線要素

Line segment of infinitesimally small length

幾何学において、線分要素または長さ要素は、計量空間における微小 変位ベクトルに関連付けられた線分として非公式に考えることができます。線分要素の長さは、微分弧長と考えることもでき、計量テンソルの関数であり、 と表されます。 ${\displaystyle ds}$

線要素は物理学、特に重力理論（特に一般相対性理論）で使用され、そこでは時空は適切な計量テンソルを持つ曲がった擬リーマン多様体としてモデル化されます。^[1]

一般的な定式化

線要素と弧の長さの定義

n次元リーマン多様体または擬リーマン多様体（物理学では通常ローレンツ多様体）における線分要素dsの平方の座標に依存しない定義は、微小変位^[2] （擬リーマン多様体では負の場合もある）の「長さの平方」であり、その平方根は曲線の長さを計算するために用いられる。 ここでgは計量テンソル、·は内積、d qは（擬）リーマン多様体上の微小変位である。曲線をパラメータ化することにより、曲線の弧長を、および間の曲線の長さを積分として定義することができる。^[3] ${\displaystyle d\mathbf {q} }$ $${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {q} \cdot d\mathbf {q} =g(d\mathbf {q} ,d\mathbf {q} )}$$ ${\displaystyle \mathbf {q} (\lambda )}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{1}=\mathbf {q} (\lambda _{1})}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} (\lambda _{2})}$ $${\displaystyle s=\int _{\mathbf {q} _{1}}^{\mathbf {q} _{2}}{\sqrt {\left|ds^{2}\right|}}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|g\left({\frac {d\mathbf {q} }{d\lambda }},{\frac {d\mathbf {q} }{d\lambda }}\right)\right|}}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|g_{ij}{\frac {dq^{i}}{d\lambda }}{\frac {dq^{j}}{d\lambda }}\right|}}.}$$

擬リーマン多様体における曲線の実用的な長さを計算するには、微小変位があらゆる点で同じ符号を持つと仮定するのが最善です。例えば物理学では、時間軸曲線に沿った線分の二乗は（符号規則では）負の値となり、曲線に沿った線分の二乗の負の平方根は、曲線に沿って移動する観測者にとっての固有時間の経過を測ります。この観点から、計量は線分に加えて、面要素や体積要素など も定義します。 ${\displaystyle -+++}$

線分の二乗と計量テンソルの同一視

は任意の「弧長の2乗」なので、計量を完全に定義します。そのため、 の式を、示唆的ではあるがテンソルではない記法で書かれた計量テンソル自体の定義として考えるのが最適です。 弧長の2乗と計量の同一視は、 n次元の一般曲線座標q = ( q ¹ , q ² , q ³ , ..., q ⁿ )ではさらに簡単に確認できます。ここでは、計量テンソルと一致する対称階数2のテンソル^{[3] [4]として書かれています。} ${\displaystyle d\mathbf {q} }$ ${\displaystyle ds^{2}}$ ${\displaystyle ds^{2}}$ $${\displaystyle ds^{2}=g}$$ ${\displaystyle ds^{2}}$ $${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}=g.}$$

ここで、添え字 iとj は1, 2, 3, ..., nの値を取り、アインシュタインの和の慣例が用いられます。（擬）リーマン空間の一般的な例としては、 3次元 空間（時間座標を含まない）や4次元 時空が挙げられます。

ユークリッド空間における線要素

3Dユークリッド空間のベクトル線要素 d r (緑)。ここで、λ は空間曲線 (薄緑) のパラメータです。

以下は、メトリックから線要素を見つける方法の例です。

直交座標

最も単純な線要素は直交座標系です。この場合、メトリックはクロネッカーのデルタになります (ここで、空間の場合はi、j = 1、2、3) 。 または行列形式の場合 ( iは行、jは列を表します)。 $${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$$ $${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$$

一般曲線座標は直交座標に縮約されるので 、 $${\displaystyle (q^{1},q^{2},q^{3})=(x,y,z)\,\Rightarrow \,d\mathbf {r} =(dx,dy,dz)}$$ $${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$$

直交曲線座標

すべての直交座標に対して、計量は次のように与えられる: ^[3]ここで $${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}h_{1}^{2}&0&0\\0&h_{2}^{2}&0\\0&0&h_{3}^{2}\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|}$$

i = 1、2、3 はスケール係数なので、線要素の 2 乗は次のようになります。 $${\displaystyle ds^{2}=h_{1}^{2}(dq^{1})^{2}+h_{2}^{2}(dq^{2})^{2}+h_{3}^{2}(dq^{3})^{2}}$$

これらの座標における線要素の例をいくつか示します。^[2]

座標系	（q 1、q 2、q 3）	メトリック	線要素
デカルト座標	（x、y、z）	${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$
平面極座標	（r、θ）	${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0\\0&r^{2}\\\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}$
球面極座標	（r、θ、φ）	${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \\\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta \ ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}}$
円筒極	（r、φ、z）	${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\varphi ^{2}+dz^{2}}$

一般曲線座標

次元の空間の任意の基底が与えられると、計量は基底ベクトルの内積として定義されます。 ${\displaystyle \{{\hat {b}}_{i}\}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle g_{ij}=\langle {\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\rangle }$$

ここで、内積は周囲空間（通常はその） に関してである。 ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

座標ベースで ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

座標基底は、微分幾何学で頻繁に使用される特殊なタイプの基底です。

4次元時空における線要素

ミンコフスキー時空

ミンコフスキー計量は^{[5] [1]}で、どちらか一方の符号を選択​​した場合でも、両方の慣例が用いられる。これは平坦な時空にのみ適用される。座標は4次元座標で与えられる。 $${\displaystyle [g_{ij}]=\pm {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,\mathbf {r} )\,\Rightarrow \,d\mathbf {x} =(cdt,d\mathbf {r} )}$$

したがって、線要素は次のようになります。 $${\displaystyle ds^{2}=\pm (c^{2}dt^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} ).}$$

シュワルツシルト座標

シュワルツシルト座標では、座標は であり、次の形式の一般計量である。 ${\displaystyle \left(t,r,\theta ,\phi \right)}$ $${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}-a(r)^{2}&0&0&0\\0&b(r)^{2}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \\\end{pmatrix}}}$$

(3D 球面極座標でのメトリックとの相似性に注意してください)。

したがって、線要素は次のようになります。 $${\displaystyle ds^{2}=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}.}$$

一般時空

時空における線素d sの2乗の座標に依存しない定義は^[1]である。 $${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} =g(d\mathbf {x} ,d\mathbf {x} )}$$

座標に関して言えば、この場合、インデックスαとβは時空に対して 0、1、2、3 になります。 $${\displaystyle ds^{2}=g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }}$$

これは時空間隔、つまり時空における任意の近接した2つの事象間の分離の尺度である。特殊相対論ではローレンツ変換に対して不変である。一般相対論では任意の可逆微分可能座標変換に対して不変である。

参照

• ベクトルの共変性と反変性
• 最初の基本形
• 積分と測度論のトピックのリスト
• 計量テンソル
• リッチ計算
• インデックスの上げ下げ
• 体積要素

参考文献

1. Gravitation、JA Wheeler、C. Misner、KS Thorne、WH Freeman & Co、1973年、ISBN 0-7167-0344-0
2. Tensor Calculus、DC Kay、Schaum's Outlines、McGraw Hill (USA)、1988、ISBN 0-07-033484-6
3. ベクトル解析（第2版）、MRシュピーゲル、S.リップシュッツ、D.スペルマン、Schaum's Outlines、McGraw Hill（米国）、2009年、ISBN 978-0-07-161545-7
4. テンソル解析入門：エンジニアと応用科学者向け、JR Tyldesley、Longman、1975年、 ISBN 0-582-44355-5
5. 相対性理論の謎解き、D.マクマホン、マクグローヒル（米国）、2006年、 ISBN 0-07-145545-0

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