Theorem from probability theory
確率論 において 、 リンデバーグの条件は 、一連の独立した 確率変数に対して 中心極限定理(CLT) が成り立つための 十分条件 (また、特定の条件下では必要条件でもある) である 。 [1] [2] [3]問題の確率変数が有限 分散 を持ち、 独立かつ同一に分布する ことを要求する古典的な CLT とは異なり、 リンデバーグ の CLT では、有限分散を持ち、リンデバーグの条件を満たし、 独立 であることのみを要求する 。これは、フィンランドの数学者 ヤール・ヴァルデマール・リンデバーグ にちなんで名付けられている。 [4]
声明 を 確率空間 と し、をその空間上で定義された 独立 確率変数とする 。期待値 と分散が 存在し、有限であると仮定する。また、 ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} X k : Ω → R , k ∈ N {\displaystyle X_{k}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,\,k\in \mathbb {N} } E [ X k ] = μ k {\displaystyle \mathbb {E} \,[X_{k}]=\mu _{k}} V a r [ X k ] = σ k 2 {\displaystyle \mathrm {Var} \,[X_{k}]=\sigma _{k}^{2}} s n 2 := ∑ k = 1 n σ k 2 . {\displaystyle s_{n}^{2}:=\sum _{k=1}^{n}\sigma _{k}^{2}.}
この独立確率変数の列が リンデバーグの条件を満たす 場合 ： X k {\displaystyle X_{k}}
lim n → ∞ 1 s n 2 ∑ k = 1 n E [ ( X k − μ k ) 2 ⋅ 1 { | X k − μ k | > ε s n } ] = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{s_{n}^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\mathbb {E} \left[(X_{k}-\mu _{k})^{2}\cdot \mathbf {1} _{\{|X_{k}-\mu _{k}|>\varepsilon s_{n}\}}\right]=0} すべての に対して 、 1 {…}は 指示関数 である とき、 中心極限定理が 成り立ち、すなわち確率変数 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0}
Z n := ∑ k = 1 n ( X k − μ k ) s n {\displaystyle Z_{n}:={\frac {\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-\mu _{k})}{s_{n}}}} 分布的に 標準正規分布に従う 確率変数 に収束する。 n → ∞ . {\displaystyle n\to \infty .}
リンデバーグの条件は十分条件だが、一般には必要条件ではない（つまり、逆の含意は一般には成り立たない）。しかし、問題の独立確率変数の列が
max k = 1 , … , n σ k 2 s n 2 → 0 , as n → ∞ , {\displaystyle \max _{k=1,\ldots ,n}{\frac {\sigma _{k}^{2}}{s_{n}^{2}}}\to 0,\quad {\text{ as }}n\to \infty ,} すると、リンデバーグの条件は十分かつ必要であり、 つまり中心極限定理の結果が成り立つ 場合にのみ成立します。
フェラーの定理 フェラーの定理は、リンデバーグの条件が成り立つことを証明する代替方法として使用できる。 [5] 簡単のため、 と とすると 、定理は次のように述べる。 S n := ∑ k = 1 n X k {\displaystyle S_{n}:=\sum _{k=1}^{n}X_{k}} E [ X k ] = 0 {\displaystyle \mathbb {E} \,[X_{k}]=0}
の場合 、 は 標準 正規分布 に弱収束し、 Lindeberg の条件を満たします 。 ∀ ε > 0 {\displaystyle \forall \varepsilon >0} lim n → ∞ max 1 ≤ k ≤ n P ( | X k | > ε s n ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\max _{1\leq k\leq n}P(|X_{k}|>\varepsilon s_{n})=0} S n s n {\displaystyle {\frac {S_{n}}{s_{n}}}} n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } X k {\displaystyle X_{k}} この定理は、背理法 を用いて 中心極限定理が に対して成立することを 反証するために用いることができる 。この手順では、 に対してリンデバーグの条件が満たされないことを証明する必要がある 。 X k {\displaystyle X_{k}} X k {\displaystyle X_{k}}
解釈 Lindeberg 条件は を意味するため、 の値が十分に大きい場合、任意の個別のランダム変数 ( ) の分散への 寄与が任意に小さくなることを保証します 。 max k = 1 , … , n σ k 2 s n 2 → 0 {\displaystyle \max _{k=1,\ldots ,n}{\frac {\sigma _{k}^{2}}{s_{n}^{2}}}\to 0} n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } X k {\displaystyle X_{k}} 1 ≤ k ≤ n {\displaystyle 1\leq k\leq n} s n 2 {\displaystyle s_{n}^{2}} n {\displaystyle n}
例 リンデバーグ条件を満たす以下の有益な例を考えてみましょう。 平均0、分散1のiid確率変数の列と、 以下の条件を満たす非ランダムな列があるとします。 ξ i {\displaystyle \xi _{i}} a i {\displaystyle a_{i}}
max i n | a i | ‖ a ‖ 2 → 0 {\displaystyle \max _{i}^{n}{\frac {|a_{i}|}{\|a\|_{2}}}\rightarrow 0}
ここで、線形結合 の正規化された要素を定義します 。
X i = a i ξ i ‖ a ‖ 2 {\displaystyle X_{i}={\frac {a_{i}\xi _{i}}{\|a\|_{2}}}}
これはリンデバーグ条件を満たす：
∑ i = 1 n E [ | X i | 2 1 ( | X i | > ε ) ] ≤ ∑ i = 1 n E [ | X i | 2 1 ( | ξ i | > ε ‖ a ‖ 2 max i n | a i | ) ] = ∑ i = 1 n E [ | ξ i | 2 1 ( | ξ i | > ε ‖ a ‖ 2 max i n | a i | ) ] {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[\left|X_{i}\right|^{2}1(|X_{i}|>\varepsilon )\right]\leq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[\left|X_{i}\right|^{2}1\left(|\xi _{i}|>\varepsilon {\frac {\|a\|_{2}}{\max _{i}^{n}|a_{i}|}}\right)\right]=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[\left|\xi _{i}\right|^{2}1\left(|\xi _{i}|>\varepsilon {\frac {\|a\|_{2}}{\max _{i}^{n}|a_{i}|}}\right)\right]}
しかし、 は有限なので、 DCT と の条件により、 ごとに 0 になることがわかります 。 ξ i 2 {\displaystyle \xi _{i}^{2}} a i {\displaystyle a_{i}} ε {\displaystyle \varepsilon }
参照
参考文献 ^ ビリングスリー, P. (1986). 確率と測度（第2版）. Wiley. p. 369. ISBN 0-471-80478-9 。 ^ Ash, RB (2000). 確率と測度論 （第2版）. p. 307. ISBN 0-12-065202-1 。 ^ Resnick, SI (1999). 確率パス . p. 314. ^ JW リンデバーグ (1922)。 「Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung」。 数学的ツァイシュリフト 。 15 (1): 211–225 。 土井 :10.1007/BF01494395。 S2CID 119730242。 ^ Athreya, KB; Lahiri, SN (2006). 測度論と確率論 . Springer. p. 348. ISBN 0-387-32903-X 。 
![{\displaystyle \mathbb {E} \,[X_{k}]=\mu _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bbc3f70422a23b73a46994d4569565e2b322e78)
![{\displaystyle \mathrm {Var} \,[X_{k}]=\sigma _{k}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcbbb4be28cef679dd4820c40e84317b61c5b634)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{s_{n}^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\mathbb {E} \left[(X_{k}-\mu _{k})^{2}\cdot \mathbf {1} _{\{|X_{k}-\mu _{k}|>\varepsilon s_{n}\}}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf447f8747bc3fd2451d25349bcf151f3a50b316)
![{\displaystyle \mathbb {E} \,[X_{k}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1874129c6a4da17f78e7c91e5b1a86532fd77d86)
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[\left|X_{i}\right|^{2}1(|X_{i}|>\varepsilon )\right]\leq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[\left|X_{i}\right|^{2}1\left(|\xi _{i}|>\varepsilon {\frac {\|a\|_{2}}{\max _{i}^{n}|a_{i}|}}\right)\right]=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[\left|\xi _{i}\right|^{2}1\left(|\xi _{i}|>\varepsilon {\frac {\|a\|_{2}}{\max _{i}^{n}|a_{i}|}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc6740b235abd371ac9480755c13ccd07faa538)
