リー微分

Type of derivative in differential geometry

微分幾何学において、リー微分（/ l iː / LEE）は、ヴワディスワフ・シュレボジンスキ[ ^{1] [2]}によってソフス・リーにちなんで名付けられ、テンソル場（スカラー関数、ベクトル場、1形式を含む）の、別のベクトル場によって定義される流れに沿った変化を評価する。この変化は座標不変であるため、リー微分は任意の微分可能多様体上で定義される 。

関数、テンソル体、および形式はベクトル場に関して微分することができます。T がテンソル体で X がベクトル場である場合、 TのX に関するリー微分はと表されます。微分作用素は、基となる多様体のテンソル体の代数の微分です。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T}$ ${\displaystyle T\mapsto {\mathcal {L}}_{X}T}$

リー微分は収縮および微分形式上の外微分と可換である。

微分幾何学において、微分の概念は数多く存在しますが、微分される式が関数またはスカラー体である場合、それらはすべて同じ意味を持ちます。したがって、この場合、「リー（嘘）」という言葉は省略され、単に関数の微分について言及することになります。

ベクトル場Yの別のベクトル場Xに関するリー微分は、 XとYの「リー括弧」として知られ、しばしば の代わりに[ X , Y ] と表記される。ベクトル場の空間はこのリー括弧に関するリー代数を形成する。リー微分は、次の恒等式により、このリー代数の無限次元リー代数表現を構成する。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{[X,Y]}T={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}T-{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}T,}$

身元の証明

: ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{[X,Y]}T=[[X,Y],T]=[X,Y]T-T[X,Y]=([X,YT]-Y[X,T])-([X,TY]-[X,T]Y)=}$ ${\displaystyle =XYT-YTX-Y[X,T]-XTY+TYX+[X,T]Y=(XYT-YTX)+(TYX-XTY)-(Y[X,T]-[X,T]Y)=}$ ${\displaystyle =(X[Y,T]+[T,Y]X)-(Y[X,T]-[X,T]Y)=(X[Y,T]-[Y,T]X)-(Y[X,T]-[X,T]Y)=}$ ${\displaystyle =[X,[Y,T]]-[Y,[X,T]]={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}T-{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}T}$

任意のベクトル場XとYおよび任意のテンソル場Tに対して有効です。

ベクトル場をM上のフローの無限小生成子（つまり、微分同相写像の1 次元群）と見なすと、リー導関数はテンソル場上の微分同相写像群の表現の微分となり、リー群論における群表現に関連付けられた無限小表現としてのリー代数表現に類似します。

スピノル場、接続を持つファイバー束、ベクトル値微分形式に対する一般化が存在します。

モチベーション

テンソル場のベクトル場に対する微分を定義する「素朴な」試みは、テンソル場の成分を取り、各成分のベクトル場に対する方向微分を取ることである。しかし、この定義は座標系の変化に対して不変ではないため、望ましくない。例えば、極座標や球座標で表された素朴な微分は、直交座標における成分の素朴な微分とは異なる。抽象多様体においては、このような定義は無意味であり、定義が曖昧である。

微分幾何学では、テンソル場の微分に関して、座標に依存しない主な概念が 3 つあります。

1. リー微分、
2. 接続に関する導関数、
3. 完全に反対称な共変テンソルの外微分、すなわち微分形式。

リー微分と接続に関する微分との主な違いは、後者のテンソル場の接ベクトルに関する微分は、その接ベクトルをベクトル場へどのように拡張するかが指定されていなくても明確に定義されていることです。しかし、接続は、多様体上の追加の幾何学的構造（例えば、レヴィ・チヴィタ接続の場合はリーマン計量、または単なる抽象的な接続）の選択を必要とします。対照的に、リー微分を取る場合、多様体上の追加の構造は必要ありませんが、点 p におけるベクトル場Xに関するテンソル場のリー微分の値は、 p自体だけでなく、 pの近傍におけるXの値に依存するため、単一の接ベクトルに関するテンソル場のリー微分について話すことは不可能です。最後に、微分形式の外微分は追加の選択を必要とせず、微分形式（関数を含む）の明確に定義された微分にすぎないため、純粋に微分形式ではないベクトルやその他のテンソルは除外されます。

ベクトルフローフィールドに沿った点から点へのベクトルの輸送。 ${\displaystyle v_{y}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u}$

リー微分の概念は、ベクトル場を用いて輸送の概念（リー輸送）を定義することです。滑らかなベクトル場は多様体上の滑らかな流れを定義し、これにより、同じ流れの線上にある2点間でベクトルを輸送することができます（これは、任意の点間の輸送を可能にする接続とは対照的です）。直感的に言えば、点を基点とするベクトルは、その基点を に流し、その先端点を に流すことで輸送されます。 ${\displaystyle Y(p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p'}$ ${\displaystyle p+Y(p)\delta }$ ${\displaystyle p'+\delta p'}$

意味

リー微分は複数の同値な方法で定義できます。話を簡潔にするために、まずスカラー関数とベクトル場に作用するリー微分を定義し、次に一般のテンソルの定義に移ります。

関数の（リー）微分

変位が定義されていない間は差分商を決定できないため、多様体上の関数の導関数を定義するときは注意が必要です。 ${\displaystyle f\colon M\to {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \textstyle (f(x+h)-f(x))/h}$ ${\displaystyle x+h}$

ある点におけるベクトル場に関する関数のリー微分は、関数 ${\displaystyle f\colon M\to {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in M}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}f)(p)={d \over dt}{\biggr |}_{t=0}{\bigl (}f\circ \Phi _{X}^{t}{\bigr )}(p)=\lim _{t\to 0}{\frac {f{\bigl (}\Phi _{X}^{t}(p){\bigr )}-f{\bigl (}p{\bigr )}}{t}}}$

ここでベクトル場によって定義される流れが時刻の点に写像する点である。その近傍ではシステムの唯一の解である。 ${\displaystyle \Phi _{X}^{t}(p)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle t=0,}$ ${\displaystyle \Phi _{X}^{t}(p)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\biggr |}_{t}\Phi _{X}^{t}(p)=X{\bigl (}\Phi _{X}^{t}(p){\bigr )}}$

一次自律微分方程式（つまり時間に依存しない微分方程式）の ${\displaystyle \Phi _{X}^{0}(p)=p.}$

設定により、関数のリー導関数は方向導関数と同一視され、方向導関数は とも表記されます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=\nabla _{X}f}$ ${\displaystyle X(f):={\mathcal {L}}_{X}f=\nabla _{X}f}$

ベクトル場のリー微分

XとY が両方ともベクトル場である場合、 YのXに関するリー微分は、 XとYのリー括弧とも呼ばれ、 と表記されることもあります。リー括弧の定義にはいくつかの方法がありますが、いずれも等価です。ここでは、上記で示したベクトル場の2つの定義に対応する2つの定義を挙げます。 ${\displaystyle [X,Y]}$

• pにおけるXとYのリー括弧は、局所座標では次の式で与えられる。

  ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y(p)=[X,Y](p)=\partial _{X}Y(p)-\partial _{Y}X(p),}$

  ここで、 と はそれぞれXとYに関する方向微分を取る演算を表します。ここではn次元空間のベクトルをn個の組として扱っており、その方向微分は単にその座標の方向微分からなる組です。この定義に現れる最終的な式は局所座標の選択に依存しませんが、 と の各項は座標の選択に依存します。 ${\displaystyle \partial _{X}}$ ${\displaystyle \partial _{Y}}$ ${\displaystyle \partial _{X}Y(p)-\partial _{Y}X(p)}$ ${\displaystyle \partial _{X}Y(p)}$ ${\displaystyle \partial _{Y}X(p)}$
• 2番目の定義に従ってXとYが多様体M上のベクトル場である場合、式で定義される 演算子 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]}$

  ${\displaystyle [X,Y]:C^{\infty }(M)\rightarrow C^{\infty }(M)}$

  ${\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))}$

  は、 Mの滑らかな関数の代数の 0 次の微分です。つまり、この演算子は、2 番目の定義に従ったベクトル場です。

テンソル場のリー微分

フローの観点からの定義

リー微分は、流れによって引き起こされる空間変形の下でテンソル場が変化する速度です。

形式的には、滑らかな多様体上の微分可能（時間に依存しない）ベクトル場が与えられ、対応する局所フローを とする。 は各 に対して局所微分同相写像であるため、テンソル場 の引き戻しが生じる。共変テンソルの場合、これは引き戻し写像の多重線型拡張に等しい。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \Phi _{X}^{t}:M\to M}$ ${\displaystyle \Phi _{X}^{t}}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \left(\Phi _{X}^{t}\right)_{p}^{*}:T_{\Phi _{X}^{t}(p)}^{*}M\to T_{p}^{*}M,\qquad \left(\left(\Phi _{X}^{t}\right)_{p}^{*}\alpha \right)(Y)=\alpha {\bigl (}T_{p}\Phi _{X}^{t}(Y){\bigr )},\quad \alpha \in T_{\Phi _{X}^{t}(p)}^{*}M,Y\in T_{p}M}$$反変テンソルの場合、逆テンソルを拡張する。

${\displaystyle \left(T_{p}\Phi _{X}^{t}\right)^{-1}:T_{\Phi _{X}^{t}(p)}M\to T_{p}M}$

微分 の。したがって、任意の に対して、と同じ型のテンソル場が存在する。 ${\displaystyle T_{p}\Phi _{X}^{t}}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle (\Phi _{X}^{t})^{*}T}$ ${\displaystyle T}$

が- 型または -型のテンソル場である場合、ベクトル場に沿ったのリー微分は点で次のように定義される。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (r,0)}$ ${\displaystyle (0,s)}$ ${\displaystyle {\cal {L}}_{X}T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in M}$

${\displaystyle {\cal {L}}_{X}T(p)={\frac {d}{dt}}{\biggl |}_{t=0}\left({\bigl (}\Phi _{X}^{t}{\bigr )}^{*}T\right)_{p}={\frac {d}{dt}}{\biggl |}_{t=0}{\bigl (}\Phi _{X}^{t}{\bigr )}_{p}^{*}T_{\Phi _{X}^{t}(p)}=\lim _{t\to 0}{\frac {{\bigl (}\Phi _{X}^{t}{\bigr )}^{*}T_{\Phi _{X}^{t}(p)}-T_{p}}{t}}.}$

結果のテンソル フィールドはの sと同じ型になります。 ${\displaystyle {\cal {L}}_{X}T}$ ${\displaystyle T}$

より一般的には、ベクトル場を の意味で積分する任意の滑らかな1パラメータ微分同相写像族に対して、 ${\displaystyle \Phi _{t}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {d \over dt}{\biggr |}_{t=0}\Phi _{t}=X\circ \Phi _{0}}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T={\bigl (}\Phi _{0}^{-1}{\bigr )}^{*}{d \over dt}{\biggr |}_{t=0}\Phi _{t}^{*}T=-{d \over dt}{\biggr |}_{t=0}{\bigl (}\Phi _{t}^{-1}{\bigr )}^{*}\Phi _{0}^{*}T\,.}$$

代数的定義

ここで代数的な定義を与える。テンソル体のリー微分の代数的定義は、以下の4つの公理から導かれる。

公理1.関数のリー微分はその関数の方向微分に等しい。この事実はしばしば次の式で表される。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}f=Y(f)}$

公理2.リー微分はライプニッツの法則の次のバージョンに従う：任意のテンソル場SとTに対して、

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{Y}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}}_{Y}T).}$

公理3.リー微分は収縮に関してライプニッツの規則に従う。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(T(Y_{1},\ldots ,Y_{n}))=({\mathcal {L}}_{X}T)(Y_{1},\ldots ,Y_{n})+T(({\mathcal {L}}_{X}Y_{1}),\ldots ,Y_{n})+\cdots +T(Y_{1},\ldots ,({\mathcal {L}}_{X}Y_{n}))}$

公理4.リー微分は関数の外微分と可換である。

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},d]=0}$

第一公理と第三公理を用いてリー微分を適用すると、次のようになる。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ ${\displaystyle Y(f)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y(f)=X(Y(f))-Y(X(f)),}$

これは、リー括弧の標準的な定義の 1 つです。

微分形式に作用するリー微分は、内積と外微分との反交換子である。したがって、αが微分形式である場合、

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}\alpha =i_{Y}d\alpha +di_{Y}\alpha .}$

これは、式が外微分と可換であること、微分であること（次数微分の反交換子であること）、そして関数に対して正しい動作をすることを確認すれば容易に導かれます。これはカルタンの魔法の公式です。詳細は内積を参照してください。

明示的に、Tを( p , q )型のテンソル体とする。Tを^、余接束T ^∗ Mの滑らかな切断α1 , α2 ,..., αpと接束TMの切断X1 , ^X2 _, ..., _Xqの微分可能な多重線型_写像^とし、RにT ( α1 ^, α2 ,..., ^X1 , X2 _, ... )と書き直す。TのY_に沿ったリー微分を次の式で 定義する。

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{Y}T)(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )=Y(T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots ))}$

${\displaystyle -T({\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},{\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-\ldots }$

${\displaystyle -T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,{\mathcal {L}}_{Y}X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},{\mathcal {L}}_{Y}X_{2},\ldots )-\ldots }$

解析的定義と代数的定義は、プッシュフォワードの性質と微分に関するライプニッツ則を用いて同値であることが証明できる。リー微分は縮約と可換である。

微分形式のリー微分

テンソル体の中で特に重要なクラスは、微分形式のクラスである。リー微分を微分形式の空間に限定することは、外微分と密接に関連している。リー微分と外微分は、どちらも異なる方法で微分の概念を捉えようとしている。これらの違いは、内積の概念を導入することで埋めることができ、その後、カルタンの公式として知られる恒等式として関係が明らかになる。カルタンの公式は、微分形式の空間におけるリー微分の定義としても用いることができる。

M を多様体とし、 X をM上のベクトル場とする。k形式、すなわち各 に対して は実数から への交代多重線型写像であるとする。Xとωの内積は( k − 1)形式であり、以下のように定義される。 ${\displaystyle \omega \in \Lambda ^{k}(M)}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \omega (p)}$ ${\displaystyle (T_{p}M)^{k}}$ ${\displaystyle i_{X}\omega }$

${\displaystyle (i_{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{k-1})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{k-1})\,}$

微分形式はωとXの縮約とも呼ばれ、 ${\displaystyle i_{X}\omega }$

${\displaystyle i_{X}:\Lambda ^{k}(M)\rightarrow \Lambda ^{k-1}(M)}$

は-反微分であり、 は微分形式上のウェッジ積である。つまり、はR -線型であり、 ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle i_{X}}$

${\displaystyle i_{X}(\omega \wedge \eta )=(i_{X}\omega )\wedge \eta +(-1)^{k}\omega \wedge (i_{X}\eta )}$

に対して、ηは別の微分形式である。また、関数、すなわちM上の実数値または複素数値関数に対しては、 ${\displaystyle \omega \in \Lambda ^{k}(M)}$ ${\displaystyle f\in \Lambda ^{0}(M)}$

${\displaystyle i_{fX}\omega =f\,i_{X}\omega }$

ここで、 はfとXの積を表す。外微分とリー微分の関係は以下のようにまとめられる。まず、関数fのベクトル場Xに関するリー微分は方向微分X ( f ) と同じであるため、 fの外微分をXで縮約したものとも一致する。 ${\displaystyle fX}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=i_{X}\,df}$

一般微分形式では、リー微分は、Xの変化を考慮した縮約である。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +d(i_{X}\omega ).}$

この恒等式は、カルタン公式、カルタンホモトピー公式、カルタンの魔法公式など、様々な名称で知られています。詳細は内積を参照してください。カルタン公式は、微分形式のリー微分の定義として用いることができます。カルタン公式は、特に以下のことを示しています。

${\displaystyle d{\mathcal {L}}_{X}\omega ={\mathcal {L}}_{X}(d\omega ).}$

リー微分は、次の関係も満たす。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{fX}\omega =f{\mathcal {L}}_{X}\omega +df\wedge i_{X}\omega .}$

座標式

局所座標表記では、 ( r , s )型テンソル場のリー微分は ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})\\&{}-{}(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}\end{aligned}}}$

ここで、 という表記は、座標 について偏微分を取ることを意味します。あるいは、ねじれのない接続（例えば、レヴィ・チヴィタ接続）を使用する場合、偏微分は共変微分に置き換えることができます。これは、（表記法の誤用により） を に置き換えることを意味します。ここで、はクリストッフェル係数です。 ${\displaystyle \partial _{a}={\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}$ ${\displaystyle x^{a}}$ ${\displaystyle \partial _{a}}$ ${\displaystyle \partial _{a}X^{b}}$ ${\displaystyle \nabla _{a}X^{b}=X_{;a}^{b}:=(\nabla X)_{a}^{\ b}=\partial _{a}X^{b}+\Gamma _{ac}^{b}X^{c}}$ ${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}=\Gamma _{cb}^{a}}$

テンソルのリー微分は、同じタイプの別のテンソルです。つまり、式中の個々の項は座標系の選択に依存しますが、式全体としてはテンソルになります。

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\partial _{a_{1}}\otimes \cdots \otimes \partial _{a_{r}}\otimes dx^{b_{1}}\otimes \cdots \otimes dx^{b_{s}}}$

これはどの座標系にも依存せず、 と同じ型です。 ${\displaystyle T}$

この定義はテンソル密度へとさらに拡張することができます。Tが実数値の重みwを持つテンソル密度（例えば、重み 1 の体積密度）である場合、そのリー微分は同じ型と重みを持つテンソル密度となります。

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})-(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}+\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}+w(\partial _{c}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\end{aligned}}}$

式の末尾にある新しい項に注目してください。

線形接続 の場合、リー微分は^[3] ${\displaystyle \Gamma =(\Gamma _{bc}^{a})}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}\Gamma )_{bc}^{a}=X^{d}\partial _{d}\Gamma _{bc}^{a}+\partial _{b}\partial _{c}X^{a}-\Gamma _{bc}^{d}\partial _{d}X^{a}+\Gamma _{dc}^{a}\partial _{b}X^{d}+\Gamma _{bd}^{a}\partial _{c}X^{d}}$

例

わかりやすくするために、次の例をローカル座標表記で示します。

スカラー場 の場合、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle \phi (x^{c})\in {\mathcal {F}}(M)}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}\phi )=X(\phi )=X^{a}\partial _{a}\phi }$。

したがって、スカラー場とベクトル場の対応するリー微分は次のようになる。 ${\displaystyle \phi (x,y)=x^{2}-\sin(y)}$ ${\displaystyle X^{a}\partial _{a}=\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\mathcal {L}}_{X}\phi &=(\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x})(x^{2}-\sin(y))\\&=\sin(x)\partial _{y}(x^{2}-\sin(y))-y^{2}\partial _{x}(x^{2}-\sin(y))\\&=-\sin(x)\cos(y)-2xy^{2}\\\end{alignedat}}}$$

高階微分形式の例として、前の例の 2次元形式とベクトル場を考えてみましょう。すると、 ${\displaystyle \omega =(x^{2}+y^{2})dx\wedge dz}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{X}\omega &=d(i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}((x^{2}+y^{2})dx\wedge dz))+i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}(d((x^{2}+y^{2})dx\wedge dz))\\&=d(-y^{2}(x^{2}+y^{2})dz)+i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}(2ydy\wedge dx\wedge dz)\\&=\left(-2xy^{2}dx+(-2yx^{2}-4y^{3})dy\right)\wedge dz+(2y\sin(x)dx\wedge dz+2y^{3}dy\wedge dz)\\&=\left(-2xy^{2}+2y\sin(x)\right)dx\wedge dz+(-2yx^{2}-2y^{3})dy\wedge dz\end{aligned}}}$$

もう少し抽象的な例をいくつか挙げます。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(dx^{b})=di_{X}(dx^{b})=dX^{b}=\partial _{a}X^{b}dx^{a}}$。

したがって、共ベクトル場、すなわち微分形式については、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle A=A_{a}(x^{b})dx^{a}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}A=X(A_{a})dx^{a}+A_{b}{\mathcal {L}}_{X}(dx^{b})=(X^{b}\partial _{b}A_{a}+A_{b}\partial _{a}(X^{b}))dx^{a}}$

最後の式の係数は、リー微分の局所座標式です。

共変階数2のテンソル場の場合、次の式が得られます。 ${\displaystyle T=T_{ab}(x^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)&=({\mathcal {L}}_{X}T)_{ab}dx^{a}\otimes dx^{b}\\&=X(T_{ab})dx^{a}\otimes dx^{b}+T_{cb}{\mathcal {L}}_{X}(dx^{c})\otimes dx^{b}+T_{ac}dx^{a}\otimes {\mathcal {L}}_{X}(dx^{c})\\&=(X^{c}\partial _{c}T_{ab}+T_{cb}\partial _{a}X^{c}+T_{ac}\partial _{b}X^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}\\\end{aligned}}}$$

が対称計量テンソルである場合、それはレヴィ・チヴィタ接続（共変微分とも呼ばれる）に関して平行であり、この接続を用いることが有益となる。これはすべての微分を共変微分に置き換える効果があり、以下のようになる。 ${\displaystyle T=g}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}g)=(X^{c}g_{ab;c}+g_{cb}X_{;a}^{c}+g_{ac}X_{;b}^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}=(X_{b;a}+X_{a;b})dx^{a}\otimes dx^{b}}$

プロパティ

リー微分にはいくつかの性質がある。多様体M上で定義された関数の代数をとすると、 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}:{\mathcal {F}}(M)\rightarrow {\mathcal {F}}(M)}$

は代数 の微分である。つまり、はR線型で あり、 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(fg)=({\mathcal {L}}_{X}f)g+f{\mathcal {L}}_{X}g.}$

同様に、 M上のベクトル場の集合に対する導出である：^[4] ${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)\times {\mathcal {X}}(M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}(M)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(fY)=({\mathcal {L}}_{X}f)Y+f{\mathcal {L}}_{X}Y}$

これは、同等の表記法で書くこともできる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(f\otimes Y)=({\mathcal {L}}_{X}f)\otimes Y+f\otimes {\mathcal {L}}_{X}Y}$

ここで、テンソル積の記号は、関数とベクトル場との積が多様体全体にわたって取られていることを強調するために使用されます。 ${\displaystyle \otimes }$

追加の特性はリー括弧の特性と一致している。したがって、例えばベクトル場上の微分として考えると、

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}[Y,Z]=[{\mathcal {L}}_{X}Y,Z]+[Y,{\mathcal {L}}_{X}Z]}$

上記はヤコビ恒等式に等しいことがわかる。したがって、リー括弧を備えたM上のベクトル場の空間はリー代数を形成するという重要な結果が得られる。

リー微分は微分形式に作用する場合にも重要な性質を持つ。αとβをM上の2つの微分形式とし、XとY を2つのベクトル場とする。すると

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\alpha \wedge \beta )=({\mathcal {L}}_{X}\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\beta )}$
• ${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha :={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\alpha -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\alpha }$
• ${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},i_{Y}]\alpha =[i_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha =i_{[X,Y]}\alpha ,}$ここで、iは上で定義した内積を表し、[·,·]が交換子を表すかベクトル場のリー括弧を表すかは明らかである。

一般化

リー微分のさまざまな一般化は微分幾何学において重要な役割を果たします。

スピノル場のリー微分

一般的な（擬似）リーマン多様体上の、必ずしもキリングベクトル場ではない、一般的な時空ベクトル場に沿ったスピノルのリー微分の定義は、1971年にイヴェット・コスマンによって既に提案されていました。^[5]その後、ゲージ自然束の明示的な文脈において、ファイバー束上のリー微分の一般的な枠組み内でのコスマンのアドホックな規定を正当化する幾何学的枠組みが提供されました。ゲージ自然束は、（ゲージ共変）場の理論にとって最も適切な領域であることが判明しました。^[7]

与えられたスピン多様体、すなわちスピン構造を許容するリーマン多様体において、スピノル場のリー微分は、まず1963年にアンドレ・リヒネロヴィッチによって与えられた局所表現を介して無限小等長変換（キリングベクトル場）に関して定義することによって定義することができる。 ^[8] ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\psi :=X^{a}\nabla _{a}\psi -{\frac {1}{4}}\nabla _{a}X_{b}\gamma ^{a}\gamma ^{b}\psi \,,}$

ここで、 はキリングベクトル場であると仮定され、 およびはディラック行列です。 ${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}=\nabla _{[a}X_{b]}}$ ${\displaystyle X=X^{a}\partial _{a}}$ ${\displaystyle \gamma ^{a}}$

そして、リヒネロヴィチの定義を、一般ベクトル場に対するリヒネロヴィチの局所表現を保持しつつ、明示的に反対称部分のみを取ることで、すべてのベクトル場（一般無限小変換）に拡張することが可能である。^[5]より明確には、1972年に示されたコスマンの局所表現は次の通りである。 ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\psi :=X^{a}\nabla _{a}\psi -{\frac {1}{8}}\nabla _{[a}X_{b]}[\gamma ^{a},\gamma ^{b}]\psi \,=\nabla _{X}\psi -{\frac {1}{4}}(dX^{\flat })\cdot \psi \,,}$

ここで、 は交換子、は外微分、は計量法の下で に対応する双対 1 形式（つまり、インデックスが下がった形式）、はクリフォード乗算です。 ${\displaystyle [\gamma ^{a},\gamma ^{b}]=\gamma ^{a}\gamma ^{b}-\gamma ^{b}\gamma ^{a}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X^{\flat }=g(X,-)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cdot }$

スピノルリー微分は計量に依存しないこと、したがって接続にも依存しないことは注目に値する。コスマンの局所表現の右辺からは、スピン接続（共変微分）、ベクトル場の双対化（指数の減少）、スピノル束上のクリフォード乗算によって計量に依存しているように見えるため、これは明らかではない。しかし、実際にはそうではない。コスマンの局所表現の右辺の量は、計量と接続に依存するすべての項を相殺するように組み合わされる。

スピノル場のリー微分という長年議論されてきた概念をより深く理解するためには、原著論文^{[9] [10]を参照するとよいだろう。そこでは、スピノル場のリー微分の定義が、ファイバー束の切断のリー微分の理論というより一般的な枠組みの中に置かれ、スピノルの場合に対するY.コスマンの直接的なアプローチが、}コスマン揚力と呼ばれる新しい幾何学的概念の形でゲージ自然束に一般化されている。

テンソルの対応物と同様に、スピノルについても、キリングベクトルに沿ったリー微分がゼロになることで、そのキリングベクトルによって符号化された対称性がスピノル上に実現されます。しかし、テンソルとは異なり、スピノルからは、テンソルである双線形量（速度ベクトルやスピン軸ベクトルなど）を構築することができます。ここで当然生じる疑問は、スピノルのキリングベクトルに沿ったリー微分がゼロになることが、すべてのスピノル双線形量の同じキリングベクトルに沿ったリー微分がゼロになることと等しいかどうかです。リー不変なスピノルは、そのすべての双線形量もリー不変であることを意味しますが、その逆は一般には真ではありません。^[11] ${\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{a}\psi }$ ${\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{a}\gamma ^{5}\psi }$

共変リー微分

多様体 M 上に主バンドルがあり、その構造群として G があり、X を主バンドルの接空間のセクションとして共変ベクトル場 (つまり、水平成分と垂直成分を持つ) として選択すると、共変リー微分は主バンドル上の X に関するリー微分になります。

さて、 M上のベクトル場Y（ただし主束は除く）が与えられ、かつ主束上の接続も与えられている場合、水平成分がYと一致し、垂直成分が接続と一致するような主束上のベクトル場 X を定義できます。これが共変リー微分です。

詳細については接続フォームを参照してください。

ニージェンフイス・リー微分

アルバート・ナイエンフイスによるもう一つの一般化により、接束に値を持つ微分形式の束 Ω ^k ( M , T M ) の任意の切断に沿った微分形式のリー微分を定義することができる。K  ∈ Ω k ⁽ M , T M ) かつ α が微分p形式である場合、 Kと α の内積i _K α を定義することができる。ナイエンフイス・リー微分は、内積と外微分の反交換子となる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}\alpha =[d,i_{K}]\alpha =di_{K}\alpha -(-1)^{k-1}i_{K}\,d\alpha .}$

歴史

1931 年、ヴワディスワフ・シュレボジンスキは、後にダヴィド・ファン・ダンツィヒによってリー微分演算子と名付けられた新しい微分演算子を導入しました。この演算子は、スカラー、ベクトル、テンソル、アフィン接続に適用でき、自己同型群の研究において強力な手段であることが証明されました。

一般的な幾何学的オブジェクト（すなわち、天然繊維束の断面）のリー微分は、 A. Nijenhuis、Y. Tashiro、およびK. Yanoによって研究されました。

物理学者は長年にわたり、数学者の研究を参照することなく、リー微分を用いてきました。1940年、レオン・ローゼンフェルト^[12]、そしてその前（1921年）にヴォルフガング・パウリ^[13]は、ベクトル場によって生成される座標の微小変換によって誘起される幾何学的オブジェクトの「局所変分」と呼ばれるものを導入しました。彼の提案がであることは容易に証明できます。 ${\displaystyle \delta ^{\ast }A}$ ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle X\,}$ ${\displaystyle \delta ^{\ast }A}$ ${\displaystyle -{\mathcal {L}}_{X}(A)\,}$

参照

• 共変微分
• つながり（数学）
• フローリヒャー・ナイエンハウスブラケット
• 測地線
• 殺戮の場
• 指数写像の微分

注記

1. Trautman, A. (2008). 「リー微分の概念の歴史に関する考察」 Krupková, O.; Saunders, DJ (編). 『変奏曲、幾何学、物理学：デメテル・クルプカ65歳の誕生日を記念して』 ニューヨーク: Nova Science. pp.  297– 302. ISBN 978-1-60456-920-9。
2. シレボジンスキ、W. (1931)。 「ハミルトンの法則」。ブル。アカド。ロイ。 D.ベルク17 (5): 864–870 .
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4. Nichita, Florin F. (2019). 「統一理論：新たな結果と例」.公理. 8 (2). p.60, 定理6. doi : 10.3390/axioms8020060 . ISSN  2075-1680.
5. コスマン、Y. (1971)。 「スピヌールのデリヴェ」。アン。マット。プラアプリ。 91 (4): 317–395。土井:10.1007/BF02428822。S2CID  121026516。
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11. Luca Fabbri, Stefano Vignolo, Roberto Cianci (2024). 「ディラック場の極形式：リー微分による対称性の実現」. Lett. Math. Phys . 114 (1): 21. arXiv : 2310.10678 . Bibcode :2024LMaPh.114...21F. doi :10.1007/s11005-024-01770-7.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
12. ローゼンフェルド、L. (1940)。 「衝動エネルギーの緊張」。思い出のアカデミー。ロイ。 D.ベルク18 (6)：1～ 30。
13. Pauli, W. (1981年7月1日) [1921].相対性理論. ニューヨーク: ドーバー. ISBN 978-0-486-64152-2。 セクション23を参照

参考文献

• アブラハム、ラルフ、マースデン、ジェロルド・E. (1978). 『力学の基礎』ロンドン: ベンジャミン・カミングス. ISBN 0-8053-0102-X。 セクション2.2を参照してください。
• ブリーカー、デイヴィッド（1981年）『ゲージ理論と変分原理』アディソン・ウェズリー社、ISBN 0-201-10096-7。 第0章を参照してください。
• ヨスト、ユルゲン(2002). 『リーマン幾何学と幾何学解析』 ベルリン: シュプリンガー. ISBN 3-540-42627-2。 セクション1.6を参照してください。
• コラーシュ、I.ミコル、P.スロバキア、J. (1993)。微分幾何学における自然な操作。スプリンガー・フェルラーク。ISBN 9783662029503。リー括弧とリー微分の一般理論についての詳細な議論。
• ラング, S. (1995).微分多様体とリーマン多様体. シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-0-387-94338-1。無限次元への一般化のため。
• ラング, S. (1999). 『微分幾何学の基礎』 . シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-0-387-98593-0。無限次元への一般化のため。
• 矢野 憲一(1957). リー微分理論とその応用. ノースホランド. ISBN 978-0-7204-2104-0。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)座標を使用した古典的なアプローチ。

外部リンク

• 「リー微分」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]

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