固有のメトリック

Concept in geometry/topology

計量空間の数学的研究では、空間内の経路の弧長を考慮することができます。2点が互いに与えられた距離にある場合、その距離に等しい（または非常に近い）弧長の経路に沿って、最初の点から2点目まで移動できると期待するのは自然なことです。計量空間における2点間の距離は、その固有計量に相対的に、最初の点から2点目までのすべての経路の長さの最小値として定義されます。固有計量が空間の元の計量と一致する場合、その計量空間は長さ計量空間と呼ばれます。

空間が、長さの最小値（測地線）を達成する経路が常に存在するというより強い性質を持つ場合、その空間は測地距離空間または測地線空間と呼ばれます。例えば、ユークリッド平面は測地線として線分を持つ測地線空間です。原点を除いたユークリッド平面は測地線ではありませんが、それでも長さ距離空間です。

定義

を計量空間とします。つまり、は点の集合（例えば、平面上のすべての点、円上のすべての点）であり、 は点 間の距離を与える関数です。における新しい計量（誘導固有計量）を以下のように定義します。 はから までのすべての経路の長さの最小値です。 ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d(x,y)}$ ${\displaystyle x,y\in M}$ ${\displaystyle d_{\text{I}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

ここで、からへのパスは連続マップである ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\rightarrow M}$

とである。このような経路の 長さは次のように定義される：各有限分割 ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ ${\displaystyle \gamma (1)=y}$

${\displaystyle P=\{0=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=1\}}$

区間の和を考える ${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle \Sigma (P)=\sum _{k=0}^{n-1}d(\gamma (x_{k}),\gamma (x_{k+1})).}$

次に長さを次のように 定義する。 ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \ell (\gamma )=\sup _{P\in {\mathfrak {P}}}\Sigma (P),}$

ここでは の有限分割集合である。上限が有限である場合、 は修正可能曲線と呼ばれる。閉区間 [0,+∞] 内の空集合の下限が +∞ であるため、からへの経路が存在しない場合は注意が必要である。 ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)=\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

このマッピングはべき等性を持つ。つまり ${\textstyle d\mapsto d_{\text{I}}}$

${\displaystyle (d_{\text{I}})_{\text{I}}=d_{\text{I}}.}$

もし

${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)=d(x,y)}$

内のすべての点およびに対して、は長さ空間または経路計量空間であり、計量は固有 であるといいます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle d}$

計量が近似的な中点を持つとは、任意の点と点のペア に対して、とが両方ともより小さい値を持つ が存在する ときである。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d(x,c)}$ ${\displaystyle d(c,y)}$

${\displaystyle {d(x,y) \over 2}+\varepsilon .}$

例

• 通常のユークリッド距離を持つユークリッド空間 は、経路距離空間です。も同様です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus \{0\}}$
• ユークリッド計量（弦計量）から継承された計量を持つ単位円は、 経路計量空間ではありません。 上の誘導された固有計量は、距離をラジアン単位の角度で測定し、結果として得られる長さ計量空間はリーマン円と呼ばれます。2次元では、球面上の弦計量は固有ではなく、誘導された固有計量は大円距離によって与えられます。 ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$
• 連結されたリーマン多様体は、2点間の距離を、その2点を結ぶ連続微分可能曲線の長さの下限として定義することで、経路距離空間に変換できます。（リーマン構造により、このような曲線の長さを定義できます。）同様に、長さが定義される他の多様体には、フィンスラー多様体と部分リーマン多様体が含まれます。
• 任意の完備凸計量空間は長さ計量空間である（Khamsi & Kirk 2001, Theorem 2.16）。これはカール・メンガーの結果である。しかし、逆は成り立たない。つまり、凸ではない長さ計量空間も存在する。

プロパティ

• 一般に、 が成り立ち、によって定義される位相は、 によって定義される位相よりも常に細かいか、それに等しくなります。 ${\displaystyle d\leq d_{\text{I}}}$ ${\displaystyle d_{\text{I}}}$ ${\displaystyle d}$
• 空間は常にパス メトリック空間です (ただし、前述のように、無限になる可能性があるという注意点があります)。 ${\displaystyle (M,d_{\text{I}})}$ ${\displaystyle d_{\text{I}}}$
• 長さ空間の計量には近似的な中点が存在する。逆に、近似的な中点を持つ完全な計量空間はすべて長さ空間である。
• ホップ・リノウの定理は、長さ空間が完備かつ局所コンパクトである場合、 内の任意の 2 点は最小化する測地線で接続でき、内のすべての有界閉集合はコンパクトになることを述べています。 ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

参考文献

• ハーバート・ビューゼマン『選集』（アタナセ・パパドプロス編）第1巻、908ページ、Springer International Publishing、2018年。

• ハーバート・ビューゼマン『Selected Works』（アタナセ・パパドプロス編）、第2巻、842ページ、Springer International Publishing、2018年。

• グロモフ、ミハイル（1999）「リーマン空間と非リーマン空間の計量構造」Progress in Math.、vol. 152、Birkhäuser、ISBN 0-8176-3898-9
• カムシ、モハメド A. ;カーク、ウィリアム A. (2001) 『計量空間と不動点理論入門』 Wiley-IEEE、ISBN 0-471-41825-0

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