トレース不等式

Concept in Hlibert spaces mathematics

数学においては、ヒルベルト空間上の行列や線型作用素に関する不等式が数多く存在します。本稿では、行列の痕跡に関連する重要な作用素不等式をいくつか取り上げます。^{[1] [2] [3] [4]}

基本的な定義

をエルミート行列全体の空間とし、を半正定値エルミート行列全体の集合とし、を正定値エルミート行列全体の集合とする。無限次元ヒルベルト空間上の作用素については、それらがトレース類かつ自己随伴であることを要求する。この場合も同様の定義が適用されるが、ここでは簡潔にするため行列についてのみ議論する。 ${\displaystyle \mathbf {H} _{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{n}^{+}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{n}^{++}}$

区間上の任意の実数値関数に対して、スペクトル分解 が与えられたとき、 固有値とそれに対応する射影子上に定義することによって、区間内の固有値を持つ任意の演算子の行列関数を定義することができる。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle A\in \mathbf {H} _{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle f(A)\equiv \sum _{j}f(\lambda _{j})P_{j}~,}$$ ${\displaystyle A=\sum _{j}\lambda _{j}P_{j}.}$

オペレーターの単調さ

区間上で定義された関数が作用素単調であるとは、すべてのおよびすべてのに対して、以下の式が成り立つことを言う。ここで不等式は、作用素が半正定値であることを意味する。しかし、実際には は作用素単調ではないことを確かめてみよう。 ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n}}$ ${\displaystyle I,}$ $${\displaystyle A\geq B\implies f(A)\geq f(B),}$$ ${\displaystyle A\geq B}$ ${\displaystyle A-B\geq 0}$ ${\displaystyle f(A)=A^{2}}$

凸演算子

関数が作用素凸であるとは、すべてのおよびすべてのに対して、および に固有値がある場合、次が成り立つことを言う。および はに固有値を持つので、作用素凸はに固有値を持つことに注意する。 ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle 0<\lambda <1}$ $${\displaystyle f(\lambda A+(1-\lambda )B)\leq \lambda f(A)+(1-\lambda )f(B).}$$ ${\displaystyle \lambda A+(1-\lambda )B}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I.}$

関数は ${\displaystyle f}$凹演算子が凸演算子である場合、つまり、上記の不等式は逆になります。 ${\displaystyle -f}$ ${\displaystyle f}$

関節凸部

区間上で定義された関数は次のように表現される。 ${\displaystyle g:I\times J\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle I,J\subseteq \mathbb {R} }$ すべておよびすべてで固有値が にあり、すべてで固有値が にあり、次が成り立つとき、共凸である。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2}\in \mathbf {H} _{n}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle B_{1},B_{2}\in \mathbf {H} _{n}}$ ${\displaystyle J,}$ ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$ $${\displaystyle g(\lambda A_{1}+(1-\lambda )A_{2},\lambda B_{1}+(1-\lambda )B_{2})~\leq ~\lambda g(A_{1},B_{1})+(1-\lambda )g(A_{2},B_{2}).}$$

関数は ${\displaystyle g}$− が共に凸であれば共に凹、つまり上記の不等式が逆転する。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$

トレース機能

関数が与えられた場合、上の関連するトレース関数は で与えられます 。ここでは固有値を持ち、 は演算子のトレースを表します。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{n}}$ $${\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)=\sum _{j}f(\lambda _{j}),}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} }$

トレース関数の凸性と単調性

が連続で、nが任意の整数であるとする。すると、が単調増加であれば、H _n上でも単調増加となる。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle t\mapsto f(t)}$ ${\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)}$

同様に、が凸であればH _n上で も が凸であり、fが厳密に凸であれば は厳密に凸です。 ${\displaystyle t\mapsto f(t)}$ ${\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)}$

例えば^[1]の証明と議論を参照。

レーヴナー・ハインツの定理

の場合、関数は演算子単調であり、演算子凹です。 ${\displaystyle -1\leq p\leq 0}$ ${\displaystyle f(t)=-t^{p}}$

の場合、関数は演算子単調であり、演算子凹です。 ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ ${\displaystyle f(t)=t^{p}}$

の場合、関数は凸作用素である。さらに、 ${\displaystyle 1\leq p\leq 2}$ ${\displaystyle f(t)=t^{p}}$

${\displaystyle f(t)=\log(t)}$は凹演算子であり、単調演算子であるが、

${\displaystyle f(t)=t\log(t)}$凸演算子です。

この定理の最初の証明はK.Löwnerによるもので、彼はfが作用素単調であるための必要十分条件を与えた。 ^[5]この定理の基本的な証明 は^[1]で議論されており、より一般的な証明は^{[6]で議論されている。}

クラインの不等式

すべてのエルミートn × n行列 Aと Bと導関数f 'を持つすべての微分可能凸関数、またはすべての正定値エルミート n × n行列 Aと Bとすべての微分可能凸関数f :(0,∞) → に対して、次の不等式が成り立ちます。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \operatorname {Tr} [f(A)-f(B)-(A-B)f'(B)]\geq 0~.}$

いずれの場合も、fが厳密に凸であれば、 A = Bの場合にのみ等式が成立します。応用分野においてよく用いられるのはf ( t ) = t log tです（下記参照）。

証拠

となるようにすると、 ${\displaystyle C=A-B}$ ${\displaystyle t\in (0,1)}$

${\displaystyle B+tC=(1-t)B+tA}$、

からまで変化します。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

定義する

${\displaystyle F(t)=\operatorname {Tr} [f(B+tC)]}$。

トレース関数の凸性と単調性により、 は凸であり、すべてのに対しても同様である。 ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle t\in (0,1)}$

${\displaystyle F(0)+t(F(1)-F(0))\geq F(t)}$、

つまり、

${\displaystyle F(1)-F(0)\geq {\frac {F(t)-F(0)}{t}}}$、

そして実際、右辺は で単調減少します。 ${\displaystyle t}$

極限をとると、 ${\displaystyle t\to 0}$

${\displaystyle F(1)-F(0)\geq F'(0)}$、

これを並べ替えて置換するとクラインの不等式となる。

${\displaystyle \mathrm {tr} [f(A)-f(B)-(A-B)f'(B)]\geq 0}$

が厳密凸で の場合、 は厳密凸であることに注意する。最後の主張は、このことと が において単調減少であるという事実から導かれる。 ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle C\neq 0}$ ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle {\tfrac {F(t)-F(0)}{t}}}$ ${\displaystyle t}$

ゴールデン・トンプソン不等式

1965年にS.ゴールデン^[7]とCJトンプソン^[8]は独立して、

任意の行列に対して、 ${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} e^{A+B}\leq \operatorname {Tr} e^{A}e^{B}.}$

この不等式は3つの演算子に対して一般化できる：^[9]非負演算子の場合、 ${\displaystyle A,B,C\in \mathbf {H} _{n}^{+}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} e^{\ln A-\ln B+\ln C}\leq \int _{0}^{\infty }\operatorname {Tr} A(B+t)^{-1}C(B+t)^{-1}\,\operatorname {d} t.}$

パイエルス・ボゴリュボフの不等式

Tr e ^R = 1となるようにする。g = Tr Fe ^Rと定義すると、 ${\displaystyle R,F\in \mathbf {H} _{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} e^{F}e^{R}\geq \operatorname {Tr} e^{F+R}\geq e^{g}.}$

この不等式の証明は、上記とクラインの不等式を組み合わせることで得られる。f ( x ) = exp( x )、 A = R + F、B = R + gIとする。^[10]

ギブスの変分原理

がトレースクラスとなるような自己随伴作用素であるとする。すると、 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle e^{-H}}$ ${\displaystyle \gamma \geq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} \gamma =1,}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} \gamma H+\operatorname {Tr} \gamma \ln \gamma \geq -\ln \operatorname {Tr} e^{-H},}$

等しい場合、かつ、その場合のみ ${\displaystyle \gamma =\exp(-H)/\operatorname {Tr} \exp(-H).}$

リープの凹面定理

次の定理はEH Liebによって証明されました。^[9]これはEP Wigner、MM Yanase、Freeman Dysonの予想を証明し一般化したものです。^{[11] 6年後、T. Ando [12]}とB. Simon ^[3]によって他の証明が与えられ、それ以来さらにいくつかの証明が与えられています。

すべての行列、および およびとなるすべての およびに対して、上の実数値写像は次のように与えられる。 ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 0\leq q\leq 1}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle q+r\leq 1}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{m}^{+}\times \mathbf {H} _{n}^{+}}$

${\displaystyle F(A,B,K)=\operatorname {Tr} (K^{*}A^{q}KB^{r})}$

• 凹面である ${\displaystyle (A,B)}$
• は において凸です。 ${\displaystyle K}$

ここで、は随伴演算子を表す 。 ${\displaystyle K^{*}}$ ${\displaystyle K.}$

リープの定理

固定エルミート行列の場合、関数 ${\displaystyle L\in \mathbf {H} _{n}}$

${\displaystyle f(A)=\operatorname {Tr} \exp\{L+\ln A\}}$

は凹面です。 ${\displaystyle \mathbf {H} _{n}^{++}}$

^{この定理と証明はEH Lieb [9]} Thm 6によるもので、Liebはこの定理をLiebの凹面定理の系として導出しています。最も直接的な証明はH. Epstein ^[13]によるもので、この議論のレビューについてはMB Ruskaiの論文^{[14] [15]}を参照してください。

安藤の凸性定理

安藤孝氏によるリープの凹面定理の証明^[12]は、次のような重要な補足をもたらした。

すべての行列、および とに対して、上の実数値写像は次のように与えられる。 ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 1\leq q\leq 2}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle q-r\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{m}^{++}\times \mathbf {H} _{n}^{++}}$

${\displaystyle (A,B)\mapsto \operatorname {Tr} (K^{*}A^{q}KB^{-r})}$

凸状です。

相対エントロピーの共凸性

2つの演算子に対して次のマップを定義する ${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n}^{++}}$

${\displaystyle R(A\parallel B):=\operatorname {Tr} (A\log A)-\operatorname {Tr} (A\log B).}$

密度行列 およびの場合、マップは梅垣の量子相対エントロピーです。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle R(\rho \parallel \sigma )=S(\rho \parallel \sigma )}$

の非負性は、とのクラインの不等式から導かれることに注意してください。 ${\displaystyle R(A\parallel B)}$ ${\displaystyle f(t)=t\log t}$

声明

このマップは共凸です。 ${\displaystyle R(A\parallel B):\mathbf {H} _{n}^{++}\times \mathbf {H} _{n}^{++}\rightarrow \mathbf {R} }$

証拠

すべての に対して、リープの凹定理により、 は共凹であり、したがって ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle (A,B)\mapsto \operatorname {Tr} (B^{1-p}A^{p})}$

${\displaystyle (A,B)\mapsto {\frac {1}{p-1}}(\operatorname {Tr} (B^{1-p}A^{p})-\operatorname {Tr} A)}$

凸状です。しかし

${\displaystyle \lim _{p\rightarrow 1}{\frac {1}{p-1}}(\operatorname {Tr} (B^{1-p}A^{p})-\operatorname {Tr} A)=R(A\parallel B),}$

そして、凸性は極限で保存されます。

証明はG.リンドブラッドによるものである。^[16]

ジェンセンの作用素とトレース不等式

ジェンセンの不等式の演算子バージョンはC.デイビスによるものである。^[17]

区間上の連続実関数がイェンセンの作用素不等式を満たすのは、次の式が成り立つときで ある。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle f\left(\sum _{k}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}\right)\leq \sum _{k}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k},}$

を持つ演算子に対しては、上のスペクトルを持つ自己随伴演算子に対しては です。 ${\displaystyle \{A_{k}\}_{k}}$ ${\displaystyle \sum _{k}A_{k}^{*}A_{k}=1}$ ${\displaystyle \{X_{k}\}_{k}}$ ${\displaystyle I}$

次の2つの定理の証明については^{[17] [18]}を参照。

ジェンセンのトレース不等式

fを区間I上で定義された連続関数とし、 m とn を自然数とする。fが凸ならば 、不等式が成り立つ。

${\displaystyle \operatorname {Tr} {\Bigl (}f{\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}{\Bigr )}{\Bigr )}\leq \operatorname {Tr} {\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k}{\Bigr )},}$

Iに含まれるスペクトルを持つすべての（X ₁ , ... , X _n）自己随伴m × m行列と 、Iに含まれるスペクトルを持つすべての（A ₁ , ... , A _n）m × m 行列に対して

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}A_{k}=1.}$

逆に、上記の不等式が n と m （ n > 1 ）に対して満たされる場合、 f は凸です。

ジェンセンの作用素不等式

区間上で定義された連続関数の場合、次の条件は同等です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$

• ${\displaystyle f}$凸演算子です。
• それぞれの自然数に対して不等式が成り立つ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle f{\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}{\Bigr )}\leq \sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k},}$

任意のヒルベルト空間上のすべての有界自己随伴作用素に対して、スペクトルが含まれ、すべての ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (A_{1},\ldots ,A_{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}A_{k}=1.}$

• ${\displaystyle f(V^{*}XV)\leq V^{*}f(X)V}$無限次元ヒルベルト空間上の各等長変換と ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

のスペクトルを持つすべての自己随伴演算子。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$

• ${\displaystyle Pf(PXP+\lambda (1-P))P\leq Pf(X)P}$無限次元ヒルベルト空間上の各射影に対して、のスペクトルを持つすべての自己随伴演算子とのすべての自己随伴演算子が存在します。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle I}$

荒木・リープ・サーリング不等式

^{EH LiebとWE Thirringは[19]} 1976年に次の不等式を証明した：任意のおよび ${\displaystyle A\geq 0,}$ ${\displaystyle B\geq 0}$ ${\displaystyle r\geq 1,}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} ((BAB)^{r})~\leq ~\operatorname {Tr} (B^{r}A^{r}B^{r}).}$$

^1990年[20]にH. Arakiは上記の不等式を次のように一般化した：任意のおよびおよび に対して 、 ${\displaystyle A\geq 0,}$ ${\displaystyle B\geq 0}$ ${\displaystyle q\geq 0,}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} ((BAB)^{rq})~\leq ~\operatorname {Tr} ((B^{r}A^{r}B^{r})^{q}),}$$ ${\displaystyle r\geq 1,}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} ((B^{r}A^{r}B^{r})^{q})~\leq ~\operatorname {Tr} ((BAB)^{rq}),}$$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1.}$

リープ・サーリング不等式に近い不等式は他にもいくつかある。例えば、次の通りである。^[21]任意の および に対して、さらに一般的には^[22]任意の および に対して、上記の不等式は、および をとに交換することでわかるように、前の不等式を一般化したものである。 ${\displaystyle A\geq 0,}$ ${\displaystyle B\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,1],}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} (BA^{\alpha }BBA^{1-\alpha }B)~\leq ~\operatorname {Tr} (B^{2}AB^{2}),}$$ ${\displaystyle A\geq 0,}$ ${\displaystyle B\geq 0,}$ ${\displaystyle r\geq 1/2}$ ${\displaystyle c\geq 0,}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} ((BAB^{2c}AB)^{r})~\leq ~\operatorname {Tr} ((B^{c+1}A^{2}B^{c+1})^{r}).}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B^{2}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A^{(1-\alpha )/2}}$ ${\displaystyle \alpha =2c/(2c+2)}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} ((BA^{\alpha }BBA^{1-\alpha }B)^{r})~\leq ~\operatorname {Tr} ((B^{2}AB^{2})^{r}).}$$

さらに、リープ・サーリング不等式に基づいて、次の不等式が導かれた。^[23]任意のおよびすべてのに対して、 ${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n},T\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }$ ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$ $${\displaystyle |\operatorname {Tr} (TAT^{*}B)|~\leq ~\operatorname {Tr} (T^{*}T|A|^{p})^{\frac {1}{p}}\operatorname {Tr} (TT^{*}|B|^{q})^{\frac {1}{q}}.}$$

エフロスの定理とその拡張

E.エフロスは^[24]で次の定理を証明した。

が作用素凸関数であり、およびが可換な有界線型作用素、すなわち交換子である場合、観点 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle [L,R]=LR-RL=0}$

${\displaystyle g(L,R):=f(LR^{-1})R}$

は共凸である、すなわち、( i=1,2)と、 ${\displaystyle L=\lambda L_{1}+(1-\lambda )L_{2}}$ ${\displaystyle R=\lambda R_{1}+(1-\lambda )R_{2}}$ ${\displaystyle [L_{i},R_{i}]=0}$ ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$

${\displaystyle g(L,R)\leq \lambda g(L_{1},R_{1})+(1-\lambda )g(L_{2},R_{2}).}$

エバディアンらは後に、この不等式を、 とが可換でない場合まで拡張した。 ^[25] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$

フォン・ノイマンのトレース不等式と関連する結果

フォン・ノイマンのトレース不等式は、考案者のジョン・フォン・ノイマンにちなんで名付けられ、それぞれ特異値とを持つ任意の複素行列^{とに対して、 [26]}とが場合のみ等式となることを示しています。 ^[27] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \alpha _{1}\geq \alpha _{2}\geq \cdots \geq \alpha _{n}}$ ${\displaystyle \beta _{1}\geq \beta _{2}\geq \cdots \geq \beta _{n}}$ $${\displaystyle |\operatorname {Tr} (AB)|~\leq ~\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\beta _{i}\,,}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B^{\dagger }}$

この単純な系は次の通りである：^[28]エルミート 正半定値複素行列とに対して、固有値がそれぞれ減少順に並べられているとすると、 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}$ ${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i+1}~\leq ~\operatorname {Tr} (AB)~\leq ~\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\,.}$$

参照

• リープ・サーリング不等式
• シュール・ホーン定理 – 与えられた固有値を持つエルミート行列の対角成分を特徴付ける
• トレース恒等式 – 行列のトレースを含む方程式
• フォン・ノイマン・エントロピー – 量子論におけるエントロピーの種類

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• Scholarpedia 一次情報源。

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