リー群とリー代数の対応

数学において、リー群とリー代数の対応は、リー群とリー代数を対応させたり、その逆を行ったりすることを可能にし、そのような関係の条件を調べることができる。互いに同型なリー群は互いに同型なリー代数を持つが、その逆は必ずしも真ではない。明らかな反例としては、（それぞれ実座標空間と円群を参照）とがあり、これらはリー群としては互いに同型ではないが、それらのリー代数は互いに同型である。しかし、単連結リー群の場合、リー群とリー代数の対応は1対1である。^[1] $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {T} ^{n}$

本稿では、リー群とは実リー群のことを指します。複素リー群およびp進リー群については、複素リー群およびp進リー群を参照してください。本稿では、多様体（特にリー群）は第二可算であると仮定します。特に、多様体は最大で可算個数の連結成分を持ちます。

基本

リー群のリー代数

リー群 Gのリー代数の構成を理解するには様々な方法がある。一つのアプローチは左不変ベクトル場を用いる。G上のベクトル場 Xが左並進不変であるとは、G内の任意のg、hに対して、

(dL_{g})_{h}(X_{h})=X_{gh}

ここではによって定義され、は接空間間のの微分です。 $L_{g}:G\to G$ $L_{g}(x)=gx$ $(dL_{g})_{h}:T_{h}G\to T_{gh}G$ $L_{g}$

G上のすべての左並進不変ベクトル場全体の成す集合をとします。これは実ベクトル空間です。さらに、ベクトル場のリー括弧で閉じています。つまり、XとYがそうであれば、は左並進不変ベクトル場です。したがって、はG上のすべてのベクトル場のリー代数のリー部分代数であり、 Gのリー代数と呼ばれます。これは、次のように左不変ベクトル場の空間を恒等関数での接空間と同一視することで、より具体的に理解できます。左不変ベクトル場が与えられれば、恒等関数でその値を取ることができ、恒等関数での接ベクトルが与えられれば、それを左不変ベクトル場に拡張できます。この対応は両方向で 1 対 1 であるため、単射です。したがって、リー代数は恒等関数における接空間として考えることができ、XとYの括弧は、それらを左不変ベクトル場まで拡張し、ベクトル場の括弧を取り、結果を恒等関数で評価することで計算できます。 $\operatorname {Lie} (G)$ $[X,Y]$ $\operatorname {Lie} (G)$ $T_{e}G$

は、単位元にサポートを持つG上の超関数のホップ代数の原始元のリー代数としても別の形で現れます。これについては、以下の関連する構成を参照してください。 $\operatorname {Lie} (G)$

行列リー群

GがGL(n; C )の閉部分群であり、閉部分群定理によりリー群であるとする。すると、 Gのリー代数は^[2]^[3]のように計算できる。

\operatorname {Lie} (G)=\left\{X\in M(n;\mathbb {C} )\mid e^{tX}\in G{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} \right\}.

たとえば、この基準を使用して、古典的なコンパクトグループの対応を確立することができます(以下の「コンパクトリー群」の表を参照)。

準同型

がリー群準同型ならば、その単位元における微分は $f:G\to H$

df=df_{e}:\operatorname {Lie} (G)\to \operatorname {Lie} (H)

はリー代数準同型（括弧は括弧内）であり、次の特性を持つ。

$\exp(df(X))=f(\exp(X))$ Lie( G )に属するすべてのXについて、"exp"は指数写像である。
$\operatorname {Lie} (\ker(f))=\ker(df)$ . ^[4]
fの像が閉じている場合、^{[5] 、}^[6]であり、第一同型定理が成り立つ：fはリー群の同型性を誘導する： $\operatorname {Lie} (\operatorname {im} (f))=\operatorname {im} (df)$
$G/\ker(f)\to \operatorname {im} (f).$
連鎖律は成り立ちます。つまり、とがリー群準同型であれば、となります。 $f:G\to H$ $g:H\to K$ $d(g\circ f)=(dg)\circ (df)$

特に、H がリー群Gの閉部分群^[7]である場合、はのリー部分代数である。また、fが単射である場合、f は浸漬であり、したがってGはHの浸漬（リー）部分群であると言われる。例えば、はHの浸漬部分群である。fが射影である場合、fは浸漬であり、さらにGがコンパクトである場合、fは構造群を核とする主束である。（エーレスマンの補題） $\operatorname {Lie} (H)$ $\operatorname {Lie} (G)$ $G/\ker(f)$

その他の特性

をリー群と射影の直積とします。すると、微分は標準的な同一視を与えます。 $G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}$ $p_{i}:G\to G_{i}$ $dp_{i}:\operatorname {Lie} (G)\to \operatorname {Lie} (G_{i})$

\operatorname {Lie} (G_{1}\times \cdots \times G_{r})=\operatorname {Lie} (G_{1})\oplus \cdots \oplus \operatorname {Lie} (G_{r}).

がリー群のリー部分群である場合、 $H,H'$ $\operatorname {Lie} (H\cap H')=\operatorname {Lie} (H)\cap \operatorname {Lie} (H').$

Gを連結リー群とする。H がリー群であれば、任意のリー群準同型はその微分により一意に決まる。正確には、となる指数写像（およびHに対して）が存在し、 Gは連結であるため、これによってf が一意に決まる。^[8]一般に、Uが連結位相群Gの単位元の近傍である場合、前者は開（したがって閉）部分群であるため、はGと一致します。ここで、は零ベクトルの近傍から単位元の近傍への局所同型を定義します。たとえば、G がサイズnの可逆な実正方行列のリー群（一般線型群）である場合、はサイズnの実正方行列およびのリー代数です。 $f:G\to H$ $df$ $\exp :\operatorname {Lie} (G)\to G$ $f(\exp(X))=\exp(df(X))$ ${\textstyle \bigcup _{n>0}U^{n}}$ $\exp :\operatorname {Lie} (G)\to G$ $\operatorname {Lie} (G)$ ${\textstyle \exp(X)=e^{X}=\sum _{0}^{\infty }{X^{j}/j!}}$

通信

リー群とリー代数間の対応には、次の 3 つの主な結果が含まれます。

リーの第三定理：任意の有限次元実リー代数は、ある単連結リー群のリー代数である。^[9]
準同型定理：がリー代数準同型であり、Gが単連結である場合、となる（唯一の）リー群準同型が存在する。^[10] $\phi :\operatorname {Lie} (G)\to \operatorname {Lie} (H)$ $f:G\to H$ $\phi =df$
部分群-部分代数定理：Gがリー群で、がのリー部分代数である場合、リー代数を持つGの唯一の連結なリー部分群（必ずしも閉じている必要はない） Hが存在する。^[11] ${\mathfrak {h}}$ $\operatorname {Lie} (G)$ ${\mathfrak {h}}$

対応の2番目の部分では、Gが単連結であるという仮定を省略することはできない。例えば、SO(3)とSU(2)のリー代数は同型であるが^[12] 、 SO(3)からSU(2)への対応する準同型は存在しない。^[13]むしろ、準同型は単連結群SU(2)から非単連結群SO(3)へと向かう。^[14]GとHが両方とも単連結で同型リー代数を持つ場合、上記の結果からGとHが同型であることを示すことができる。^[15]fを構成する1つの方法は、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式を使用することである。^[16]

圏論に詳しい読者のために、この対応関係を次のようにまとめることができる。まず、各連結リー群にそのリー代数を、また各リー群の準同型に中立元における対応する微分を対応付ける操作は、連結（実）リー群の圏から有限次元（実）リー代数の圏への（共変）関手である。この関手は、（有限次元）リー代数からリー群への左随伴関手を持つ（これは標準同型を除いて必ず一意である）。言い換えれば、双関手の自然な同型性が存在する。 $G$ $\operatorname {Lie} (G)$ $f$ $\operatorname {Lie} (f)=df_{e}$ $\operatorname {Lie}$ $\Gamma$

\mathrm {Hom} _{CLGrp}(\Gamma ({\mathfrak {g}}),H)\cong \mathrm {Hom} _{LAlg}({\mathfrak {g}},\operatorname {Lie} (H)).

$\Gamma ({\mathfrak {g}})$ は、リー代数を持つ（同型を除いて一意な）単連結リー群である。随伴の自然単位射は同型であり、これは完全に忠実であることに対応する（上記の2番目の記述の一部）。対応する余単位は、単連結被覆からの標準射影であり、その全射性は忠実な関手であることに対応する。 ${\mathfrak {g}}$ $\epsilon \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow \operatorname {Lie} (\Gamma ({\mathfrak {g}}))$ $\Gamma$ $\Gamma (\operatorname {Lie} (H))\rightarrow H$ ${\widetilde {H}}\rightarrow H$ $Lie$

リーの第三定理の証明

おそらく、上記の最初の結果の最もエレガントな証明は、任意の有限次元リー代数（任意の標数の体上）は正方行列のリー代数のリー部分代数であるというAdo の定理を使用するものです。証明は以下のとおりです。Ado の定理により、はリー部分代数であると仮定します。G をによって生成されるの閉部分群（閉包を取らないと、無理数トーラスの場合のように病的な稠密例を得ることができます）とし、をGの単連結被覆とします。がリー群であり、被覆写像がリー群準同型であることを示すのは難しくありません。であるため、これで証明が完了します。 ${\mathfrak {gl}}_{n}$ ${\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )=\operatorname {Lie} (GL_{n}(\mathbb {R} ))$ $GL_{n}(\mathbb {R} )$ $e^{\mathfrak {g}}$ ${\widetilde {G}}$ ${\widetilde {G}}$ $T_{e}{\widetilde {G}}=T_{e}G={\mathfrak {g}}$

例:リー代数の各元Xはリー代数準同型写像を生じる。 ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)$

\mathbb {R} \to {\mathfrak {g}},\,t\mapsto tX.

リーの第三定理によれば、および exp が恒等写像であるので、この準同型写像はGのある浸漬部分群Hに対するリー群準同型の微分である。このリー群準同型写像はXによって生成される1パラメータ部分群と呼ばれ、まさに指数写像であり、H はその像である。以上のことをまとめると、とGの1パラメータ部分群の集合の間には標準的な全単射対応が存在すると言える。^[17] $\operatorname {Lie} (\mathbb {R} )=T_{0}\mathbb {R} =\mathbb {R}$ $\mathbb {R} \to H$ $t\mapsto \exp(tX)$ ${\mathfrak {g}}$

準同型定理の証明

リー群とリー代数の対応（準同型定理）の2番目の部分を証明する1つの方法は、ホールの著書のセクション5.7にあるように、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式を使うことである。^[18]具体的には、からへのリー代数準同型が与えられている場合、局所的に（つまり、恒等式の近傍で）を次の式で定義することができる。 $\phi$ $\operatorname {Lie} (G)$ $\operatorname {Lie} (H)$ $f:G\to H$

f(e^{X})=e^{\phi (X)},

ここではGの指数写像であり、その逆写像は恒等写像の近傍で定義される。ここでfは局所準同型写像であるとする。したがって、恒等写像の近傍にある2つの元と（XとY は小さい）が与えられ、それらの積を考える。ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式によれば、となる。ここで $e^{X}$ $e^{X}$ $e^{Y}$ $e^{X}e^{Y}$ $e^{X}e^{Y}=e^{Z}$

Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]+\cdots ,

は、 XとYを含む繰り返し交換子として表現される他の項を示します。したがって、 $\cdots$

f\left(e^{X}e^{Y}\right)=f\left(e^{Z}\right)=e^{\phi (Z)}=e^{\phi (X)+\phi (Y)+{\frac {1}{2}}[\phi (X),\phi (Y)]+{\frac {1}{12}}[\phi (X),[\phi (X),\phi (Y)]]+\cdots },

はリー代数準同型であるからである。ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式を再び用いて、今度は群Hについて、この最後の式はとなり、したがって $\phi$ $e^{\phi (X)}e^{\phi (Y)}$

f\left(e^{X}e^{Y}\right)=e^{\phi (X)}e^{\phi (Y)}=f\left(e^{X}\right)f\left(e^{Y}\right).

したがって、f は、少なくともXとYが十分に小さい場合、準同型性を持つ。この議論は局所的である。なぜなら、指数写像はGの恒等写像の小さな近傍でのみ逆写像となり、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式はXとYが小さい場合にのみ成立するからである。Gが単連結であるという仮定はまだ用いられていない。

議論の次の段階は、f を局所準同型から大域準同型へと拡張することです。この拡張は、f をパスに沿って定義し、 Gの単純連結性を用いて、定義がパスの選択に依存しないことを示すことによって行われます。

リー群表現

リー対応の特殊なケースは、リー群の有限次元表現と関連するリー代数の表現との間の対応です。

一般線型群は（実）リー群であり、任意のリー群準同型 $GL_{n}(\mathbb {C} )$

\pi :G\to GL_{n}(\mathbb {C} )

はリー群Gの表現と呼ばれる。微分

d\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} ),

はリー代数準同型であり、リー代数表現と呼ばれます。(微分は単にと表記されることが多いです。) $d\pi$ $\pi '$

準同型定理（リー群-リー代数対応の一部として上で述べた）によれば、が単連結リー群でそのリー代数がである場合、のすべての表現はGの表現から得られる。 Gが単連結であるという仮定は重要である。例えば、単連結ではない回転群SO(3)を考えてみよう。各次元にはリー代数の既約表現が 1 つ存在するが、リー代数の奇数次元表現のみが群の表現から得られる。^{[19] （この観察は量子力学における}整数スピンと半整数スピンの区別に関連している。）一方、群SU(2)は SO(3) のリー代数と同型のリー代数と単連結であるため、SO(3) のリー代数のすべての表現は SU(2) の表現を生み出す。 $G$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$

随伴表現

リー群表現の一例としては、リー群Gの随伴表現が挙げられます。リー群Gの各元g は、共役によってGの自己同型を定義します。したがって、微分はリー代数の自己同型になります。このようにして、随伴表現と呼ばれる表現が得られます。対応するリー代数準同型はの随伴表現と呼ばれ、と表記されます。が示され、これは特にのリー括弧がG上の群法則によって決定されることを意味します。 $c_{g}(h)=ghg^{-1}$ $dc_{g}$ ${\mathfrak {g}}$ $\operatorname {Ad} :G\to GL({\mathfrak {g}}),\,g\mapsto dc_{g}$ ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ ${\mathfrak {g}}$ $\operatorname {ad}$ $\operatorname {ad} (X)(Y)=[X,Y]$ ${\mathfrak {g}}$

リーの第3定理によれば、リー代数がであるような部分群が存在する。（は一般には閉部分群ではなく、はめ込み部分群のみである。）これはの随伴群と呼ばれる。^[20]Gが連結である場合、それは次の正確な数列に適合する。 $\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})$ $GL({\mathfrak {g}})$ $\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})$ $\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})$ ${\mathfrak {g}}$

0\to Z(G)\to G\xrightarrow {\operatorname {Ad} } \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})\to 0

ここではGの中心です。Gの中心が離散的であれば、ここでの Ad は被覆写像となります。 $Z(G)$

Gを連結リー群とする。このとき、Gがユニモジュラ群となるのは、Gの任意のgに対してである。^[21] $\det(\operatorname {Ad} (g))=1$

Gを多様体Xに作用するリー群とし、G x_をX内の点xの安定集合とする。すると、 $\rho (x):G\to X,\,g\mapsto g\cdot x$

$\operatorname {Lie} (G_{x})=\ker(d\rho (x):T_{e}G\to T_{x}X).$
軌道が局所的に閉じている場合、軌道はXとの部分多様体である。^[22] $G\cdot x$ $T_{x}(G\cdot x)=\operatorname {im} (d\rho (x):T_{e}G\to T_{x}X)$

またはGの部分集合Aについて、 ${\mathfrak {g}}$

{\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(A)=\{X\in {\mathfrak {g}}\mid \operatorname {ad} (a)X=0{\text{ or }}\operatorname {Ad} (a)X=0{\text{ for all }}a{\text{ in }}A\}

Z_{G}(A)=\{g\in G\mid \operatorname {Ad} (g)a=0{\text{ or }}ga=ag{\text{ for all }}a{\text{ in }}A\}

をAのリー代数中心化子、をリー群中心化子とする。すると、となる。 $\operatorname {Lie} (Z_{G}(A))={\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(A)$

HがGの閉連結部分群である場合、がイデアルである場合に限り、 Hが正規となる。そして、そのような場合にはとなる。 $\operatorname {Lie} (H)$ $\operatorname {Lie} (G/H)=\operatorname {Lie} (G)/\operatorname {Lie} (H)$

アーベルリー群

G を連結リー群とする。G の中心のリー代数は G のリー代数の中心である（前の § 参照）ので、 G がアーベル群となるための必要十分条件は、 Gのリー代数がアーベル群となることである。

Gがアーベル写像ならば、指数写像は射影群準同型である。^[23]その核は離散群（次元が0なので）であり、Gの整数格子と呼ばれ、と表記される。第一同型定理により、同型が導かれる。 $\exp :{\mathfrak {g}}\to G$ $\Gamma$ $\exp$ ${\mathfrak {g}}/\Gamma \to G$

剛性論によれば、連結リー群Gの基本群は Gの単連結被覆の中心部分群である。言い換えれば、G は中心拡大に当てはまる。 $\pi _{1}(G)$ ${\widetilde {G}}$

1\to \pi _{1}(G)\to {\widetilde {G}}{\overset {p}{\to }}G\to 1.

同様に、リー代数と、そのリー代数がである単連結リー群が与えられている場合、の離散中心部分群による商と、リー代数を持つ連結リー群との間には 1 対 1 の対応関係があります。 ${\mathfrak {g}}$ ${\widetilde {G}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\widetilde {G}}$ ${\mathfrak {g}}$

複素ケースでは複素トーラスが重要です。このトピックについては複素リー群を参照してください。

コンパクトリー群

G を有限中心を持つ連結リー群とする。このとき、以下のものは同値である。

Gはコンパクトです。
(ワイル) Gの単連結被覆はコンパクトである。 ${\widetilde {G}}$
随伴群はコンパクトです。 $\operatorname {Int} {\mathfrak {g}}$
閉じた部分群として埋め込みが存在します。 $G\hookrightarrow O(n,\mathbb {R} )$
のKilling形式は負定値です。 ${\mathfrak {g}}$
の各Xに対して、は対角化可能であり、ゼロまたは純虚数の固有値を持ちます。 ${\mathfrak {g}}$ $\operatorname {ad} (X)$
には不変内積が存在する。 ${\mathfrak {g}}$

前述の条件の同値性は、G が有限中心を持つという仮定の下でのみ成立することを強調しておくことが重要です。したがって、例えば、G が有限中心を持つコンパクトである場合、普遍被覆もコンパクトです。明らかに、この結論はG が無限中心を持つ場合、例えばの場合には成立しません。上記の最後の3つの条件は、純粋にリー代数的な性質を持っています。 ${\widetilde {G}}$ $G=S^{1}$

コンパクトリー群	随伴リー代数の複素化	根系
SU( n +1) $=\left\{A\in M_{n+1}(\mathbb {C} )\mid {\overline {A}}^{\mathrm {T} }A=I,\det(A)=1\right\}$	${\mathfrak {sl}}(n+1,\mathbb {C} )$ $=\{X\in M_{n+1}(\mathbb {C} )\mid \operatorname {tr} X=0\}$	アン
SO(2 n +1) $=\left\{A\in M_{2n+1}(\mathbb {R} )\mid A^{\mathrm {T} }A=I,\det(A)=1\right\}$	${\mathfrak {so}}(2n+1,\mathbb {C} )$ $=\left\{X\in M_{2n+1}(\mathbb {C} )\mid X^{\mathrm {T} }+X=0\right\}$	B _n
Sp( n ) $=\left\{A\in U(2n)\mid A^{\mathrm {T} }JA=J\right\},\,J={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}$	${\mathfrak {sp}}(n,\mathbb {C} )$ $=\left\{X\in M_{2n}(\mathbb {C} )\mid X^{\mathrm {T} }J+JX=0\right\}$	C _n
SO(2 n ) $=\left\{A\in M_{2n}(\mathbb {R} )\mid A^{\mathrm {T} }A=I,\det(A)=1\right\}$	${\mathfrak {so}}(2n,\mathbb {C} )$ $=\left\{X\in M_{2n}(\mathbb {C} )\mid X^{\mathrm {T} }+X=0\right\}$	D _n

Gがコンパクトリー群ならば、

H^{k}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )=H_{\text{dR}}(G)

ここで、左辺はのリー代数コホモロジーであり、右辺はGのド・ラームコホモロジーである。（大まかに言えば、これはG上の任意の微分形式が平均化の議論によって左不変にできるという事実の帰結である。） ${\mathfrak {g}}$

参照

引用

^ リー 2012年、530頁。
^ ヘルガソン 1978、Ch. II、§ 2、命題 2.7。
^ ホール 2015 セクション 3.3
' ^ より一般的には、 HがHの閉部分群である、 $\operatorname {Lie} (f^{-1}(H'))=(df)^{-1}(\operatorname {Lie} (H')).$
^ この要件は省略できません。https://math.stackexchange.com/q/329753 も参照してください。
^ ブルバキ 1981、第3章第3節第8項、命題28
^ ブルバキ 1981、Ch. III、§ 1、命題 5
^ ホール 2015 系 3.49
^ ホール 2015 定理 5.25
^ ホール 2015 定理 5.6
^ ホール 2015 定理 5.20
^ ホール 2015 例 3.27
^ ホール 2015 提案 4.35
^ ホール 2015 セクション 1.4
^ ホール 2015 系 5.7
^ ホール 2015 セクション 5.7
^ ホール 2015 定理 2.14
^ ホール 2015
^ ホール 2015、セクション4.7
^ ヘルガソン 1978、第2章、§5
^ Bourbaki 1981, Ch. III, § 3, no. 16, 命題55の系。
^ ブルバキ 1981、第3章、§1、第7項、命題14。
^ はアーベルなので、これは射影的です。 $\exp({\mathfrak {g}})^{n}=\exp({\mathfrak {g}})$ ${\mathfrak {g}}$
^ ブルバキ 1981、Ch. III、§ 3. いいえ。 7

参考文献

Bourbaki, N. (1981)、Groupes et Algèbres de Lie (Chapitre 3)、Éléments de Mathématique、Hermann
ドゥイスターマート、JJ; Kolk, A. (2000)、リー群、Universitext、Springer、doi :10.1007/978-3-642-56936-4、ISBN 3540152938
ホール、ブライアン・C.（2015）「リー群、リー代数、表現：初等入門」、Graduate Texts in Mathematics、第222巻（第2版）、Springer、doi：10.1007/978-3-319-13467-3、ISBN 978-3319134666
ヘルガソン、シグルドゥル（1978）、微分幾何学、リー群と対称空間、アカデミックプレス、ISBN 0-12-338460-5
Lee, John M. (2012). 『滑らかな多様体入門』 .大学院数学テキスト. 第218巻（第2版）. ニューヨーク・ロンドン: Springer-Verlag . ISBN 978-1-4419-9981-8. OCLC 808682771。

外部リンク

数学261A リー群とリー代数のノート
ポポフ、VL（2001）[1994]、「解析群のリー代数」、数学百科事典、EMSプレス
特性ゼロにおける形式リー理論、Akhil Mathew のブログ記事

[FOOTNOTELee2012530-1] リー 2012年、530頁。

[2] ヘルガソン 1978、Ch. II、§ 2、命題 2.7。

[3] ホール 2015 セクション 3.3

[4] ' ^ より一般的には、 HがHの閉部分群である、 $\operatorname {Lie} (f^{-1}(H'))=(df)^{-1}(\operatorname {Lie} (H')).$

[5] この要件は省略できません。https://math.stackexchange.com/q/329753 も参照してください。

[6] ブルバキ 1981、第3章第3節第8項、命題28

[7] ブルバキ 1981、Ch. III、§ 1、命題 5

[8] ホール 2015 系 3.49

[9] ホール 2015 定理 5.25

[10] ホール 2015 定理 5.6

[11] ホール 2015 定理 5.20

[12] ホール 2015 例 3.27

[13] ホール 2015 提案 4.35

[14] ホール 2015 セクション 1.4

[15] ホール 2015 系 5.7

[16] ホール 2015 セクション 5.7

[17] ホール 2015 定理 2.14

[18] ホール 2015

[19] ホール 2015、セクション4.7

[20] ヘルガソン 1978、第2章、§5

[21] Bourbaki 1981, Ch. III, § 3, no. 16, 命題55の系。

[22] ブルバキ 1981、第3章、§1、第7項、命題14。

[23] はアーベルなので、これは射影的です。 $\exp({\mathfrak {g}})^{n}=\exp({\mathfrak {g}})$ ${\mathfrak {g}}$

[24] ブルバキ 1981、Ch. III、§ 3. いいえ。 7