n}(x)/dx}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle (-1,1)}$

ポイントごとの評価

パリティと正規化により、境界における値は次のように 表される。原点においては、値は次のように表される。 ${\displaystyle x=\pm 1}$ $${\displaystyle P_{n}(1)=1\,,\quad P_{n}(-1)=(-1)^{n}}$$ ${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle P_{2n}(0)={\frac {(-1)^{n}}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}={\frac {(-1)^{n}}{2^{2n}}}{\frac {(2n)!}{\left(n!\right)^{2}}}=(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}}$$ $${\displaystyle P_{2n+1}(0)=0}$$

変換された引数を持つバリアント

シフトルジャンドル多項式

シフトされたルジャンドル多項式は次のように定義されます。ここで、「シフト」関数x ↦ 2 x − 1は区間[0, 1]を区間[−1, 1]に全単射に写像するアフィン変換であり、多項式P̃ _n ( x )が[0, 1]で直交することを意味します。 $${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)=P_{n}(2x-1)\,.}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}{\widetilde {P}}_{m}(x){\widetilde {P}}_{n}(x)\,dx={\frac {1}{2n+1}}\delta _{mn}\,.}$$

シフトされたルジャンドル多項式の明示的な表現は次のように与えられる。 $${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}(-x)^{k}\,.}$$

シフトされたルジャンドル多項式に対するロドリゲスの公式の類似は $${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{2}-x\right)^{n}\,.}$$

最初のいくつかのシフトされたルジャンドル多項式は次のとおりです。

${\displaystyle n}$	${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)}$
0	${\displaystyle 1}$
1	${\displaystyle 2x-1}$
2	${\displaystyle 6x^{2}-6x+1}$
3	${\displaystyle 20x^{3}-30x^{2}+12x-1}$
4	${\displaystyle 70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1}$
5	${\displaystyle 252x^{5}-630x^{4}+560x^{3}-210x^{2}+30x-1}$

ルジャンドル有理関数

ルジャンドル有理関数は、[0, ∞)上の直交関数の列である。ルジャンドル多項式とケーリー変換を組み合わせることで得られる。

n次の有理ルジャンドル関数は次のように定義されます。 $${\displaystyle R_{n}(x)={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,P_{n}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)\,.}$$

これらは、特異シュトゥルム・リウヴィル問題の固有関数であり、固有値は $${\displaystyle \left(x+1\right){\frac {d}{dx}}\left(x{\frac {d}{dx}}\left[\left(x+1\right)v(x)\right]\right)+\lambda v(x)=0}$$ $${\displaystyle \lambda _{n}=n(n+1)\,.}$$

参照

• ガウス積分法
• ゲーゲンバウアー多項式
• トゥランの不等式
• ルジャンドルウェーブレット
• ルジャンドル関数
• ヤコビ多項式
• ロマノフスキー多項式
• ラプラス展開（ポテンシャル）

注記

1. アルフケン＆ウェーバー 2005, p.743
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4. Gradshteyn, IS; Ryzhik, IM (2015).積分、級数、積の表. Elsevier. ISBN 978-0-12-384933-5. MR  3307944。
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参考文献

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• クーラント、リチャード、ヒルベルト、デイヴィッド(1953). 『数理物理学の方法』第1巻. ニューヨーク、ニューヨーク: インターサイエンス. ISBN 978-0-471-50447-4。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
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外部リンク

• 水素の量子力学の文脈におけるルジャンドル多項式の簡単な非公式導出
• 「ルジャンドル多項式」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• Wolfram MathWorldのルジャンドル多項式に関するエントリ
• ジェームズ・B・カルバート博士の個人数学コレクションからのルジャンドル多項式に関する論文
• カーライル・E・ムーア著『ルジャンドル多項式』
• 超物理学からのルジャンドル多項式

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