線形時間不変システム

システム分析などの研究分野において、線形時不変( LTI )システムとは、線形性と時不変性の制約に従って任意の入力信号から出力信号を生成するシステムです。これらの用語は、以下の概要で簡単に定義されています。これらの特性は、多くの重要な物理システムに (厳密にまたは近似的に) 適用されます。その場合、任意の入力 $x$ $($ $t$ $)$ に対するシステムの応答 $y$ $($ $t$ $)は、$ 畳み込みを使用して直接見つけることができます。 $y$ $($ $t$ $) = ($ $x$ $*$ $h$ $)($ $t$ $)$ で、 $h$ $($ $t$ $)$ はシステムのインパルス応答と呼ばれ、 ∗ は畳み込みを表します (乗算と混同しないでください)。さらに、このようなシステムを解く ( $h$ $($ $t$ $)$ を決定する) ための体系的な方法がありますが、両方の特性を満たさないシステムは一般に解析的に解くのがより困難 (または不可能) です。 LTIシステムの良い例としては、抵抗器、コンデンサ、インダクタ、線形増幅器で構成される電気回路が挙げられます。^[2]

線形時間不変システム理論は画像処理にも使われており、その場合システムは時間次元の代わりに、あるいは時間次元に加えて空間次元を持ちます。これらのシステムは、用語を最も一般的な範囲にするために線形並進不変と呼ぶことがあります。一般的な離散時間（すなわち、サンプリングされた）システムの場合、対応する用語は線形シフト不変です。LTIシステム理論は応用数学の一分野であり、電気回路の解析と設計、信号処理とフィルタ設計、制御理論、機械工学、画像処理、様々な計測機器の設計、 NMR分光法^{[要出典] 、および}常微分方程式のシステムが登場する他の多くの技術分野に直接応用されています。

概要

あらゆる LTI システムの定義特性は、線形性と時間不変性です。

線形性とは、入力と出力（どちらも関数とみなされる）の関係が線形写像であることを意味します。つまり、が定数である場合、システムからへの出力はです。がシステム出力を持つさらなる入力である場合、システムからへの出力はです。これは、、、のあらゆる選択に当てはまります。後者の条件は、しばしば重ね合わせ原理と呼ばれます。 $x(t)$ $y(t)$ $a$ $ax(t)$ $ay(t)$ $x'(t)$ $y'(t)$ $x(t)+x'(t)$ $y(t)+y'(t)$ $a$ $x(t)$ $x'(t)$
時間不変性とは、システムに今入力を与えてもT秒後に与えても、T秒の時間遅延を除いて出力は同一であることを意味します。つまり、入力による出力がであれば、入力による出力はです。したがって、システムは時間不変性を持ちます。なぜなら、出力は入力が与えられた特定の時間に依存しないからです。^[3] $x(t)$ $y(t)$ $x(t-T)$ $y(t-T)$

これらの特性から、LTIシステムはシステムのインパルス応答と呼ばれる単一の関数によって完全に特徴付けることができると推論されます。これは、重ね合わせによって、任意の信号を時間シフトしたインパルスの重ね合わせとして表現できるためです。システムの出力は、システムへの入力とシステムのインパルス応答の畳み込みです。これは連続時間システムと呼ばれます。同様に、離散時間線形時間不変（またはより一般的には「シフト不変」）システムは、離散時間で動作するシステムとして定義されます。ここで、 y、x、hはシーケンスであり、離散時間における畳み込みは積分ではなく離散的な和を使用します。^[4] $y(t)$ $x(t)$ $h(t)$ $y_{i}=x_{i}*h_{i}$

LTIシステムは、周波数領域においてシステムの伝達関数によって特徴付けることもできます。伝達関数は、連続時間システムの場合はラプラス変換、離散時間システムの場合はZ変換であり、それぞれシステムのインパルス応答のラプラス変換またはZ変換です。これらの変換の特性により、周波数領域におけるシステムの出力は、伝達関数と入力の対応する周波数領域表現との積になります。言い換えれば、時間領域における畳み込みは、周波数領域における乗算と等価です。

すべてのLTIシステムにおいて、固有関数および変換の基底関数は複素指数関数です。結果として、システムへの入力が、ある複素振幅および複素周波数の複素波形である場合、出力は、例えばある新しい複素振幅に対する、ある複素定数と入力の積になります。この比は、周波数における伝達関数です。出力信号は位相と振幅がシフトしますが、定常状態に達すると常に同じ周波数になります。LTIシステムは、入力にない周波数成分を生成することはできません。 $A_{s}e^{st}$ $A_{s}$ $s$ $B_{s}e^{st}$ $B_{s}$ $B_{s}/A_{s}$ $s$

LTIシステム理論は、多くの重要なシステムを記述するのに優れています。ほとんどのLTIシステムは、少なくとも時間変動や非線形システムと比較すると、解析が「容易」であると考えられています。定数係数を持つ線形微分方程式としてモデル化できるシステムはすべてLTIシステムです。このようなシステムの例としては、抵抗器、インダクタ、コンデンサで構成される電気回路（RLC回路）が挙げられます。理想的なバネ・マス・ダンパーシステムもLTIシステムであり、数学的にはRLC回路と等価です。

LTIシステムの概念は、連続時間の場合も離散時間の場合も、ほとんどが類似しています。画像処理では、時間変数は2つの空間変数に置き換えられ、時間不変性の概念は2次元シフト不変性に置き換えられます。フィルタバンクやMIMOシステムを解析する際には、信号のベクトルを考慮することが有用な場合が多くあります。時間不変性を持たない線形システムは、グリーン関数法などの他のアプローチを用いて解くことができます。

連続時間システム

インパルス応答と畳み込み

入力信号x ( t )と出力信号y ( t )を持つ線形連続時間時間不変システムの挙動は、畳み込み積分によって記述される。^[5]

$y(t)=(x*h)(t)$	$\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\mathrm {d} \tau$
	$=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau ,$ （交換法則を使用）

ここで、はインパルスに対するシステムの応答です。したがって、は入力関数の加重平均に比例します。重み関数は、だけ単純にシフトされます。が変化するにつれて、重み関数は入力関数の異なる部分を強調します。がすべての負のに対してゼロの場合、は時刻より前のの値のみに依存し、システムは因果的であると言えます。 ${\textstyle h(t)}$ ${\textstyle x(\tau )=\delta (\tau )}$ ${\textstyle y(t)}$ ${\textstyle x(\tau )}$ ${\textstyle h(-\tau )}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle h(\tau )}$ ${\textstyle \tau }$ ${\textstyle y(t)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle t}$

畳み込みがLTIシステムの出力を生成する理由を理解するために、表記法を変数と定数を持つ関数とします。また、短縮表記法をとします。すると、連続時間システムは入力関数を出力関数に変換します。そして一般に、出力のすべての値は入力のすべての値に依存する可能性があります。この概念は次のように表されます。ここでは時間の変換演算子です。一般的なシステムでは、は時間付近で発生したの値に最も大きく依存します。変換自体がによって変化しない限り、出力関数は定数であり、システムは面白くありません。 ${\textstyle \{x(u-\tau );\ u\}}$ ${\textstyle x(u-\tau )}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle \tau }$ ${\textstyle \{x\}}$ ${\textstyle \{x(u);\ u\}}$ ${\textstyle \{x\},}$ ${\textstyle \{y\}}$ $y(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{x\},$ ${\textstyle O_{t}}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle y(t)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle t}$

線形システムの場合、式1を満たす必要があります。 ${\textstyle O}$

O_{t}\left\{\int \limits _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ x_{\tau }(u)\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ \underbrace {y_{\tau }(t)} _{O_{t}\{x_{\tau }\}}\,\mathrm {d} \tau .

式2

そして時間不変性の要件は次のとおりです。

{\begin{aligned}O_{t}\{x(u-\tau );\ u\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} y(t-\tau )\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t-\tau }\{x\}.\,\end{aligned}}

式3

この表記法では、インパルス応答は次のように書ける。 ${\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}$

同様に:

$h(t-\tau )$	$\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t-\tau }\{\delta (u);\ u\}$
	$=O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}.$ （式3を使用）

この結果を畳み込み積分に代入すると次のようになります。 ${\begin{aligned}(x*h)(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}\,\mathrm {d} \tau ,\,\end{aligned}}$

これは、式2の右辺の形をしており、 ${\textstyle c_{\tau }=x(\tau )}$ ${\textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau ).}$

式2は次のようになります。 ${\begin{aligned}(x*h)(t)&=O_{t}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta (u-\tau )\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}\\[4pt]&=O_{t}\left\{x(u);\ u\right\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} y(t).\,\end{aligned}}$

要約すると、入力関数は、式1に示すように、時間シフトしたインパルス関数の連続体を「線形」に組み合わせたものとして表すことができます。システムの線形性により、システムの応答は、同様に組み合わせたインパルス応答の連続体で表すことができます。また、時間不変性により、この組み合わせは畳み込み積分で表すことができます。 ${\textstyle \{x\}}$

上記の数学的演算には簡単なグラフィカルシミュレーションがあります。^[6]

固有関数としての指数関数

固有関数とは、演算子の出力が同じ関数のスケール化されたバージョンとなる関数です。つまり、 fは固有関数、は定数である固有値です。 ${\mathcal {H}}f=\lambda f,$ $\lambda$

指数関数（ただし）は、線形で時間不変な演算子の固有関数である。簡単な証明でこの概念を説明する。入力をとする。インパルス応答を持つシステムの出力はであり、畳み込みの交換法則により、となる。 $Ae^{st}$ $A,s\in \mathbb {C}$ $x(t)=Ae^{st}$ $h(t)$ $\int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\mathrm {d} \tau$ ${\begin{aligned}\overbrace {\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{s(t-\tau )}\,\mathrm {d} \tau } ^{{\mathcal {H}}f}&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\overbrace {\underbrace {Ae^{st}} _{\text{Input}}} ^{f}\,\overbrace {\underbrace {H(s)} _{\text{Scalar}}} ^{\lambda }\,,\\\end{aligned}}$

ここで、スカラーはパラメータsのみに依存します。 $H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t$

したがって、システムの応答は入力のスケール化されたバージョンです。特に、任意のに対して、システムの出力は入力と定数の積です。したがって、はLTIシステムの固有関数であり、対応する固有値はです。 $A,s\in \mathbb {C}$ $Ae^{st}$ $H(s)$ $Ae^{st}$ $H(s)$

直接的な証拠

LTI システムの固有関数として複素指数を直接導出することも可能です。

複雑な指数関数とその時間シフトバージョンを設定してみましょう。 $v(t)=e^{i\omega t}$ $v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}$

$H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)$ 定数に関して線形性によって。 $e^{i\omega a}$

$H[v_{a}](t)=H[v](t+a)$ の時間不変性により。 $H$

つまり、設定と名前の変更により、次のようになります。つまり、入力として複素指数を指定すると、出力として同じ周波数の複素指数が返されます。 $H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)$ $t=0$ $H[v](\tau )=e^{i\omega \tau }H[v](0)$ $e^{i\omega \tau }$

フーリエ変換とラプラス変換

指数関数の固有関数特性は、LTIシステムの解析と理解の両方に非常に有用です。片側ラプラス変換は、インパルス応答から固有値を得るためのまさにその方法です。特に興味深いのは、純粋正弦波（つまり、およびの形の指数関数）です。フーリエ変換は、純粋複素正弦波の固有値を与えます。およびはどちらも、システム関数、システム応答、または伝達関数と呼ばれます。 $H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}\{h(t)\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t$ $e^{j\omega t}$ $\omega \in \mathbb {R}$ $j\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\sqrt {-1}}$ $H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}$ $H(s)$ $H(j\omega )$

ラプラス変換は通常、片側信号、つまりtの値がある値より小さい場合、常にゼロとなる信号に対して用いられます。通常、この「開始時刻」は、便宜上、また一般性を損なうことなくゼロに設定され、変換積分はゼロから無限大まで行われます（積分の下限が負の無限大である上記変換は、正式には両側ラプラス変換と呼ばれます）。

フーリエ変換は、変調正弦波など、無限大の信号を処理するシステムの解析に用いられますが、二乗積分可能でない入出力信号には直接適用できません。ラプラス変換は、安定システムにおいて、これらの信号が開始時刻前にゼロであれば、二乗積分可能でなくても、直接適用できます。フーリエ変換は、ウィーナー・ヒンチンの定理に基づき、信号のフーリエ変換が存在しない場合でも、無限大信号のスペクトルに適用されることがよくあります。

これらの変換の両方の畳み込み特性により、システムの出力を与える畳み込みは、変換が存在する信号が与えられた場合、変換領域での乗算に変換することができる。 $y(t)=(h*x)(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\mathrm {d} \tau \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}.$

システム応答を直接利用すれば、そのラプラス変換を用いて、特定の周波数成分がシステムによってどのように処理されるかを直接決定することができます。複素周波数s = jω（ただしω = 2 πf ）におけるシステム応答（インパルス応答のラプラス変換）を評価すると、周波数fにおけるシステムゲインである| H ( s )| が得られます。この周波数成分における出力と入力の相対位相シフトも同様に arg( H ( s ))で与えられます。

例

LTI 演算子の簡単な例は導関数です。
- ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\right)=c_{1}x'_{1}(t)+c_{2}x'_{2}(t)$ （つまり線形である）
- ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )$ （つまり、時間不変である）
微分に対してラプラス変換を行うと、ラプラス変数sによる単純な乗算に変換されます。 ${\mathcal {L}}\left\{{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)\right\}=sX(s)$
導関数にこのような単純なラプラス変換があることは、変換の有用性を部分的に説明しています。
もう一つの単純なLTI演算子は平均化演算子です。積分の線形性により、これは線形です。さらに、時間不変であるため、実際には、ボックスカー関数との畳み込みとして表すことができます。つまり、ボックスカー関数は ${\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{t-a}^{t+a}x(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .$ ${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\{c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\}&=\int _{t-a}^{t+a}(c_{1}x_{1}(\lambda )+c_{2}x_{2}(\lambda ))\,\mathrm {d} \lambda \\&=c_{1}\int _{t-a}^{t+a}x_{1}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +c_{2}\int _{t-a}^{t+a}x_{2}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\&=c_{1}{\mathcal {A}}\{x_{1}(t)\}+c_{2}{\mathcal {A}}\{x_{2}(t)\},\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x(t-\tau )\right\}&=\int _{t-a}^{t+a}x(\lambda -\tau )\,\mathrm {d} \lambda \\&=\int _{(t-\tau )-a}^{(t-\tau )+a}x(\xi )\,\mathrm {d} \xi \\&={\mathcal {A}}\{x\}(t-\tau ),\end{aligned}}$ ${\mathcal {A}}$ $\Pi (t)$ ${\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }\Pi \left({\frac {\lambda -t}{2a}}\right)x(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda ,$ $\Pi (t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\begin{cases}1&{\text{if }}|t|<{\frac {1}{2}},\\0&{\text{if }}|t|>{\frac {1}{2}}.\end{cases}}$

重要なシステムプロパティ

システムの最も重要な特性の一つに、因果関係と安定性があります。因果関係は、独立変数が時間である物理システムでは必須ですが、画像処理などの他のケースではこの制約は存在しません。

因果関係

システムが因果的であるとは、出力が現在と過去の入力のみに依存し、将来の入力には依存しないことを意味する。因果関係の必要十分条件は $h(t)=0\quad \forall t<0,$

ここではインパルス応答です。一般に、両側ラプラス変換から因果関係を判断することはできません。しかし、時間領域で作業する場合は、因果関係を必要とする片側ラプラス変換が通常使用されます。 $h(t)$

安定性

システムは有限入力有限出力安定（BIBO安定）であるとは、有限入力に対して有限出力となる場合を言う。数学的には、 $\ \|x(t)\|_{\infty }<\infty$

満足のいく出力につながる $\ \|y(t)\|_{\infty }<\infty$

（つまり、の絶対値の最大値が有限であれば、の絶対値の最大値も有限であることを意味する）、システムは安定である。必要十分条件は、インパルス応答がL ¹に属する（有限のL ¹ノルムを持つ）ことである。 $x(t)$ $y(t)$ $h(t)$ $\|h(t)\|_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|h(t)|\,\mathrm {d} t<\infty .$

周波数領域では、収束領域に虚軸が含まれていなければなりません。 $s=j\omega$

例えば、sinc関数に等しいインパルス応答を持つ理想的なローパスフィルタは、sinc関数が有限のL ¹ノルムを持たないため、BIBO安定ではありません。したがって、ある有界入力に対して、理想的なローパスフィルタの出力は非有界です。特に、入力がに対してゼロで、に対してカットオフ周波数における正弦波に等しい場合、出力はゼロ交差を除くすべての時間において非有界になります。^[^疑わしい^–^議論する^] $t<0$ $t>0$

離散時間システム

連続時間システムのほぼすべてには、離散時間システムに対応するものがあります。

連続時間システムから離散時間システムへ

多くの文脈において、離散時間（DT）システムは、実際にはより大きな連続時間（CT）システムの一部です。例えば、デジタル録音システムは、アナログ音を取り込み、それをデジタル化し、場合によってはデジタル信号を処理し、アナログ音を再生して人々に聞かせます。

実際のシステムでは、得られるDT信号は通常、CT信号を均一にサンプリングしたバージョンです。がCT信号の場合、アナログ-デジタル変換器の前段のサンプリング回路によって、それをDT信号に変換します。ここで、 Tはサンプリング周期です。サンプリングの前に、入力信号は通常、いわゆるナイキストフィルタに通されます。このフィルタは、「折り返し周波数」1/(2T)を超える周波数を除去します。これにより、フィルタ処理された信号の情報が失われないことが保証されます。フィルタ処理を行わない場合、折り返し周波数（またはナイキスト周波数）を超える周波数成分は、異なる周波数にエイリアシングされ（したがって、元の信号が歪んでしまいます）、これはDT信号が折り返し周波数よりも低い周波数成分しかサポートできないためです。 $x(t)$ $x_{n}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x(nT)\qquad \forall \,n\in \mathbb {Z} ,$

インパルス応答と畳み込み

シーケンスを表すとします $\{x[m-k];\ m\}$ $\{x[m-k];{\text{ for all integer values of }}m\}.$

そして、より短い表記法で表すと $\{x\}$ $\{x[m];\ m\}.$

離散システムは、入力シーケンスを出力シーケンスに変換します。一般に、出力のすべての要素は入力のすべての要素に依存します。変換演算子をで表すと、次のように書けます。 $\{x\}$ $\{y\}.$ $O$ $y[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{x\}.$

変換自体がnとともに変化しない限り、出力シーケンスは一定であり、システムは面白くないことに注意してください。（したがって、下付き文字はn です。）一般的なシステムでは、y [ n ] は、インデックスがnに近いxの要素に最も大きく依存します。

クロネッカーのデルタ関数の特殊なケースでは、出力シーケンスはインパルス応答です。 $x[m]=\delta [m],$ $h[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{\delta [m];\ m\}.$

線形システムの場合、次を満たす必要があります。 $O$

O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\cdot x_{k}[m];\ m\right\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\cdot O_{n}\{x_{k}\}.

式4

そして時間不変性の要件は次のとおりです。

{\begin{aligned}O_{n}\{x[m-k];\ m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} y[n-k]\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n-k}\{x\}.\,\end{aligned}}

式5

このようなシステムでは、インパルス応答がシステムを完全に特徴づけます。つまり、任意の入力シーケンスに対して、出力シーケンスは入力とインパルス応答を用いて計算できます。これがどのように行われるかを確認するために、次の恒等式を考えてみましょう。 $\{h\}$ $x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k],$

これは重み付きデルタ関数の合計として表現されます。 $\{x\}$

したがって： ${\begin{aligned}y[n]=O_{n}\{x\}&=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k];\ m\right\}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [m-k];\ m\},\,\end{aligned}}$

ここで、およびの場合には式4を適用しています。 $c_{k}=x[k]$ $x_{k}[m]=\delta [m-k]$

そして、式5より、次のように書くことができます。 ${\begin{aligned}O_{n}\{\delta [m-k];\ m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} O_{n-k}\{\delta [m];\ m\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} h[n-k].\end{aligned}}$

したがって：

$y[n]$	$=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]$
	$=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k],$ （可換性）

これはおなじみの離散畳み込みの式です。したがって、この演算子は関数x [ k ] の加重平均に比例すると解釈できます。重み関数はh [ − k ] であり、単にnだけシフトされます。n が変化すると、重み関数は入力関数の異なる部分を強調します。同様に、 n =0におけるインパルスに対するシステムの応答は、シフトされていない重み関数の「時間」を反転したコピーです。すべての負のkに対してh [ k ] がゼロである場合、システムは因果的であると言われます。 $O_{n}$

固有関数としての指数関数

固有関数とは、演算子の出力が、ある定数倍された同じ関数となる関数である。記号では、 ${\mathcal {H}}f=\lambda f,$

ここで、fは固有関数、は固有値、つまり定数です。 $\lambda$

指数関数（）は、線形で時間不変な演算子の固有関数です。はサンプリング間隔、です。簡単な証明でこの概念を説明します。 $z^{n}=e^{sTn}$ $n\in \mathbb {Z}$ $T\in \mathbb {R}$ $z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C}$

入力がであるとする。インパルス応答を持つシステムの出力は $x[n]=z^{n}$ $h[n]$ $\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}$

これは畳み込みの交換法則により次式と等価です。ただし、はパラメータzのみに依存します。 $\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)$ $H(z)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}$

はLTI システムの固有関数です。システム応答は入力に定数を掛けたものと同じだからです。 $z^{n}$ $H(z)$

Z変換と離散時間フーリエ変換

指数関数の固有関数的性質は、LTIシステムの解析と理解の両方に非常に有用である。Z変換は $H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}$

は、インパルス応答から固有値を得る方法と全く同じです。^{[説明が必要]} 特に興味深いのは、純粋な正弦波、つまりの形式の指数関数です。ここでです。これらはと書くこともできます。 ^[^{説明が必要}^]。離散時間フーリエ変換（DTFT）は、純粋な正弦波の固有値を与えます。 ^[^{説明が必要}^]。とはどちらも、システム関数、システム応答、または伝達関数と呼ばれます。 $e^{j\omega n}$ $\omega \in \mathbb {R}$ $z^{n}$ $z=e^{j\omega }$ $H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}$ $H(z)$ $H(e^{j\omega })$

片側ラプラス変換と同様に、Z変換は通常、片側信号、つまりt<0でゼロとなる信号に対して用いられます。離散時間フーリエ変換（フーリエ級数）は、周期信号の解析に用いられることがあります。

これら2つの変換の畳み込みの性質により、システムの出力を与える畳み込みは、変換領域における乗算に変換することができる。つまり、 $y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z)X(z)\}.$

連続時間システム解析におけるラプラス変換伝達関数と同様に、Z 変換を使用すると、システムを分析し、その動作に関する洞察を得ることが容易になります。

例

LTI 演算子の簡単な例は、遅延演算子です。 $D\{x[n]\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x[n-1]$
- $D\left(c_{1}\cdot x_{1}[n]+c_{2}\cdot x_{2}[n]\right)=c_{1}\cdot x_{1}[n-1]+c_{2}\cdot x_{2}[n-1]=c_{1}\cdot Dx_{1}[n]+c_{2}\cdot Dx_{2}[n]$ （つまり線形である）
- $D\{x[n-m]\}=x[n-m-1]=x[(n-1)-m]=D\{x\}[n-m]$ （つまり、時間不変である）
遅延演算子のZ変換は、z ⁻¹による単純な乗算です。つまり、
${\mathcal {Z}}\left\{Dx[n]\right\}=z^{-1}X(z).$
もう一つの単純なLTI演算子は平均化演算子です。これは、和が線形であるため線形です。また、時間不変であるためでもあります。 ${\mathcal {A}}\left\{x[n]\right\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{k=n-a}^{n+a}x[k].$ ${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}\left(c_{1}x_{1}[k]+c_{2}x_{2}[k]\right)\\&=c_{1}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{1}[k]+c_{2}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{2}[k]\\&=c_{1}{\mathcal {A}}\left\{x_{1}[n]\right\}+c_{2}{\mathcal {A}}\left\{x_{2}[n]\right\},\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x[n-m]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}x[k-m]\\&=\sum _{k'=(n-m)-a}^{(n-m)+a}x[k']\\&={\mathcal {A}}\left\{x\right\}[n-m],\end{aligned}}$

重要なシステムプロパティ

離散時間LTIシステムの入出力特性は、インパルス応答によって完全に記述されます。システムの最も重要な特性のうち、2つは因果性と安定性です。時間的に非因果的なシステムは上記のように定義・解析できますが、リアルタイムで実現することはできません。不安定なシステムも解析・構築できますが、伝達関数全体が安定している大規模システムの一部としてのみ有用です。 $h[n]$

因果関係

離散時間LTIシステムは、出力の現在値が入力の現在値と過去の値のみに依存する場合、因果関係にあるとされる。^[7] 因果関係の必要十分条件は、インパルス応答である。一般に、Z変換から因果関係を判定することはできない。なぜなら、逆変換は一意ではないからである^[^疑わしい^-^{議論が必要}^]。収束領域が指定されている場合、因果関係を判定できる。 $h[n]=0\ \forall n<0,$ $h[n]$

安定性

システムが有限入力有限出力安定（BIBO安定）であるとは、有限入力に対して有限出力が成り立つことを意味する。数学的には、 $\|x[n]\|_{\infty }<\infty$

は、 $\|y[n]\|_{\infty }<\infty$

（つまり、入力が有界であれば出力も有界となり、つまりとの絶対値の最大値が有限となる場合）、システムは安定である。必要十分条件は、インパルス応答が次式を満たすことである。 $x[n]$ $y[n]$ $h[n]$ $\|h[n]\|_{1}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<\infty .$

周波数領域では、収束領域には単位円（つまり、複素数zを満たす軌跡）が含まれていなければなりません。 $|z|=1$

注記

^ Bessai, Horst J. (2005). MIMO信号とシステム. Springer. pp. 27– 28. ISBN 0-387-23488-8。
^ ヘスパニャ 2009年、78ページ。
^ フィリップス, チャールズ・L.; パー, ジョン・M.; リスクイン, イブ・A. (2003).シグナル、システム、そしてトランスフォーム（第3版）. アッパーサドルリバー, ニュージャージー: プレンティス・ホール. p. 89. ISBN 978-0-13-041207-2。
^ フィリップス, チャールズ・L.; パー, ジョン・M.; リスクイン, イブ・A. (2003).シグナル、システム、そしてトランスフォーム（第3版）. アッパーサドルリバー, ニュージャージー: ピアソン・エデュケーション. p. 92. ISBN 978-0-13-041207-2。
^ Crutchfield、1ページ。ようこそ！
^ クラッチフィールド、p. 1.演習
^ フィリップス 2007年、508ページ。

参照

参考文献

Phillips, CL, Parr, JM, Riskin, EA (2007).シグナル、システム、そして変換. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-041207-2。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
ヘスパニャ, JP (2009).線形システム理論. プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-14021-6。
クラッチフィールド、スティーブ（2010年10月12日）「畳み込みの喜び」ジョンズ・ホプキンス大学、 2010年11月21日閲覧
Vaidyanathan, PP; Chen, T. (1995年5月). 「マルチレートフィルタバンクにおける反因果逆関数の役割 — パートI：システム理論的基礎」(PDF) . IEEE Trans. Signal Process . 43 (6): 1090. Bibcode :1995ITSP...43.1090V. doi :10.1109/78.382395.

さらに読む

ポラット、ボアズ (1997). 『デジタル信号処理講座』ニューヨーク: ジョン・ワイリー. ISBN 978-0-471-14961-3。
Vaidyanathan, PP; Chen, T. (1995年5月). 「マルチレートフィルタバンクにおける反因果逆関数の役割 — パートI：システム理論的基礎」(PDF) . IEEE Trans. Signal Process . 43 (5): 1090. Bibcode :1995ITSP...43.1090V. doi :10.1109/78.382395.

外部リンク

ECE 209: LTI システムとしての回路のレビュー – (電気) LTI システムの数学的分析に関する短い入門書。
ECE 209: 位相シフトの原因 – 2 つの一般的な電気 LTI システムにおける位相シフトの原因を直感的に説明します。
JHU 520.214 信号とシステムのコースノート。LTIシステム理論を網羅したコース。独学にも最適です。
LTIシステムの例：RCローパスフィルタ。振幅と位相応答。

[Bessai_2005-1] Bessai, Horst J. (2005). MIMO信号とシステム. Springer. pp. 27– 28. ISBN 0-387-23488-8。

[2] ヘスパニャ 2009年、78ページ。

[3] フィリップス, チャールズ・L.; パー, ジョン・M.; リスクイン, イブ・A. (2003).シグナル、システム、そしてトランスフォーム（第3版）. アッパーサドルリバー, ニュージャージー: プレンティス・ホール. p. 89. ISBN 978-0-13-041207-2。

[4] フィリップス, チャールズ・L.; パー, ジョン・M.; リスクイン, イブ・A. (2003).シグナル、システム、そしてトランスフォーム（第3版）. アッパーサドルリバー, ニュージャージー: ピアソン・エデュケーション. p. 92. ISBN 978-0-13-041207-2。

[5] Crutchfield、1ページ。ようこそ！

[6] クラッチフィールド、p. 1.演習

[7] フィリップス 2007年、508ページ。

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