限界比較テスト

数学において、極限比較テスト (LCT) は(関連する直接比較テストとは対照的に)無限級数の収束をテストする方法です。

声明

2つの級数があり、すべての に対してであるとする。 の場合、であれば、両方の級数は収束するか、発散するかのいずれかである。^{[ 1 ]} ${\displaystyle \Sigma _{n}a_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}b_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}\geq 0,b_{n}>0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$ ${\displaystyle 0<c<\infty }$

証拠

なぜなら、任意のに対して、すべてのに対してとなる正の整数が存在することが分かっているからである。あるいは、 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon }$

${\displaystyle -\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon }$

${\displaystyle c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon }$

${\displaystyle (c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}$

が正となるように十分小さい値を選ぶことができる。したがって、直接比較テストにより、が収束するなら も収束する。 ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle c-\varepsilon }$ ${\displaystyle b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}}$ ${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$ ${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$

同様になので、 が発散する場合、やはり直接比較テストにより も が発散します。 ${\displaystyle a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}$ ${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$ ${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$

つまり、両方の級数が収束するか、両方の級数が発散します。

例

この級数が収束するかどうかを判定したい。そのためには、収束する級数と比較する。 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

元の級数も収束することがわかります 。 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0}$

片面バージョン

極限を用いて片側比較検定を述べることができます。すべての についてとします。そしてとが収束する場合、 は必ず収束します。 ${\displaystyle a_{n},b_{n}\geq 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$ ${\displaystyle 0\leq c<\infty }$ ${\displaystyle \Sigma _{n}b_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}a_{n}}$

例

全ての自然数 に対してととします。 は 存在しないので、標準的な比較テストは適用できません。しかし、 と は収束するので、片側比較テストから が収束することが分かります。 ${\displaystyle a_{n}={\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}}$ ${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{n^{2}}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }(1-(-1)^{n})}$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }(1-(-1)^{n})=2\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}}$

片側比較検定の逆

すべての についてとします。が発散収束する場合、必然的に 、つまり となります 。ここでの本質的な内容は、ある意味で数が数 よりも大きいということです。 ${\displaystyle a_{n},b_{n}\geq 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}a_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}b_{n}}$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty }$ ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=0}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

例

を単位円板上で解析的とし、有限面積の像を持つとします。パーセバルの公式により、 の像の面積は に比例します。さらに、 は発散します。したがって、比較検定の逆により、 、つまり が 得られます。 ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ ${\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n|a_{n}|^{2}}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1/n}$ ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {n|a_{n}|^{2}}{1/n}}=\liminf _{n\to \infty }(n|a_{n}|)^{2}=0}$ ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }n|a_{n}|=0}$

参照

• 収束テスト
• 直接比較テスト

参考文献

1. スウォコウスキー、アール（1983）、解析幾何学による微積分（別版）、プリンドル、ウェーバー＆シュミット、  p.516、ISBN 0-87150-341-7

さらに読む

• リナルド・B・シナジ著『微積分から解析学へ』Springer、2011年、ISBN 9780817682897、 50ページ
• ミシェル・ロンゴ、ヴィンチェンツォ・ヴァローリ「比較検定：非負数級数に限らない」数学雑誌、第79巻第3号（2006年6月）、pp. 205–210（JSTOR）
• J. マーシャル・アッシュ「極限比較テストには正値性が必要」数学雑誌、第85巻、第5号（2012年12月）、pp. 374–375（JSTOR）

外部リンク

• ポールズオンライン比較テストノート

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