Mathematical transformation
関数 は 区間 上で定義されます 。与えられた に対して 、差は で最大になります 。したがって、 のルジャンドル変換は です 。 f ( x ) {\displaystyle f(x)} [ a , b ] {\textstyle [a,b]} p {\displaystyle p} p x − f ( x ) {\displaystyle px-f(x)} x ′ {\displaystyle x'} f ( x ) {\displaystyle f(x)} f ∗ ( p ) = p x ′ − f ( x ′ ) {\displaystyle f^{*}(p)=px'-f(x')} 数学 において 、 ルジャンドル変換 （ ルジャンドル変換 ）は、 1787年に アドリアン＝マリー・ルジャンドル が極小曲面問題の研究において初めて導入した [1] 。これは、実変数に対して 凸な 実 数値関数 に対する 反転 変換 である 。具体的には、実数値多変数関数が独立した実変数の1つに対して凸である場合、この変数に関するルジャンドル変換をその関数に適用できる。
物理学の問題において、ルジャンドル変換は、ある量の関数（位置、圧力、温度など）を 共役量 の関数（それぞれ運動量、体積、エントロピー）に変換するために使用されます。このように、ルジャンドル変換は 古典力学において ラグランジアン 形式から ハミルトン 形式を導出するために （あるいはその逆）、また 熱力学において 熱力学的ポテンシャル を導出するために、そして多変数 微分方程式 の解法においても広く用いられてい ます。
実数直線上の十分に滑らかな関数に対して、 関数のルジャンドル変換は 、加法定数を除いて、関数の1階微分が互いに逆関数であるという条件によって規定できます。これは、 オイラーの微分表記 で と表すことができます。ここ で は微分演算子、 は関連付けられた関数への引数または入力、 は となる逆関数、または それと 同等に、 ラグランジュ表記 では となります 。 f ∗ {\displaystyle f^{*}} f {\displaystyle f} D f ( ⋅ ) = ( D f ∗ ) − 1 ( ⋅ ) , {\displaystyle Df(\cdot )=\left(Df^{*}\right)^{-1}(\cdot )~,} D {\displaystyle D} ⋅ {\displaystyle \cdot } ( ϕ ) − 1 ( ⋅ ) {\displaystyle (\phi )^{-1}(\cdot )} ( ϕ ) − 1 ( ϕ ( x ) ) = x {\displaystyle (\phi )^{-1}(\phi (x))=x} f ′ ( f ∗ ′ ( x ∗ ) ) = x ∗ {\displaystyle f'(f^{*\prime }(x^{*}))=x^{*}} f ∗ ′ ( f ′ ( x ) ) = x {\displaystyle f^{*\prime }(f'(x))=x}
ルジャンドル変換をアフィン空間と非凸関数に一般化したもの（ルジャンドル・フェンシェル変換とも呼ばれる）は 、関数の 凸包 を構築するために使用できます 。
意味
1次元実空間における定義 を区間 、を 凸 関数 とする と 、 の ルジャンドル変換は で定義される 関数になります。 ここで はにおける 上限 を 表します 。たとえば、 では が各 で最大化される ように選択される か、は 全体にわたって有界値を持つ ものになります (たとえば、 が線形関数のときは )。 I ⊂ R {\displaystyle I\subset \mathbb {R} } f : I → R {\displaystyle f:I\to \mathbb {R} } f {\displaystyle f} f ∗ : I ∗ → R {\displaystyle f^{*}:I^{*}\to \mathbb {R} } f ∗ ( x ∗ ) = sup x ∈ I ( x ∗ x − f ( x ) ) , I ∗ = { x ∗ ∈ R : sup x ∈ I ( x ∗ x − f ( x ) ) < ∞ } {\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in I}(x^{*}x-f(x)),\ \ \ \ I^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} :\sup _{x\in I}(x^{*}x-f(x))<\infty \right\}} sup {\textstyle \sup } I {\displaystyle I} x {\textstyle x} I {\textstyle I} x ∗ x − f ( x ) {\textstyle x^{*}x-f(x)} x ∗ {\textstyle x^{*}} x ∗ {\textstyle x^{*}} x ∗ x − f ( x ) {\displaystyle x^{*}x-f(x)} I {\textstyle I} f ( x ) {\displaystyle f(x)}
関数はの 凸共役 関数 と呼ばれます 。歴史的な理由（解析力学に由来）により、共役変数は ではなく と表記されることがよくあります 。凸関数が 直線全体で定義され、 においてどこでも 微分可能で ある場合、 は の グラフ の接線の -切片 の負の値で、 その傾きは であると 解釈 できます。 f ∗ {\displaystyle f^{*}} f {\displaystyle f} p {\displaystyle p} x ∗ {\displaystyle x^{*}} f {\displaystyle f} f ∗ ( p ) = sup x ∈ I ( p x − f ( x ) ) = ( p x − f ( x ) ) | x = ( f ′ ) − 1 ( p ) {\displaystyle f^{*}(p)=\sup _{x\in I}(px-f(x))=\left(px-f(x)\right)|_{x=(f')^{-1}(p)}} y {\displaystyle y} f {\displaystyle f} p {\displaystyle p}
定義 n 次元実空間 凸集合 上の 凸関数への一般化は 簡単です。 は定義域を持ち 、 は によって定義されます。 ここで は と の ドット積 を表します 。 f : X → R {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} } X ⊂ R n {\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}} f ∗ : X ∗ → R {\displaystyle f^{*}:X^{*}\to \mathbb {R} } X ∗ = { x ∗ ∈ R n : sup x ∈ X ( ⟨ x ∗ , x ⟩ − f ( x ) ) < ∞ } {\displaystyle X^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x))<\infty \right\}} f ∗ ( x ∗ ) = sup x ∈ X ( ⟨ x ∗ , x ⟩ − f ( x ) ) , x ∗ ∈ X ∗ , {\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x)),\quad x^{*}\in X^{*}~,} ⟨ x ∗ , x ⟩ {\displaystyle \langle x^{*},x\rangle } x ∗ {\displaystyle x^{*}} x {\displaystyle x}
ルジャンドル変換は、点と直線の 双対 関係を応用したものです。 で示される関数関係は、点 の集合として 、あるいは傾きと切片の値で指定される接線の集合として、同様に表現できます。 f {\displaystyle f} ( x , y ) {\displaystyle (x,y)}
実数直線上の 微分可能な凸関数で、その 1 次導関数 とその逆関数 を持つ関数の場合、 、 のルジャンドル変換は、関数の 1 次導関数が互いの逆関数、つまり および で あるという条件によって、加法定数を除いて指定できます 。 f {\displaystyle f} f ′ {\displaystyle f'} ( f ′ ) − 1 {\displaystyle (f')^{-1}} f {\displaystyle f} f ∗ {\displaystyle f^{*}} f ′ = ( ( f ∗ ) ′ ) − 1 {\displaystyle f'=((f^{*})')^{-1}} ( f ∗ ) ′ = ( f ′ ) − 1 {\displaystyle (f^{*})'=(f')^{-1}}
これを理解するには、まず、 実数直線上の凸関数 が微分可能であり、 の関数の 臨界点 である場合 、最大値は で達成されることに注目して ください（凸性により、このWikipediaページの最初の図を参照）。したがって、 のルジャンドル変換は です 。 f {\displaystyle f} x ¯ {\displaystyle {\overline {x}}} x ↦ p ⋅ x − f ( x ) {\displaystyle x\mapsto p\cdot x-f(x)} x ¯ {\textstyle {\overline {x}}} f {\displaystyle f} f ∗ ( p ) = p ⋅ x ¯ − f ( x ¯ ) {\displaystyle f^{*}(p)=p\cdot {\overline {x}}-f({\overline {x}})}
次に、1次導関数 が可逆で、その逆関数を とします 。すると、各 に対して 、点は 関数の 唯一の臨界点 （すなわち ）です。なぜなら、 における 関数の 1次導関数は だからです。したがって、 各 に対して が成り立ちます 。 について微分すると 、 が成り立ちます
。 これは と簡約できる ためです 。言い換えれば、 と は 互いに逆関数です 。 f ′ {\displaystyle f'} g = ( f ′ ) − 1 {\displaystyle g=(f')^{-1}} p {\textstyle p} g ( p ) {\displaystyle g(p)} x ¯ {\textstyle {\overline {x}}} x ↦ p x − f ( x ) {\displaystyle x\mapsto px-f(x)} x ¯ = g ( p ) {\displaystyle {\overline {x}}=g(p)} f ′ ( g ( p ) ) = p {\displaystyle f'(g(p))=p} x {\displaystyle x} g ( p ) {\displaystyle g(p)} p − f ′ ( g ( p ) ) = 0 {\displaystyle p-f'(g(p))=0} f ∗ ( p ) = p ⋅ g ( p ) − f ( g ( p ) ) {\displaystyle f^{*}(p)=p\cdot g(p)-f(g(p))} p {\textstyle p} p {\textstyle p} ( f ∗ ) ′ ( p ) = g ( p ) + p ⋅ g ′ ( p ) − f ′ ( g ( p ) ) ⋅ g ′ ( p ) . {\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)+p\cdot g'(p)-f'(g(p))\cdot g'(p).} f ′ ( g ( p ) ) = p {\displaystyle f'(g(p))=p} ( f ∗ ) ′ ( p ) = g ( p ) = ( f ′ ) − 1 ( p ) {\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)=(f')^{-1}(p)} ( f ∗ ) ′ {\displaystyle (f^{*})'} f ′ {\displaystyle f'}
一般に、 が の逆数である場合 、 積分 する と となり、 は定数です。 h ′ = ( f ′ ) − 1 {\displaystyle h'=(f')^{-1}} f ′ , {\displaystyle f',} h ′ = ( f ∗ ) ′ {\displaystyle h'=(f^{*})'} f ∗ = h + c {\displaystyle f^{*}=h+c} c {\displaystyle c}
実用的には、 対 のパラメトリックプロットは 対 のグラフに相当する。 f ( x ) , {\displaystyle f(x),} x f ′ ( x ) − f ( x ) {\displaystyle xf'(x)-f(x)} f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} f ∗ ( p ) {\displaystyle f^{*}(p)} p . {\displaystyle p.}
いくつかのケース（例えば、下記の熱力学的ポテンシャル）では、非標準的な要件が使用され、 マイナス記号 付きの f * の代替定義に相当する。 f ( x ) − f ∗ ( p ) = x p . {\displaystyle f(x)-f^{*}(p)=xp.}
物理的な文脈における定義 解析力学 と 熱力学 では 、ルジャンドル変換は通常次のように定義されます。が の関数であるとすると 、 f {\displaystyle f} x {\displaystyle x}
d f = d f d x d x . {\displaystyle \mathrm {d} f={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\mathrm {d} x.} この関数にルジャンドル変換を施すということは、 独立変数として をとるということなので、上記の式は次のように書ける。 p = d f d x {\displaystyle p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}
d f = p d x , {\displaystyle \mathrm {d} f=p\mathrm {d} x,} そして積の法則 によれば 、 d ( u v ) = u d v + v d u , {\displaystyle \mathrm {d} (uv)=u\mathrm {d} v+v\mathrm {d} u,}
d ( x p − f ) = x d p + p d x − d f = x d p , {\displaystyle \mathrm {d} \left(xp-f\right)=x\mathrm {d} p+p\mathrm {d} x-\mathrm {d} f=x\mathrm {d} p,} そして、 私たちが持っている もの
を取ることは、 f ∗ = x p − f , {\displaystyle f^{*}=xp-f,} d f ∗ = x d p , {\displaystyle \mathrm {d} f^{*}=x\mathrm {d} p,}
d f ∗ d p = x . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f^{*}}{\mathrm {d} p}}=x.} が変数 の関数である とき 、各1つまたは複数の変数に対してルジャンドル変換を実行することができます。 f {\displaystyle f} n {\displaystyle n} x 1 , x 2 , ⋯ , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}
d f = p 1 d x 1 + p 2 d x 2 + ⋯ + p n d x n , {\displaystyle \mathrm {d} f=p_{1}\mathrm {d} x_{1}+p_{2}\mathrm {d} x_{2}+\cdots +p_{n}\mathrm {d} x_{n},} ここで 、例えば に対してルジャンドル変換を実行したい場合、 を独立変数として 取り 、ライプニッツの法則を用いると、 p i = ∂ f ∂ x i . {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}.} x 1 {\displaystyle x_{1}} p 1 {\displaystyle p_{1}} x 2 , ⋯ , x n {\displaystyle x_{2},\cdots ,x_{n}}
d ( f − x 1 p 1 ) = − x 1 d p 1 + p 2 d x 2 + ⋯ + p n d x n . {\displaystyle \mathrm {d} (f-x_{1}p_{1})=-x_{1}\mathrm {d} p_{1}+p_{2}\mathrm {d} x_{2}+\cdots +p_{n}\mathrm {d} x_{n}.} 関数について は φ ( p 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) − x 1 p 1 , {\displaystyle \varphi (p_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})-x_{1}p_{1},}
∂ φ ∂ p 1 = − x 1 , ∂ φ ∂ x 2 = p 2 , ⋯ , ∂ φ ∂ x n = p n . {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial p_{1}}}=-x_{1},\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}=p_{2},\quad \cdots ,\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}=p_{n}.} この変換を変数に対して行うこともできます 。これをすべての変数に対して行うと、 x 2 , ⋯ , x n {\displaystyle x_{2},\cdots ,x_{n}}
d φ = − x 1 d p 1 − x 2 d p 2 − ⋯ − x n d p n {\displaystyle \mathrm {d} \varphi =-x_{1}\mathrm {d} p_{1}-x_{2}\mathrm {d} p_{2}-\cdots -x_{n}\mathrm {d} p_{n}} どこ φ = f − x 1 p 1 − x 2 p 2 − ⋯ − x n p n . {\displaystyle \varphi =f-x_{1}p_{1}-x_{2}p_{2}-\cdots -x_{n}p_{n}.} 解析力学では、ラグランジアン変数に対してこの変換を実行して ハミルトニアン を 取得 します 。 q ˙ 1 , q ˙ 2 , ⋯ , q ˙ n {\displaystyle {\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\cdots ,{\dot {q}}_{n}} L ( q 1 , ⋯ , q n , q ˙ 1 , ⋯ , q ˙ n ) {\displaystyle L(q_{1},\cdots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\cdots ,{\dot {q}}_{n})}
H ( q 1 , ⋯ , q n , p 1 , ⋯ , p n ) = ∑ i = 1 n p i q ˙ i − L ( q 1 , ⋯ , q n , q ˙ 1 ⋯ , q ˙ n ) . {\displaystyle H(q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L(q_{1},\cdots ,q_{n},{\dot {q}}_{1}\cdots ,{\dot {q}}_{n}).}
熱力学では、この変換は、望ましい熱力学システム の種類に応じて変数に適用されます 。たとえば、状態のエネルギー表現 基数関数 である 内部エネルギーから始めると、次のようになります。 U ( S , V ) {\displaystyle U(S,V)}
d U = T d S − p d V , {\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V,} したがって、どちらか一方または両方に ルジャンドル変換を実行すると、 S , V {\displaystyle S,V}
d H = d ( U + p V ) = T d S + V d p {\displaystyle \mathrm {d} H=\mathrm {d} (U+pV)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ \ \ \ T\mathrm {d} S+V\mathrm {d} p} d F = d ( U − T S ) = − S d T − p d V {\displaystyle \mathrm {d} F=\mathrm {d} (U-TS)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-S\mathrm {d} T-p\mathrm {d} V} d G = d ( U − T S + p V ) = − S d T + V d p , {\displaystyle \mathrm {d} G=\mathrm {d} (U-TS+pV)=-S\mathrm {d} T+V\mathrm {d} p,} そして、これら 3 つの表現はそれぞれ物理的な意味を持っています。
このルジャンドル変換の定義は、ルジャンドルが1787年の著書[1] で初めて導入したもの で、今日の物理学者にも適用されています。実際、上で定義したすべての変数と関数（例えば、 ） を の開集合上 または 微分可能多様体上で定義された 微分可能関数 、および その 微分（微分可能多様体では 余接ベクトル として扱われる）として扱う場合、この定義は数学的に厳密です。この定義は 、 が変数に対して微分可能かつ凸である 限り、現代の数学者による定義と等価です。 f , x 1 , ⋯ , x n , p 1 , ⋯ , p n , {\displaystyle f,x_{1},\cdots ,x_{n},p_{1},\cdots ,p_{n},} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} d f , d x i , d p i {\displaystyle \mathrm {d} f,\mathrm {d} x_{i},\mathrm {d} p_{i}} f {\displaystyle f} x 1 , x 2 , ⋯ , x n . {\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}.}
プロパティ
アイデンティティ 上に示すように、凸関数 の場合 、 各 で を最大化するか有界にして ルジャンドル変換 を定義し 、 の場合 、次の恒等式が成り立ちます。 f ( x ) {\displaystyle f(x)} x = x ¯ {\displaystyle x={\bar {x}}} p x − f ( x ) {\displaystyle px-f(x)} p {\displaystyle p} f ∗ ( p ) = p x ¯ − f ( x ¯ ) {\displaystyle f^{*}(p)=p{\bar {x}}-f({\bar {x}})} g ≡ ( f ′ ) − 1 {\displaystyle g\equiv (f')^{-1}}
f ′ ( x ¯ ) = p {\displaystyle f'({\bar {x}})=p} 、 x ¯ = g ( p ) {\displaystyle {\bar {x}}=g(p)} 、 ( f ∗ ) ′ ( p ) = g ( p ) {\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)} 。
例
例1 f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}} 領域上の ルジャンドル変換は赤でプロットされ、その 領域上のルジャンドル変換は 青の破線でプロットされている。ルジャンドル変換が凸状に見えることに注目されたい。 I = R {\displaystyle I=\mathbb {R} } f ∗ ( x ∗ ) = x ∗ ( ln ( x ∗ ) − 1 ) {\displaystyle f^{*}(x^{*})=x^{*}(\ln(x^{*})-1)} I ∗ = ( 0 , ∞ ) {\displaystyle I^{*}=(0,\infty )} 定義域 を持つ 指数関数 を考えてみましょう 。定義より、ルジャンドル変換は となります 。 ただし、 はまだ決定されていません。の 上限 を評価するには、を について 微分し 、 をゼロに設定します。2 階 微分 はどこでも負なので、最大値は で得られます 。したがって、ルジャンドル変換は となり、 の 定義域は となります。これは、 関数の定義 域 とそのルジャンドル変換が異なる場合があることを示しています。 f ( x ) = e x , {\displaystyle f(x)=e^{x},} I = R {\displaystyle I=\mathbb {R} } f ∗ ( x ∗ ) = sup x ∈ R ( x ∗ x − e x ) , x ∗ ∈ I ∗ {\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in \mathbb {R} }(x^{*}x-e^{x}),\quad x^{*}\in I^{*}} I ∗ {\displaystyle I^{*}} x ∗ x − e x {\displaystyle x^{*}x-e^{x}} x {\displaystyle x} d d x ( x ∗ x − e x ) = x ∗ − e x = 0. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{*}x-e^{x})=x^{*}-e^{x}=0.} − e x {\displaystyle -e^{x}} x = ln ( x ∗ ) {\displaystyle x=\ln(x^{*})} f ∗ ( x ∗ ) = x ∗ ln ( x ∗ ) − e ln ( x ∗ ) = x ∗ ( ln ( x ∗ ) − 1 ) {\displaystyle f^{*}(x^{*})=x^{*}\ln(x^{*})-e^{\ln(x^{*})}=x^{*}(\ln(x^{*})-1)} I ∗ = ( 0 , ∞ ) . {\displaystyle I^{*}=(0,\infty ).}
のルジャンドル変換のルジャンドル変換を求めるために 、 変数を 関数の引数として意図的に使用して、 ルジャンドル変換の 反転 特性を として示します 。 を計算します。
したがって、 の領域での 2次導関数が となるため、 最大値は で発生します。 その 結果、が として見つかり
、 が予想どおりであることが確認されます 。 f {\displaystyle f} f ∗ ∗ ( x ) = sup x ∗ ∈ R ( x x ∗ − x ∗ ( ln ( x ∗ ) − 1 ) ) , x ∈ I , {\displaystyle f^{**}(x)=\sup _{x^{*}\in \mathbb {R} }(xx^{*}-x^{*}(\ln(x^{*})-1)),\quad x\in I,} x {\displaystyle x} f ∗ ∗ {\displaystyle f^{**}} f ∗ ∗ = f {\displaystyle f^{**}=f} 0 = d d x ∗ ( x x ∗ − x ∗ ( ln ( x ∗ ) − 1 ) ) = x − ln ( x ∗ ) {\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {d}{dx^{*}}}{\big (}xx^{*}-x^{*}(\ln(x^{*})-1){\big )}=x-\ln(x^{*})\end{aligned}}} x ∗ = e x {\displaystyle x^{*}=e^{x}} d 2 d x ∗ 2 f ∗ ∗ ( x ) = − 1 x ∗ < 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}}{{dx^{*}}^{2}}}f^{**}(x)=-{\frac {1}{x^{*}}}<0} f ∗ ∗ {\displaystyle f^{**}} I ∗ = ( 0 , ∞ ) . {\displaystyle I^{*}=(0,\infty ).} f ∗ ∗ {\displaystyle f^{**}} f ∗ ∗ ( x ) = x e x − e x ( ln ( e x ) − 1 ) = e x , {\displaystyle {\begin{aligned}f^{**}(x)&=xe^{x}-e^{x}(\ln(e^{x})-1)=e^{x},\end{aligned}}} f = f ∗ ∗ , {\displaystyle f=f^{**},}
例2 f ( x ) = cx 2を R 上で定義します 。 ここで c > 0 は固定定数です。
x * を固定した場合、 x の関数 x * x − f ( x ) = x * x − cx 2には 、 1 次導関数 x * − 2 cx と 2 次導関数 −2 cがあります。 x = x */2 c に 1 つの静止点があり 、これは常に最大値です。
したがって、 I * = R であり、 f ∗ ( x ∗ ) = x ∗ 2 4 c . {\displaystyle f^{*}(x^{*})={\frac {{x^{*}}^{2}}{4c}}~.}
f の1階微分 、2 cx と f * の1階微分、 x */(2 c ) は互いに逆関数である。さらに、明らかに f ** = f である 。 f ∗ ∗ ( x ) = 1 4 ( 1 / 4 c ) x 2 = c x 2 , {\displaystyle f^{**}(x)={\frac {1}{4(1/4c)}}x^{2}=cx^{2}~,}
例3 x ∈ ( I = [2, 3]) に対して f ( x ) = x 2 とします 。
x * が 固定されている場合 、 x * x − f ( x )は I compact 上で連続な ので、常に有限の最大値をとります。したがって、 のルジャンドル変換の定義域は I * = R になります 。 f {\displaystyle f}
x = x */2 における停留点（ x * x − f ( x ) の 1 次微分が 0 とすることで得られる）は、 4 ≤ x * ≤ 6 の場合にのみ定義域 [2, 3] に存在します。それ以外の場合、 の 2 次微分 x * x − f ( x ) が で 負 と なる ため 、 最大 値は x = 2 または x = 3 で 得 られ ます 。 定義 域 の 一部では、 のに関する x * x − f ( x ) の最大値は で 得られ ますが、 の場合は で最大値となります 。したがって、 x {\displaystyle x} x {\displaystyle x} − 2 {\displaystyle -2} x ∗ < 4 {\displaystyle x^{*}<4} x ∈ [ 2 , 3 ] {\displaystyle x\in [2,3]} x = 2 {\displaystyle x=2} x ∗ > 6 {\displaystyle x^{*}>6} x = 3 {\displaystyle x=3} f ∗ ( x ∗ ) = { 2 x ∗ − 4 , x ∗ < 4 x ∗ 2 4 , 4 ≤ x ∗ ≤ 6 , 3 x ∗ − 9 , x ∗ > 6. {\displaystyle f^{*}(x^{*})={\begin{cases}2x^{*}-4,&x^{*}<4\\{\frac {{x^{*}}^{2}}{4}},&4\leq x^{*}\leq 6,\\3x^{*}-9,&x^{*}>6.\end{cases}}}
例4 関数 f ( x ) = cx は任意のx に対して凸関数である （厳密な凸性は、ルジャンドル変換が適切に定義されるために必要ではない）。明らかに、 x * x − f ( x ) = ( x * − c ) x は 、 x * − c = 0でない限り、 x の関数として 上方から有界になる ことはない 。したがって、 f *は I * = { c } 上で定義され 、 f *( c ) = 0 となる。（ルジャンドル変換の定義には、 上限値 の存在が必要であり 、上限値が必要となる。）
反転性を確認すると、 x * x − f *( x *)は常に x *∈{ c } の関数として有界となる ため、 I ** = R となる。すると、すべての x に対して
、 f **( x ) = cx = f ( x ) が成り立つ 。 sup x ∗ ∈ { c } ( x x ∗ − f ∗ ( x ∗ ) ) = x c , {\displaystyle \sup _{x^{*}\in \{c\}}(xx^{*}-f^{*}(x^{*}))=xc,}
例5 どこでも微分可能ではない凸連続関数の例として、 を考えてみましょう 。これは を与え 、したがって その定義域上で となります 。 f ( x ) = | x | {\displaystyle f(x)=|x|} f ∗ ( x ∗ ) = sup x ( x x ∗ − | x | ) = max ( sup x ≥ 0 x ( x ∗ − 1 ) , sup x ≤ 0 x ( x ∗ + 1 ) ) , {\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x}(xx^{*}-|x|)=\max \left(\sup _{x\geq 0}x(x^{*}-1),\,\sup _{x\leq 0}x(x^{*}+1)\right),} f ∗ ( x ∗ ) = 0 {\displaystyle f^{*}(x^{*})=0} I ∗ = [ − 1 , 1 ] {\displaystyle I^{*}=[-1,1]}
例6: 複数の変数 をX = R n 上で定義します 。 ここで、 A は実数正定値行列です。 f ( x ) = ⟨ x , A x ⟩ + c {\displaystyle f(x)=\langle x,Ax\rangle +c}
すると f は凸となり、 勾配 p − 2 Ax と ヘッセ行列 −2 A を持ち、これは負である。したがって、停留点 x = A −1 p /2 は最大値となる。 ⟨ p , x ⟩ − f ( x ) = ⟨ p , x ⟩ − ⟨ x , A x ⟩ − c , {\displaystyle \langle p,x\rangle -f(x)=\langle p,x\rangle -\langle x,Ax\rangle -c,}
X * = R n であり 、 f ∗ ( p ) = 1 4 ⟨ p , A − 1 p ⟩ − c . {\displaystyle f^{*}(p)={\frac {1}{4}}\langle p,A^{-1}p\rangle -c.}
ルジャンドル変換は 部分積分 、 p dx = d ( px ) − x dp にリンクされています。
f ( x , y ) を2つの独立変数 x と y の関数 とし、その微分 d f = ∂ f ∂ x d x + ∂ f ∂ y d y = p d x + v d y . {\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy=p\,dx+v\,dy.}
関数 f が 任意の y に対して x に関して 凸であると仮定すると、 x に関してf のルジャンドル変換を実行できます 。 ここで p は x の共役変数 です（ちなみに、 p と y が与えられた場合に、 x 内の点が最大化または有界と なる 関係 が あります）。 f に関する変換の新しい独立変数は p であるため、 df の 微分 dx と dy は、変換の微分における dp と dy に退化します。つまり、新しい基底 dp と dy で表される微分を持つ別の関数を構築します 。 ∂ f ∂ x | x ¯ = p {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}|_{\bar {x}}=p} x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} p x − f ( x , y ) {\displaystyle px-f(x,y)}
そこで 関数 g ( p , y ) = f − pxを考え、 d g = d f − p d x − x d p = − x d p + v d y {\displaystyle dg=df-p\,dx-x\,dp=-x\,dp+v\,dy} x = − ∂ g ∂ p {\displaystyle x=-{\frac {\partial g}{\partial p}}} v = ∂ g ∂ y . {\displaystyle v={\frac {\partial g}{\partial y}}.}
関数 − g ( p , y )は f ( x , y ) のルジャンドル変換であり 、独立変数 xのみが p に置き換えられている 。これは以下に示すように、 熱力学 で広く用いられている。
アプリケーション
解析力学 ルジャンドル変換は 古典力学において、 ラグランジアン定式化 から ハミルトン定式化 を導出するために用いられ 、またその逆も同様である。典型的なラグランジアンは次のような形をとる。
L ( v , q ) = 1 2 ⟨ v , M v ⟩ − V ( q ) , {\displaystyle L(v,q)={\tfrac {1}{2}}\langle v,Mv\rangle -V(q),} ここで、 R n × R n 上の座標 、 M は正定値実数行列、 ( v , q ) {\displaystyle (v,q)} ⟨ x , y ⟩ = ∑ j x j y j . {\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{j}x_{j}y_{j}.}
q を固定すると、 は の凸関数となり 、 は 定数の役割を果たします。 L ( v , q ) {\displaystyle L(v,q)} v {\displaystyle v} V ( q ) {\displaystyle V(q)}
したがって、の関数として のルジャンドル変換は ハミルトン関数である。 L ( v , q ) {\displaystyle L(v,q)} v {\displaystyle v} H ( p , q ) = 1 2 ⟨ p , M − 1 p ⟩ + V ( q ) . {\displaystyle H(p,q)={\tfrac {1}{2}}\langle p,M^{-1}p\rangle +V(q).}
より一般的な設定では、は 多様体 の 接束 上の局所座標である 。各 q に対して、は接空間 V q の凸関数である 。ルジャンドル変換は、ハミルトニアンを 余接束 の座標 ( p , q ) の関数として与える 。ルジャンドル変換を定義するために使用される内積は、関連する標準シン プレクティック構造 から継承される。この抽象的な設定では、ルジャンドル変換は トートロジー一形式 に対応する。 [ さらなる説明が必要 ] ( v , q ) {\displaystyle (v,q)} T M {\displaystyle T{\mathcal {M}}} M {\displaystyle {\mathcal {M}}} L ( v , q ) {\displaystyle L(v,q)} H ( p , q ) {\displaystyle H(p,q)} T ∗ M {\displaystyle T^{*}{\mathcal {M}}}
熱力学 熱力学におけるルジャンドル変換の使用戦略は、ある変数に依存する関数を、元の変数の共役である新しい変数に依存する新しい（共役）関数に変換することです。新しい変数は、元の関数 の元の変数に関する 偏微分です。新しい関数は、元の関数と古い変数と新しい変数の積の差です。この変換は、例えばエネルギーの依存性を、 示量変数 からその共役示量変数へと変換するため、一般的に有用です。これは、物理実験においてより容易に制御できる場合が多いです。
例えば、 内部エネルギー Uは 、エントロピー S 、 体積 V 、 化学 組成 N i （例えば ） の明示的な関数であり 、その全微分は i = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle i=1,2,3,\ldots } U = U ( S , V , { N i } ) , {\displaystyle U=U\left(S,V,\{N_{i}\}\right),} d U = T d S − P d V + ∑ μ i d N i {\displaystyle dU=T\,dS-P\,dV+\sum \mu _{i}\,dN_{i}}
どこ 。 T = ∂ U ∂ S | V , N i f o r a l l i v a l u e s , P = − ∂ U ∂ V | S , N i f o r a l l i v a l u e s , μ i = ∂ U ∂ N i | S , V , N j f o r a l l j ≠ i {\displaystyle T=\left.{\frac {\partial U}{\partial S}}\right\vert _{V,N_{i\ for\ all\ i\ values}},P=\left.-{\frac {\partial U}{\partial V}}\right\vert _{S,N_{i\ for\ all\ i\ values}},\mu _{i}=\left.{\frac {\partial U}{\partial N_{i}}}\right\vert _{S,V,N_{j\ for\ all\ j\neq i}}}
（下付き文字は偏微分の定義では必須ではありませんが、変数を明確にするためにここに残されています。）いくつかの共通の基準状態を規定し、体積 V に関する内部エネルギー U の（非標準の）ルジャンドル変換を使用すると、 エンタルピー H は 次のように得られます。
内部エネルギー Uの体積 V に関する （標準的な）ルジャンドル変換を得るには 、まず関数 を定義し、次にそれを V によって最大化または制限する必要があります。そのためには条件 を 満たす必要があり、したがってが得られます。このアプローチは、 拡がり変数の定義により、 U が V に関する線形関数（つまり V 上の凸関数 ）である ため正当化されます 。ここでの非標準的なルジャンドル変換は、標準的な変換を反転させることによって得られるため、 となります 。 U ∗ {\textstyle U^{*}} u ( p , S , V , { N i } ) = p V − U {\textstyle u\left(p,S,V,\{{{N}_{i}}\}\right)=pV-U} ∂ u ∂ V = p − ∂ U ∂ V = 0 → p = ∂ U ∂ V {\textstyle {\frac {\partial u}{\partial V}}=p-{\frac {\partial U}{\partial V}}=0\to p={\frac {\partial U}{\partial V}}} U ∗ = ∂ U ∂ V V − U {\textstyle U^{*}={\frac {\partial U}{\partial V}}V-U} − U ∗ = H = U − ∂ U ∂ V V = U + P V {\textstyle -U^{*}=H=U-{\frac {\partial U}{\partial V}}V=U+PV}
H は 状態関数に PV （ 状態変数 P と V ）を加えて得られるため 、 状態関数であることは間違いありません。 したがって、その微分は 正確な微分 です。 と、それが正確な微分でなければならないという事実 により、 となります 。 U = U ( S , V , { N i } ) {\textstyle U=U\left(S,V,\{N_{i}\}\right)} d H = T d S + V d P + ∑ μ i d N i {\textstyle dH=T\,dS+V\,dP+\sum \mu _{i}\,dN_{i}} H = H ( S , P , { N i } ) {\displaystyle H=H(S,P,\{N_{i}\})}
エンタルピーは、周囲からの圧力が制御されるプロセスの説明に適しています。
同様に、エネルギーの依存性をエントロピーの示量変数 S から（多くの場合より便利な）示量変数 Tへ移すことで、 ヘルムホルツ 自由エネルギーと ギブス 自由エネルギー が得られる 。ヘルムホルツ自由エネルギー A とギブス自由エネルギー G は、それぞれ内部エネルギーとエンタルピーのルジャンドル変換を行うことで得られる。 A = U − T S , {\displaystyle A=U-TS~,} G = H − T S = U + P V − T S . {\displaystyle G=H-TS=U+PV-TS~.}
ヘルムホルツの自由エネルギーは、温度と体積が周囲から制御される場合に最も有用な熱力学的ポテンシャルであることが多いのに対し、ギブスの自由エネルギーは、温度と圧力が周囲から制御される場合に最も有用なことが多いです。
可変コンデンサ 物理学 のもう一つの例として 、平行導体板 コンデンサを 考えてみましょう。このコンデンサでは、板が互いに相対的に動きます。このようなコンデンサは、コンデンサに蓄えられた電気エネルギーを、板に作用する 力 によって外部の機械的仕事に変換することができます。電荷は、 シリンダー 内の ガス の「電荷」に類似しており、その結果生じる機械的な 力が ピストン に作用すると考えることができます 。
板に働く力を、板と板の間の距離x の関数として計算します 。力を求めるには、まず位置エネルギーを計算し、次に位置エネルギー関数の勾配として力の定義を適用します。
静電 容量 C ( x ) のコンデンサに蓄えられ 、各導体板に正 電荷 + Q または負電荷 - Q が蓄えられた静電ポテンシャルエネルギー は（静電容量の定義を とすると ）、 C = Q V {\textstyle C={\frac {Q}{V}}}
U ( Q , x ) = 1 2 Q V ( Q , x ) = 1 2 Q 2 C ( x ) , {\displaystyle U(Q,\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}QV(Q,\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}{\frac {Q^{2}}{C(\mathbf {x} )}},~}
ここで、プレート面積、プレート間の絶縁材料の誘電率、および間隔 x への依存性は、静電容量 C ( x ) として抽象化されます 。（平行板コンデンサの場合、これはプレート面積に比例し、間隔に反比例します。）
電荷分離によって生じる電界によるプレート間の 力 Fは、 F ( x ) = − d U d x . {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-{\frac {dU}{d\mathbf {x} }}~.}
コンデンサが電気回路に接続されていない場合、プレート上の 電荷は 一定のままで、プレートが互いに対して動くと電圧が変化し、力は 静電 ポテンシャルエネルギー の負の 勾配となる。 F ( x ) = 1 2 d C ( x ) d x Q 2 C ( x ) 2 = 1 2 d C ( x ) d x V ( x ) 2 {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}{\frac {Q^{2}}{{C(\mathbf {x} )}^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}V(\mathbf {x} )^{2}}
一方 、この構成では電荷は固定されます。 V ( Q , x ) = V ( x ) {\textstyle V(Q,\mathbf {x} )=V(\mathbf {x} )}
しかし、代わりに、 プレート間の 電圧 V は、一定の電位差で電荷を蓄える 電池 に接続することで、プレートが移動しても一定に保たれると仮定します。この場合 、電圧の代わりに 電荷量が 変数となり 、と は互いにルジャンドル共役です。力を求めるには、 まず について （ も使用して ） 非標準ルジャンドル変換を計算します。 Q {\textstyle Q} Q {\textstyle Q} V {\textstyle V} U ∗ {\textstyle U^{*}} Q {\textstyle Q} C = Q V {\textstyle C={\frac {Q}{V}}}
U ∗ = U − ∂ U ∂ Q | x ⋅ Q = U − 1 2 C ( x ) ∂ Q 2 ∂ Q | x ⋅ Q = U − Q V = 1 2 Q V − Q V = − 1 2 Q V = − 1 2 V 2 C ( x ) . {\displaystyle U^{*}=U-\left.{\frac {\partial U}{\partial Q}}\right|_{\mathbf {x} }\cdot Q=U-{\frac {1}{2C(\mathbf {x} )}}\left.{\frac {\partial Q^{2}}{\partial Q}}\right|_{\mathbf {x} }\cdot Q=U-QV={\frac {1}{2}}QV-QV=-{\frac {1}{2}}QV=-{\frac {1}{2}}V^{2}C(\mathbf {x} ).}
この変換は、 が の線形関数となり、が に凸となる ため可能となる 。力はこのルジャンドル変換の負の勾配となり、元の関数 から得られる力と同じになる 。 U {\textstyle U} Q {\textstyle Q} U {\textstyle U} F ( x ) = − d U ∗ d x = 1 2 d C ( x ) d x V 2 . {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-{\frac {dU^{*}}{d\mathbf {x} }}={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}V^{2}.}
2つの共役エネルギー とが たまたま反対の位置に（符号が逆）位置しているのは、 静電容量 の 線形性 によるものです。ただし、 Qは 定数ではなくなります。これらは、コンデンサにエネルギーを蓄積する2つの異なる経路を反映しており、例えばコンデンサの極板間に同じ「引力」が生じます。 U {\textstyle U} U ∗ {\textstyle U^{*}}
確率論 大偏差理論 において 、 速度関数は確率変数の モーメント母関数 の対数のルジャンドル変換として定義されます。 速度関数 の重要な応用は、 特に クラメールの定理において、 IID確率変数 の和の裾確率の計算です 。
がiid確率変数である 場合、 は 関連する ランダムウォーク 、 のモーメント生成関数とします 。 に対して 、です 。したがって、 マルコフの不等式 より、 に対して が成り立ち 、の場合に が成り立ちます。 ここで、 です 。左辺は と独立であるため 、右辺の最小値を取ることができ、 の最大値 、つまり における のルジャンドル変換を 評価することができます 。 X n {\displaystyle X_{n}} S n = X 1 + ⋯ + X n {\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}} M ( ξ ) {\displaystyle M(\xi )} X 1 {\displaystyle X_{1}} ξ ∈ R {\displaystyle \xi \in \mathbb {R} } E [ e ξ S n ] = M ( ξ ) n {\displaystyle E[e^{\xi S_{n}}]=M(\xi )^{n}} ξ ≥ 0 {\displaystyle \xi \geq 0} a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } P ( S n / n > a ) ≤ e − n ξ a M ( ξ ) n = exp [ − n ( ξ a − Λ ( ξ ) ) ] {\displaystyle P(S_{n}/n>a)\leq e^{-n\xi a}M(\xi )^{n}=\exp[-n(\xi a-\Lambda (\xi ))]} Λ ( ξ ) = log M ( ξ ) {\displaystyle \Lambda (\xi )=\log M(\xi )} ξ {\displaystyle \xi } ξ a − Λ ( ξ ) {\displaystyle \xi a-\Lambda (\xi )} Λ {\displaystyle \Lambda } x = a {\displaystyle x=a}
ミクロ経済学 ルジャンドル変換は、 ミクロ経済学 において、 コスト 関数 C ( Q ) 、つまり生産者が特定の製品を Q 単位製造/採掘/その他するのにかかるコストを 知った上で、市場での 固定価格 P が与えられたある製品の
供給 S ( P )を 求めるプロセスで自然に発生します。
供給曲線の形状は、費用関数のみに基づいて単純な理論で説明できます。製品1単位の市場価格を P と仮定しましょう。この製品を販売する企業にとって、最善の戦略は、利益が最大化されるように生産量 Q を調整することです。利益を最大化する
には、 Q について微分し 、次式を解く
必要があります。 profit = revenue − costs = P Q − C ( Q ) {\displaystyle {\text{profit}}={\text{revenue}}-{\text{costs}}=PQ-C(Q)} P − C ′ ( Q opt ) = 0. {\displaystyle P-C'(Q_{\text{opt}})=0.}
Q opt は 生産者が供給する意思のある商品の 最適量 Qを表し、これは実際に供給量そのものです。 S ( P ) = Q opt ( P ) = ( C ′ ) − 1 ( P ) . {\displaystyle S(P)=Q_{\text{opt}}(P)=(C')^{-1}(P).}
最大利益を価格の関数として考えると、 それがコスト関数のルジャンドル変換であることがわかります 。 profit max ( P ) {\displaystyle {\text{profit}}_{\text{max}}(P)} C ( Q ) {\displaystyle C(Q)}
幾何学的解釈 厳密に凸な関数 の場合 、ルジャンドル変換は、関数の グラフとグラフの 接線 の族との間の写像として解釈できます。（1変数の関数の場合、接線は最大で 可算な 点を除くすべての点で明確に定義されます。 これは、凸関数は最大で可算な点を除くすべての点で 微分可能で あるためです。）
傾き と 切片を 持つ直線の方程式 は で与えられます。この直線が関数のグラフの 点 に接するためには、 と が 必要です
。 p {\displaystyle p} y {\displaystyle y} b {\displaystyle b} y = p x + b {\displaystyle y=px+b} f {\displaystyle f} ( x 0 , f ( x 0 ) ) {\displaystyle \left(x_{0},f(x_{0})\right)} f ( x 0 ) = p x 0 + b {\displaystyle f(x_{0})=px_{0}+b} p = f ′ ( x 0 ) . {\displaystyle p=f'(x_{0}).}
厳密に凸な関数の微分であるため、関数は 厳密に単調であり、したがって 単射である 。2番目の方程式は、 最初の方程式から を消去し、 接線の -切片をその傾きの関数として解くことで解くことができる。 ここで は のルジャンドル変換を表す。 f ′ {\displaystyle f'} x 0 = f ′ − 1 ( p ) , {\textstyle x_{0}=f^{\prime -1}(p),} x 0 {\displaystyle x_{0}} y {\displaystyle y} b {\displaystyle b} p , {\displaystyle p,} b = f ( x 0 ) − p x 0 = f ( f ′ − 1 ( p ) ) − p ⋅ f ′ − 1 ( p ) = − f ⋆ ( p ) {\textstyle b=f(x_{0})-px_{0}=f\left(f^{\prime -1}(p)\right)-p\cdot f^{\prime -1}(p)=-f^{\star }(p)} f ⋆ {\displaystyle f^{\star }} f . {\displaystyle f.}
傾きによってパラメータ化された グラフの接線の 族 は 、したがって、次のように表される。 あるいは、暗黙的に、次の方程式の解によって表される。 f {\displaystyle f} p {\displaystyle p} y = p x − f ⋆ ( p ) , {\textstyle y=px-f^{\star }(p),} F ( x , y , p ) = y + f ⋆ ( p ) − p x = 0 . {\displaystyle F(x,y,p)=y+f^{\star }(p)-px=0~.}
元の関数のグラフは、この直線族から、 この直線族の 包絡線として再構成することができ、 ∂ F ( x , y , p ) ∂ p = f ⋆ ′ ( p ) − x = 0. {\displaystyle {\frac {\partial F(x,y,p)}{\partial p}}=f^{\star \prime }(p)-x=0.}
これら2つの式から 消去すると p {\displaystyle p} y = x ⋅ f ⋆ ′ − 1 ( x ) − f ⋆ ( f ⋆ ′ − 1 ( x ) ) . {\displaystyle y=x\cdot f^{\star \prime -1}(x)-f^{\star }\left(f^{\star \prime -1}(x)\right).}
前述の式の右辺をルジャンドル変換の 降伏 点として 認識する y {\displaystyle y} f ( x ) {\displaystyle f(x)} f ⋆ , {\displaystyle f^{\star },} f ( x ) = f ⋆ ⋆ ( x ) . {\textstyle f(x)=f^{\star \star }(x)~.}
R n の 開凸 部分集合 U 上の微分可能 実数値関数 に対して、 ( U , f ) のルジャンドル共役は ( V , g ) と定義される 。ここで、 V は 勾配 写像 Df による U の像であり 、 gは V 上の関数 であり、次式で
表される。 g ( y ) = ⟨ y , x ⟩ − f ( x ) , x = ( D f ) − 1 ( y ) {\displaystyle g(y)=\left\langle y,x\right\rangle -f(x),\qquad x=\left(Df\right)^{-1}(y)} ⟨ u , v ⟩ = ∑ k = 1 n u k ⋅ v k {\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle =\sum _{k=1}^{n}u_{k}\cdot v_{k}}
はR n 上の スカラー積 である 。多次元変換は、 関数の エピグラフの 凸包をその 支持超平面 で符号化したものとして解釈できる 。 [2] これは、次の2つの観察の結果として見ることができる。一方では、 のエピグラフに接する超平面の ある点には、 法線ベクトル がある 。他方では、任意の閉凸集合は、その 支持超平面 の集合を介し て方程式 （ は の サポート 関数 ）によって特徴付けることができる。しかし、最大化によるルジャンドル変換の定義は、サポート関数の定義、すなわち と正確に一致する。したがって、ルジャンドル変換は、任意の点におけるエピグラフの接平面 が明示的に次のように与えられる という意味で、エピグラフを特徴付けると結論できる。 f {\displaystyle f} ( x , f ( x ) ) ∈ U × R {\displaystyle (\mathbf {x} ,f(\mathbf {x} ))\in U\times \mathbb {R} } ( ∇ f ( x ) , − 1 ) ∈ R n + 1 {\displaystyle (\nabla f(\mathbf {x} ),-1)\in \mathbb {R} ^{n+1}} C ∈ R m {\displaystyle C\in \mathbb {R} ^{m}} x ⋅ n = h C ( n ) {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {n} =h_{C}(\mathbf {n} )} h C ( n ) {\displaystyle h_{C}(\mathbf {n} )} C {\displaystyle C} f ∗ ( x ) = h epi ( f ) ( x , − 1 ) {\displaystyle f^{*}(\mathbf {x} )=h_{\operatorname {epi} (f)}(\mathbf {x} ,-1)} ( x , f ( x ) ) {\displaystyle (\mathbf {x} ,f(\mathbf {x} ))} { z ∈ R n + 1 : z ⋅ x = f ∗ ( x ) } . {\displaystyle \{\mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n+1}:\,\,\mathbf {z} \cdot \mathbf {x} =f^{*}(\mathbf {x} )\}.}
あるいは、 X が ベクトル空間 で Y が その 双対ベクトル空間 である場合、 X の各点 x と Y の各点 y に対して、余接空間 T* X x と Y および T* Y y と X が自然に同一視されます 。 f が X 上の実微分可能関数である場合 、その 外導関数 df は 余接束 T* X の切断であり 、したがって Xから Y への写像を構築できます 。同様に、 g が Y 上の実微分可能関数である場合 、 dg は Yから X への 写像を定義します。両方の写像が互いの逆写像である場合、ルジャンドル変換があるといいます。この設定では 、トートロジー 1 形式 の概念が よく使用されます。
関数が微分可能でない場合でも、ルジャンドル変換は拡張可能であり、 ルジャンドル・フェンシェル変換 として知られています。このより一般的な設定では、いくつかの特性が失われます。例えば、ルジャンドル変換はもはや自身の逆変換ではなくなります（ 凸性 などの追加の仮定がない限り）。
を 滑らかな多様体 、 を 上の ベクトル束 、をその付随する 束射影 と する 。を 滑らかな関数とする。 、 および ある正の数 と関数 の古典的な場合との類推により、を ラグランジアン として考える 。 M {\textstyle M} E {\displaystyle E} π : E → M {\textstyle \pi :E\to M} M {\displaystyle M} L : E → R {\textstyle L:E\to \mathbb {R} } L {\textstyle L} M = R {\textstyle M=\mathbb {R} } E = T M = R × R {\textstyle E=TM=\mathbb {R} \times \mathbb {R} } L ( x , v ) = 1 2 m v 2 − V ( x ) {\textstyle L(x,v)={\frac {1}{2}}mv^{2}-V(x)} m ∈ R {\textstyle m\in \mathbb {R} } V : M → R {\textstyle V:M\to \mathbb {R} }
通常通り、 の 双対 は で表されます。 上の のファイバー は で表され、 から へ の制限 は で表されます 。 の ルジャンドル変換 はで定義される 滑らかな射影であり 、ここで です。ここでは 、 がベクトル空間であるため、 と同一視できる という事実を使います 。言い換えれば、は 方向微分 へ 送る共ベクトルです 。 E {\textstyle E} E ∗ {\textstyle E^{*}} π {\textstyle \pi } x ∈ M {\textstyle x\in M} E x {\textstyle E_{x}} L {\textstyle L} E x {\textstyle E_{x}} L | E x : E x → R {\textstyle L|_{E_{x}}:E_{x}\to \mathbb {R} } L {\textstyle L} F L : E → E ∗ {\displaystyle \mathbf {F} L:E\to E^{*}} F L ( v ) = d ( L | E x ) v ∈ E x ∗ {\textstyle \mathbf {F} L(v)=d(L|_{E_{x}})_{v}\in E_{x}^{*}} x = π ( v ) {\textstyle x=\pi (v)} E x {\textstyle E_{x}} T v ( E x ) {\textstyle T_{v}(E_{x})} E x {\textstyle E_{x}} F L ( v ) ∈ E x ∗ {\textstyle \mathbf {F} L(v)\in E_{x}^{*}} w ∈ E x {\textstyle w\in E_{x}} d d t | t = 0 L ( v + t w ) ∈ R {\textstyle \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}L(v+tw)\in \mathbb {R} }
ルジャンドル変換を局所的に記述するために、 を 上の座標チャートとし、 は自明であるとする。 上 の の自明化を選ぶと 、チャート と が得られる 。これらのチャートを用いると、 となり 、 すべての に対してとなる。古典的な場合のように、 の各ファイバーへ の制限が 厳密に凸であり、正定値二次形式から定数を引いた値によって下方に有界である場合、ルジャンドル変換は 微分同相写像である。 [3] が 微分同相写像であり、 がによって定義される 「 ハミルトン 」関数である とする。 ここで となる 。自然同型 を用いると、 のルジャンドル変換を の 写像と 見ることができる 。すると、 [3]が成立する。 U ⊆ M {\textstyle U\subseteq M} E {\textstyle E} E {\textstyle E} U {\textstyle U} E U ≅ U × R r {\textstyle E_{U}\cong U\times \mathbb {R} ^{r}} E U ∗ ≅ U × R r {\textstyle E_{U}^{*}\cong U\times \mathbb {R} ^{r}} F L ( x ; v 1 , … , v r ) = ( x ; p 1 , … , p r ) {\textstyle \mathbf {F} L(x;v_{1},\dotsc ,v_{r})=(x;p_{1},\dotsc ,p_{r})} p i = ∂ L ∂ v i ( x ; v 1 , … , v r ) {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial v_{i}}}(x;v_{1},\dotsc ,v_{r})} i = 1 , … , r {\textstyle i=1,\dots ,r} L : E → R {\textstyle L:E\to \mathbb {R} } E x {\textstyle E_{x}} F L : E → E ∗ {\textstyle \mathbf {F} L:E\to E^{*}} F L {\textstyle \mathbf {F} L} H : E ∗ → R {\textstyle H:E^{*}\to \mathbb {R} } H ( p ) = p ⋅ v − L ( v ) , {\displaystyle H(p)=p\cdot v-L(v),} v = ( F L ) − 1 ( p ) {\textstyle v=(\mathbf {F} L)^{-1}(p)} E ≅ E ∗ ∗ {\textstyle E\cong E^{**}} H {\textstyle H} F H : E ∗ → E {\textstyle \mathbf {F} H:E^{*}\to E} ( F L ) − 1 = F H . {\displaystyle (\mathbf {F} L)^{-1}=\mathbf {F} H.}
その他の特性
スケーリング特性 ルジャンドル変換には以下のスケーリング特性がある： a > 0 の場合、
f ( x ) = a ⋅ g ( x ) ⇒ f ⋆ ( p ) = a ⋅ g ⋆ ( p a ) {\displaystyle f(x)=a\cdot g(x)\Rightarrow f^{\star }(p)=a\cdot g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right)} f ( x ) = g ( a ⋅ x ) ⇒ f ⋆ ( p ) = g ⋆ ( p a ) . {\displaystyle f(x)=g(a\cdot x)\Rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right).}
したがって、関数が r 次同次 であれば、ルジャンドル変換によるその像は s 次同次関数となり、 1/ r + 1/ s = 1 となります。（ f ( x ) = x r / r 、 r > 1なので、 f *( p ) = p s / s が成り立ちます 。）したがって、ルジャンドル変換によって次数が不変となる単項式は、二次関数のみです。
翻訳中の行動 f ( x ) = g ( x ) + b ⇒ f ⋆ ( p ) = g ⋆ ( p ) − b {\displaystyle f(x)=g(x)+b\Rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-b} f ( x ) = g ( x + y ) ⇒ f ⋆ ( p ) = g ⋆ ( p ) − p ⋅ y {\displaystyle f(x)=g(x+y)\Rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-p\cdot y}
反転時の挙動 f ( x ) = g − 1 ( x ) ⇒ f ⋆ ( p ) = − p ⋅ g ⋆ ( 1 p ) {\displaystyle f(x)=g^{-1}(x)\Rightarrow f^{\star }(p)=-p\cdot g^{\star }\left({\frac {1}{p}}\right)}
A : R n → R m を 線型変換 とする 。R n 上の 任意の凸関数 f に対して、次式が成り立つ。 ここ で A * は A の 随伴作用素 で定義され 、 Af はf の A に沿った 押し進め である。 ( A f ) ⋆ = f ⋆ A ⋆ {\displaystyle (Af)^{\star }=f^{\star }A^{\star }} ⟨ A x , y ⋆ ⟩ = ⟨ x , A ⋆ y ⋆ ⟩ , {\displaystyle \left\langle Ax,y^{\star }\right\rangle =\left\langle x,A^{\star }y^{\star }\right\rangle ,} ( A f ) ( y ) = inf { f ( x ) : x ∈ X , A x = y } . {\displaystyle (Af)(y)=\inf\{f(x):x\in X,Ax=y\}.}
閉凸関数 f が 直交線形変換 の与え られた集合 G に関して対称となるのは、 f * が G に関して対称である 場合に 限ります。 f ( A x ) = f ( x ) , ∀ x , ∀ A ∈ G {\displaystyle f(Ax)=f(x),\;\forall x,\;\forall A\in G}
内接畳み込み 2つの関数 f と g の最小 畳み込み は次のように定義される。
( f ⋆ inf g ) ( x ) = inf { f ( x − y ) + g ( y ) | y ∈ R n } . {\displaystyle \left(f\star _{\inf }g\right)(x)=\inf \left\{f(x-y)+g(y)\,|\,y\in \mathbf {R} ^{n}\right\}.}
f 1 , ..., f m をR n 上の適切な凸関数とする 。 すると
( f 1 ⋆ inf ⋯ ⋆ inf f m ) ⋆ = f 1 ⋆ + ⋯ + f m ⋆ . {\displaystyle \left(f_{1}\star _{\inf }\cdots \star _{\inf }f_{m}\right)^{\star }=f_{1}^{\star }+\cdots +f_{m}^{\star }.}
フェンチェルの不等式 任意の関数 f とその凸共役関数 f *に対して、 フェンチェルの不等式（ フェンチェル・ヤングの不等式 とも呼ばれる）は、任意の x ∈ X と p ∈ X * 、すなわち、 独立した x 、 p の ペアに対して成り立ちます 。 ⟨ p , x ⟩ ≤ f ( x ) + f ⋆ ( p ) . {\displaystyle \left\langle p,x\right\rangle \leq f(x)+f^{\star }(p).}
参照
参考文献 ^ ab ルジャンドル、アドリアン＝マリー (1789)。問題の相違点に関するメモワール。 Histoire de l'Académie Royale des Sciences、avec les mémoires de mathématique et de physique (フランス語)。 Vol. 1787年。パリ：帝国王制。 309～ 351ページ 。 ^ “Legendre Transform | Nick Alger // Maps, art, etc”. 2015年3月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2011年1月26日 閲覧 。 ^ ab アナ・カンナス・ダ・シルバ。 シンプレクティック幾何学講義 、第 2 刷を修正。 Springer-Verlag、2008 年、147-148 ページ。 ISBN 978-3-540-42195-5 。
さらに読む ニールセン, フランク (2010-09-01). 「ルジャンドル変換と情報幾何学」 (PDF) . 2016年1月24日 閲覧 . Touchette, Hugo (2005-07-27). 「Legendre-Fenchel transforms in a nutshell」 (PDF) . 2016年1月24日 閲覧。 Touchette, Hugo (2006-11-21). 「凸解析の要素」 (PDF) . オリジナル (PDF) から2016年2月1日にアーカイブ。 2016年1月24日 閲覧 。
外部リンク ウィキメディア・コモンズには、ルジャンドル変換 に関連するメディアがあります 。
maze5.net の図形を使ったルジャンドル変換 onmyphd.com で、ルジャンドルとルジャンドル＝フェンシェルの変換を段階的に解説しています。 
![{\textstyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c780cbaafb5b1d4a6912aa65d2b0b1982097108)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f^{**}(y)&{}=\left(y\cdot {\bar {p}}-f^{*}({\bar {p}})\right)|_{(f^{*})'({\bar {p}})=y}\\[5pt]&{}=g({\bar {p}})\cdot {\bar {p}}-f^{*}({\bar {p}})\\[5pt]&{}=g({\bar {p}})\cdot {\bar {p}}-({\bar {p}}g({\bar {p}})-f(g({\bar {p}})))\\[5pt]&{}=f(g({\bar {p}}))\\[5pt]&{}=f(y)~.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e440cae9d7a3bce61655bfea18ef2fdb94db482)
![{\displaystyle x\in [2,3]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/780246b9549fa4b49ad887a22b3dfe211a6dbce2)
![{\displaystyle I^{*}=[-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/367c2932f7a99ca99111bb44c658a7c850c2b599)
![{\displaystyle E[e^{\xi S_{n}}]=M(\xi )^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7367ed216a7348373da3bdc1d5fe3e2c9fc8c1)
![{\displaystyle P(S_{n}/n>a)\leq e^{-n\xi a}M(\xi )^{n}=\exp[-n(\xi a-\Lambda (\xi ))]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c65b19daa1130ca9c6552e5734f7743dad162a3)
