トポロジのリスト

List of concrete topologies and topological spaces

以下は、名前の付いた位相または位相空間の一覧です。その多くは位相幾何学や関連する数学の分野における反例です。これは、位相または位相空間が持つ可能性のある性質の一覧ではありません。その場合は、 「一般的な位相トピックの一覧」および「位相的性質」を参照してください。

離散的と非離散的

• 離散トポロジ− すべてのサブセットが開いています。
• 非離散位相幾何学、カオス位相幾何学、または自明位相幾何学− 空集合とその補集合のみが開いています。

基数と順序数

• 可算位相
  • 位相空間が与えられた場合、上の可算拡大位相は、 τと、における補集合が可算であるすべての部分集合の族との和を部分基底として持つ位相です。 ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• 余有限位相幾何学
• 二点共有限位相
• 順序数位相
• 擬似アーク
• ランスペース
• ティコノフ板

有限空間

• 離散 2 点空間−完全に分離されていない 離散空間の最も単純な例。
• 有限位相空間
• 擬円− 4元上の有限位相空間で、 T ₀以外の分離公理を満たさない。しかし、代数位相の観点からは、擬円と区別がつかないという注目すべき性質を持つ。 ${\displaystyle S^{1}.}$
• シェルピンスキー空間、連結2点集合とも呼ばれる −特定の点位相を持つ2点集合 ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle \{\varnothing ,\{1\},\{0,1\}\}.}$

整数

• アーレンズ・フォート空間− ハウスドルフ空間で、第一可算でもコンパクトでもない正則正規空間。この空間には、に収束する列を持たない元（すなわち ）が存在するが、にはが のクラスター点となるような列が存在する。 ${\displaystyle p:=(0,0)}$ ${\displaystyle X\setminus \{p\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X\setminus \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$
• 等差数列位相
• ベール空間−は、離散位相を持つ自然数を表す積位相を持つ。これは、自然数列全体の成す空間である。 ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• 因子位相
• パーティショントポロジ
  • 削除された整数トポロジ
  • 奇偶トポロジー

フラクタルとカントール集合

• アポロニアンガスケット
• カントール集合−注目すべき特性を持つ閉区間のサブセット。 ${\displaystyle [0,1]}$
  • カンターダスト
  • カンター空間
• コッホ・スノーフレーク
• メンガースポンジ
• モーズリースノーフレーク
• シェルピンスキ絨毯
• シェルピンスキー三角形
• スミス・ヴォルテラ・カントール集合（太カントール集合とも呼ばれる）は、単位区間の閉じた、どこにも稠密でない（したがって希薄な）部分集合で、正のルベーグ測度を持ち、ジョルダン測度ではない集合である。太カントール集合のジョルダン測度における補集合は、ジョルダン測度ではない有界開集合である。 ${\displaystyle [0,1]}$

注文

• アレクサンドロフ位相幾何学
• 単位正方形上の辞書式順序位相
• 秩序トポロジー
  • ローソン位相幾何学
  • ポセット位相幾何学
  • 上位トポロジー
  • スコット位相幾何学
    • スコット連続性
• プリーストリースペース
• ロイの格子空間
• 分割区間 は、アレクサンドロフの二重矢印空間や二矢印空間とも呼ばれる。 − すべてのコンパクトで可分な順序空間は、分割区間の部分集合と順序同型である。これはコンパクト・ハウスドルフであり、遺伝的にリンデレフであり、遺伝的に可分だが距離化可能ではない。その距離化可能部分空間はすべて可算である。
• スペシャライゼーション（事前）注文

多様体と複体

• 分岐線−非ハウスドルフ多様体。
• 二重起源トポロジー
• E ₈多様体−滑らかな構造を許容しない位相多様体。
• ユークリッド位相−ユークリッド計量によって誘導されるユークリッド空間上の自然な位相。ユークリッド計量 自体はユークリッドノルムによって誘導されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
  • 実数線− ${\displaystyle \mathbb {R} }$
  • 単位間隔− ${\displaystyle [0,1]}$
• 拡張実数直線
• 偽 4 次元ボール− コンパクトで収縮可能な位相4 次元多様体。
• 2 部屋の家−収縮可能な2 次元 単体複合体ですが、折り畳むことはできません。
• クラインの壺
• レンズスペース
• 2つの原点を持つ直線（虫の目線とも呼ばれる） − これは非ハウスドルフ多様体である。これはユークリッド空間に局所同相であり、したがって局所計量化可能（ただし は計量化不可能）かつ局所ハウスドルフ（ただし はハウスドルフ不可能）である。また、 T ₁局所正則空間であるが、半正則空間ではない。
• プリューファー多様体− パラコンパクトではないハウスドルフ 2 次元実解析多様体。
• 実射影直線
• トーラス
  • 3トーラス
  • ソリッドトーラス
• 結び目を解く
• ホワイトヘッド多様体−縮約可能であるが同相ではない3次元開多様体 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

双曲幾何学

• ギーゼキング多様体− 有限体積の尖った双曲型 3 次元多様体。
• ホロスフィア
  • ホロサイクル
• ピカールの角
• ザイフェルト・ウェーバー空間

逆説的な空間

• 和田の湖−すべて同じ境界を持つ3 つの互いに素な連結した開集合または。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (0,1)^{2}}$

個性的

• ハンチェ・ウェント多様体− コンパクトで向き付け可能な平坦3次元多様体。第一ベッチ数が0である唯一の閉平坦3次元多様体である。

多様体と関連または類似

• ドッグボーンスペース
• 劣等帽子（トポロジー）
• ハワイアンイヤリング
• ロングライン（トポロジー）
• ローズ（トポロジー）

空間間の埋め込みと写像

• アレクサンダー角球−球を3 次元ユークリッド空間に埋め込む特殊な方法。
• アントワーヌのネックレス− 3 次元ユークリッド空間におけるカントール集合の位相的埋め込み。その補集合は単連結ではありません。
• トーラスの無理数巻き/トーラス上の無理数ケーブル
• 結び目（数学）
• トーラス上の線形フロー
• 空間充填曲線
• トーラスノット
• ワイルドノット

反例（一般位相幾何学）

次のトポロジーは、点集合トポロジーの反例の既知のソースです。

• アレクサンドロフ板
• アペール位相− ハウスドルフ、完全正規(T ₆ )、ゼロ次元空間で、可算だが、第一可算、局所コンパクト、可算コンパクトのいずれでもない。
• アーレンス広場
• 弾丸だらけの正方形 -弾丸の集合である空間。これらの集合はどちらもルベーグ測定可能であるが、どちらもジョルダン測定可能ではない。 ${\displaystyle [0,1]^{2}\setminus \mathbb {Q} ^{2},}$ ${\displaystyle [0,1]^{2}\cap \mathbb {Q} ^{2}}$
• カンターツリー
• コームスペース
• ディウドネ板
• 二重起源トポロジー
• 劣等帽子（トポロジー）
• 二者択一トポロジ
• 排除点位相− 特定の点の排除によって開集合が定義される位相空間。
• 砦のスペース
• ハーフディスクトポロジ
• ヒルベルトキューブ−積位相を持つ。 ${\displaystyle [0,1/1]\times [0,1/2]\times [0,1/3]\times \cdots }$
• 無限のほうき
• 整数ほうきトポロジー
• K-トポロジー
• クナスター・クラトフスキーファン
• ロングライン（トポロジー）
• ムーア平面（ニーミツキー平面とも呼ばれる） −第一可算、可分、完全正則、ハウスドルフ、ムーア空間であり、正規、リンデレフ、距離化可能、第二可算、局所コンパクトではない。また、離散位相を持つ非可算閉部分空間でもある。
• ネストされた区間トポロジ
• 重複区間位相− T ₀だが T ₁ではない 2 番目の可算空間。
• 特異点位相− 集合が無限であると仮定すると、その閉包がコンパクトではなく、さらにメタコンパクトでもパラコンパクトでもない、非閉コンパクト部分集合が含まれます。
• 有理数列位相幾何学
• ソルゲンフライ直線、これは下限位相を備えています− ハウスドルフ、完全正規、第 1 可算、可分、パラコンパクト、リンデレフ、ベール、ムーア空間ですが、計量化可能、第 2 可算、σ コンパクト、局所コンパクトではありません。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• ソルゲンフリー平面は、ソルゲンフリー直線の 2 つのコピーの積です。これは、正規、パラコンパクト、または2 番目に可算ではないムーア空間です。
• 位相幾何学の正弦曲線
• ティコノフ板
• 曖昧な位相
• ワルシャワサークル

他のトポロジーに基づいて定義されたトポロジー

自然な位相

自然なトポロジのリスト。

• 付加スペース
• 不連続和（位相）
• 拡張トポロジ
• 初期トポロジ
• 最終トポロジー
• 製品トポロジー
• 商位相
• 部分空間トポロジー
• 弱いトポロジー

コンパクト化

コンパクト化には次のものが含まれます。

• アレクサンドロフ拡張
  • 射影的に拡張された実数直線
• ボーアのコンパクト化
• イールス・カイパー多様体
• 射影的に拡張された実数直線
• ストーンチェフのコンパクト化
  • 石のトポロジー
  • ストーン・チェフ剰余
• ウォールマンコンパクト化

一様収束の位相

これは一様収束の名前付きトポロジを一覧表示します。

• コンパクトオープントポロジー
  • ループスペース
• インターロック区間トポロジー
• 収束のモード（注釈付き索引）
• オペレータトポロジ
• 点ごとの収束
  • 弱収束（ヒルベルト空間）
  • 弱い*トポロジー
• 極座標トポロジー
• 強力な双対トポロジー
• 線型写像空間上の位相

その他の誘導トポロジー

• ボックストポロジ
• コンパクト補位相
• 点の複製:がの孤立していない点であるとし、が任意の点であるとすると、は上の位相であり、は に同じ近傍フィルタを持つとします。このようにして、は複製されています。^[1] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle d\not \in X}$ ${\displaystyle Y=X\cup \{d\}.}$ ${\displaystyle \tau =\{V\subseteq Y:{\text{ either }}V{\text{ or }}(V\setminus \{d\})\cup \{x\}{\text{ is an open subset of }}X\}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle x}$
• 拡張トポロジ

機能解析

• 補助規範空間
• 最良局所凸位相
• 最高級のベクトルトポロジー
• ヘリースペース
• マッキー位相幾何学
• 極座標トポロジー
• 曖昧な位相

オペレータトポロジ

• デュアルトポロジ
• ノルム位相
• オペレータトポロジ
• 点ごとの収束
  • 弱収束（ヒルベルト空間）
  • 弱い*トポロジー
• 極座標トポロジー
• 強力なデュアルスペース
• 強演算子トポロジー
• 線型写像空間上の位相
• 超強力トポロジー
• 超弱位相/ 弱*演算子位相
• 弱演算子位相

テンソル積

• 帰納的テンソル積
• 入射テンソル積
• 射影テンソル積
• ヒルベルト空間のテンソル積
• 位相テンソル積

確率

• エメリー位相幾何学

その他のトポロジ

• エルデシュ空間− ハウスドルフ空間で、完全に不連続な1次元位相空間であり、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X.}$
• ハーフディスクトポロジ
• ハリネズミ空間
• パーティショントポロジ
• ザリスキ位相幾何学

参照

• 位相幾何学における反例 – リン・スティーン著
• バナッハ空間の一覧
• ハウスドルフ次元によるフラクタル一覧
• 多様体のリスト
• スキームのカテゴリにおけるトポロジのリスト
• トポロジトピックのリスト
• 数学のトピックのリスト
• 自然位相 – 位相における概念
• リー群表 – リー群とそれに関連するリー代数

引用

1. ウィランスキー 2008、35ページ。

参考文献

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外部リンク

• π-Base: 位相空間のインタラクティブ百科事典

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