積分は 積分学 における基本的な演算です。微分には複雑な 関数 の導関数は、そのより単純な構成関数を微分することで求めることができるという簡単な規則が ありますが、積分にはそのような規則がないため、既知の積分の表が役立つことがよくあります。 このページでは、最も一般的な反微分をいくつか挙げています
積分の歴史的発展 積分の一覧 (Integraltafeln) と積分法の技法をまとめたものが、ドイツの数学者マイヤー・ヒルシュ (Meyer Hirsch とも綴られる) によって 1810 年に出版された。 [ 1 ] David Bierens de Haanによって Tables d'intégrales définies Supplément aux tables d'intégrales définies Nouvelles tables d'intégrales définies
これらの表は主に初等関数の積分を扱っており、20世紀半ばまで使われ続けました。その後、グラドシュタインとリジク による、より詳細な表に置き換えられました。グラドシュタインとリジクでは、ビーレンス・デ・ハーンの著書に由来する積分はBIで表記されます。
すべての閉形式表現が 閉形式原始導関数を持つわけではない。本研究は微分ガロア理論 の主題である。この理論は1830年代から1840年代にかけてジョゼフ・リウヴィル によって初めて発展し、どの表現が閉形式原始導関数を持つかを分類するリウヴィルの定理 につながった。閉形式原始導関数を持たない関数の簡単な例としてはe − x 2 誤差関数で ある。
1968年以来、初等関数 で表現できる不定積分を求めるためのRischアルゴリズム が存在します。これは通常、コンピュータ代数システムを用いて行われます。初等関数で表現できない積分は 、Meijer G関数 などの一般関数を用いて記号的に操作できます。
積分のリスト 積分一覧の 詳細については、 以下のページをご覧ください
Gradshteyn 、Ryzhik 、Geronimus 、Tseytlin 、Jeffrey、Zwillinger、およびMoll の (GR) Table of Integrals, Series, and Products に Prudnikov 、Brychkov 、およびMarichev によるIntegrals and Seriesです (第 1 巻から第 3 巻には 基本 関数と特殊関数 の積分と級数がリストされ、第 4 巻から第 5 巻にはラプラス変換 の表があります)。よりコンパクトなコレクションは、例えば Brychkov、Marichev、Prudnikov のTables of Indefinite Integrals や、Zwillinger のCRC Standard Mathematical Tables and Formulae やBronshtein と Semendyayev のGuide Book to Mathematics Handbook of Mathematics Users' Guide to Mathematics
その他の有用なリソースとしては、アブラモウィッツとステガン、 そしてベイトマン写本プロジェクトが あります。どちらの著作も、特定の積分に関する多くの恒等式を含んでおり、それらは別々の表にまとめられるのではなく、最も関連性の高いトピックに沿って整理されています。ベイトマン写本は2巻構成で、積分変換に特化しています。
積分表やオンデマンド積分を提供しているウェブサイトがいくつかあります。Wolfram Alphaでは 積分結果を表示でき、さらに簡単な式については積分の途中過程も表示できます。Wolfram Researchは 、Mathematica Online Integratorという別のオンラインサービスも運営しています。
単純な関数の積分 Cは 、積分定数 を表すために使用されます。これは、ある点における積分値について何かが分かっている場合にのみ決定されます。したがって、各関数には無限個の不定法 があります。
これらの式は導関数表の 主張を別の形で述べているだけです。
特異点を持つ積分 積分対象の関数に特異点 があり、ある点（特異点）で反微分が定義されなくなる場合、 C は 特異点の両側で同じである必要はありません。以下の形式では通常、C の値の特異点付近のコーシー主値 を仮定しますが、これは一般には不要です。たとえば、では 0 に特異点があり、そこで反微分は 無限大になります。上記の積分を -1 と 1 の間の定積分に使用した場合、誤った答え 0 が得られます。しかし、これは特異点付近の積分のコーシー主値です。積分が複素平面で行われる場合、結果は原点の周りの経路に依存します。この場合、特異点は原点より上の経路を使用する場合は- i πに寄与し、原点より下の経路を使用する場合は i π に寄与します。実数直線上の関数では、原点の両側でCの値が全く異なることがあります。たとえば、次のようになります。 [ 2 ] ∫ 1 × d × ＝ ln | × | + C {\displaystyle \int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C} ∫ 1 × d × ＝ ln | × | + { A もし × ＞ 0 ； B もし × ＜ 0。 {\displaystyle \int {1 \over x}\,dx=\ln |x|+{\begin{cases}A&{\text{if }}x>0;\\B&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}
有理関数 ∫ a d x = a x + C {\displaystyle \int a\,dx=ax+C} 次の関数は、 n ≤ −1
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (for n ≠ − 1 ) {\displaystyle \int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}} カバリエリの求積公式 )∫ ( a x + b ) n d x = ( a x + b ) n + 1 a ( n + 1 ) + C (for n ≠ − 1 ) {\displaystyle \int (ax+b)^{n}\,dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}} ∫ 1 x d x = ln | x | + C {\displaystyle \int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C} より一般的には、[ 3 ] ∫ 1 x d x = { ln | x | + C − x < 0 ln | x | + C + x > 0 {\displaystyle \int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}} ∫ c a x + b d x = c a ln | a x + b | + C {\displaystyle \int {\frac {c}{ax+b}}\,dx={\frac {c}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C}
指数関数
対数 ∫ ln x d x = x ln x − x + C = x ( ln x − 1 ) + C {\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C=x(\ln x-1)+C} ∫ log a x d x = x log a x − x ln a + C = x ln a ( ln x − 1 ) + C {\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C={\frac {x}{\ln a}}(\ln x-1)+C}
三角関数 ∫ sin x d x = − cos x + C {\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C} ∫ cos x d x = sin x + C {\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C} ∫ tan x d x = ln | sec x | + C = − ln | cos x | + C {\displaystyle \int \tan x\,dx=\ln \left|\sec x\right|+C=-\ln \left|\cos x\right|+C} ∫ cot x d x = − ln | csc x | + C = ln | sin x | + C {\displaystyle \int \cot x\,dx=-\ln \left|\csc x\right|+C=\ln \left|\sin x\right|+C} ∫ sec x d x = ln | sec x + tan x | + C = ln | tan ( x 2 + π 4 ) | + C {\displaystyle \int \sec x\,dx=\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C=\ln \left|\tan \left({\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C} ∫ csc x d x = − ln | csc x + cot x | + C = ln | csc x − cot x | + C = ln | tan x 2 | + C {\displaystyle \int \csc x\,dx=-\ln \left|\csc x+\cot x\right|+C=\ln \left|\csc x-\cot x\right|+C=\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C} ∫ sec 2 x d x = tan x + C {\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C} ∫ csc 2 x d x = − cot x + C {\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C} ∫ sec x tan x d x = sec x + C {\displaystyle \int \sec x\,\tan x\,dx=\sec x+C} ∫ csc x cot x d x = − csc x + C {\displaystyle \int \csc x\,\cot x\,dx=-\csc x+C} ∫ sin 2 x d x = 1 2 ( x − sin 2 x 2 ) + C = 1 2 ( x − sin x cos x ) + C {\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C} ∫ cos 2 x d x = 1 2 ( x + sin 2 x 2 ) + C = 1 2 ( x + sin x cos x ) + C {\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C} ∫ tan 2 x d x = tan x − x + C {\displaystyle \int \tan ^{2}x\,dx=\tan x-x+C} ∫ cot 2 x d x = − cot x − x + C {\displaystyle \int \cot ^{2}x\,dx=-\cot x-x+C} ∫ sec 3 x d x = 1 2 ( sec x tan x + ln | sec x + tan x | ) + C {\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln \left|\sec x+\tan x\right|)+C} ∫ csc 3 x d x = 1 2 ( − csc x cot x + ln | csc x − cot x | ) + C = 1 2 ( ln | tan x 2 | − csc x cot x ) + C {\displaystyle \int \csc ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(-\csc x\cot x+\ln \left|\csc x-\cot x\right|)+C={\frac {1}{2}}\left(\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|-\csc x\cot x\right)+C} ∫ sin n x d x = − sin n − 1 x cos x n + n − 1 n ∫ sin n − 2 x d x {\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}x\cos x}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}x\,dx} ∫ cos n x d x = cos n − 1 x sin x n + n − 1 n ∫ cos n − 2 x d x {\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}x\sin x}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx}
逆三角関数 ∫ arcsin x d x = x arcsin x + 1 − x 2 + C , for | x | ≤ 1 {\displaystyle \int \arcsin {x}\,dx=x\arcsin {x}+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq 1} ∫ arccos x d x = x arccos x − 1 − x 2 + C , for | x | ≤ 1 {\displaystyle \int \arccos {x}\,dx=x\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq 1} ∫ arctan x d x = x arctan x − 1 2 ln | 1 + x 2 | + C , for all real x {\displaystyle \int \arctan {x}\,dx=x\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x} ∫ arccot x d x = x arccot x + 1 2 ln | 1 + x 2 | + C , for all real x {\displaystyle \int \operatorname {arccot} {x}\,dx=x\operatorname {arccot} {x}+{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x} ∫ arcsec x d x = x arcsec x − ln | x ( 1 + 1 − x − 2 ) | + C , for | x | ≥ 1 {\displaystyle \int \operatorname {arcsec} {x}\,dx=x\operatorname {arcsec} {x}-\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq 1} ∫ arccsc x d x = x arccsc x + ln | x ( 1 + 1 − x − 2 ) | + C , for | x | ≥ 1 {\displaystyle \int \operatorname {arccsc} {x}\,dx=x\operatorname {arccsc} {x}+\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq 1}
双曲線関数 ∫ sinh x d x = cosh x + C {\displaystyle \int \sinh x\,dx=\cosh x+C} ∫ cosh x d x = sinh x + C {\displaystyle \int \cosh x\,dx=\sinh x+C} ∫ tanh x d x = ln ( cosh x ) + C {\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln(\cosh x)+C} ∫ coth x d x = ln | sinh x | + C , for x ≠ 0 {\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln \left|\sinh x\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0} ∫ sech x d x = arctan ( sinh x ) + C {\displaystyle \int \operatorname {sech} x\,dx=\arctan(\sinh x)+C} ∫ csch x d x = ln | coth x − csch x | + C = ln | tanh x 2 | + C , for x ≠ 0 {\displaystyle \int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\operatorname {coth} x-\operatorname {csch} x\right|+C=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0} ∫ sech 2 x d x = tanh x + C {\displaystyle \int \operatorname {sech} ^{2}x\,dx=\tanh x+C} ∫ csch 2 x d x = − coth x + C {\displaystyle \int \operatorname {csch} ^{2}x\,dx=-\operatorname {coth} x+C} ∫ sech x tanh x d x = − sech x + C {\displaystyle \int \operatorname {sech} x\,\operatorname {tanh} x\,dx=-\operatorname {sech} x+C} ∫ csch x coth x d x = − csch x + C {\displaystyle \int \operatorname {csch} x\,\operatorname {coth} x\,dx=-\operatorname {csch} x+C}
逆双曲線関数 ∫ arcsinh x d x = x arcsinh x − x 2 + 1 + C , for all real x {\displaystyle \int \operatorname {arcsinh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C,{\text{ for all real }}x} ∫ arccosh x d x = x arccosh x − x 2 − 1 + C , for x ≥ 1 {\displaystyle \int \operatorname {arccosh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccosh} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C,{\text{ for }}x\geq 1} ∫ arctanh x d x = x arctanh x + ln ( 1 − x 2 ) 2 + C , for | x | < 1 {\displaystyle \int \operatorname {arctanh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctanh} \,x+{\frac {\ln \left(\,1-x^{2}\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert <1} ∫ arccoth x d x = x arccoth x + ln ( x 2 − 1 ) 2 + C , for | x | > 1 {\displaystyle \int \operatorname {arccoth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccoth} \,x+{\frac {\ln \left(x^{2}-1\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert >1} ∫ arcsech x d x = x arcsech x + arcsin x + C , for 0 < x ≤ 1 {\displaystyle \int \operatorname {arcsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsech} \,x+\arcsin x+C,{\text{ for }}0<x\leq 1} ∫ arccsch x d x = x arccsch x + | arcsinh x | + C , for x ≠ 0 {\displaystyle \int \operatorname {arccsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccsch} \,x+\left|\operatorname {arcsinh} \,x\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0}
2次導関数に比例する関数の積 ∫ cos a x e b x d x = e b x a 2 + b 2 ( a sin a x + b cos a x ) + C {\displaystyle \int \cos ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax+b\cos ax\right)+C} ∫ sin a x e b x d x = e b x a 2 + b 2 ( b sin a x − a cos a x ) + C {\displaystyle \int \sin ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax-a\cos ax\right)+C} ∫ cos a x cosh b x d x = 1 a 2 + b 2 ( a sin a x cosh b x + b cos a x sinh b x ) + C {\displaystyle \int \cos ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax\,\cosh bx+b\cos ax\,\sinh bx\right)+C} ∫ sin a x cosh b x d x = 1 a 2 + b 2 ( b sin a x sinh b x − a cos a x cosh b x ) + C {\displaystyle \int \sin ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax\,\sinh bx-a\cos ax\,\cosh bx\right)+C}
絶対値関数 f を 連続関数 とし、零点 を最大で1つ持つものとする。fが g を f の g を f sgn( x )は 符号関数 であり、 x ∫ | f ( x ) | d x = sgn ( f ( x ) ) g ( x ) + C , {\displaystyle \int \left|f(x)\right|\,dx=\operatorname {sgn}(f(x))g(x)+C,}
これは、 g
これにより、次の式が得られます（a ≠ 0 ）。これは、 f C を 区分定数 関数に置き換える必要があります）。
∫ | ( a x + b ) n | d x = sgn ( a x + b ) ( a x + b ) n + 1 a ( n + 1 ) + C {\displaystyle \int \left|(ax+b)^{n}\right|\,dx=\operatorname {sgn}(ax+b){(ax+b)^{n+1} \over a(n+1)}+C}
n n ≠ − 1 {\displaystyle n\neq -1} ∫ | tan a x | d x = − 1 a sgn ( tan a x ) ln ( | cos a x | ) + C {\displaystyle \int \left|\tan {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\tan {ax})\ln(\left|\cos {ax}\right|)+C}
ある整数n a x ∈ ( n π − π 2 , n π + π 2 ) {\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)} ∫ | csc a x | d x = − 1 a sgn ( csc a x ) ln ( | csc a x + cot a x | ) + C {\displaystyle \int \left|\csc {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\csc {ax})\ln(\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|)+C}
ある整数n a x ∈ ( n π , n π + π ) {\displaystyle ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)} ∫ | sec a x | d x = 1 a sgn ( sec a x ) ln ( | sec a x + tan a x | ) + C {\displaystyle \int \left|\sec {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\sec {ax})\ln(\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|)+C}
ある整数n a x ∈ ( n π − π 2 , n π + π 2 ) {\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)} ∫ | cot a x | d x = 1 a sgn ( cot a x ) ln ( | sin a x | ) + C {\displaystyle \int \left|\cot {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\cot {ax})\ln(\left|\sin {ax}\right|)+C}
ある整数n a x ∈ ( n π , n π + π ) {\displaystyle ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)} 関数fに、 f sgn( f ( x )) ∫ f ( x ) dxは、 f 区間 でf f ( x ) = 0 の点で不連続になる場合があります。連続原始関数を得るには、適切に選択されたステップ関数 を追加する必要があります。また、正弦関数と余弦関数の絶対値が周期π で周期的であるという事実を利用すると、次の式が得られます。
∫ | sin a x | d x = 2 a ⌊ a x π ⌋ − 1 a cos ( a x − ⌊ a x π ⌋ π ) + C {\displaystyle \int \left|\sin {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor -{1 \over a}\cos {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor \pi \right)}+C} ∫ | cos a x | d x = 2 a ⌊ a x π + 1 2 ⌋ + 1 a sin ( a x − ⌊ a x π + 1 2 ⌋ π ) + C {\displaystyle \int \left|\cos {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor +{1 \over a}\sin {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \pi \right)}+C}
特殊関数 Ci 、Si ：三角積分 、Ei ：指数積分 、li ：対数積分関数 、erf ：誤差関数
∫ Ci ( x ) d x = x Ci ( x ) − sin x {\displaystyle \int \operatorname {Ci} (x)\,dx=x\operatorname {Ci} (x)-\sin x} ∫ Si ( x ) d x = x Si ( x ) + cos x {\displaystyle \int \operatorname {Si} (x)\,dx=x\operatorname {Si} (x)+\cos x} ∫ Ei ( x ) d x = x Ei ( x ) − e x {\displaystyle \int \operatorname {Ei} (x)\,dx=x\operatorname {Ei} (x)-e^{x}} ∫ li ( x ) d x = x li ( x ) − Ei ( 2 ln x ) {\displaystyle \int \operatorname {li} (x)\,dx=x\operatorname {li} (x)-\operatorname {Ei} (2\ln x)} ∫ li ( x ) x d x = ln x li ( x ) − x {\displaystyle \int {\frac {\operatorname {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operatorname {li} (x)-x} ∫ erf ( x ) d x = e − x 2 π + x erf ( x ) {\displaystyle \int \operatorname {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operatorname {erf} (x)}
閉形式 で表現できない 関数がいくつかあります。しかし、これらの関数のいくつかについては、いくつかの共通区間における定積分の値を計算することができます。以下に、いくつかの有用な積分を示します。
∫ 0 ∞ x e − x d x = 1 2 π {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}} （ガンマ関数 も参照）∫ 0 ∞ e − a x 2 d x = 1 2 π a {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}} a > 0 のガウス積分 ）∫ 0 ∞ x 2 e − a x 2 d x = 1 4 π a 3 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}} a > 0の 場合∫ 0 ∞ x 2 n e − a x 2 d x = 2 n − 1 2 a ∫ 0 ∞ x 2 ( n − 1 ) e − a x 2 d x = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n + 1 π a 2 n + 1 = ( 2 n ) ! n ! 2 2 n + 1 π a 2 n + 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {2n-1}{2a}}\int _{0}^{\infty }x^{2(n-1)}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}={\frac {(2n)!}{n!2^{2n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}}
a > 0n !!は 二重階乗 です。∫ 0 ∞ x 3 e − a x 2 d x = 1 2 a 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}} a > 0の とき∫ 0 ∞ x 2 n + 1 e − a x 2 d x = n a ∫ 0 ∞ x 2 n − 1 e − a x 2 d x = n ! 2 a n + 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n}{a}}\int _{0}^{\infty }x^{2n-1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n!}{2a^{n+1}}}}
a > 0n = 0、1、2、...。∫ 0 ∞ x n e − a x b d x = 1 b a − n + 1 b Γ ( n + 1 b ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{b}}dx={\frac {1}{b}}\ a^{-{\frac {n+1}{b}}}\Gamma \left({\frac {n+1}{b}}\right)} ∫ 0 ∞ x e x − 1 d x = π 2 6 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}} （ベルヌーイ数 も参照）∫ 0 ∞ x 2 e x − 1 d x = 2 ζ ( 3 ) ≈ 2.40 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx=2\zeta (3)\approx 2.40} ∫ 0 ∞ x 3 e x − 1 d x = π 4 15 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{4}}{15}}} （物理学におけるプランクの法則 の導出に使用）∫ 0 ∞ x n e x − 1 d x = Γ ( n + 1 ) ζ ( n + 1 ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}-1}}\,dx=\Gamma (n+1)\zeta (n+1)} （リーマンゼータ関数 も参照）n > 0 {\displaystyle n>0} ∫ 0 ∞ sin x x d x = π 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}} （ sinc関数 とディリクレ積分を 参照）∫ 0 ∞ sin 2 x x 2 d x = π 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}{x}}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}} ∫ 0 π 2 sin n x d x = ∫ 0 π 2 cos n x d x = ( n − 1 ) ! ! n ! ! × { 1 if n is odd π 2 if n is even. {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}\times {\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}}
( n 二重階 乗の場合)。∫ − π π cos ( α x ) cos n ( β x ) d x = { 2 π 2 n ( n m ) | α | = | β ( 2 m − n ) | 0 otherwise {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&|\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
（α 、β 、m 、n β ≠ 0m 、n≥0 。二項係数 も参照）∫ − t t sin m ( α x ) cos n ( β x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{-t}^{t}\sin ^{m}(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx=0}
（α 、βは nは mは 奇数の正の整数。被積分関数は奇数 であるため）∫ − π π sin ( α x ) sin n ( β x ) d x = { ( − 1 ) ( n + 1 2 ) ( − 1 ) m 2 π 2 n ( n m ) n odd , α = β ( 2 m − n ) 0 otherwise {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\text{ odd}},\ \alpha =\beta (2m-n)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
（α 、β 、m 、n β ≠ 0m 、n≥0 。二項係数 も参照）∫ − π π cos ( α x ) sin n ( β x ) d x = { ( − 1 ) ( n 2 ) ( − 1 ) m 2 π 2 n ( n m ) n even , | α | = | β ( 2 m − n ) | 0 otherwise {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\text{ even}},\ |\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
（α 、β 、m 、n β ≠ 0m 、n≥0 。二項係数 も参照）∫ − ∞ ∞ e − ( a x 2 + b x + c ) d x = π a exp [ b 2 − 4 a c 4 a ] {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]}
（ここでexp[ u ] は指数関数 eu a >0です ∫ 0 ∞ x z − 1 e − x d x = Γ ( z ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)}
（ガンマ関数 はここ）Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} ∫ 0 1 ( ln 1 x ) p d x = Γ ( p + 1 ) {\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\ln {\frac {1}{x}}\right)^{p}\,dx=\Gamma (p+1)} ∫ 0 1 x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 d x = Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α + β ) {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}
（Re( α )>0 およびRe( β )>0については ベータ関数を 参照）∫ 0 2 π e x cos θ d θ = 2 π I 0 ( x ) {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)} I 0 ( x )ベッセル関数である） ∫ 0 2 π e x cos θ + y sin θ d θ = 2 π I 0 ( x 2 + y 2 ) {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)} ∫ − ∞ ∞ ( 1 + x 2 ν ) − ν + 1 2 d x = ν π Γ ( ν 2 ) Γ ( ν + 1 2 ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\,dx={\frac {{\sqrt {\nu \pi }}\ \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}}
（ν > 0スチューデントの t 分布 の確率密度関数 に関連している）関数f [ a , b ]で 有界な変化 を持つ場合、網羅法 によって積分の式が得られます。 ∫ a b f ( x ) d x = ( b − a ) ∑ n = 1 ∞ ∑ m = 1 2 n − 1 ( − 1 ) m + 1 2 − n f ( a + m ( b − a ) 2 − n ) . {\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)\,dx}=(b-a)\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\sum \limits _{m=1}^{2^{n}-1}{\left({-1}\right)^{m+1}}}2^{-n}f(a+m\left({b-a}\right)2^{-n}).}
「二年生の夢 」： ヨハン・ベルヌーイの 言葉。 ∫ 0 1 x − x d x = ∑ n = 1 ∞ n − n ( = 1.29128 59970 6266 … ) ∫ 0 1 x x d x = − ∑ n = 1 ∞ ( − n ) − n ( = 0.78343 05107 1213 … ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}&&(=1.29128\,59970\,6266\dots )\\[6pt]\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&&(=0.78343\,05107\,1213\dots )\end{aligned}}}
参照
参考文献
参考文献
外部リンク
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導出
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オープンソースプログラム
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![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aac3de5d20ec70a35c8d52bafaa6a82c148b566)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}&&(=1.29128\,59970\,6266\dots )\\[6pt]\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&&(=0.78343\,05107\,1213\dots )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eb1c1f34b4606f5ebf9e88ecdb80a7681b8fcce)
