線形関数（微積分）

Polynomial function of degree at most one

線形関数のグラフ: ${\displaystyle y(x)=-x+2}$

微積分学や数学の関連分野において、実数から実数への線形関数とは、グラフ（直交座標系）が平面上で垂直でない線となる関数のことである。 ^[1] 線形関数の特徴は、入力変数が変化したときに、出力の変化が入力の変化に比例することである。

線形関数は線形方程式に関連しています。

プロパティ

線形関数は、変数xの次数が1以下の多項式関数である。 ^[2]

${\displaystyle f(x)=ax+b}$。

このような関数は、そのグラフ、すなわち直交平面上のすべての点の集合が直線となるため、線型関数と呼ばれます。係数aは、関数の傾き、直線の 傾きと呼ばれます（下記参照）。 ${\displaystyle (x,f(x))}$

傾きが の場合、これは水平線を定義する定数関数であり、一部の著者はこれを線型関数のクラスから除外しています。 ^[3]この定義によれば、線型多項式の次数はちょうど1となり、そのグラフは垂直でも水平でもない直線になります。しかし、本稿では は必須ではないため、定数関数は線型とみなします。 ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle f(x)=b}$ ${\displaystyle a\neq 0}$

ならば、線形関数は同次 であるといわれます。このような関数は、座標系の原点、つまり点 を通る直線を定義します。高度な数学の教科書では、「線形関数」という用語はしばしば同次線形関数を指すのに対し、「アフィン関数」という用語は を含む一般的な場合を指します。 ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle (x,y)=(0,0)}$ ${\displaystyle b\neq 0}$

線形関数の自然定義域、つまりxに許容される入力値の集合は、実数全体の集合です。また、任意の体で係数a、bを取って、その体でxを持つこのような関数を考えることもできます。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$

グラフは、 y軸とちょうど1つの交点を持つ非垂直線であり、そのy切片点である。y切片値は、初期値とも呼ばれる。グラフがx軸とちょうど1つの交点を持つ非水平線である場合、x切片点である。x切片値方程式の解は、根または零点とも呼ばれる。 ${\displaystyle y=f(x)=ax+b}$ ${\displaystyle (x,y)=(0,b).}$ ${\displaystyle y=f(0)=b}$ ${\displaystyle f(x).}$ ${\displaystyle a\neq 0,}$ ${\displaystyle (x,y)=(-{\tfrac {b}{a}},0).}$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {b}{a}},}$ ${\displaystyle f(x)=0,}$ ${\displaystyle f(x).}$

スロープ

直線の傾きは、 xの変化（ と表記）とそれに対応するyの変化（ と表記）の比である。 ${\displaystyle {\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta y}$

非垂直な直線の傾きは、直線の傾きの度合い（水平方向の傾きに対する垂直方向の傾き）を表す数値です。直線が一次関数 のグラフである場合、この傾きは定数aで表されます。 ${\displaystyle f(x)=ax+b}$

傾きは、 xの単位変化あたりの の変化率を表します。入力xが1単位増加すると、出力は 単位変化します。より一般的には、任意の数 に対して となります。傾きが正の場合、 は関数が増加します。 の場合、は減少します。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x{+}1)=f(x)+a}$ ${\displaystyle f(x{+}\Delta x)=f(x)+a\Delta x}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle a<0}$ ${\displaystyle f(x)}$

微積分学では、一般関数の微分はその変化率を測ります。線形関数は変化率が一定で、その傾きaに等しいため、その微分は定数関数となります。 ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ ${\displaystyle f\,'(x)=a}$

微分積分の基本的な考え方は、任意の滑らかな関数（必ずしも線形である必要はない）は、与えられた点の近くで唯一の線形関数によって近似できるというものです。導関数はこの線形関数の傾きであり、近似はに対して次のように表されます。線形近似のグラフは、点 におけるグラフの接線です。導関数の傾きは、一般に点cによって変化します。線形関数は、導関数が定数である唯一の実関数として特徴付けられます。つまり、すべてのxに対して であれば、に対して となります。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x=c}$ ${\displaystyle f\,'(c)}$ ${\displaystyle f(x)\approx f\,'(c)(x{-}c)+f(c)}$ ${\displaystyle x\approx c}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle (c,f(c))}$ ${\displaystyle f\,'(c)}$ ${\displaystyle f\,'(x)=a}$ ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ ${\displaystyle b=f(0)}$

傾き・切片、点・傾き、2点形式

与えられた線形関数は、その様々な性質を示すいくつかの標準的な公式で表すことができます。最も単純なのは傾きと切片の形です。 ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f(x)=ax+b}$、

ここから、傾きaと初期値（グラフのy切片） がすぐにわかります。 ${\displaystyle f(0)=b}$ ${\displaystyle y=f(x)}$

傾きaと 1 つの既知の値が与えられている場合、点-傾き形式を書きます。 ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$

${\displaystyle f(x)=a(x{-}x_{0})+y_{0}}$。

グラフィカルに言えば、これは点を通過する傾きaの直線を表します。 ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

2点形式は、 2つの既知の値とから始まります。傾きを計算し、それを点-傾き形式に代入します。 ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$ ${\displaystyle f(x_{1})=y_{1}}$ ${\displaystyle a={\tfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}$

${\displaystyle f(x)={\tfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x{-}x_{0}\!)+y_{0}}$。

そのグラフは、点を通る唯一の直線です。この式は、傾きが一定であることを強調するために次のように書くこともできます。 ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}\!),(x_{1},y_{1}\!)}$ ${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle {\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}$。

線形方程式との関係

線形関数は、線形関係にある変数、つまり線形方程式に従う変数を含む実用的な問題からよく生じます。 ならば 、この方程式をyについて解くと、 ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle Ax+By=C}$ ${\displaystyle B\neq 0}$

${\displaystyle y=-{\tfrac {A}{B}}x+{\tfrac {C}{B}}=ax+b,}$

ここで、と と表記します。つまり、y は独立変数（入力）xから線形関数 を介して得られる従属変数（出力）とみなすことができます。 xy座標平面において、 の取り得る値は直線、つまり関数 のグラフを形成します。元の方程式において の場合、結果として得られる直線は垂直であり、 と書くことはできません。 ${\displaystyle a=-{\tfrac {A}{B}}}$ ${\displaystyle b={\tfrac {C}{B}}}$ ${\displaystyle y=f(x)=ax+b}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle B=0}$ ${\displaystyle x={\tfrac {C}{A}}}$ ${\displaystyle y=f(x)}$

グラフの特徴は、変数xとyの観点から解釈できます。y切片はにおける初期値です。傾きa は、入力xの単位変化あたりの出力yの変化率を表します。グラフでは、右に1単位移動すると（xが1増加すると） 、 y の値はaだけ増加します。つまり、 となります。傾きaが負の場合、 xが増加するごとにyが減少することを示します。 ${\displaystyle y=f(x)=ax+b}$ ${\displaystyle y=f(0)=b}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x{+}1)=f(x)+a}$

たとえば、線形関数には傾き、y切片点、x切片点があります。 ${\displaystyle y=-2x+4}$ ${\displaystyle a=-2}$ ${\displaystyle (0,b)=(0,4)}$ ${\displaystyle (2,0)}$

例

サラミとソーセージが 1 キログラムあたり 6 ユーロと 3 ユーロで、それぞれ 12 ユーロ分購入したいとします。それぞれどれだけ購入できるでしょうか。xキログラムのサラミとyキログラムのソーセージの合計が 12 ユーロだとすると、6 × x + 3 × y = 12 ユーロとなります。yについて解くと、上記のように点と傾きの形式 が得られます。つまり、最初にサラミの量をx とすると、ソーセージの量は関数 として計算できます。サラミはソーセージの 2 倍の値段なので、サラミを 1 キログラム追加するとソーセージが 2 キログラム減り、つまり となり、傾きは -2 です。y切片はソーセージを 4 キログラムだけ購入することに相当し、x切片はサラミを 2 キログラムだけ購入することに相当します。 ${\displaystyle y=-2x+4}$ ${\displaystyle y=f(x)=-2x+4}$ ${\displaystyle f(x{+}1)=f(x)-2}$ ${\displaystyle (x,y)=(0,4)}$ ${\displaystyle (x,y)=(2,0)}$

グラフにはxまたはyが負の値を持つ点が含まれていることに注意してください。これらの点は、元の変数の観点からは意味を持ちません（肉屋に肉を売る場合を想像しない限り）。したがって、関数を定義域 に制限する必要があります。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle 0\leq x\leq 2}$

また、y を独立変数として選択し、ドメイン上で逆線形関数を使用してx を計算することもできます。 ${\displaystyle x=g(y)=-{\tfrac {1}{2}}y+2}$ ${\displaystyle 0\leq y\leq 4}$

他の関数クラスとの関係

変数の係数が 0 でない場合 ( a ≠ 0 )、線形関数は1 次多項式(線形多項式とも呼ばれる) で表され、それ以外の場合は定数関数(これも多項式関数ですが、次数は 0 です) になります。

直線は、異なる種類の座標系で描画された場合、他の機能を表すことがあります。

例えば、値が対数スケールで表されている場合、関数 g は指数関数を表すことがあります。つまり、log ( g ( x ))がxの線形関数である場合、関数gは指数関数です。線形関数では、入力を1単位増加させると、出力は一定量増加します。これは関数のグラフの傾きです。指数関数では、入力を1単位増加させると、出力は一定倍数増加します。これは指数関数の底と呼ばれます。

関数の引数と値の両方が 対数スケールの場合（つまり、 log ( y )がlog ( x )の線形関数である場合）、直線はべき乗法則を表します。

${\displaystyle \log _{r}y=a\log _{r}x+b\quad \Rightarrow \quad y=r^{b}\cdot x^{a}}$

極方程式 r = 1 ⁄ 2 θ + 2で定義されるアルキメデスの螺旋

一方、極座標における線形関数のグラフは次のようになります。

${\displaystyle r=f(\theta )=a\theta +b}$

の場合はアルキメデスの螺旋、そうでない場合は円です。 ${\displaystyle a\neq 0}$

参照

• アフィン写像、一般化
• 等差数列、整数引数の線形関数

注記

1. スチュワート 2012、23ページ。
2. スチュワート2012、24ページ。
3. スウォコウスキー 1983、34ページ。

参考文献

• スチュワート、ジェームズ（2012年）、微積分学：初期超越関数（第7版）、ブルックス/コール、ISBN 978-0-538-49790-9
• スウォコウスキー、アール・W.（1983）、解析幾何学による微積分（別版）、ボストン：プリンドル、ウェーバー＆シュミット、ISBN 0871503417

外部リンク

• https://web.archive.org/web/20130524101825/http://www.math.okstate.edu/~noell/ebsm/linear.html
• https://web.archive.org/web/20180722042342/https://corestandards.org/assets/CCSSI_Math%20Standards.pdf

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