Type of wavelet
関数解析 において、 ルジャンドル多項式 から導出される コンパクトサポート ウェーブレットは、 ルジャンドルウェーブレット または球面調和ウェーブレット と呼ばれます。 [1]ルジャンドル関数は 、球面座標系 が適切な場合に広く応用されています 。 [2] [3] [4] 多くのウェーブレットと同様に、これらの調和球面ウェーブレットを記述するための適切な解析式は存在しません。 ルジャンドル 多重解像度解析に関連する ローパスフィルタは、 有限インパルス応答 （FIR）フィルタ です。
FIRフィルタに関連付けられたウェーブレットは、ほとんどのアプリケーションで一般的に好まれています。 [3] ルジャンドルフィルタのもう一つの魅力的な特徴は、 線形位相 FIR（つまり、 線形位相フィルタに関連付けられた多重解像度解析）であることです。これらのウェーブレットは MATLAB （ウェーブレットツールボックス）に実装されています。コンパクトにサポートされているウェーブレットですが、legdNは直交ではありません（ N = 1の場合を除く ）。 [5]
ルジャンドル多重解像度フィルタ ルジャンドル准多項式は、球面調和関数の緯度方向部分であり、球面極座標におけるラプラス方程式のすべての分離に共通する。 [2] 解の動径方向部分はポテンシャルごとに変化するが、調和関数は常に同じであり、球対称性の結果として生じる。球面調和関数は、 ルジャンドル 階微分方程式の解であり、 nは 整数である。 P n ( z ) {\displaystyle P_{n}(z)} 2 n d {\displaystyle 2^{nd}}
( 1 − z 2 ) d 2 y d z 2 − 2 z d y d z + n ( n + 1 ) y = 0. {\displaystyle \left(1-z^{2}\right){\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}-2z{\frac {dy}{dz}}+n(n+1)y=0.} P n ( cos ( θ ) ) {\displaystyle P_{n}(\cos(\theta ))} 多項式は多重解像度解析（MRA）の 平滑化フィルタを定義するために使用できる。 [6] MRAの適切な境界条件はとであるため 、 MRAの平滑化フィルタは、ローパスフィルタの振幅が ルジャンドル多項式に関連付けられるように定義できる。 H ( ω ) {\displaystyle H(\omega )} | H ( 0 ) | = 1 {\displaystyle |H(0)|=1} | H ( π ) | = 0 {\displaystyle |H(\pi )|=0} | H ( ω ) | {\displaystyle |H(\omega )|} ν = 2 n + 1. {\displaystyle \nu =2n+1.}
| H ν ( ω ) | = | P ν ( cos ( ω 2 ) ) P ν cos ( 0 ) | {\displaystyle |H_{\nu }(\omega )|=\left|{\frac {P_{\nu }\left(\cos \left({\frac {\omega }{2}}\right)\right)}{P_{\nu }\cos(0)}}\right|} ルジャンドルMRAのフィルタ伝達関数の具体例を図1に示す。フィルタ H は予想通りローパス特性を示す 。零点の数は ルジャンドル多項式の次数に等しい。したがって、サイドローブの周波数特性の ロールオフは パラメータによって容易に制御できる 。 ν = 1 , 3 , 5. {\displaystyle \nu =1,3,5.} − π < ω < π {\displaystyle -\pi <\omega <\pi } ν {\displaystyle \nu }
図1 - ルジャンドル多重解像度平滑化フィルタの伝達関数の振幅。フィルタ 次数1、3、5。 | H ν ( ω ) | {\displaystyle |H_{\nu }(\omega )|} ローパスフィルタの伝達関数は次のように表される。
H ν ( ω ) = − e − j ν ω − π 2 P ν ( cos ( ω 2 ) ) {\displaystyle H_{\nu }(\omega )=-e^{-j\nu {\frac {\omega -\pi }{2}}}P_{\nu }\left(\cos \left({\tfrac {\omega }{2}}\right)\right)} ハイパス分析フィルタの伝達関数は 直交ミラーフィルタ 条件に従って選択され 、 [6] [7] 次式が得られる。 G ν ( ω ) {\displaystyle G_{\nu }(\omega )}
H ν ( ω ) = − e − j ( ν − 2 ) ω 2 P ν ( sin ( ω 2 ) ) {\displaystyle H_{\nu }(\omega )=-e^{-j{(\nu -2)}{\frac {\omega }{2}}}P_{\nu }\left(\sin \left({\tfrac {\omega }{2}}\right)\right)} なるほど、予想通りです ね 。 | G ν ( 0 ) | = 0 {\displaystyle |G_{\nu }(0)|=0} | G ν ( π ) | = 1 {\displaystyle |G_{\nu }(\pi )|=1}
ルジャンドル多重解像度フィルタ係数 適切な位相割り当ては、伝達関数をフォームに 適切に調整するために行われる。 H ν ( ω ) {\displaystyle H_{\nu }(\omega )}
H ν ( ω ) = 1 2 ∑ k ∈ Z h k ν e − j ω k {\displaystyle H_{\nu }(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{k\in Z}h_{k}^{\nu }e^{-j\omega k}} フィルタ係数 は次のように与えられます。 { h k } k ∈ Z {\displaystyle \{h_{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }}
h k ν = − 2 2 2 ν ( 2 k k ) ( 2 ν − 2 k ν − k ) {\displaystyle h_{k}^{\nu }=-{\frac {\sqrt {2}}{2^{2\nu }}}{\binom {2k}{k}}{\binom {2\nu -2k}{\nu -k}}} そこから対称性が生まれます。
h k ν = h ν − k ν , {\displaystyle {h_{k}^{\nu }}={h_{\nu -k}^{\nu }},} 次のように表される。には非ゼロのフィルタ係数 だけが存在する ため、ルジャンドルウェーブレットはすべての奇数 に対してコンパクトにサポートされます 。 ν + 1 {\displaystyle \nu +1} H n ( ω ) {\displaystyle H_{n}(\omega )} ν {\displaystyle \nu }
表 I - 平滑化ルジャンドル FIR フィルタ係数 （ はウェーブレット次数です。） ν = 1 , 3 , 5 {\displaystyle \nu =1,3,5} N {\displaystyle N} ν = 1 ( N = 1 ) {\displaystyle \nu =1(N=1)} ν = 3 ( N = 2 ) {\displaystyle \nu =3(N=2)} ν = 5 ( N = 3 ) {\displaystyle \nu =5(N=3)} h 0 {\displaystyle h_{0}} − 2 2 {\displaystyle -{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}} − 5 2 16 {\displaystyle -5{\tfrac {\sqrt {2}}{16}}} − 63 2 256 {\displaystyle -63{\tfrac {\sqrt {2}}{256}}} h 1 {\displaystyle h_{1}} − 2 2 {\displaystyle -{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}} − 3 2 16 {\displaystyle -3{\tfrac {\sqrt {2}}{16}}} − 35 2 256 {\displaystyle -35{\tfrac {\sqrt {2}}{256}}} h 2 {\displaystyle h_{2}} − 3 2 16 {\displaystyle -3{\tfrac {\sqrt {2}}{16}}} − 30 2 256 {\displaystyle -30{\tfrac {\sqrt {2}}{256}}} h 3 {\displaystyle h_{3}} − 5 2 16 {\displaystyle -5{\tfrac {\sqrt {2}}{16}}} − 30 2 256 {\displaystyle -30{\tfrac {\sqrt {2}}{256}}} h 4 {\displaystyle h_{4}} − 35 2 256 {\displaystyle -35{\tfrac {\sqrt {2}}{256}}} h 5 {\displaystyle h_{5}} − 63 2 256 {\displaystyle -63{\tfrac {\sqrt {2}}{256}}}
注：マイナス信号は抑制できます。
参考文献
参考文献 MMS Lira、HM de Oliveira、MA Carvalho Jr、RMCSouza、「Compactly Supported Wavelets Derived from Legendre Polynomials: Spherical Harmonic Wavelets」、 回路とシステムの応用における計算方法 、NE Mastorakis、IA Stahopulos、C. Manikopoulos、GE Antoniou、VM Mladenov、IF Gonos 編、WSEAS press、pp. 211–215、2003年 。ISBN 960-8052-88-2 ee.ufpe.brで入手可能 AA Colomer および AA Colomer、「離散ルジャンドル変換を使用した適応型 ECG データ圧縮」、 デジタル信号処理 、7、1997 年、222 ～ 228 ページ。 AG Ramm, AI Zaslavsky、「X 線変換、ルジャンドル変換、およびエンベロープ」、 J. of Math. Analysis and Appl .、183、pp. 528–546、1994 年。 C. Herley, M. Vetterli, Compactly Supported Wavelet Bases の直交化, IEEE Digital Signal Process. ワークショップ , 1992年9月13日～16日, pp. 1.7.1-1.7.2. S. Mallat、「多重解像度信号分解の理論：ウェーブレット表現」、 IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 、1989 年 7 月 11 日、pp. 674–693。 M. Vetterli、C. Herly、「ウェーブレットとフィルタバンク：理論と設計」、 IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing 、40、9、p. 2207、1992。 M. Jaskula、「修正ルジャンドル多項式に基づく新しいWindowsファミリ」、 IEEE Instrum. And Measurement Technol. Conf. 、アラスカ州アンカレッジ、2002年5月、pp. 553–556。 
