リー双代数

数学において、リー双代数は、双代数のリー理論的ケースです。つまり、互換性のあるリー代数とリー余代数構造を持つ集合です。

これは双代数であり、乗法は歪対称で双対ヤコビ恒等式を満たすため、双ベクトル空間はリー代数となる。一方、共乗法は1-コサイクルであるため、乗法と共乗法は両立する。コサイクル条件は、実際には、共境界上のリー双代数と共相となる双代数のクラスのみを研究することを意味する。

これらはポアソン-ホップ代数とも呼ばれ、ポアソン-リー群のリー代数です。

リー双代数は、ヤン・バクスター方程式の研究では自然に現れます。

意味

ベクトル空間がリー双代数であるとは、それがリー代数である場合であり、かつ、双対ベクトル空間上にも適合するリー代数の構造が存在することを意味する。より正確には、上のリー代数構造はリー括弧によって与えられ、上のリー代数構造はリー括弧によって与えられる。この場合、への双対写像はココミューテータと呼ばれ、適合条件は次のコサイクル関係である。 ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ ${\mathfrak {g}}$ $[\ ,\ ]:{\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\delta^{*}:{\mathfrak{g}}^{*}\otimes {\mathfrak{g}}^{*}\to {\mathfrak{g}}^{*}$ $\delta^{*}$ $\delta :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}$

\delta ([X,Y])=\left(\operatorname {ad} _{X}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{X}\right)\delta (Y)-\left(\operatorname {ad} _{Y}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{Y}\right)\delta (X)

ここでは随伴項です。この定義は対称的であり、リー双代数（双対リー双代数）でもあることに注意してください。 $\operatorname {ad} _{X}Y=[X,Y]$ ${\mathfrak {g}}^{*}$

例

任意の半単純リー代数とする。リー双代数構造を指定するには、双対ベクトル空間上の適合リー代数構造を指定しなければならない。カルタン部分代数と正根を選択する。対応する反対のボレル部分代数をとすると、自然な射影が存在する。次に、リー代数を定義する。 ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {t}}\subset {\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {b}}_{\pm }\subset {\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {t}}={\mathfrak {b}}_{-}\cap {\mathfrak {b}}_{+}$ $\pi :{\mathfrak {b}}_{\pm }\to {\mathfrak {t}}$

{\mathfrak {g'}}:=\{(X_{-},X_{+})\in {\mathfrak {b}}_{-}\times {\mathfrak {b}}_{+}\ {\bigl \vert }\ \pi (X_{-})+\pi (X_{+})=0\}

これは積の部分代数であり、と同じ次元を持つ。ここで、の双対との対で同一視する。 ${\mathfrak {b}}_{-}\times {\mathfrak {b}}_{+}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g'}}$ ${\mathfrak {g}}$

\langle (X_{-},X_{+}),Y\rangle :=K(X_{+}-X_{-},Y)

ここで、とはキリング形式である。これは上のリー双代数構造を定義し、は「標準的な」例である。これはドリンフェルド・ジンボ量子群の基礎となる。は可解であるのに対し、は半単純であることに注意されたい。 $Y\in {\mathfrak {g}}$ $K$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g'}}$ ${\mathfrak {g}}$

ポアソン-リー群との関係

ポアソン-リー群Gのリー代数は、リー双代数の自然な構造を持つ。簡単に言うと、リー群構造は通常通り上のリー括弧を与え、 G上のポアソン構造の線型化は上のリー括弧を与える（ベクトル空間上の線型ポアソン構造は双対ベクトル空間上のリー括弧と同じであることを思い出してほしい）。より詳しくは、G をポアソン-リー群とし、は群多様体上の2つの滑らかな関数とする。は恒等元における微分とする。明らかに、である。すると、群上のポアソン構造は上の括弧を次のように誘導する。 ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g^{*}}}$ $f_{1},f_{2}\in C^{\infty }(G)$ $\xi =(df)_{e}$ $\xi \in {\mathfrak {g}}^{*}$ ${\mathfrak {g}}^{*}$

[\xi _{1},\xi _{2}]=(d\{f_{1},f_{2}\})_{e}\,

ここではポアソン括弧である。が多様体上のポアソン二ベクトルであるとすると、は二ベクトルのGにおける単位元への右平行移動と定義される。すると、 $\{,\}$ $\eta$ $\eta^{R}$

\eta ^{R}:G\to {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}

すると、ココミュテータは接線写像となる。

\delta =T_{e}\eta ^{R}\,

となることによって

[\xi _{1},\xi _{2}]=\delta ^{*}(\xi _{1}\otimes \xi _{2})

はココミュテータの双対です。

参照

参考文献

H.-D. Doebner, J.-D. Hennig編, Quantum groups, Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Arnold Sommerfeld Institute, Claausthal, FRG, 1989 , Springer-Verlag Berlin, ISBN 3-540-53503-9。
Vyjayanthi ChariとAndrew Pressley著『量子群ガイド』（1994年）、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジISBN 0-521-55884-0。
Beisert, N.; Spill, F. (2009). 「AdS/CFTの古典的r行列とそのリー双代数構造」. Communications in Mathematical Physics . 285 (2): 537– 565. arXiv : 0708.1762 . Bibcode : 2009CMaPh.285..537B . doi : 10.1007/s00220-008-0578-2 . S2CID 8946457 .