リーの定理

解けるリー代数を表す定理

数学、特にリー代数理論において、リーの定理は、^[1]特性 0 の代数閉体上で、 が可解リー代数の有限次元表現である場合、の不変部分空間の旗が存在し、これは各およびiに対して が成り立つことを意味する、ということを述べています。 ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0}$ ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {codim} V_{i}=i}$ ${\displaystyle \pi (X)(V_{i})\subseteq V_{i}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$

言い換えれば、定理は、Vのすべての線型変換が上三角行列で表されるような基底が存在することを述べています。^{[2]これは、}可換行列は同時に上三角化可能であるというフロベニウスの結果を一般化したものです。可換行列は可換リー代数を生成し、これはさらに強力に解けるからです。 ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$

リーの定理の帰結として、標数 0 の体上の任意の有限次元可解リー代数は、冪零導来代数を持つ（#帰結を参照）。また、有限次元ベクトル空間Vの各旗には、 （旗を安定化する線型変換からなる）ボレル部分代数が存在する。したがって、この定理は、 が の何らかのボレル部分代数に含まれることを示唆している。^[1] ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$

反例

特性p >0 の代数閉体に対しては、表現の次元がp未満であればリーの定理が成り立つ（以下の証明を参照）が、p次元の表現では成り立たない。一例として、 1、 x、d / dxが張る3次元冪零リー代数がp次元ベクトル空間k [ x ]/( x ^p )上に作用し、固有ベクトルを持たないことがあげられる。この3次元リー代数とp次元表現（アーベルリー代数とみなされる）の半直積をとると、導出代数が冪零ではない可解リー代数が得られる。

証拠

証明は の次元に関する帰納法によって行われ、いくつかのステップから成ります。（注：証明の構造はエンゲルの定理の証明と非常に似ています。）基本的なケースは自明であり、 の次元は正であると仮定します。また、Vはゼロではないと仮定します。簡潔にするために と書きます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X\cdot v=\pi (X)(v)}$

ステップ1：定理は次のステートメントと同等であることに注意してください。^[3]

• Vには、 の各線形変換の固有ベクトルとなるベクトルが存在します。 ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$

実際、この定理は特に、 を張る非零ベクトルはのすべての線形変換の共通固有ベクトルであると述べています。逆に、vが共通固有ベクトルである場合、をその張ると、商 に共通固有ベクトルが存在します。議論を繰り返します。 ${\displaystyle V_{n-1}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle V_{n-1}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle V/V_{n-1}}$

ステップ 2 :内の余次元 1 のイデアルを見つけます。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

を導出代数とする。は解け、正の次元を持つので、商は非零のアーベルリー代数となり、必ず余次元1のイデアルを含み、イデアル対応により、 における余次元1のイデアルに対応する。 ${\displaystyle D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle D{\mathfrak {g}}\neq {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/D{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ステップ3 :次のような線形関数 が存在する。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$

${\displaystyle V_{\lambda }=\{v\in V|X\cdot v=\lambda (X)v,X\in {\mathfrak {h}}\}}$

はゼロではない。これは帰納的仮説から導かれる（固有値が線形関数を決定することは容易に確認できる）。

ステップ4 :は-不変部分空間です。(このステップは一般的な事実を証明するものであり、可解性には関係ないことに留意してください。) ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

,とすると、 を証明する必要があります。の場合は明らかですので、と再帰的に と設定します。 とが線形独立である最大のものとしましょう。次に、それらがU を生成するので、 がUの基底であることを証明します。実際には、背理法により、そうではないと仮定し、が となる最小のものとすれば、明らかに です。は線形従属なので、は の線形結合です。写像を適用すると、は の線形結合であることがわかります。m の最小性により、これらのベクトルはそれぞれ の線形結合なので、 であり、目的の矛盾が得られます。任意の と に対して、およびとなる基底体の元が存在することを帰納的に証明します。 ${\displaystyle Y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle v\in V_{\lambda }}$ ${\displaystyle Y\cdot v\in V_{\lambda }}$ ${\displaystyle v=0}$ ${\displaystyle v\neq 0}$ ${\displaystyle v_{0}=v,\,v_{i+1}=Y\cdot v_{i}}$ ${\displaystyle U=\operatorname {span} \{v_{i}|i\geq 0\}}$ ${\displaystyle \ell \in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{\ell }}$ ${\displaystyle \alpha =(v_{0},\ldots ,v_{\ell })}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle v_{m}\notin \langle v_{0},\ldots ,v_{\ell }\rangle }$ ${\displaystyle m\geq \ell +1}$ ${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{\ell +1}}$ ${\displaystyle v_{\ell +1}}$ ${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{\ell }}$ ${\displaystyle Y^{m-\ell -1}}$ ${\displaystyle v_{m}}$ ${\displaystyle v_{m-\ell -1},\ldots ,v_{m-1}}$ ${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{\ell }}$ ${\displaystyle v_{m}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle a_{0,n,X},\ldots ,a_{n,n,X}}$ ${\displaystyle a_{n,n,X}=\lambda (X)}$

${\displaystyle X\cdot v_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i,n,X}v_{i}.}$

なので、このケースは単純です。ここで、 の一部とすべての元について主張を証明したと仮定し、とします。 はイデアルなので、であり、したがって ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle X\cdot v_{0}=\lambda (X)v_{0}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle [X,Y]\in {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle X\cdot v_{n+1}=Y\cdot (X\cdot v_{n})+[X,Y]\cdot v_{n}=Y\cdot \sum _{i=0}^{n}a_{i,n,X}v_{i}+\sum _{i=0}^{n}a_{i,n,[X,Y]}v_{i}=a_{0,n,[X,Y]}v_{0}+\sum _{i=1}^{n}(a_{i-1,n,X}+a_{i,n,[X,Y]})v_{i}+\lambda (X)v_{n+1},}$

そして、帰納法のステップが続く。これは、任意の部分空間UがXの不変部分空間であり、基底における制限写像の行列が上三角行列で対角要素が に等しいことを意味する。したがって、 となる。これをXの代わりに に適用すると となる。一方、Uは明らかにYの不変部分空間でもあるので、 ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \pi (X)|_{U}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda (X)}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (\pi (X)|_{U})=\dim(U)\lambda (X)}$ ${\displaystyle [X,Y]\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (\pi ([X,Y])|_{U})=\dim(U)\lambda ([X,Y])}$

${\displaystyle \operatorname {tr} (\pi ([X,Y])|_{U})=\operatorname {tr} ([\pi (X),\pi (Y)]|_{U}])=\operatorname {tr} ([\pi (X)|_{U},\pi (Y)|_{U}])=0}$

交換子は零トレースを持つので、 となる。は逆である（基底体の特性に関する仮定により）ので 、 ${\displaystyle \dim(U)\lambda ([X,Y])=0}$ ${\displaystyle \dim(U)>0}$ ${\displaystyle \lambda ([X,Y])=0}$

${\displaystyle X\cdot (Y\cdot v)=Y\cdot (X\cdot v)+[X,Y]\cdot v=Y\cdot (\lambda (X)v)+\lambda ([X,Y])v=\lambda (X)(Y\cdot v),}$

など。 ${\displaystyle Y\cdot v\in V_{\lambda }}$

ステップ 5 : 共通固有ベクトルを見つけて証明を終了します。

と書く。ここでLは1次元ベクトル部分空間である。基底体は代数的に閉じているので、Lの非零元（したがってすべての元）に対しての固有ベクトルが存在する。そのベクトルは の各元に対しても固有ベクトルとなるので、証明は完全である。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+L}$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \square }$

結果

この定理は、特に、特性 0 の代数的閉体上の（有限次元）可解リー代数の随伴表現 に適用されます。したがって、に関して上三角行列からなる基底を選ぶことができます。各 に対して、の対角要素は 0 から構成されることが容易にわかります。つまり、は厳密に上三角行列です。これは、 がべき零リー代数であることを意味します。さらに、基底体が代数的に閉じていない場合、リー代数の可解性とべき零性は、基底体をその代数的閉包に拡張することによって影響を受けません。したがって、次のステートメントが結論付けられます（もう1つの含意は明らかです）。^[4] ${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ([x,y])=[\operatorname {ad} (x),\operatorname {ad} (y)]}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ([x,y])}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$

特性ゼロの体上の有限次元リー代数は、導出された代数が冪零である場合に限り解ける。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$

リーの定理は、カルタンの解法基準に一つの方向性を確立する。

Vが特性零の体とリー部分代数上の有限次元ベクトル空間である ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subseteq {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (XY)=0}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle Y\in [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$場合、任意のおよびに対してが解ける場合、かつその場合に限る。^[5]

実際、上記のように、基底体を拡張すれば、その含意は簡単に分かります。（逆は証明するのがより困難です。） ${\displaystyle \Rightarrow }$

リーの定理（様々なVに対して）は次の命題と同等である：^[6]

特性ゼロの代数的に閉じた体上の可解なリー代数の場合、各有限次元単純- モジュール（つまり、表現として既約なもの）は次元が 1 です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

実際、リーの定理はこの命題を明確に示唆しています。逆に、この命題が真であると仮定しましょう。有限次元 -加群Vが与えられ、を最大 -部分加群（これは次元の有限性によって存在します）とします。すると、最大性により は単純となり、したがって は1次元となります。これで帰納法によって証明が完了します。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V/V_{1}}$

この記述は特に、アーベルリー代数上の有限次元単純加群は1次元であるということを述べている。この事実は、この場合すべてのベクトル部分空間がリー部分代数であるため、任意の基底体上でも成り立つ。^[7]

もう一つ非常に便利なアプリケーションがあります: ^[8]

を、根基を持つ特性ゼロの代数閉体上の有限次元リー代数とする。このとき、各有限次元単純表現は、 の単純表現と の1次元表現（すなわち、リー括弧上の線形汎関数の消失）のテンソル積となる。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

リーの定理により、の線型関数を見つけることができ、の重み空間が存在します。リーの定理の証明のステップ 4 により、も- 加群であるため、 となります。特に、各 に対して、となります。を 上で消滅する上の線型関数に拡張すると、の 1 次元表現になります。ここで、となります。 は上で と一致するため、 が上で自明であり、したがって の (単純な) 表現の制限となります。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V=V_{\lambda }}$ ${\displaystyle X\in \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (\pi (X))=\dim(V)\lambda (X)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle (\pi ,V)\simeq (\pi ,V)\otimes (-\lambda )\otimes \lambda }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle V\otimes (-\lambda )}$ ${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \square }$

参照

• エンゲルの定理は、冪零リー代数に関する定理です。
• リー・コルチンの定理は、（連結な）可解な線形代数群に関するものです。

参考文献

1. Serre 2001、定理3
2. Humphreys 1972、第II章、§4.1、系A。
3. Serre 2001、定理3″
4. Humphreys 1972、第II章、§4.1、系C。
5. Serre 2001、定理4
6. Serre 2001、定理3'
7. Jacobson 1979、第II章、§6、補題5。
8. フルトン＆ハリス 1991、命題9.17。

出典

• フルトン、ウィリアム、ハリス、ジョー(1991).表現論 入門.数学大学院テキスト, 数学読本. 第129巻. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.
• ハンフリーズ、ジェームズ・E.（1972）、リー代数と表現論入門、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90053-7。
• ジェイコブソン、ネイサン（1979）、リー代数（1962年初版の再出版）、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 0-486-63832-4、MR  0559927
• Serre, Jean-Pierre (2001)、Complex Semisimple Lie Algebras、Springer Monographs in Mathematics、ベルリン: Springer、doi :10.1007/978-3-642-56884-8、ISBN 3-5406-7827-1、MR  1808366

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