制限設定

State of a dynamic system after an infinitely long time

数学、特に力学系の研究において、極限集合とは、力学系が時間的に前進または後退して無限の時間が経過した後に到達する状態を指します。極限集合は、力学系の長期的な挙動を理解するために使用できるため重要です。極限集合に到達した系は、平衡状態にあると言われます。

種類

• 固定点
• 周期軌道
• リミットサイクル
• アトラクター

一般に、極限集合は、ストレンジアトラクターの場合のように非常に複雑になることがありますが、2 次元の動的システムでは、ポアンカレ-ベンディクソンの定理により、最大で有限個の固定点を含むすべての空でないコンパクトな極限集合が、固定点、周期軌道、または固定点とそれらの固定点を結ぶホモクリニック軌道またはヘテロクリニック軌道の和として簡単に特徴付けられます。 ${\displaystyle \omega }$

反復関数の定義

を計量空間とし、を 連続関数とする。の -極限集合はと表記され、反復関数の順軌道のクラスタ点の集合である。^[1]したがって、 となるような 自然数の厳密増加列が存在する とき、かつそのときに限る。これを別の方法で表現すると、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \omega (x,f)}$ ${\displaystyle \{f^{n}(x)\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y\in \omega (x,f)}$ ${\displaystyle \{n_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f^{n_{k}}(x)\rightarrow y}$ ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$

${\displaystyle \omega (x,f)=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\overline {\{f^{k}(x):k>n\}}},}$

ここで、 は集合 の閉包を表す。極限集合内の点は非移動点である（ただし、再帰点ではない）。これは、集合列の 外極限（limsup ）として定式化されることもあり、次のように表される。 ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \omega (x,f)=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\overline {\bigcup _{k=n}^{\infty }\{f^{k}(x)\}}}.}$

が同相写像（つまり、双連続一対一写像）である場合、 -極限セットは後方軌道について同様の方法で定義されます。つまり、です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha (x,f)=\omega (x,f^{-1})}$

どちらの集合も-不変であり、 がコンパクトであれば、コンパクトかつ空ではありません。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

フローの定義

流れを持つ実動的システム 、点が与えられたとき、にシーケンスが存在し、 ${\displaystyle (T,X,\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \times X\to X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=\infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi (t_{n},x)=y}$。

の軌道 について、 がの-極限点であるとは、 が軌道上のある点の -極限点であることを意味します。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle (T,X,\varphi )}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \omega }$

同様に、 の極限点とは、の列が存在し、 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=-\infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi (t_{n},x)=y}$。

の軌道 について、 がの-極限点であるとは、 が軌道上のある点の -極限点であることを意味します。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle (T,X,\varphi )}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha }$

与えられた軌道のすべての-極限点 ( -極限点)の集合は、 に対する-極限集合( -極限集合)と呼ばれ 、 ( )と表記されます。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }$ ${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }$

-極限集合（-極限集合）が軌道 と独立である場合、つまり（ ）、 （）をω-極限サイクル（α-極限サイクル）と呼ぶ。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma \cap \gamma =\varnothing }$ ${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma \cap \gamma =\varnothing }$ ${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }$ ${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }$

あるいは、限界集合は次のように定義できる。

${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma :=\bigcap _{s\in \mathbb {R} }{\overline {\{\varphi (x,t):t>s\}}}}$

そして

${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma :=\bigcap _{s\in \mathbb {R} }{\overline {\{\varphi (x,t):t<s\}}}.}$

例

• 力学系の任意の周期軌道 については、 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma =\lim _{\alpha }\gamma =\gamma }$
• 力学系の任意の固定点 について、 ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \lim _{\omega }x_{0}=\lim _{\alpha }x_{0}=x_{0}}$

プロパティ

• ${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }$閉鎖されている ${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }$
• がコンパクトであれば、とは空でなく、コンパクトで連結である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }$ ${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }$
• ${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }$およびは -不変であり、つまり、および ${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (\mathbb {R} \times \lim _{\omega }\gamma )=\lim _{\omega }\gamma }$ ${\displaystyle \varphi (\mathbb {R} \times \lim _{\alpha }\gamma )=\lim _{\alpha }\gamma }$

参照

• ジュリア集合
• 安定したセット
• リミットサイクル
• 周期点
• 非放浪セット
• クライン群

参考文献

1. Alligood, Kathleen T.; Sauer, Tim D.; Yorke, James A. (1996).カオス：動的システム入門. Springer.

さらに読む

• テシュル、ジェラルド(2012). 『常微分方程式と動的システム』プロビデンス：アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-8328-0。

この記事にはPlanetMathの Omega-limit セットの資料が組み込まれており、これはCreative Commons Attribution/Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされています。

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